2023-2024學(xué)年安徽省高一年級下冊第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷 （含答案）

2023-2024學(xué)年安徽省高一下冊第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給岀的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.下列五個(gè)結(jié)論：

①溫度有零上和零下之分，所以溫度是向量；

②向量a/b,則a與b的方向必不相同；

@|a|>|b|,則a>b;

④向量a是單位向量，向量b也是單位向量，則向量a與向量b共線；

⑤方向?yàn)楸逼?0。的向量與方向?yàn)闁|偏南40。的向量一定是平行向量.其中正確的有（）

A.①⑤B.?C.⑤D.②④

【正確答案】C

溫度雖有大小卻無方向，故不是向量，故①錯；a#b,但a與b的方向可以相同，故②錯；

向量的長度可以比較大小，但向量不能比較大小，故③錯；單位向量只要求長度等于1個(gè)單

位長度，但方向未確定，故④錯；作圖易得⑤正確.

2.若在△N8C中，M=a,SC=b>且間=也|=1,|a+b|=隹，則厶/夕。的形狀是（）

A,正三角形B.銳角三角形C.斜三角形D.等腰直角三角形

【正確答案】D

由于1初尸図=1,1沅|=|b|=l,|,詰|=區(qū)+1）|=媳，所以△Z8C為等腰直角三角形?故

選D.

3.已知a,b均為單位向量，（2a+b）（a-2b）=—邛，則a與b的夾角為（）

A.30°B,45°C.135°D.150°

【正確答案】A

因?yàn)椋?a+b）-（a-2b）=2a2-4a-b+a-b-2b2=-3a-b=-邛，所以ab=^.

設(shè)a與b的夾角為，，則cos6=（一去=坐.

又因?yàn)?%比180。，所以，=30。.

4.如果用i,j分別表示x軸和），軸正方向上的單位向量，且4（2,3）,8（4,2）,貝匸后可以表

示為（）

A.2i+3jB.4i+2jC.2i-jD.-2i+j

【正確答案】C

*(2,3),8(4,2),

二毎=(4,2)—(2,3)=(2,-1),

毎=2i-j.

5.設(shè)平面向量。=(1,2),6=(—2,y),若a〃仇貝曲。+切等于()

A.帀B.乖C.V17D.y/26

【正確答案】A

a//b,Ixy—2x(—2)=0,

解得y=-4,從而3a+6=(l,2)"3a+b|=帀.

6.已知向量"=(x+2,3),v=(x,D,當(dāng)/(x)="?v取得最小值時(shí)占的值為()

A.0B.-1C.2D.1

【正確答案】B

人x)=wv=(x+2)x+3=x2+2x+3=(x+l)2+2,故當(dāng)x=-l時(shí)択x)取得最小值2.

7.在如圖所示的半圓中，48為直徑，點(diǎn)。為圓心，C為半圓上一點(diǎn)，且ZOC8=30。，

I善1=2,則I衣I等于()

AOB

A.1B.娘C.兩D.2

【正確答案】A

如圖，連接ZC,曲灰?1=1麗I，得N/8C=NOCB=30。，又因?yàn)?/C8=90。，

所以1病1=|x2=l-

AOB

8.如圖，在△NBC中，。是8c的中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線分別交直線/C于"，N兩個(gè)

不同的點(diǎn).若.而=〃?於/，衣=〃赤，其中"?，"為實(shí)數(shù)，則"?+〃等于()

A

3

B-C2D3

A.2

【正確答案】c

如圖，連接/。,

由。為BC中點(diǎn)可得，

,:M,O,N三點(diǎn)共線，.?.江+）=1,

/.m+〃=2.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題列岀的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求的。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)月（2,3）,8（-3,4）,如圖所示內(nèi)軸、丿，軸同方向上的兩個(gè)單位向量分

別為/和/，則下列說法正確的是（）

A.^A=2i+3jB.OB=3z+4/'C.~AB=-5i+jD.^A=5i+j

【正確答案】AC

由題圖知，況=2i+3）,兩=-3i+勺,，故A正確,B不正

確;而-OB-6?=（-3汁夕）-（2，+歹）=547，瓦?=-而=59,故C正確,D不正確.

10.在△/BC中，若6=書，c=3,8=30。，則。的值可以等于（）

A.y/3B.2/C.3市D.4小

【正確答案】AB

由正弦定理得烏=表，

即為=熹，所以"G坐，

又0°VCV180°,所以C=60。或120。.

當(dāng)C=60。時(shí)，工=90。，/=32+（?。?,a=26當(dāng)C=120。時(shí)，/=30。，a=b=4

11.如圖，在海岸上有兩個(gè)觀測點(diǎn)C,2c在。的正西方向，距離為2km,在某天10:00觀察到某

航船在/處，此時(shí)測得4。。=30。,5分鐘后該船行駛至B處，此時(shí)測得/4。=60。,/

8CZ）=45°,408=60°廁（）

CD

A.當(dāng)天10:00時(shí)，該船位于觀測點(diǎn)C的北偏西15。方向

B.當(dāng)天10:00時(shí)，該船距離觀測點(diǎn)。蟲km

C.當(dāng)船行駛至B處時(shí),該船距觀測點(diǎn)CV2km

D,該船在由A行駛至B的這5min內(nèi)行駛了V^km

【正確答案】ABD

A項(xiàng)中,//。。=//。8+/8。。=60。+45。=105。,因?yàn)镃在。的正西方向，所以力在C的北偏

西15。方向，故A正確.

B項(xiàng)中，在△4CD中，乙4a>=105。,//。。=30。，

貝吐。。=45。

由正弦定理，得"=%等=V2,

sinz.Ci4D

故B正確.

C項(xiàng)中，在△8CZ）中,/38=45。,/。8=/力。。+//。8=30。+60。=90。,即/酸。=45。，

則BZ）=CZ）=2,于是"=2a,故C不正確.

D項(xiàng)中，在△ZBC中，由余弦定理彳導(dǎo)AB'AC+BC2-24cBecosN

ACB=2+8-2xy/2x2立X1=6,

即/8=V^km,故D正確

12.在厶/臺。中，內(nèi)角力,B,C的對邊分別為a,b,c,a+c,tanfi=2S，△/8C的面積

為26,則冃可能取到的值為()

|a-c|

A.4sB.20C.4娘D.2季

【正確答案】AC

因?yàn)閠aa8=2姬，所以cos8=g,sin8=2號，又S=3acsinB=2娘，所以ac=6,

由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos8=/+c2-4=(a-c)2+8,

所以念=5書=1“一耳+粉4娘當(dāng)且僅當(dāng)|“一°|=言時(shí)，等號成立，

故急的最小值為4/，可能取到的值為/C選項(xiàng).

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。

13.已知點(diǎn)”(-1,一5)和向量。=(2,3),若荏=3”，則點(diǎn)8的坐標(biāo)為.

【正確答案】(5,4)

設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，因?yàn)楣?=(-1,-5),南=3。=(6,9),故礪=福+荏=(5,4),

故點(diǎn)8的坐標(biāo)為(5,4).

14.若向量〃=(左,3),6=(1,4),c=(2,1),已知2a—3b與c的夾角為鈍角,則攵的取值

范圍是.

【正確答案】\\—8,-3口|一宗3：

由〃=(左，3),6=(1,4),得2a—36=(2左一3,-6).

又2a—3b與c的夾角為鈍角，

A(2a-3h)-c=2(2k-3)-6<0,得％<3,

9

-

若(2a-3b)〃c,貝I]2左一3=-12,即2=2

9

當(dāng)

A-時(shí)

n2

此時(shí)2a—36與c共線且反向，不合題意.

綜上，左的取值范圍為(…，-加(43).

15.如圖，設(shè)P為△/8C內(nèi)一點(diǎn)，且2戸+2而+庁=0,貝ij&ABP：SAABC=

C

P

AB

【正確答案】I

設(shè)Z8的中點(diǎn)是。

因?yàn)閲?方=2而=-1?C,

所以麗=-J庁,

4

所以尸為。的五等分點(diǎn),

所以△回的面積為△N8C的面積的

16.在△/BC中，a=6A=60°,求3b+2c的最大值

【正確答案】2亞

由正弦定理知，煮=為=爲(wèi)

因?yàn)閍=GA=60°,

所以丄_=丄=餡=2

5KAsm8sinesin60=

所以b=2sin2?,c=2sinC,

所以3b+2c=6sin5+4sinC=6sin^+4sin(600+5)

=6sinB+4,號8sB+|sinB：

=8sin5+2^/Jcos8=2Vi?sin(B+0)9

其中tan8=

4

因?yàn)?。V0V3O。,00<B+6?<150°,

當(dāng)8+0=90。時(shí)，3〃+2c取得最大值，為2對.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知向量。=61—e2,b=4ei+3e2,其中ei=(l,0),C2=(0,1).

(1)試計(jì)算及|。+切的值;

(2)求向量a與b夾角的余弦值.

【正確答案】解(l)a=ei-e2=(l,0)-(0,1)=(1,-1),

b=4ei+3e2=4(l,0)+3(0,1)=(4,3),

協(xié)=4x1+3x(—1)=1,

\a+b\=^/(4+1)2+(3-1)2=<25+4=回.

(2)設(shè)a,b的夾角為0,

由fb=|a||b|cos。,

.八ab1一帀

??cosJ-麗=鏡乂5=帝

18.(12分)有一艘在靜水中速度大小為10km/h的船，現(xiàn)船沿與河岸成60。角的方向向河的

上游行駛.由于受水流的影響，結(jié)果沿垂直于河岸的方向駛達(dá)對岸.設(shè)河的兩岸平行,河水流

速均勻.

(1)設(shè)船相對于河岸和靜水的速度分別為"，匕河水的流速為明求”，匕w之間的關(guān)系式；

(2)求這條河河水的流速.

【正確答案】解(1)如圖,"是垂直到達(dá)河對岸方向的速度,v是與河岸成60。角的靜水中的船

速，

則v與“的夾角為30。.

由題意知三條有向線段構(gòu)成一個(gè)直角三角形，其中赤=丫萬？=",次=~BC=w.

由向量加法的三角形法則知，何=m+而，即.

⑵：|W=10km/h,而|近|=|礪|sin30°=10xT=5(km/h),

這條河河水的流速為5km/h,方向順著河岸向下.

19.(10分)設(shè)△/8C的內(nèi)角B,C的對邊分別為a,b,c,且加iM=^“cos8.

若b=3,sinC=2sirb4,求Q,c的值.

【正確答案】解???sinC=2sinJ,???由正弦定理，得c=2a,

由余弦定理得b2=a2-bc2-2accosB,

即9=Q2+4Q2-2"QCOSE，

解得〃=市，，c=2a=2正.

20.(12分)如圖，在△/8C中，點(diǎn)。在3c邊上，ZCAD=l，AC=1,cosZADB=-^.

A

(1)求sinC的值；

(2)若3。=5,求△48。的面積.

【正確答案】解⑴因?yàn)閏os//08=-*,

所以sin//O8=嚅.

又因?yàn)?口。=/，所以

4

-

所以sinC=sin^ZADB-^!=sinZADBcos5—cosZADBsin*x￡=5

(2)在△ZCO中，由誤=請虎，

ZX1

得“。=^^=試=2"

10

所以SAABD=累DBDsinNADB=幣x$x嚅=7.

21.(12分)設(shè)兩個(gè)向量a,b滿足。=(2,0),6=序,孝),

(1)求6方向的單位向量；

(2)若向量2ta+7b與向量a^tb的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

【正確答案】解⑴由已知"+6=(2,0)+(；,乎)=修，項(xiàng)，

所以心+句=

所以a+6=帀書，引，

即。+方方向的單位向量為:呼，鐺；

(2)由已知。為=1,同=2,|旬=1,

所以(2s+7b)(a+出)=刈+力+2於+7=2於+15/+7,由于兩向量的夾角