第21章一元二次方程常見易錯易混問題歸類人教版數(shù)學九年級上冊

第4招一元二次方程中常見易錯易混問題歸類九年級數(shù)學（上）極速提分法已知6是關(guān)于x的方程x2－(m＋2)·x＋2m＝0的一個實數(shù)根，并且這個方程的兩個實數(shù)根恰好是等腰△ABC的兩條邊的長，則△ABC的周長為多少？

例解題方法：本題考查了一元二次方程的解、解一元二次方程及三角形三邊的關(guān)系，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題關(guān)鍵．解：把x＝6代入方程得36－6(m＋2)＋2m＝0，解得m＝6，則原方程為x2－8x＋12＝0，解得x1＝2，x2＝6.由這個方程的兩個根恰好是等腰△ABC的兩條邊的長，可知：①當△ABC的腰長為6，底邊長為2時，△ABC的周長為6＋6＋2＝14；②當△ABC的腰長為2，底邊長為6時，因為2＋2＜6，不合題意，所以舍去．綜上所述，△ABC的周長為14.易錯1忽視二次項系數(shù)不為零的條件而致錯1.若關(guān)于x的方程(k－3)x|k|－1－x－2＝0是一元二次方程，求不等式kx－2k＋6≤0的解集．

錯解：由題意知|k|－1＝2，解得k＝±3.∴不等式為3x－6＋6≤0或－3x＋6＋6≤0，∴x≤0或x≥4.【點易錯】當方程是一元二次方程時，不僅要使未知數(shù)的最高次數(shù)是2，還要使二次項的系數(shù)不為0.本題易忽視二次項的系數(shù)k－3≠0這一條件，而導致錯解．2.將2y2－6y＋1進行配方．易錯2將多項式進行配方時與方程配方相混淆而致錯【點易錯】配方時，加上一次項系數(shù)一半的平方后，為了保持代數(shù)式的值不變，必須再減去一次項系數(shù)一半的平方，不能“只加不減”．3.【2023·清華附中模擬】已知關(guān)于x的方程k2x2＋(2k－1)x＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍．易錯3應用根的判別式求字母的取值范圍時忽視一元二次方程的隱含條件【診斷】對于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，隱含條件a≠0很容易被忽視，所以二次項系數(shù)含字母時，一定要考慮二次項系數(shù)不能為0.易錯4在方程兩邊同時除以含有未知數(shù)的式子，導致失根4.解方程：3(2x＋5)＝2x(2x＋5)．

【點易錯】5.已知關(guān)于x的一元二次方程x2－6x＋(2m＋1)＝0有實數(shù)根．(1)求m的取值范圍；解：根據(jù)題意，得Δ＝(－6)2－4(2m＋1)≥0，解得m≤4.易錯5利用根與系數(shù)的關(guān)系時未考慮“Δ”(2)如果方程的兩個實數(shù)根為x1，x2，且2x1x2＋x1＋x2≥20，求m的取值范圍．解：根據(jù)題意，得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，而2x1x2＋x1＋x2≥20，∴2(2m＋1)＋6≥20，解得m≥3.又∵m≤4，∴m的取值范圍為3≤m≤4.6.已知關(guān)于x的一元二次方程x2－(3k＋1)x＋2k2＋2k＝0.(1)求證：無論k取何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；證明：對于一元二次方程x2－(3k＋1)x＋2k2＋2k＝0，Δ＝(3k＋1)2－4(2k2＋2k)＝9k2＋6k＋1－8k2－8k＝k2－2k＋1＝(k－1)2≥0.∴無論k取何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根．易錯6忽視幾何圖形對方程根的要求(2)若等腰△ABC的一邊長a＝6，另兩邊長b，c恰好是這個方程的兩個根，求此三角形的另兩邊長．解：∵△ABC為等腰三角形，∴有a＝b＝6，a＝c＝6或b＝c三種情況．①當a＝b＝6或a＝c＝6時，可知x＝6為方程的一個根，∴62－6(3k＋1)＋2k2＋2k＝0，解得k＝3或k＝5.當k＝3時，方程為x2－10x＋24＝0，解得x＝4或x＝6，∴三角形的另兩邊長為4，6.當k＝5時，方程為x2－16x＋60＝0，解得x＝6或x＝10，∴三角形的另兩邊長為6，10.②當b＝c時，方程有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝0，即(k－1)2＝0，解得k1＝k2＝1，∴方程為x2－4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2，此時三角形三邊長為6，2，2，不滿足三角形三邊關(guān)系，舍去．綜上可知，三角形的另兩邊長為4，6或6，10.7.某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫降價4元，商場平均每天可多售出8件．易錯7忽略實際問題對方程根的要求(1)若商場平均每天銷售這種襯衫的盈利要達到1200元，每件襯衫應降價多少元？解：設(shè)每件襯衫應降價x元．根據(jù)題意，得(40－x)(20＋2x)＝1200.整理得x2－30x＋200＝0，解得x1＝20，x2＝10.因為要盡快減少庫存，所以x應取20.答：每件襯衫應降價20元．(2)每件襯衫降價多少元時，商場每天盈利最多？解：由(1)知(40－x)(20＋2x)＝－2x2＋60x＋800＝－2(x－15)2＋1250.因為－2(x－15)2≤0，所以當－2(x－15)2＝0，即x＝15時，－2(x－15)2＋1250的值最大．即(40－x)(20＋2x)有最大值，為1250.答：每件襯衫降價15元時，商場每天盈利最多．8.如圖，AO＝OB＝50cm，OC是一條射線，OC⊥AB，螞蟻甲由A點以2cm/s的速度向B點爬行，同時螞蟻乙由O點以3cm/s的速度沿OC方向爬行，在什么時刻，兩只螞蟻與O點組成的三角形的面積為450cm2?易錯8考慮問題不全面，出現(xiàn)漏解【錯因分析】此題考慮問題不夠全面，漏掉了螞蟻甲在OB上的情況．【點易錯】解動點