02-2005年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(全國卷2)及答案

數(shù)學（必修＋選修Ⅱ）試題第1頁（共4頁）2005年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試全國卷II（吉林、黑龍江、內(nèi)蒙、廣西）理科數(shù)學（必修＋選修Ⅱ）本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至9頁?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷注意事項：1.答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考試科目涂寫在答題卡上。2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。不能答在試題卷上。3.本卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。參考公式：如果事件、互斥，那么如果事件、相互獨立，那么如果事件在一次試驗中發(fā)生的概率是，那么次獨立重復試驗中恰好發(fā)生次的概率球的表面積公式其中表示球的半徑球的體積公式其中表示球的半徑一．選擇題函數(shù)的最小正周期是(A) (B) (C) (D)正方體中，、、分別是、、的中點．那么，正方體的過、、的截面圖形是(A)三角形 (B)四邊形 (C)五邊形 (D)六邊形函數(shù)的反函數(shù)是(A) (B)(C) (D)已知函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，則(A) (B) (C) (D)設(shè)、、、，若為實數(shù)，則(A) (B) (C) (D)已知雙曲線的焦點為、，點在雙曲線上且軸，則到直線的距離為(A) (B) (C) (D)銳角三角形的內(nèi)角、滿足，則有(A) (B) (C) (D)已知點，，．設(shè)的一平分線與相交于，那么有，其中等于(A)2 (B) (C) (D)已知集合，，則為(A)或 (B)或(C)或 (D)或點在平面上作勻速直線運動，速度向量(即點的運動方向與相同，且每秒移動的距離為個單位)．設(shè)開始時點的坐標為，則5秒后點的坐標為(A) (B) (C) (D)如果為各項都大于零的等差數(shù)列，公差，則(A) (B) (C) (D)將半徑為1的4個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里．這個正四面體的高的最小值為(A) (B) (C)(D)第Ⅱ卷注意事項：1.用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷中。2.答卷前將密封線內(nèi)的項目填寫清楚。3.本卷共10小題，共90分。二．填空題：本大題共有4小題，每小題4分，共16分．把答案填在題中橫線上．圓心為且與直線相切的圓的方程為_____________________．設(shè)為第四象限的角，若，則__________________．在由數(shù)字0,1,2,3,4,5所組成的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整除的數(shù)共有_____________個．下面是關(guān)于三棱錐的四個命題：①底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐．②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐．③底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐．④側(cè)棱與底面所成的角都相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐.其中，真命題的編號是______________．(寫出所有真命題的編號）三．解答題：本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)，求的的取值范圍．(本小題滿分12分)已知是各項為不同的正數(shù)的等差數(shù)列，、、成等差數(shù)列．又，．(Ⅰ)證明為等比數(shù)列；(Ⅱ)如果無窮等比數(shù)列各項的和，求數(shù)列的首項和公差．(注：無窮數(shù)列各項的和即當時數(shù)列前項和的極限)(本小題滿分12分)ABCDEFP甲、乙兩隊進行一場排球比賽，根據(jù)以往經(jīng)驗，單局比賽甲隊勝乙隊的概率為0.6．本場比賽采用五局三勝制，即先勝三局的隊獲勝，比賽結(jié)束．設(shè)各局比賽相互間沒有影響ABCDEFP(本小題滿分12分)如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，、分別為、的中點．(Ⅰ)求證：平面；(Ⅱ)設(shè)，求與平面所成的角的大?。?本小題滿分14分)、、、四點都在橢圓上，為橢圓在軸正半軸上的焦點．已知與共線，與共線，且．求四邊形的面積的最小值和最大值．(本小題滿分12分)已知，函數(shù)．(Ⅰ)當為何值時，取得最小值？證明你的結(jié)論；(Ⅱ)設(shè)在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍．參考答案一、選擇題123456789101112CDBBCCACACBC二、填空題13、14、15、19216、①④17、本小題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、不等式性質(zhì)和解法，考查分析問題的能力和運算能力，滿分12分。解：即解分三類①②③①②③求并集得的取值范圍是[18．本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本知識以及運用這些知識的能力，滿分12分。解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，依題意，由得即，得因當=0時，{an}為正的常數(shù)列就有當=時，,就有于是數(shù)列{}是公比為1或的等比數(shù)列（Ⅱ）如果無窮等比數(shù)列的公比=1，則當→∞時其前項和的極限不存在。因而=≠0，這時公比=，這樣的前項和為則S=由，得公差=3，首項==319、本小題考查離散型隨機變量分布列和數(shù)學期望等概念，考查運用概率知識解決實際問題的能力，滿分12分。解：單局比賽甲隊勝乙隊的概率為0.6，乙隊勝甲隊的概率為1－0.6=0.4比賽三局結(jié)束有兩種情況，甲隊勝3局或乙隊勝3局，因而=0.28比賽4局結(jié)束有兩種情況：前3局甲隊勝2局，第4局甲隊勝；或前3局中乙隊勝2局，第4局乙隊勝，因而比賽5局結(jié)束有兩種情況：前4局中甲隊勝2局，乙隊勝2局，第5局甲勝或乙勝，因而，所以的概率分布表如下3450.280.37440.3456所以的數(shù)學期望是E=3×0.28+4×0.3744+5×0.3456=4.065620、本小題主要考查直線與平面垂直，直線與平面所成角的有關(guān)知識及思維能力和空間想象能力，考查應(yīng)用向量知識解決數(shù)學問題的能力，滿分12分。ABABCDEFPHG(I)證明：連結(jié)EP∵PD⊥底面ABCD，DE在平面ABCD內(nèi)∴PD⊥DE，又CE=ED，PD=AD=BC∴Rt△BCE≌Rt△PDE∴PE=BE∵F為PB的中點∴EF⊥PB∵DA⊥AB由三垂線定理得PA⊥AB∴在Rt△PAB中PF=AF，又PE=BE=EA∴△EFP≌△EFA∴EF⊥FA∵PB、FA為平面PAB內(nèi)的相交直線∴EF⊥平面PAB(II)解：不妨設(shè)BC=1，則PD=AD=1，AB=，PA=，AC=∴△PAB為等腰直角三角形，且PB=2，F(xiàn)為其斜邊中點，BF=1且AF⊥PB∵PB與平面AEF內(nèi)兩條相交直線EF、AF都垂直∴PB⊥平面AEF連結(jié)BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，則GH∥平面AEF∠GAH為AC與平面AEF所成的角由△EGC∽△BGA可知EG=GB，EG=EB，AG=AC=由△EGH∽△EBF可知GH=BF=∴∠GAH=ABCDEABCDEFP方法二以D為坐標原點，DA的長為單位，建立如圖所示的直角坐標系。(I)證明：設(shè)E(，0,0)，其中>0，則C(2，0,0)，A(0,1，0)，B(2，1,0)，P(0,0，1)，F(xiàn)(，，)。，∴EF⊥PB，∴EF⊥AB又PB平面PAB，AB平面PAB，PB∩AB=B∴EF⊥平面PAB(II)解：由AB=BC得=，可得∴異面直線AC、PB所成的角為∴=0，PB⊥AF又PB⊥EF，EF、AF為平面AEF內(nèi)兩條相交直線∴PB⊥平面AEF∴AC與平面AEF所成的角為－即AC與平面AEF所成的角為。另法：（Ⅱ）解：建系，并設(shè)BC=1，則AB=，就有A（1，0，0）C（0，，0）P（0，0，1），B（1，，0），所以因為PA=，所以三角形PAB為等腰直角三角形，所以PB⊥AE又PB⊥EF，所以為平面AEF的法向量。設(shè)AC與平面AEF所成的角為則sin=cos〈〉=，所以，所求角為arcsin21、本小題主要考查橢圓和直線的方程與性質(zhì)，兩條直線垂直的條件、兩點間的距離了，不等式的性質(zhì)等基本知識及綜合分析能力，滿分14分解：如圖，由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點F(0,1)，且PQ⊥MN，直線PQ、NM中至少有一條存在斜率，不妨設(shè)PQ的斜率為K，又PQ過點F(0,1)，故PQ的方程為=+1將此式代入橢圓方程得(2+)+2－1=0設(shè)P、Q兩點的坐標分別為(，)，(，)，則QPNMFQPNMFO從而亦即(1)當≠0時，MN的斜率為－，同上可推得故四邊形面積令=得∵=≥2當=±1時=2，S=且S是以為自變量的增函數(shù)∴②當=0時，MN為橢圓長軸，|MN|=2，|PQ|=?！郤=|PQ||MN|=2綜合①②知四邊形PMQN的最大值為2，最小值為。另法：∵橢圓，。。。。①，故F（0，1）由，可得MN⊥PQ設(shè)直線MN的斜率存在且為k，（k≠0）則MN方程：y=kx+1。。。。。②PQ方程：y=。。。。③①②聯(lián)立消y并整理得可得①③聯(lián)立,同理可得所以,四邊形PMQN的面積S=則S=顯然當t(1,2)時函數(shù)ss遞減，當時函數(shù)s遞增所以當t=2時（即k=時）最小的面積為s=而最大面積為，（注：此時MN在y軸上，PQ在x軸上）22、本小題主要考查導數(shù)的概念和計算，應(yīng)用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運算能力，滿分12分。解：（I）對函數(shù)求導數(shù)得令得［+2(1－)