雞澤縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷

雞澤縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考

數(shù)學(xué)試題

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.已知復(fù)數(shù)2=上吧，則2的虛部是()

1+i

A.-1B.—iC.1D.i

2.下列各組向量中，可以作為基底的是()

A.方=(0,0),毛=(1,2)B.及=(-1.2),瓦=(5,7)

C.%=(3,5),與=(6,10)D.百=(2,—3),e^=(j,-|)

3.運(yùn)動員甲10次射擊成績(單位：環(huán))如下：7,8,9,7,4,8,9,9,7,2,則下列關(guān)于

這組數(shù)據(jù)說法不正確的是()

A.眾數(shù)為7和9B.平均數(shù)為7C.中位數(shù)為7D.方差為s?=4.8

4.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面4BCD是平行四邊形，己知同=Z，而=&,同=3

PE=^PD,則說=()

.1--*1_1_*1_*1-1--*1-1->1_->

A.-a--b-cB.-a--b+-cC.-a4--b+-cD.-a--b+-c

在平行六面體中，

5.ABCD48=3,AD=AAr=2,^BAD=90°,

4B44i=60。，cos^DAAi=-i,則BZ)i的長為()

A.3B.<13C.<71D.5

6.已知點(diǎn)P(l,2),經(jīng)過點(diǎn)P作直線1,若直線l與連接4(9,1),B(5,8)兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn),

則直線E的斜率/c的取值范圍為()

A?昵]B.(一%詞C,D.(-oo,-1]u[|,+oo)

7.已知m,n是不重合的直線，a,0,y是不重合的平面，則下列說法正確的是()

A.若a1y,/?1y,則a//￡

B.mca,nca,m//p,n//p,則a〃夕

C.若則zn〃a

D.?n〃a,rnu0,an0=n,則m〃n

8.袋內(nèi)有大小相同的3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中不放回地摸球，用4表示“第一次摸到白球”，

用B表示“第二次摸到白球”，用C表示“第一次摸到黑球”則下列說法正確的是()

A.A與B為互斥事件B.B與C為對立事件

C.4與B非相互獨(dú)立事件D.4與C為相互獨(dú)立事件

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.已知a,/?是兩個(gè)不重合的平面，1,m是兩條不同的直線，在下列說法正確的是()

A.若〃/a,a〃7,則〃//?

B.若a〃B，mua,則m〃0

C.若l〃a,mua,則〃/m

D.若aCi，=Z,m//l,則m至少與a,/?中一個(gè)平行

10.已知事件4,B,且P(4)=0.5,P(B)=0.2,則下列結(jié)論正確的是()

A.如果BU4,那么P(4B)=0.5

B.如果A與B互斥，那么P(4B)=0

C.如果4與B相互獨(dú)立，那么P(4B)=0

D.如果4與B相互獨(dú)立，那么PQ4瓦)=0.4

11.下列四個(gè)命題中真命題有()

A.直線y=x-2在y軸上的截距為一2

B.經(jīng)過定點(diǎn)4(0,2)的直線都可以用方程y=kx+2表示.

C.直線6久+my+14=0(meR)必過定點(diǎn)

D.已知直線3x+4y+9=0與直線6》+小、+14=0平行，則平行線間的距離是1

12.如圖，在邊長為2的正方形4BC0中，點(diǎn)M是邊CO的中點(diǎn)，將△40M沿4M翻折到△PAM,

連結(jié)PB,PC,在△ACM翻折到APAM的過程中，下列說法正確的是()

A.存在某一翻折位置，使得4"1PB

B.當(dāng)面PAM平面力BCM時(shí)，二面角P-4B-C的正切值為W

4

C.四棱錐P-ABCM的體積的最大值為T

D.棱PB的中點(diǎn)為N,貝IJCN的長為定值

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.在AABC中，內(nèi)角4,B,C對的邊分別為a,b,c,滿足asin2B=bs譏4,則8=,

若BC邊上的中線力。=1,則△A8C面積的最大值為.

14.已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線S4SB所成角的余弦值為］S4與圓錐底面所成角為45。，若

O

△S4B的面積為5/下，則該圓錐的側(cè)面積為.

15.平面a的一個(gè)法向量記=(0,1,—1),如果直線I_L平面a,則直線，的單位方向向量是亨=_.

16.已知mGR,動直線匕：x-my-2=0過定點(diǎn)4動直線小mx+y-4m+2V-3=0過

定點(diǎn)B,若直線。與已相交于點(diǎn)M(異于點(diǎn)4B),則AMAB周長的最大值為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.己知Zi=Tn?+《Ji,z2=(2m-3)+m&R,i為虛數(shù)單位，且Zi+z?是純虛數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)m的值；

(2)求zi?a的值.

18.如圖，在AOAB中，P為線段AB上一點(diǎn)，且加=x6?+y赤.

B

(1)若而=而，求x，y的值；

(2)若9=3而，|瓦?|=4，|礪|=2，且就與赤的夾角為60。，求次?四的值.

19.如圖，在三棱錐P-4BC中，PA底面ABC,PA=AB,/.ABC=60°,NBC4=90。，點(diǎn)。、

E分別在棱PB、PC上，且OE//BC.

(1)求證BC1平面H4C；

(2)當(dāng)。為PB的中點(diǎn)時(shí)，求4。與平面P4C所成角的正弦值.

20.直線1的方程為y=-(a+l)x+a-2(aeR).

(1)若/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求a的值；

(2)若/不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

21.某校為了解高一學(xué)生在五一假期中參加社會實(shí)踐活動的情況，抽樣調(diào)查了其中的100名學(xué)

生，統(tǒng)計(jì)他們參加社會實(shí)踐活動的時(shí)間(單位：小時(shí))，并將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制成如圖的頻率分布

直方圖.

(1)估計(jì)這100名學(xué)生在這個(gè)五一假期中參加社會實(shí)踐活動的時(shí)間的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)；

(2)估計(jì)這100名學(xué)生在這個(gè)五一假期中參加社會實(shí)踐活動的時(shí)間的上四分位數(shù)(結(jié)果保留兩

位小數(shù)).

22.如圖，在四棱錐P—4BCD中，4BCD是邊長為2的菱形，且4n4B=60°,PA=PD=

PB=3<2.E,F分別是BC,PC的中點(diǎn).

(1)證明：平面PAD1平面DEF.(2)求二面角A-PB-C的大小.

B

雞澤縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考

數(shù)學(xué)試卷【答案】

1.C2.F3.C4.45.A6.C7.O8.C9.BD10.BD11.AC12.BCD

13.g?14.15.(0,?,一號)或(0,-號，號)16.4+4V~2

2

17.解：(1)Z[4-z2=(rn+2m—3)+(迅+j+,)3

(m2+2m-3=0

Zi+Z2是純虛數(shù)，.?.■{1,1一0，則7n=1；

fe+2*°

(2)由⑴得Zi=1+5,z2=-l+ji,則豆=一1一夕，

18.解:(1)若希=PB，

貝廊=那+那，

故x=y=；?

(2)若方=3而，

13

而-+

4-044-

OP-AB

一3—A—.一

=(404+4OB)?(OB-04)

117

=--rOA2-^OA-OB+OB2

42y4

=-4x42-4x4x2xcos60°+7X22=-3.

424

19.(1)證明：在三棱錐P-4BC中，P4_L底面ABC,BCu底面ABC,則041BC,

ffU^BCA=90°,有4CJ.BC,^.PAQAC=A,PA,力Cu平面P4C,

所以BC，平面P4C.

(2)由(1)知，BC_L平面P4C,而DE〃BC,貝ijDEJ_平面P4C,

于是NZME是力D與平面PAC所成的角，

令4B=2a,在Rt/kPAB中，/.PAB=90°,PA=AB,。為PB的中點(diǎn)，貝I有40=gPB=

111

顯然。后為4PBC的中位線，于是DE=和C=^ABcos60°=扣，

在Rt△力DE中，sinND4E=^=^=孕，

ADV2a4

所以4。與平面P4C所成角的正弦值是C.

4

20.解：(1)當(dāng)I過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，a-2=0,解得：Q=2,滿足題意；

當(dāng)[不過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，即QW2時(shí)，

若Q+1=0,即Q=-1時(shí)，y=-3,不符合題意；

若a+l大0,即a4-l時(shí)，方程可整理為：三+言=1,

Q+1

^-7=a—2,解得：Q=0,

a+l

綜上所述：Q=0或2；

(2)當(dāng)Q+1=0,即a=-1時(shí)，Ly=-3,不經(jīng)過第二象限，滿足題意;

當(dāng)a+1。0,即aH—1時(shí)，方程為：y=—(a+l)x+a—2,

???°，解得：a<-l,

IQ—240

綜上所述：a的取值范圍為：(一8,-1].

21.解：(1)由頻率分布直方圖可看出最高矩形底邊上的中點(diǎn)值為20,故眾數(shù)是20；

由(0.02+0.06+0.075+a+0.025)x4=1,解得a=0.07,

???(0.02+0.06)x4=0.32,且(0.02+0.06+0.075)x4=0.62,

中位數(shù)位于18?22之間，設(shè)中位數(shù)為X,

.=蓊需，解得工=18+后=20.4,故中位數(shù)是20.4;

ZZ-IoU.oZ-U.5Z□

平均數(shù)為(0.02X12+0.06X16+0.075X20+0.07X24+0.025x28)x4=20.32;

(2)上四分位數(shù)即為75百分位數(shù)，

X-.-(0.02+0.06+0.075)x4=0.62,

(0.02+0.06+0.075+0.07)x4=0.9,

???上四分位數(shù)位于22~26之間，設(shè)上四分位數(shù)為y,

則點(diǎn)=著修,解得》=22+畀23.86.

22.(1)證明：取40的中點(diǎn)G,連接PG,BG,BD,

因?yàn)镻A=PD,所以PG1AD,

在A/IBD中，AB=AD=2,ADAB=60",

所以△ABD為等邊三角形，所以BGJ.4。，

因?yàn)锽GCPG=G,BG、PGa^PBG,

所以4D_L平面PBG,

因?yàn)镋,F分別是BC,PC的中點(diǎn)，所以尸B〃EF,

又PB<t平面。E尸，EFu平面DEF,

所以PB〃平面DEF,

同理可證GB〃平面DEF,