安徽省安慶市桐城中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期開學(xué)檢測數(shù)學(xué)試題

桐城中學(xué)2023～2024學(xué)年度下學(xué)期高一開學(xué)檢測數(shù)學(xué)試題（考試總分：150分考試時(shí)長：120分鐘）一、單選題（本題共計(jì)8小題，總分40分）1.設(shè)集合,則集合中元素的個(gè)數(shù)是A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，∴當(dāng)x=0，y分別取0，1，2時(shí)，x﹣y的值分別為0，﹣1，﹣2；當(dāng)x=1，y分別取0，1，2時(shí)，x﹣y的值分別為1，0，﹣1；當(dāng)x=2，y分別取0，1，2時(shí)，x﹣y的值分別為2，1，0；∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的個(gè)數(shù)是5個(gè)．故選C．2.已知實(shí)數(shù)集滿足條件:若，則，則集合中所有元素的乘積為（）A.1 B. C. D.與的取值有關(guān)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，遞推出集合A中所有元素，可得答案．【詳解】由題意，若，，，，，綜上，集合.所以集合A中所有元素的乘積為.故選：A.3.已知，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用兩角和的正切公式求出，再由兩角和的正弦公式、二倍角公式及同角三角函數(shù)函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，最后代入計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋獾没?，又，?dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；綜上可得.故選：D4.設(shè)函數(shù)，則A.奇函數(shù)，且在（0,1）上是增函數(shù) B.奇函數(shù)，且在（0,1）上是減函數(shù)C.偶函數(shù)，且在（0,1）上是增函數(shù) D.偶函數(shù)，且在（0,1）上是減函數(shù)【答案】A【解析】【詳解】試題分析：由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)?，解得，又，所以函?shù)的奇函數(shù)，由，令，又由，則，即，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在上增函數(shù)，故選A.考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用，其中解答中涉及到函數(shù)的奇偶性的判定、函數(shù)的單調(diào)性的判定與應(yīng)用、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力，本題的解答中確定函數(shù)的定義域是解答的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.5.已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),滿足.若，則A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】分析：先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及對稱性確定函數(shù)周期，再根據(jù)周期以及對應(yīng)函數(shù)值求結(jié)果.詳解：因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，所以,因此，因?yàn)?，所以，，從而，選C.點(diǎn)睛：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．6.定義在上的函數(shù)滿足，對任意的，，，恒有，則關(guān)于x的不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，由題設(shè)及單調(diào)性和奇偶性的知識(shí)易得為奇函數(shù)，且在上為增函數(shù)，不等式等價(jià)于，即，最后利用單調(diào)性和奇偶性列出不等式組求解即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)閷θ我獾模?，，恒有，所以函?shù)在上為增函數(shù)，則在上為增函數(shù)，又，而，所以，所以為奇函數(shù)，綜上，為奇函數(shù)，且在上為增函數(shù)，所以不等式等價(jià)于，即，亦即，可得，解得.故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是合理構(gòu)造函數(shù)，從而得出新函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，最后列出不等式組進(jìn)行求解.7.設(shè)，，若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】設(shè)：的解集為A，所以A={x|2≤x＜0或0＜x≤2},設(shè)：的解集為B，所以B={x|m≤x≤m+1},由題知p是q的必要不充分條件，即得B是A的真子集，所以有綜合得m∈，故選D.8.對于定義在上的函數(shù)，若存在正常數(shù)、，使得對一切均成立，則稱是“控制增長函數(shù)”.在以下四個(gè)函數(shù)中：①；②；③；④.是“控制增長函數(shù)”的有（）個(gè)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】對于①，即對一切恒成立，不存在滿足條件的正常數(shù)、，所以，函數(shù)不是“控制增長函數(shù)”；對于②，對一切恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，所以，函數(shù)為“控制增長函數(shù)”；對于③，當(dāng)且為任意正實(shí)數(shù)時(shí)，恒成立，所以，函數(shù)是“控制增長函數(shù)”；對于④，恒成立，即，所以，函數(shù)是“控制增長函數(shù)”.【詳解】對于①，可化為，即對一切恒成立，由函數(shù)的定義域?yàn)榭芍淮嬖跐M足條件的正常數(shù)、，所以，函數(shù)不是“控制增長函數(shù)”；對于②，若函數(shù)為“控制增長函數(shù)”，則可化為，∴對一切恒成立，又，若成立，則，顯然，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，所以，函數(shù)為“控制增長函數(shù)”；對于③，∵，∴，當(dāng)且為任意正實(shí)數(shù)時(shí)，恒成立，所以，函數(shù)是“控制增長函數(shù)”；對于④，若函數(shù)是“控制增長函數(shù)”，則恒成立，∵，若，即，所以，函數(shù)“控制增長函數(shù)”.因此，是“控制增長函數(shù)”的序號是②③④.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：類似這種存在性問題的判斷，常用的方法有：（1）特例說明存在性；（2）證明它不存在；（3）證明它存在.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法解答.二、多選題（本題共計(jì)4小題，總分20分）9.已知正數(shù)x，y，z滿足，則下列說法中正確的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】將已知條件轉(zhuǎn)化為對數(shù)的形式，利用對數(shù)運(yùn)算、商比較法、基本不等式等指數(shù)對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】正數(shù)x，y，z滿足，設(shè)，則，，．對于A，，故A正確；對于B，，，，∵，∴，∵，∴，∴，故B錯(cuò)誤；對于C，由（），兩邊平方，可得，故C正確；對于D，由，可得（），故D正確．故選：ACD10.若“，使得成立”是假命題，則實(shí)數(shù)可能的值是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】由題意可知，命題“，成立”，利用參變量分離法結(jié)合基本不等式可求得的取值范圍，由此可得結(jié)果.【詳解】由題意可知，命題“，成立”，所以，，可得，當(dāng)時(shí)，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，.故選：AB.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.11.衢州市柯城區(qū)溝溪鄉(xiāng)余東村是中國十大美麗鄉(xiāng)村，也是重要的研學(xué)基地，村口的大水車，是一道獨(dú)特的風(fēng)景.假設(shè)水輪半徑為4米（如圖所示），水輪中心O距離水面2米，水輪每60秒按逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，如果水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中）開始計(jì)時(shí)，則（）A.點(diǎn)P第一次達(dá)到最高點(diǎn)，需要20秒B.當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)155秒時(shí)，點(diǎn)P距離水面2米C.在水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有15秒的時(shí)間，點(diǎn)P距水面超過2米D.點(diǎn)P距離水面的高度h（米）與t（秒）的函數(shù)解析式為【答案】ABD【解析】【分析】先根據(jù)題意求出點(diǎn)P距離水面的高度h（米）與t（秒）的函數(shù)解析式，再從解析式出發(fā)求解ABC選項(xiàng).【詳解】如圖所示，過點(diǎn)O作OC⊥水面于點(diǎn)C，作OA平行于水面交圓于點(diǎn)A，過點(diǎn)P作PB⊥OA于點(diǎn)B，則因?yàn)樗喢?0秒按逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，故轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為（），且點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中）開始計(jì)時(shí)，t（秒）后，可知，又水輪半徑為4米，水輪中心O距離水面2米，即m，m，所以，所以，因?yàn)閙，所以，故，D選項(xiàng)正確；點(diǎn)P第一次達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)，令，解得：（s），A正確；令，解得：，，當(dāng)時(shí)，（s），B選項(xiàng)正確；，令，解得：，故有30s的時(shí)間點(diǎn)P距水面超過2米，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；故答案為：ABD12.已知函數(shù)，．若實(shí)數(shù)a，b（a，b均大于1）滿足，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減 B.函數(shù)的圖像關(guān)于中心對稱C. D.【答案】BD【解析】【分析】A：求f(x)定義域和奇偶性，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可判斷f(x)單調(diào)性；B：f(x)向右平移一個(gè)單位得到g(x)，據(jù)此即可判斷g(x)對稱中心；C：根據(jù)g(x)關(guān)于對稱化簡，再結(jié)合g(x)單調(diào)性得a與b的大小關(guān)系和范圍，由此可判斷和的大小關(guān)系；D：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性即可判斷．【詳解】對于A，，上恒成立，定義域?yàn)?，即的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，，為奇函數(shù)，函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，，，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；對于B，，，函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故B正確；對于C，函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，，，，，相當(dāng)于向右平移1個(gè)單位，和單調(diào)性相同，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，，故C錯(cuò)誤；對于D，令，，令，則在上單調(diào)遞增，，，在上單調(diào)遞減，，，，故D正確．故選:BD.三、填空題（本題共計(jì)4小題，總分20分）13.若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開_______【答案】【解析】【分析】由的取值范圍求出的取值范圍，再令，求出的范圍即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，所以，所以，即，則，即，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：14.已知，，且在區(qū)間上有最小值，無最大值，則______.【答案】【解析】【分析】由題意可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，再根據(jù)在區(qū)間上有最小值，無最大值，可得，由此求得的值．【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，y有最小值，即，則，所以.因?yàn)樵趨^(qū)間上有最小值，無最大值，所以，即，令，得.故答案為：15.已知實(shí)數(shù)，，滿足，則的最大值為________【答案】【解析】【分析】設(shè)，則利用基本不等式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?，令，解得或（舍去），因此，即，?dāng)且時(shí)取等號，故的最大值為.故答案為：16.已知函數(shù),當(dāng)時(shí)，設(shè)的最大值為，則的最小值為__________．【答案】【解析】【詳解】設(shè)，則，由于，則，所以將以上三式兩邊相加可得，即，應(yīng)填答案．點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)在于分析函數(shù)的最大值是如何取得的，在一個(gè)就是如何構(gòu)造絕對值不等式使得問題成立．求解時(shí)充分借助題設(shè)條件，先分出函數(shù)的最大值只有在中產(chǎn)生，如果直接求其最大值則很難奏效，這里是運(yùn)用絕對值不等式的性質(zhì)及不等式取等號的條件，也就是等且僅當(dāng)時(shí)取等號，即取等號，這是解答本題的關(guān)鍵，也是解答本題的難點(diǎn)．四、解答題（本題共計(jì)6小題，總分70分）17.已知全集，集合，集合.（1）若，求和；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）={x∣x≤?3或x≥5}；=?；（2）?1≤a≤.【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式的解法化簡集合A、B,利用集合的基本運(yùn)算即可算出結(jié)果；（2）因?yàn)?，所以，對集合分等于空集和不等于空集兩種情況討論，求出取值范圍．【詳解】（1）若，則集合，或，若，則集合，（2）因?yàn)?，所以，①?dāng)時(shí)，，解，②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，又由（1）可知集合，，解得，且，綜上所求，實(shí)數(shù)的取值范圍為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的基本運(yùn)算，考查了一元二次不等式的解法，是基礎(chǔ)題．18.（1）已知函數(shù)，求函數(shù)的值域.（2）已知函數(shù)，，求函數(shù)的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）令，利用換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）將函數(shù)變形為，結(jié)合的范圍及正切函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】（1），令，因?yàn)?，所以，所以，所以，且，令，，顯然在上單調(diào)遞減，又，，所以函數(shù)在的值域?yàn)?（2）由，則，，所以，因?yàn)椋?，所以函?shù)在上的值域?yàn)?19.（1）已知，求的最大值.（2）已知且，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）令，把不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合基本不等式，即可求解；（2）令，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合柯西不等式和基本不等式，即可求解.【詳解】解：（1）由題意，令，解得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，所以的最大值為.（2）由題意，令，可得，因?yàn)?，可得，即，又由柯西不等式，可得，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的最大值為.20.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)，且，求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)解析式為，解不等式，可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求得，求得、的值，由可求得的取值范圍，結(jié)合正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】解：（1）由題意可得，所以，，，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由題意及（1）可知，因?yàn)?，，又，且，所以，，則，則，，所以，所以，則，即在區(qū)間上的取值范圍為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：三角函數(shù)圖象與性質(zhì)問題的求解思路：（1）將函數(shù)解析式變形為或的形式；（2）將看成一個(gè)整體；（3）借助正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)（如定義域、值域、最值、周期性、對稱性、單調(diào)性等）解決相關(guān)問題.21.定義在上的函數(shù)滿足對任意的x，，都有，且當(dāng)時(shí)，．（1）求證：函數(shù)是奇函數(shù)；（2）求證：在上是減函數(shù)；（3）若，對任意，恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）.【解析】【分析】（1）利用賦值法以及奇函數(shù)的定義進(jìn)行證明.（2）根據(jù)已知條件，利用單調(diào)性的定義、作差法進(jìn)行證明.（3）把恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題進(jìn)行處理，利用單調(diào)性、一次函數(shù)進(jìn)行處理.【小問1詳解】令，，得，所以．令，得，即，所以函數(shù)是奇函數(shù)．【小問2詳解】設(shè)，則，所以．因?yàn)?，，，所以，即，所以．又，所以，所以，所以，即．所以在上是減函數(shù)．【小問3詳解】由（2）知函數(shù)在上是減