數(shù)學(xué)故事省公開課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

數(shù)學(xué)故事第1頁(yè)“±1”妙用桌上放著8只茶杯，全部杯口朝上，每次翻轉(zhuǎn)其中4只，只要翻轉(zhuǎn)兩次，就把它們?nèi)挤杀诔拢偃鐚?wèn)題中8只改為6只，每次依然翻轉(zhuǎn)其中4只，能否經(jīng)過(guò)若干次翻轉(zhuǎn)把它們?nèi)糠杀诔拢?/p>

請(qǐng)動(dòng)手試驗(yàn)一下．這時(shí)你會(huì)發(fā)覺(jué)經(jīng)過(guò)三次翻轉(zhuǎn)就能夠到達(dá)目標(biāo)．說(shuō)明以下：

用＋1表示杯口朝上，－1表示杯口朝下，這三次翻轉(zhuǎn)過(guò)程能夠簡(jiǎn)單地表示以下：

初始狀態(tài)：＋1，＋1，＋1，＋1，＋1，＋1

第一次翻轉(zhuǎn)：－1，－1，－1，－1，＋1，＋1

第二次翻轉(zhuǎn)：－1，＋1，＋1，＋1，－1，＋l

第三次翻轉(zhuǎn)：－1，－1，－1，－1，－1，－1第2頁(yè)“±1”妙用假如再將問(wèn)題中8只改為7只，能否經(jīng)過(guò)若干次翻轉(zhuǎn)（每次4只）把它們?nèi)糠杀诔?

幾經(jīng)試驗(yàn)，你將發(fā)覺(jué)，無(wú)法把它們?nèi)糠杀诔拢?/p>

是你“翻轉(zhuǎn)”能力差，還是根本無(wú)法完成?

“±1”將告訴你：不論你翻轉(zhuǎn)多少次，總是無(wú)法使這7只杯口朝下．

道理很簡(jiǎn)單．用＋1表示杯口朝上，－1表示杯口朝下，問(wèn)題就轉(zhuǎn)變成：“把7個(gè)＋1每次改變其中4個(gè)符號(hào)，若干次后能否把它們都變成－1？”考慮這7個(gè)數(shù)乘積，因?yàn)槊看味几淖?個(gè)數(shù)符號(hào)，所以它們乘積永遠(yuǎn)不變（即永為＋1），而全部杯口朝下時(shí)7個(gè)數(shù)乘積等于－1，這是不可能．第3頁(yè)“±1”妙用道理竟是如此簡(jiǎn)單，證實(shí)竟是如此巧妙，這要?dú)w功于“±1”語(yǔ)言．

中國(guó)象棋中馬走日字，在對(duì)弈時(shí)你發(fā)覺(jué)下面這種現(xiàn)象沒(méi)有？

馬自某個(gè)位置跳起，假如再想回到原來(lái)位置，一定經(jīng)過(guò)偶次步．

“±1”語(yǔ)言也可幫你證實(shí)這個(gè)結(jié)果：象棋盤共有9×10＝90個(gè)位置，相鄰位置用符號(hào)不一樣數(shù)（＋與－1）來(lái)表示（圖中全部實(shí)心圓點(diǎn)位置用＋1表示，余者用－1表示），那么象棋馬從任何一個(gè)位置，每走一步就要改變符號(hào)．就是說(shuō)，棋子馬要想不變符號(hào)，必須走偶步．而馬自某個(gè)位置跳起，再回到原來(lái)位置，符號(hào)不變，故得結(jié)論：馬自某個(gè)位置跳起，假如再想回到原來(lái)位置，一定經(jīng)過(guò)偶次步．第4頁(yè)阿凡提巧懲高利貸者一天，阿凡提來(lái)到一個(gè)集市，恰好遇見(jiàn)一個(gè)高利貸者在叫喊，“放金幣嘍！放金幣嘍！我金幣可是個(gè)寶，只要你把它埋在地里一天一夜，就會(huì)變成1000金幣?！卑⒎蔡幔骸拔医枰粋€(gè)金幣！”阿凡提決心處罰這個(gè)愚弄百姓，貪得無(wú)厭家伙，為民除害。高利貸者：“那你天天得還我1000個(gè)金幣。”

阿凡提：“好，一言為定。我將連續(xù)15天借金幣，第1天借1個(gè)金幣，以后天天都是前一天2倍。15天以后我還給你金幣，假如這15天之內(nèi)，你后悔了，那么我借金幣就不能還給你了?！?/p>

高利貸者一計(jì)算，馬上眉開眼笑，滿口答應(yīng)。前幾天，高利貸者還得意洋洋。可是不到15天，這個(gè)貪得無(wú)厭高利貸者就破產(chǎn)了。聰明同學(xué)，你知道他是怎樣破產(chǎn)嗎？假如他不破產(chǎn)，他又賠了多少金幣呢？阿凡提15天向他借金幣個(gè)數(shù)依次是：1（20）,2（21），4（22）,8（23）,16（24）,32（25）,64（26）……16384（215）這么，阿凡提借金幣一共是：1+2+4+8+…+16384=32767（個(gè)）。阿凡提15天應(yīng)該還給他金幣是：1000×15=15000（個(gè)），照這么計(jì)算，高利貸者還賠了17767個(gè)金幣。第5頁(yè)物以類聚與合并同類項(xiàng)

俗話說(shuō)“物以類聚”．意思是說(shuō)，同一個(gè)類型東西能夠聚集在一起．當(dāng)然，不一樣類型東西，就不能隨意聚集．比如，收拾房間時(shí)，書放在書架上，衣服放進(jìn)衣櫥，碗盤放在碗櫥……．不能把碗朝衣櫥里放，衣服堆到書架上，……到動(dòng)物園參觀，老虎與老虎關(guān)在一個(gè)籠子里，熊貓與熊貓關(guān)在另一個(gè)籠子里．不能把熊貓與老虎關(guān)在一起，不然熊貓要被老虎吃光了．這就是“物以類聚”．在數(shù)學(xué)里，也慣用到這種同類相聚思想．

以名數(shù)為例，3元和2元單位都是元，能夠加，等于5元．3元8角和2元3角也能夠加，但要注意元只能跟元加，角只能跟角加，元不能跟角加，答案應(yīng)該是6元l角．不一樣名數(shù)，假如能夠化為相同名數(shù)，必須化相同以后再加；假如不能化成同名數(shù)，就不能加．比如，3千克和6元表示不一樣量，這兩個(gè)單位不論怎樣也不能化為相同，所以不能相加．

第6頁(yè)整數(shù)加減法法則，為何要強(qiáng)調(diào)“數(shù)位對(duì)齊”？因?yàn)閿?shù)位對(duì)齊以后，同數(shù)位上數(shù)字單位相同，能夠相加減．一樣，小數(shù)加減法強(qiáng)調(diào)“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”，因?yàn)橐坏┬?shù)點(diǎn)對(duì)齊了，整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分?jǐn)?shù)位也都對(duì)齊了，于是便能夠相加減．

再看看分?jǐn)?shù)加減法．同分母分?jǐn)?shù)單位相同，能夠直接相加減；異分母分?jǐn)?shù)單位不一樣，不能直接相加減，必須先通分．通分實(shí)質(zhì)就是把不一樣單位分?jǐn)?shù)化成相同單位分?jǐn)?shù)．分?jǐn)?shù)單位相同，才能相加減．

現(xiàn)在，我們看看合并同類項(xiàng)問(wèn)題，這是代數(shù)式加減法基礎(chǔ)．3x2與5x2能相加，單位能夠看成是x2．3x2能夠了解為3個(gè)x2，5x2能夠了解為5個(gè)x2，合并起來(lái)應(yīng)該是8個(gè)x2，即3x2＋5x2＝8x2

．

同理，6ab減去4ab，能夠把單位看成是ab,6個(gè)ab減去4個(gè)ab，得2個(gè)ab，即6ab－4ab=2ab．

所以，對(duì)多項(xiàng)式加減法而言，同類項(xiàng)才能合并，不是同類項(xiàng)不能合并．總而言之，物以類聚，在進(jìn)行代數(shù)加減法時(shí)，要注意“同類”這個(gè)特點(diǎn)．物以類聚與合并同類項(xiàng)

第7頁(yè)靈感與數(shù)學(xué)靈感我國(guó)著名科學(xué)家錢學(xué)森說(shuō)：“靈感，也就是人在科學(xué)或藝術(shù)創(chuàng)作中高潮，突然出現(xiàn)、瞬時(shí)即逝短暫思維過(guò)程．”唯物論者也認(rèn)可靈感，但它不是上帝恩賜，而是人們?cè)趯?shí)踐活動(dòng)中逐步形成或培養(yǎng)出來(lái)一個(gè)不一樣常人高效率、大跨度創(chuàng)造性思維表現(xiàn)．靈感是擔(dān)心創(chuàng)造性活動(dòng)和長(zhǎng)久艱辛勞動(dòng)結(jié)果．?dāng)?shù)學(xué)靈感是人腦對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象結(jié)構(gòu)關(guān)系一個(gè)突發(fā)性領(lǐng)悟．在解答數(shù)學(xué)難題時(shí)，通常會(huì)碰到這么情況：盡管從多角度、用各種方法去進(jìn)行探索，但百思不得其解．可正在“山窮水盡疑無(wú)路”之際，靈感出現(xiàn)了，從而創(chuàng)造了“柳暗花明又一村”美境界．

靈感與創(chuàng)造思維、靈感與數(shù)學(xué)發(fā)覺(jué)終究有何聯(lián)絡(luò)？我們可看看下面幾位數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)靈感與數(shù)學(xué)發(fā)覺(jué)情況．

法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒，早就有把相互獨(dú)立代數(shù)與幾何結(jié)合起來(lái)愿望，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)期思索，但未找到適當(dāng)方法．1619年隨軍服務(wù)時(shí)他仍在思索．11月9日，在多瑙河畔諾伊堡，他幾天來(lái)整日沉迷在思索之中而不得其解，入睡后連作數(shù)夢(mèng)，夢(mèng)中迷迷糊糊地想到引入直角坐標(biāo)系方法．第二天，也即是11月10日清晨，醒后馬上將夢(mèng)中所得加以整理，終于創(chuàng)造了解析幾何學(xué)，笛卡爾取得了成功，但他醞釀時(shí)間為1617～1619年，約為兩年時(shí)間．

第8頁(yè)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家龐加萊在談到他發(fā)覺(jué)富克斯函數(shù)變換方法時(shí)回想說(shuō)：“1880年有一次我離開當(dāng)初居住卡昂去作一次由礦業(yè)學(xué)校主辦地質(zhì)考查旅行．旅途奔走使我忘記了我數(shù)學(xué)工作，抵達(dá)庫(kù)特塞斯后，我們乘公共馬車到各處去轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，正當(dāng)我跨上踏板瞬間，腦子里突然出現(xiàn)了一個(gè)想法，即我曾用來(lái)定義富克斯函數(shù)諸變換跟非歐幾何中諸變換是一致．”龐加萊回到住址后，馬上把這一結(jié)果加以證實(shí)．這是在長(zhǎng)時(shí)間擔(dān)心工作之后，思想放松時(shí)靈感突然閃現(xiàn)，是經(jīng)過(guò)了約一年時(shí)間苦思之后才取得成功．

被稱為數(shù)學(xué)王子高斯為證實(shí)某一算術(shù)定理，曾苦思冥想達(dá)兩年之久，以后突然得到一個(gè)想法，使他取得成功．高斯回想說(shuō)：“終于在兩天前我成功了……像閃電一樣，謎一下解開了．我自己也說(shuō)不清楚是什么導(dǎo)線把原先知識(shí)和我成功東西連接起來(lái)．”盡管解開這個(gè)謎想法是突然來(lái)，但高斯本人經(jīng)過(guò)兩年艱辛努力才為這個(gè)成功到來(lái)做好了準(zhǔn)備．

第9頁(yè)由以上對(duì)三位數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)靈感出現(xiàn)而造成數(shù)學(xué)發(fā)覺(jué)描述，能夠看出這種在長(zhǎng)時(shí)期連續(xù)勞動(dòng)后某時(shí)刻出現(xiàn)“突然領(lǐng)悟”是一個(gè)非邏輯高層次創(chuàng)造活動(dòng)，亦即靈感思維活動(dòng)．

靈感是不能靠偶然機(jī)遇、守株待兔式消極等候能夠得到．必須是執(zhí)著追求、鍥而不舍、百折不撓，才能有成功一天．所謂“觸景生情”“靈機(jī)一動(dòng)”“眉頭一皺，計(jì)上心來(lái)”，都是經(jīng)過(guò)長(zhǎng)久堅(jiān)持不懈地創(chuàng)造性勞動(dòng)而“偶然得之”．巴斯加說(shuō)：“機(jī)遇只偏愛(ài)有準(zhǔn)備頭腦．”恰恰道出了此中真諦．第10頁(yè)學(xué)數(shù)學(xué)要一絲不茍

我們常聽到同學(xué)說(shuō)：“老師，我這題只錯(cuò)了一個(gè)符號(hào)，怎么算全錯(cuò)？”或者說(shuō)：“小數(shù)點(diǎn)錯(cuò)了一位，為何扣那么多分？”看來(lái)，有些同學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科一個(gè)特點(diǎn)──準(zhǔn)確性，缺乏足夠認(rèn)識(shí)．一篇作文，主題明確，中心突出，構(gòu)思嚴(yán)謹(jǐn)，文字優(yōu)美，雖說(shuō)有一兩個(gè)錯(cuò)例字，是缺點(diǎn)，但也無(wú)傷大雅．仍不失為一篇好文章．?dāng)?shù)學(xué)則不然，不但解題思緒要正確，詳細(xì)解題過(guò)程也不能犯錯(cuò)，差之毫厘，往住失之千里．

這里介紹兩則真實(shí)故事．1962年，美國(guó)發(fā)射了一艘飛往金星“航行者一號(hào)”太空飛船．依據(jù)預(yù)測(cè)，飛船起飛44分以后，9800個(gè)太陽(yáng)能裝置會(huì)自動(dòng)開始工作；80天后電腦完成對(duì)航行矯正工作；10天以后，飛船就能夠圍繞金星航行，開始拍照．可是，出人意科是，飛船起飛不到四分鐘，就一頭栽進(jìn)大西洋里．這是什么原因呢？以后經(jīng)過(guò)詳細(xì)調(diào)查，發(fā)覺(jué)當(dāng)初在把資料輸入電腦時(shí)，有一個(gè)數(shù)據(jù)前面負(fù)號(hào)給遺漏了，這么就使得負(fù)數(shù)變成了正數(shù)，以致影響了整個(gè)運(yùn)算結(jié)果，使飛船計(jì)劃失?。粋€(gè)小小負(fù)號(hào)，竟使得美國(guó)航天局白白浪費(fèi)了一千萬(wàn)美元以及大量人力和時(shí)間．

第11頁(yè)從前，醫(yī)生常推薦兒童和康復(fù)病人多吃菠菜，聽說(shuō)它里面含有大量鐵質(zhì)，有養(yǎng)血、補(bǔ)血功效．可是以后，化學(xué)家在研究化肥對(duì)蔬菜有害作用時(shí)，無(wú)意中卻發(fā)覺(jué)，菠菜實(shí)際含鐵量并不像書上所講那么高，只有所宣傳數(shù)據(jù)十分之一！化