2024年千錘百煉高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題第89煉 比賽與闖關(guān)問題含答案

2024年千錘百煉高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題第89煉比賽與闖關(guān)問題第89煉比賽與闖關(guān)問題一、基礎(chǔ)知識：1、常見的比賽規(guī)則（1）局勝制：這種規(guī)則的特點(diǎn)為一旦某方獲得次勝利即終止比賽。所以若比賽提前結(jié)束，則一定在最后一次比賽中某方達(dá)到勝。例如：甲，乙兩隊(duì)舉行排球比賽，比賽采取5局3勝制，已知甲獲勝的概率為，求甲以獲勝的概率：解：本題不能認(rèn)為“四局中甲贏得三局”，從而，因?yàn)槿绻叭诌B勝，則結(jié)束比賽而不會(huì)開始第四局，所以若比分為，則第四局甲獲勝，前三局的比分為，所以（2）連勝制：規(guī)定某方連勝場即終止比賽，所以若提前結(jié)束比賽，則最后場連勝且之前沒有達(dá)到場連勝。例如：甲，乙兩隊(duì)舉行比賽，比賽共有7局，若有一方連勝3局，則比賽立即終止。已知甲獲勝的概率為，求甲在第5局終止比賽并獲勝的概率解：若第5局比賽結(jié)束，根據(jù)連勝三局終止比賽的規(guī)則，可知甲在第3,4,5局獲勝，且第二局失?。ǚ駝t若第二局獲勝，則第四局就達(dá)到三連勝），第一局無論勝負(fù)不影響獲勝結(jié)果。所以（3）比分差距制：規(guī)定某方比對方多分即終止比賽，此時(shí)首先根據(jù)比賽局?jǐn)?shù)確定比分，在得分過程中要注意使兩方的分差小于（4）“一票否決制”：在比賽的過程中，如果在某一階段失敗，則被淘汰。此類問題要注意若達(dá)到第階段，則意味著前個(gè)階段均能通關(guān)2、解答此類題目的技巧：（1）善于引入變量表示事件：可用“字母+變量角標(biāo)”的形式表示事件“第幾局勝利”。例如：表示“第局比賽勝利”，則表示“第局比賽失敗”。（2）善于使用對立事件求概率：若所求事件含情況較多，可以考慮求對立事件的概率，再用解出所求事件概率。在處理離散性隨機(jī)變量分布列時(shí)，也可利用概率和為1的特點(diǎn)，先求出包含情況較少的事件的概率，再間接求出包含情況較多的事件概率二、典型例題：例1：某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問題，回答問題正確者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為，，，且各輪問題能否正確回答互不影響．（1）求該選手被淘汰的概率；（2）記該選手在考核中回答問題的個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．（1）思路：依題可知，比賽規(guī)則為：只要打錯(cuò)一個(gè)即被淘汰，如果從問題的正面考慮，則要考慮到是第幾輪被淘汰，情況較多。但此問題的反面為“答對所有問題”，概率易于表示，所以考慮利用對立事件進(jìn)行求解設(shè)為“選手正確回答第輪問題”，事件為“選手被淘汰”（2）思路：可取的值為，可知若想多答題，則需要前面的問題均要答對，所以時(shí)，則第一題答錯(cuò)；時(shí)，則第一題答對且第二題答錯(cuò)（若第二題答對則需要答第三題）；時(shí)，則第一題答對且第二題答對（第三題無論是否正確，均已答三題），分別求出概率即可解：可取的值為的分布列為例2：某區(qū)要進(jìn)行中學(xué)生籃球?qū)官?，為爭奪最后一個(gè)小組賽名額，甲、乙、丙三支籃球隊(duì)要進(jìn)行比賽，根據(jù)規(guī)則：每兩支隊(duì)伍之間都要比賽一場；每場比賽勝者得分，負(fù)者得分，沒有平局，獲得第一名的將奪得這個(gè)參賽名額．已知乙隊(duì)勝丙隊(duì)的概率為，甲隊(duì)獲得第一名的概率為，乙隊(duì)獲得第一名的概率為．（1）求甲隊(duì)分別戰(zhàn)勝乙隊(duì)和丙隊(duì)的概率；（2）設(shè)在該次比賽中，甲隊(duì)得分為，求的分布列及期望．（1）思路：解決要通過甲隊(duì)第一的概率與乙隊(duì)第一的概率兩個(gè)條件。若甲隊(duì)第一名，則甲戰(zhàn)勝乙且戰(zhàn)勝丙，即；若乙隊(duì)第一名，則乙戰(zhàn)勝甲且戰(zhàn)勝丙，即，兩個(gè)方程即可解出解：設(shè)事件為“甲隊(duì)獲第一名”，則設(shè)事件為“乙隊(duì)獲第一名”，則解得：（2）思路：依題意可知可取的值為，即兩戰(zhàn)全負(fù)；即一勝一負(fù)，要分成“勝乙負(fù)丙”和“負(fù)乙勝丙”兩種情況討論；即兩戰(zhàn)全勝；分別求出概率即可。可取的值為的分布列為例3：甲、乙兩支籃球隊(duì)賽季總決賽采用7場4勝制，每場必須分出勝負(fù)，場與場之間互不影響，只要有一隊(duì)獲勝4場就結(jié)束比賽．現(xiàn)已比賽了4場，且甲籃球隊(duì)勝3場．已知甲球隊(duì)第5，6場獲勝的概率均為，但由于體力原因，第7場獲勝的概率為．（1）求甲隊(duì)分別以，獲勝的概率；（2）設(shè)X表示決出冠軍時(shí)比賽的場數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．（1）思路：前四場比賽甲乙比分為，根據(jù)7場4勝制可知，甲再贏一場比賽立刻結(jié)束，所以要想獲得，，必須在甲贏一場之前，乙獲得比分。所以若比分為，則第5場乙勝，第6場甲勝；若比分為，則第場均乙勝，第7場甲勝，用概率的乘法即可求出兩個(gè)比分的概率解：設(shè)事件為“甲隊(duì)在第場獲勝”，則設(shè)事件為“甲隊(duì)4：2獲勝”，事件為“甲隊(duì)4：3獲勝”（2）思路：比賽的場數(shù)取決于甲是否取勝，所以可取的值為，若，則甲獲勝，即勝第五場；若則甲獲勝，即乙勝第五場，甲勝第六場；若，則只需前六場打成即可，所以只需乙連贏兩場。分別計(jì)算概率即可得到分布列和期望比賽場數(shù)可取的值為的分布列為例4：甲、乙兩人對弈棋局，甲勝、乙勝、和棋的概率都是，規(guī)定有一方累計(jì)2勝或者累計(jì)2和時(shí)，棋局結(jié)束。棋局結(jié)束時(shí)，若是累計(jì)兩和的情形，則宣布甲乙都獲得冠軍；若一方累計(jì)2勝，則宣布該方獲得冠軍，另一方獲得亞軍。設(shè)結(jié)束時(shí)對弈的總局?jǐn)?shù)為X．（1）設(shè)事件：“且甲獲得冠軍”，求A的概率；（2）求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。（1）思路：事件代表“對弈3局且甲獲勝”所以甲必須在第三場獲勝，且前兩場為一勝一和或一勝一負(fù)（勝負(fù)先后順序均可）。按照這幾種情況找到對應(yīng)概率相乘即可解：設(shè)事件為“甲在第局取勝”，事件為“第局和棋”，事件為“乙在第局取勝”（2）思路：依題意可得只要有兩個(gè)相同的結(jié)果就結(jié)束比賽，所以最多進(jìn)行4次比賽，最少進(jìn)行2次比賽，故可取的值為；在這些值中包含情況較少，即為相同的結(jié)果出現(xiàn)兩次，以甲為研究對象，則情況分為“兩勝”，“兩負(fù)”，“兩和”三種情況。即為前三場“勝負(fù)和”均經(jīng)歷一次，所以概率。對于的情況，由于種類較多，所以利用分布列概率和為1的性質(zhì)用進(jìn)行計(jì)算可取的值為的分布列為小煉有話說：在隨機(jī)變量所取的值中，如果只有一個(gè)值的概率包含情況較多不易計(jì)算，那么可以考慮先計(jì)算出其他取值的概率，再用1減去其他概率即可例5：某電視臺舉辦的闖關(guān)節(jié)目共有五關(guān)，只有通過五關(guān)才能獲得獎(jiǎng)金，規(guī)定前三關(guān)若有失敗即結(jié)束，后兩關(guān)若有失敗再給一次從失敗的關(guān)開始繼續(xù)向前闖的機(jī)會(huì)（后兩關(guān)總共只有一次機(jī)會(huì)），已知某人前三關(guān)每關(guān)通過的概率都是，后兩關(guān)每關(guān)通過的概率都是（1）求該人獲得獎(jiǎng)金的概率（2）設(shè)該人通過的關(guān)數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望（1）思路：若該人獲得獎(jiǎng)金，則前三關(guān)必須通過，后兩關(guān)可以通過，或者只有一次未通過，借助機(jī)會(huì)再次通過。分別計(jì)算概率再相加即可解：設(shè)事件為“第關(guān)通過”，事件為“獲得獎(jiǎng)金”（2）思路：依題意可知的取值為，其中前三關(guān)失敗即結(jié)束，所以為第一關(guān)失利；為第一關(guān)通過且第二關(guān)失利；為第二關(guān)通過且第三關(guān)失利；為第三關(guān)通過且第四關(guān)失利兩次；為第四關(guān)通過且第五關(guān)失利兩次；為五關(guān)全部通過獲得獎(jiǎng)金（即第一問的結(jié)果），其中由于情況較為復(fù)雜，所以考慮利用進(jìn)行處理的取值為的分布列為：例6:：袋中裝有黑球和白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球都是白球的概率為。現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……直到袋中的球取完即終止。若摸出白球，則記2分，若摸出黑球，則記1分。每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的。用表示甲，乙最終得分差的絕對值．（1）求袋中原有白球的個(gè)數(shù)；（2）求隨機(jī)變量的概率分布列及期望（1）思路：可先設(shè)白球個(gè)數(shù)為，已知事件“兩球都是白球”的概率，可用古典概型進(jìn)行表示，進(jìn)而得到關(guān)于的方程，解出解：設(shè)袋中原有白球的個(gè)數(shù)為，事件為“取出兩個(gè)白球”可解得（2）思路：盡管題目描述上是甲，乙輪流取球，但進(jìn)一步分析可發(fā)現(xiàn)在取球過程中，一個(gè)人的取球結(jié)果并不影響下一個(gè)人的取球，且所求隨機(jī)變量為取球完成后，兩人結(jié)果的比較。所以只需關(guān)注甲，乙最后取到的球的個(gè)數(shù)即可。由（1）可知袋中有4個(gè)黑球，3個(gè)白球，甲先取球，所以甲取到4個(gè)球，甲取球的結(jié)果可以是：4黑，1白3黑，2白2黑，3白1黑，對應(yīng)的分?jǐn)?shù)為分，分，分，分，剩下的球?qū)儆谝?，所以乙對?yīng)的情況為3白，2白1黑，1白2黑，3黑，分?jǐn)?shù)為分，分，分，分。所以甲乙分?jǐn)?shù)差的絕對值可取的值為，再分別求出概率即可。可取的值為故的分布列為：小煉有話說：（1）本題第（2）問的亮點(diǎn)在于，分析過程的特點(diǎn)后，直接從結(jié)果入手，去分析兩人所得球的情況，忽略取球的過程，從而大大簡化概率的計(jì)算（2）本題要注意甲取球的結(jié)果就已經(jīng)決定乙的結(jié)果，所以在計(jì)算概率時(shí)以甲的取球結(jié)果為研究對象。例7：某校舉行中學(xué)生“珍愛地球·保護(hù)家園”的環(huán)保知識比賽,比賽分為初賽和復(fù)賽兩部分，初賽采用選手從備選題中選一題答一題的方式進(jìn)行；每位選手最多有5次答題機(jī)會(huì)，選手累計(jì)答對3題或答錯(cuò)3題即終止比賽，答對3題者直接進(jìn)入復(fù)賽，答錯(cuò)3題者則被淘汰．已知選手甲答對每個(gè)題的概率均為，且相互間沒有影響．（1）求選手甲進(jìn)入復(fù)賽的概率；（2）設(shè)選手甲在初賽中答題的個(gè)數(shù)為，試求的分布列和數(shù)學(xué)期望．（1）思路：若甲能進(jìn)入復(fù)賽，則要答對三道題，但因?yàn)榇饘?題后立即終止比賽，所以要通過最后一次答題正確進(jìn)入復(fù)賽。答題的次數(shù)為3次，4次，5次，答題3次即為全對，答題4次，則要在前3次答對2題，即，然后第4題正確進(jìn)入復(fù)賽；同理，答題5次時(shí)，要在前4次中答對2題，即，然后第5題正確。解：設(shè)事件為“甲進(jìn)入復(fù)賽”（2）思路：首先甲最少答3題，最多答5題，故可取的值為，要注意答題結(jié)束分為進(jìn)入復(fù)賽和淘汰兩種情況。當(dāng)甲答3道題時(shí)，可能全對或全錯(cuò)；同理甲答4道題時(shí)，可能3對1錯(cuò)或是3錯(cuò)1對；當(dāng)甲答5道題時(shí)，只要前4題2對2錯(cuò)，無論第5題結(jié)果如何，均答了5道題。分別計(jì)算對應(yīng)概率即可得到的分布列，從而計(jì)算出解：可取的值為的分布列為小煉有話說：本題的關(guān)鍵在于對獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ透怕使降睦斫猓簩τ?，是指在次?dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，沒有其它要求，事件發(fā)生次的概率。其中代表次中的任意次試驗(yàn)的結(jié)果是。如果對次試驗(yàn)的結(jié)果有一定的要求，則不能使用公式。例如本題在第（1）問中處理答題4次的時(shí)候，因?yàn)橐诘?次答題正確，對前3次答題沒有要求，所以在前3次試驗(yàn)中可使用公式計(jì)算，而第4次要單獨(dú)列出。若直接用則意味著只需4次答題正確3次（不要求是哪3道正確）即可，那么包含著前3次正確的情況，那么按要求就不會(huì)進(jìn)行第4題了。例8：甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.（1）求甲在局以內(nèi)（含局）贏得比賽的概率；（2）記為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求的分布列和期望.（1）思路：依題意可知獲勝的要求是連勝2場，所以可分2局，3局，4局三種情況，通過后兩場連勝贏得比賽，其余各場按“勝負(fù)交替”進(jìn)行排列解：設(shè)為“甲在第局獲勝”，事件為“甲在局以內(nèi)（含局）贏得比賽”（2）思路：首先依題意能確定可取的值為，若提前結(jié)束比賽，則按（1）的想法，除了最后兩場要連勝（或連?。?，其余各場應(yīng)“勝負(fù)交替”。在每個(gè)事件中要分甲獲勝和乙獲勝兩種情況進(jìn)行討論解：可取的值為的分布列為：例9：甲乙兩人進(jìn)行象棋比賽，規(guī)定：每次勝者得1分，負(fù)者得0分；當(dāng)其中一人的得分比另一人的得分多2分時(shí)則贏得這場比賽，此時(shí)比賽結(jié)束；同時(shí)規(guī)定比賽的次數(shù)最多不超過6次，即經(jīng)6次比賽，得分多者贏得比賽，得分相等為和局。已知每次比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，假定各次比賽相互獨(dú)立，比賽經(jīng)次結(jié)束，求：（1）的概率；（2）隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望。（1）思路：代表比賽經(jīng)過2次就結(jié)束，說明甲連勝兩局或者乙連勝兩局，進(jìn)而可計(jì)算出概率解：設(shè)事件為“甲在第局獲勝”（2）思路：考慮可取的值只能是（因?yàn)槠鏀?shù)局不會(huì)產(chǎn)生多贏2分的情況），當(dāng)時(shí)，即甲乙比分為或是（在第4局完成多兩分），所以只能是在前兩局打成，然后一方連贏兩局結(jié)束比賽。計(jì)算出，即可求出解：可取的值為的分布列為：例10：某學(xué)校在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上，將要進(jìn)行甲、乙兩名同學(xué)的乒乓球冠亞軍決賽，比賽實(shí)行三局兩勝制.已知每局比賽中，若甲先發(fā)球，其獲勝的概率為，否則其獲勝的概率為（1）若在第一局比賽中采用擲硬幣的方式?jīng)Q定誰先發(fā)球，試求甲在此局獲勝的概率；（2）若第一局由乙先發(fā)球，以后每局由負(fù)方先發(fā)球.規(guī)定勝一局記2分，負(fù)一局記0分，記為比賽結(jié)束時(shí)甲的得分，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.（1）思路：本題甲獲勝的概率取決于誰先發(fā)球，即為發(fā)球權(quán)確定的前提下的條件概率。若甲獲得發(fā)球權(quán)，則獲勝的概率為，如果甲沒有發(fā)球權(quán)，則獲勝的概率為，所以甲獲勝的概率為解：設(shè)事件為“甲獲得勝利”（2）思路：本題要注意發(fā)球權(quán)的不同，所使用的概率也不一樣，所以要確定每一局的勝負(fù)以決定下一局甲獲勝的概率。比賽實(shí)行三局兩勝，所以甲可能的得分為，若甲的得分為分，則為連勝兩局結(jié)束比賽或2:1贏得比賽，勝利的情況分為“甲甲”，“甲乙甲”，“乙甲甲”三種情況，結(jié)合著發(fā)球規(guī)則可得：，依次類推便可計(jì)算出其它情況的概率，進(jìn)而得到分布列解：可取的值為時(shí)，比賽的結(jié)果為：“甲甲”，“甲乙甲”，“乙甲甲”時(shí)，比賽的結(jié)果為：“乙甲乙”，“甲乙乙”時(shí)，比賽的結(jié)果為：“乙乙”的分布列為：第90煉取球問題一、基礎(chǔ)知識：在很多隨機(jī)變量的題目中，常以“取球”作為故事背景，通過對“取球”提出不同的要求，來考察不同的模型，常見的模型及處理方式如下：1、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ停宏P(guān)鍵詞“可放回的抽取”，即下一次的取球試驗(yàn)與上一次的相同。2、超幾何分布模型：關(guān)鍵詞“不放回的抽取”3、與條件概率相關(guān)：此類問題通常包含一個(gè)抽球的規(guī)則，并一次次的抽取，要注意前一次的結(jié)果對后一步抽球的影響4、古典概型：要注意雖然題目中會(huì)說明“相同的”小球，但是為了能使用古典概型（保證基本事件為等可能事件），通常要將“相同的”小球視為“不同的”元素，在利用排列組合知識進(jìn)行分子分母的計(jì)數(shù)。5、數(shù)字問題：在小球上標(biāo)注數(shù)字，所涉及的問題與數(shù)字相關(guān)（奇，偶，最大，最小等），在解決此類問題時(shí)，要將數(shù)字模型轉(zhuǎn)化為“怎樣取球”的問題，從而轉(zhuǎn)化為前幾個(gè)類型進(jìn)行求解。二、典型例題：例1：一袋中有6個(gè)黑球，4個(gè)白球（1）不放回地依次取出3個(gè)球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率（2）有放回地依次取出3個(gè)球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率（3）有放回的依次取出3個(gè)球，求取到白球個(gè)數(shù)的分布列，期望和方差（1）思路：因?yàn)槭遣环呕氐娜∏?，所以后面取球的情況受到前面的影響，要使用條件概率相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算。第一次已經(jīng)取到白球，所以剩下6個(gè)黑球，3個(gè)白球；若第二次取到黑球，則第三次取到黑球的概率為，若第二次取到白球，則第三次取到黑球的概率為，從而能夠得到第三次取到黑球的概率解：設(shè)事件為“不放回取球，第一次取出白球時(shí)，第三次取到黑球”（2）思路：因?yàn)槭怯蟹呕氐娜∏?，所以每次取球的結(jié)果互不影響，屬于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，所以第三次取球時(shí)依然是6個(gè)黑球，3個(gè)白球，取得黑球的概率為解：設(shè)事件為“有放回取球，第一次取出白球時(shí)，第三次取到黑球”（3）思路：本問依然屬于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，的取值為，則符合二項(xiàng)分布，即，所以可通過二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式求得概率，得到分布列解：的取值為，依題意可得：例2：已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的3個(gè)紅球和3個(gè)黑球，現(xiàn)從甲，乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球（1）求取出的4個(gè)球中沒有紅球的概率（2）求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率（3）設(shè)為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望思路：本題這三問的關(guān)鍵在于所取球中紅球的個(gè)數(shù)，考慮紅球個(gè)數(shù)來自于兩個(gè)盒內(nèi)拿出紅球個(gè)數(shù)的總和，所以可將紅球總數(shù)進(jìn)行分配，從而得到每個(gè)盒中出紅球的情況，進(jìn)而計(jì)算出概率（1）設(shè)事件為“甲盒中取出個(gè)紅球”，事件為“乙盒中取出個(gè)紅球”則設(shè)事件為“4個(gè)球中沒有紅球”則（2）設(shè)事件為“4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球”（3）可取的值為的分布列為：例3：甲、乙兩袋中各裝有大小相同的小球個(gè)，其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個(gè)數(shù)分別為、、，乙袋中紅色、黑色、白色小球的個(gè)數(shù)均為，某人用左右手分別從甲、乙兩袋中取球．（1）若左右手各取一球，求兩只手中所取的球顏色不同的概率；（2）若左右手依次各取兩球，稱同一手中兩球顏色相同的取法為成功取法，記成功取法次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）設(shè)事件為“兩只手中所取的球顏色不同”，則為“兩只手中所取的球顏色相同”（2）可取的值為左手取球成功的概率右手取球成功的概率的分布列為例4：袋中裝有若干個(gè)質(zhì)地均勻大小相同的紅球和白球，白球數(shù)量是紅球數(shù)量的兩倍，每次從袋中摸出一個(gè)球，然后放回，若累計(jì)3次摸到紅球則停止摸球，否則繼續(xù)摸球直到第5次摸球后結(jié)束（1）求摸球四次就停止的事件發(fā)生的概率（2）記摸到紅球的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及其期望（1）思路：本題為有放回摸球，可理解為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，如果摸球四次就停止，說明在這四次中一共摸到3次紅球，且前三次有兩次摸到紅球，第四次又摸到紅球。通過紅白球數(shù)量關(guān)系可知一次摸球中摸到紅球的概率為，然后可按照分析列式并求出概率。解：設(shè)事件為“摸球四次即停止摸球“解：依題意可得：在一次摸球中，摸到紅球的概率為（2）思路：可知可取的值為，當(dāng)時(shí)，摸球是通過完成5次后停止，所以可利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ陀?jì)算概率；當(dāng)時(shí)，按照規(guī)則有可能摸球提前結(jié)束，所以要按摸球的次數(shù)（3次，4次，5次）分類討論后再匯總解：可取的值為的分布列為：例5：某商場在店慶日進(jìn)行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，當(dāng)日在該店消費(fèi)的顧客可參加抽獎(jiǎng)．抽獎(jiǎng)箱中有大小完全相同的4個(gè)小球，分別標(biāo)有字“生”“意”“興”“隆”．顧客從中任意取出1個(gè)球，記下上面的字后放回箱中，再從中任取1個(gè)球，重復(fù)以上操作，最多取4次，并規(guī)定若取出“隆”字球，則停止取球．獲獎(jiǎng)規(guī)則如下：依次取到標(biāo)有“生”“意”“興”“隆”字的球?yàn)橐坏泉?jiǎng)；不分順序取到標(biāo)有“生”“意”“興”“隆”字的球，為二等獎(jiǎng)；取到的4個(gè)球中有標(biāo)有“生”“意”“興”三個(gè)字的球?yàn)槿泉?jiǎng)．（1）求分別獲得一、二、三等獎(jiǎng)的概率；（2）設(shè)摸球次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）設(shè)為“獲得等獎(jiǎng)”（2）摸球次數(shù)可取的值為的分布列為：例6：學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個(gè)白球，2個(gè)黑球；乙箱子里面裝有1個(gè)白球，2個(gè)黑球；這些球除了顏色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球，若摸出的白球不少于2個(gè)，則獲獎(jiǎng)（每次游戲后將球放回原箱）（1）求在一次游戲中①摸出3個(gè)白球的概率②獲獎(jiǎng)的概率（2）求在三次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)的分布列與期望（1）思路：本題的結(jié)果實(shí)質(zhì)上是一個(gè)“拼球”的過程，即兩個(gè)箱子各自拿球，然后統(tǒng)計(jì)白球的個(gè)數(shù)。則①：若摸出3個(gè)白球，則情況為甲2乙1。②：若獲獎(jiǎng)，則白球個(gè)數(shù)不少于2個(gè)，可分成白球有3個(gè)或有2個(gè)兩種情況，分別求出概率再求和即可解：設(shè)為“甲箱子里取出個(gè)白球”，為“乙箱子里取出個(gè)白球”①設(shè)事件為“摸出3個(gè)白球”②設(shè)事件為“獲獎(jiǎng)”（即白球不少于2個(gè)）（2）思路：三次游戲可視為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以獲獎(jiǎng)次數(shù)服從二項(xiàng)分布，由（1）可得，從而可利用公式計(jì)算概率，列出分布列解：可取的值為，依題意可得：的分布列為：例7：一個(gè)袋子中裝有6個(gè)紅球和4個(gè)白球，假設(shè)袋子中的每一個(gè)球被摸到可能性是相等的。（1）從袋子中任意摸出3個(gè)球，求摸出的球均為白球的概率；（2）一次從袋子中任意摸出3個(gè)球，若其中紅球的個(gè)數(shù)多于白球的個(gè)數(shù)，則稱“摸球成功”（每次操作完成后將球放回），某人連續(xù)摸了3次，記“摸球成功”的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望。（1）思路：此問可用古典概型解決，事件為“10個(gè)球中任意摸出3個(gè)球”，則，所求事件為“均是白球”，則，從而解：設(shè)事件為“3個(gè)球均為白球“（2）思路：按題目敘述可知對于摸3次球，由于是有放回的摸，所以相當(dāng)于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，結(jié)合的含義可知服從二項(xiàng)分布。但“摸球成功”的概率還未知，所以先根據(jù)“摸球成功”的要求利用古典概型計(jì)算出一次成功的概率，再通過二項(xiàng)分布的公式計(jì)算的分布列即可解：設(shè)事件為“一次摸球成功”的取值為，依題意可得：的分布列為：例8：袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的小球各3個(gè)，從袋中任取3個(gè)小球，每個(gè)小球被取出的可能性都相等.（1）求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；（2）用X表示取出的3個(gè)小球上所標(biāo)的最大數(shù)字，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.（1）思路：本題的特點(diǎn)在于每個(gè)編號都有3個(gè)球，若將這12個(gè)球視為不同元素，則可利用古典概型進(jìn)行計(jì)算，設(shè)為“12個(gè)球中任取3個(gè)”，則，事件為“三個(gè)球數(shù)字各不相同”，則計(jì)數(shù)時(shí)第一步要先選出不同的三個(gè)編號，即，然后每個(gè)編號中都有3個(gè)小球可供選擇，即，所以。進(jìn)而可計(jì)算出解：設(shè)事件為“三個(gè)球數(shù)字各不相同”（2）思路：依題意可知的取值為，依然用古典概型解決，但要明確取每個(gè)值時(shí)所代表的情況：當(dāng)時(shí)，只能3個(gè)球均為1號球；當(dāng)時(shí)，說明至少有一個(gè)2號球，其余的用1號球組成，即，或者使用間接法：從1,2號共6個(gè)球中先隨意取三個(gè)，再減去不含2號球的情況，即個(gè)，同理可得：時(shí)，至少有一個(gè)3號球，其余的球?yàn)?,2號球，所以由個(gè)，時(shí)，至少有一個(gè)4號球，其余的球?yàn)?,2,3號球，所以由個(gè)，進(jìn)而求得概率得到分布列解：的取值為的分布列為：例9：一個(gè)盒子中裝有大小相同的小球個(gè)，在小球上分別標(biāo)有的號碼，已知從盒子中隨機(jī)的取出兩個(gè)球，兩球的號碼最大值為的概率為，（1）盒子中裝有幾個(gè)小球？（2）現(xiàn)從盒子中隨機(jī)的取出4個(gè)球，記所取4個(gè)球的號碼中，連續(xù)自然數(shù)的個(gè)數(shù)的最大值為隨機(jī)變量（如取2468時(shí)，；取1246時(shí)，，取1235時(shí)，）（1）思路：以兩球號碼最大值為的概率為入手點(diǎn)，則該敘述等價(jià)于“取出一個(gè)號球和一個(gè)其它號碼球的概率為，從而利用古典概型列出關(guān)于的方程并解出解：設(shè)事件為“兩球號碼最大值為”即解得：（2）思路：由（1）可得小球的編號為，結(jié)合所給的例子可知的取值為，其概率可用古典概型計(jì)算。代表所取得數(shù)兩兩不相鄰，可能的情況有，共5種；表示只有一對相鄰的數(shù)或兩對相鄰的數(shù)（兩隊(duì)相鄰的數(shù)之間不再相鄰）；表示有三個(gè)相鄰的數(shù)，與另一個(gè)數(shù)不相鄰；表示四個(gè)數(shù)均相鄰，共5個(gè)。由于包含情況較復(fù)雜，所以可以考慮算出其他情況的概率再用1減即可。解：的取值為的分布列為：例10：袋中裝有35個(gè)球，每個(gè)球上分別標(biāo)有的一個(gè)號碼，設(shè)號碼為的球重克，這些球等可能的從袋中被取出（1）如果任取1球，試求其重量大于號碼數(shù)的概率（2）如果不放回任意取出2球，試求它們重量相等的概率（3）如果取出一球，當(dāng)它的重量大于號碼數(shù)，則放回，將拌均勻后重取；當(dāng)它的重量小于號碼數(shù)時(shí)，則停止取球，按照以上規(guī)則，最多取球3次，設(shè)停止之前取球次數(shù)為，求的分布列和期望思路：（1）本題的球重與編號存在函數(shù)關(guān)系，要解得重量大于號碼數(shù)的概率，先要判斷出在35個(gè)球中，那些球的重量大于號碼數(shù)，即解不等式，可解出或，所以的解集為共30個(gè)數(shù)，所以取出球重量大于號碼數(shù)的概率為解：設(shè)事件為“取1球其重量大于號碼數(shù)”若球重量大于號碼數(shù)，則，解得：或的取值集合為，共30個(gè)元素（2）思路：不妨設(shè)取出的球的編號為，從而，可推得：，從而取出球的組合為共4組，所以概率為解：設(shè)所取球的編號為，依題意可得：取出球的組合為設(shè)事件為“取出2球重量相等”（3）思路：依題意可知：可取的值為，由（1）可知球重量大于號碼的概率為，因?yàn)槭强煞呕氐某槿?，所以每次抽取為?dú)立重復(fù)試驗(yàn)。當(dāng)時(shí)，可知取出的球重量小于號碼數(shù)；當(dāng)時(shí)，則第一次取出的球比號碼數(shù)大，第二次取出的球比號碼數(shù)??；當(dāng)時(shí)，則前兩次取出的球比號碼數(shù)大（無論第三次如何都終止取球），從而求出概率得到分布列解：可取的值為，由（1）可知取出球重量大于號碼的概率的分布列為：三、歷年好題精選1、（2014，福建）為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎(jiǎng)的方式對1000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額．（1）若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元，求：①顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率；②顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望．（2）商場對獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成．為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對均衡，請對袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說明理由．2、（2014，重慶）一盒中裝有9張各寫有一個(gè)數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1，3張卡片上的數(shù)字是2，2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片．(1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率；(2)表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．(注：若三個(gè)數(shù)滿足，則稱為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù))3、袋中共有10個(gè)大小相同的編號為1,2,3的球，其中1號球有1個(gè)，2號球有3個(gè)，3號球有6個(gè)（1）從袋中任意摸出2個(gè)球，求恰好是一個(gè)2號球和一個(gè)3號球的概率（2）從袋中任意摸出2個(gè)球，記得到小球的編號數(shù)之和為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望4、袋中裝有標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個(gè)，現(xiàn)從袋中任意取出3個(gè)小球，假設(shè)每個(gè)小球被取出的可能性都相等（1）求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字分別是1,2,3的概率（2）求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字恰有2個(gè)相同的概率（3）用表示取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字，求的分布列習(xí)題答案：1、解析：（1）①設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為（2）可取的值為的分布列為20600.50.5所以顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望為．（2）每個(gè)顧客平均獎(jiǎng)勵(lì)額為元，可知期望有可能達(dá)到的只有方案或，分別分析以下兩種方案：方案一：，則的取值為方案二：，則的取值為由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望都符合要求，但方案2獎(jiǎng)勵(lì)額的方差比方案1的小，所以應(yīng)該選擇方案2.2、解析：（1）設(shè)事件為“3張卡片數(shù)字完全相同”（2）可取的值為的分布列為：1233、解析：（1）設(shè)事件為“一個(gè)2號球，一個(gè)3號球”（2）可取的值為的分布列為：34564、解析：（1）設(shè)事件為“3個(gè)小球上的數(shù)字分別是1,2,3”（2）設(shè)事件為“3個(gè)小球上的數(shù)字恰有2個(gè)相同”（3）可取的值為的分布列為：2345第91煉復(fù)數(shù)一、基礎(chǔ)知識：復(fù)數(shù)題目通常在高考中有所涉及，題目不難，通常是復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算1、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式為，其中稱為的實(shí)部，稱為的虛部（而不是)，2、幾類特殊的復(fù)數(shù)：（1）純虛數(shù)：例如：，等（2）實(shí)數(shù)：3、復(fù)數(shù)的運(yùn)算：設(shè)（1）（2）（3）注：乘法運(yùn)算可以把理解為字母，進(jìn)行分配率的運(yùn)算。只是結(jié)果一方面要化成標(biāo)準(zhǔn)形式，另一方面要計(jì)算（4）注：除法不要死記公式而要理解方法：由于復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式是，所以不允許分母帶有，那么利用平方差公式及的特點(diǎn)分子分母同時(shí)乘以的共軛復(fù)數(shù)即可。4、共軛復(fù)數(shù)：，對于而言，實(shí)部相同，虛部相反5、復(fù)數(shù)的模：()6、兩個(gè)復(fù)數(shù)相等：實(shí)部虛部對應(yīng)相等7、復(fù)平面：我們知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，推廣到復(fù)數(shù)，每一個(gè)復(fù)數(shù)都與平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)一一對應(yīng)，將這個(gè)平面稱為復(fù)平面。橫坐標(biāo)代表復(fù)數(shù)的實(shí)部，橫軸稱為實(shí)軸，縱軸稱為虛軸。8、處理復(fù)數(shù)要注意的幾點(diǎn)：（1）在處理復(fù)數(shù)問題時(shí)，一定要先把復(fù)數(shù)化簡為標(biāo)準(zhǔn)形式，即（2）在實(shí)數(shù)集的一些多項(xiàng)式公式及展開在復(fù)數(shù)中也同樣適用。例如