2024屆江蘇省南通市高三第二次適應(yīng)性調(diào)研數(shù)學(xué)試題（含答案）

年高考適應(yīng)性考試（二）數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.1.的值為（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.5 C. D.23.若，則等于（）A.49 B.55 C.120 D.1654.已知對(duì)于任意，都有，且則（）A.4 B.8 C.64 D.2565.已知函數(shù)（）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為（）A. B. C. D.6.某同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中的成績(jī)是班級(jí)第三名，成績(jī)處于第90百分位數(shù)，則該班級(jí)的人數(shù)可能為（）A.15 B.25 C.30 D.357.已知曲線與曲線在第一象限交于點(diǎn)，在處兩條曲線的切線傾斜角分別為，，則（）A. B. C. D.8.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，，分別為棱，，的中點(diǎn)，平面截正方體外接球所得的截面面積為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.9.已知向量在向量方向上的投影向量為，向量，且與夾角，則向量可以為（）A. B. C. D.10.已知橢圓（）的左，右焦點(diǎn)分別為，，上，下兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，，的延長(zhǎng)線交于，且，則（）A.橢圓的離心率為 B.直線的斜率為C.為等腰三角形 D.11.某農(nóng)科所針對(duì)耕種深度（單位：cm）與水稻每公頃產(chǎn)量（單位：t）的關(guān)系進(jìn)行研究，所得部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：耕種深度/cm81012141618每公頃產(chǎn)量/t681112已知，用最小二乘法求出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程：，，，數(shù)據(jù)在樣本，的殘差分別為，.（參考數(shù)據(jù)：兩個(gè)變量，之間的相關(guān)系數(shù)為，參考公式：，，）則（）A. B. C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，當(dāng)時(shí)，_________.13.已知二面角為直二面角，，，，，則與，所成的角分別為，，與所成的角為___________.14.已知拋物線，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則線段中點(diǎn)的軌跡方程為__________.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答過程寫出文字說明、證明過程或者演算過程.15.（本小題滿分13分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，.（1）求，，并證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求.16.（本小題滿分15分）已知函數(shù)，，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若且恒成立，求的最小值.17.（本小題滿分15分）某班組建了一支8人的籃球隊(duì)，其中甲、乙、丙、丁四位同學(xué)入選，該班體育老師擔(dān)任教練.（1）從甲、乙、丙、丁中任選兩人擔(dān)任隊(duì)長(zhǎng)和副隊(duì)長(zhǎng)，甲不擔(dān)任隊(duì)長(zhǎng)，共有多少種選法？（2）某次傳球基本功訓(xùn)練，體育老師與甲、乙、丙、丁進(jìn)行傳球訓(xùn)練，老師傳給每位學(xué)生的概率都相等，每位學(xué)生傳球給同學(xué)的概率也相等，學(xué)生傳給老師的概率為.傳球從老師開始，記為第一次傳球，前三次傳球中，甲同學(xué)恰好有一次接到球且第三次傳球后球回到老師手中的概率是多少？18.（本小題滿分17分）已知三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，為的重心，.（1）求證：；（2）已知，平面，且平面.①求證：；②求與平面所成角的正弦值.19.（本小題滿分17分）已知雙曲線的漸近線為，左頂點(diǎn)為.（1）求雙曲線的方程；（2）直線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交雙曲線于，，直線，分別交于，，若，，，均在圓上，①求的橫坐標(biāo)；②求圓面積的最小值.【參考答案】一、單選題1.A2.C3.D4.D5.B6.B7.A8.A二、多選題9.AD10.ACD11.ABD三、填空題12.1 13. 14.四、解答題15.（1）當(dāng)時(shí)，由條件得，所以.當(dāng)時(shí)，由條件得，所以.因?yàn)椋裕ǎ?，兩式相減得：，即，所以，從而數(shù)列為等差數(shù)列.（2）由（1）知，與（1）類似，可證：，，…，成等差數(shù)列，所以.16.（1）（），當(dāng)時(shí)，由于，所以恒成立，從而在上遞增；當(dāng)時(shí)，，；，，從而在上遞增，在遞減.（2）令，要使恒成立，只要使恒成立，也只要使.，由于，，所以恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，，解得：，所以的最小值為.17.（1）法一先選出隊(duì)長(zhǎng)，由于甲不擔(dān)任隊(duì)長(zhǎng)，方法數(shù)為；再選出副隊(duì)長(zhǎng)，方法數(shù)也是，故共有方法數(shù)為（種）.方法二先不考慮隊(duì)長(zhǎng)人選對(duì)甲的限制，共有方法數(shù)為（種）；若甲任隊(duì)長(zhǎng)，方法數(shù)為，故甲不擔(dān)任隊(duì)長(zhǎng)的選法種數(shù)為（種）答：從甲、乙、丙、丁中任選兩人分別擔(dān)任隊(duì)長(zhǎng)和副隊(duì)長(zhǎng)，甲不擔(dān)任隊(duì)長(zhǎng)的選法共有9種.（2）①若第一次傳球，老師傳給了甲，其概率為；第二次傳球甲只能傳給乙、丙、丁中的任一位同學(xué)，其概率為；第三次傳球，乙、丙、丁中的一位傳球給老師，其概率為，故這種傳球方式，三次傳球后球回到老師手中的概率為：.②若第一次傳球，老師傳給乙、丙、丁中的任一位，其概率為，第二次傳球，乙、丙、丁中的一位傳球給甲，其概率為，第三次傳球，甲將球傳給老師，其概率為，這種傳球方式，三次傳球后球回到老師手中的概率為.所以，前三次傳球中滿足題意的概率為：.答：前三次傳球中，甲同學(xué)恰好有一次接到球且第三次傳球后球回到老師手中的概率是.18.（1）連交于，連.由于為的重心，所以為的中點(diǎn).在三棱柱中，因?yàn)?，，，所以，從?由于為的中點(diǎn)，所以，，又，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)椋?（2）①∵，，∴為正三角形；同理，也為正三角形，∴，從而三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，該四面體為正四面體，由于為的重心，∴平面，又平面，所以.②設(shè)的重心為，，且，在平面內(nèi)，過作，連，則平面.以為原點(diǎn)，以，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系.，所以，，，，，所以.設(shè)，與平面所成的角為，則，所以，因?yàn)槠矫?，所以設(shè)，由①知：，從而存在實(shí)數(shù)，使，所以，解得：，，，從而.，令，，令，.19.（1）因?yàn)殡p曲線的漸近線關(guān)于坐標(biāo)軸及原點(diǎn)對(duì)稱，又頂點(diǎn)在軸上，可設(shè)雙曲線的方程為（，），從而漸近線方程為：，由題條件知：.因?yàn)殡p曲線的左頂點(diǎn)為，所以，，雙曲線的方程為：.（2）①，設(shè)直線的方程為：，將代入方程：，得：，當(dāng)且時(shí)，設(shè)，，則，.設(shè)直線得傾斜角為，不妨設(shè)，則，由于，，，四點(diǎn)共圓知：，所以直線的傾斜角為，.直線的方程為：，令，則，從而，所以，又，得：，，又，代入上