1.1.4等邊三角形的判定教案-北師大版數(shù)學(xué)八年級下冊

第4課時等邊三角形的判定●置疑導(dǎo)入問題1：等邊三角形作為一種特殊的等腰三角形，具有哪些性質(zhì)呢？等邊三角形的三條邊相等，三個角相等，每個內(nèi)角都等于60°.問題2：(1)具備什么條件的三角形是等邊三角形？(2)具備什么條件的等腰三角形是等邊三角形呢？【教學(xué)與建議】教學(xué)：開門見山，利用問題直接導(dǎo)入新課．建議：提出問題，讓學(xué)生自由發(fā)言，教師適當補充．●復(fù)習(xí)導(dǎo)入復(fù)習(xí)等腰三角形，提出問題：(1)等腰三角形的定義是什么？(2)等腰三角形的性質(zhì)中“三線合一”指哪三線？試著畫出來．(3)等邊三角形的“三線合一”中的線有幾條，每條都能把三角形分成兩個具有什么特征的三角形，分成的三角形的邊有何關(guān)系？【教學(xué)與建議】教學(xué)：采用“復(fù)習(xí)舊知識，誘導(dǎo)新內(nèi)容”導(dǎo)入課題．建議：學(xué)生口答后教師總結(jié)等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)．◎命題角度1等邊三角形的判定三條邊相等的三角形，三個角都是60°的三角形，有一個角是60°的等腰三角形均是等邊三角形，根據(jù)題意靈活運用．【例1】下列三角形：①有兩個角等于60°；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個外角(每個頂點外角)都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有__①②③④__．(填序號)【例2】如圖，AC與BD相交于點O.若OA＝OB，∠A＝60°，且AB∥CD.求證：△OCD是等邊三角形．證明：∵OA＝OB，∠A＝60°，∴∠B＝∠A＝60°.又∵AB∥CD，∴∠C＝∠A＝60°，∠D＝∠B＝60°，∴∠COD＝∠D＝∠C＝60°，∴△OCD是等邊三角形．◎命題角度2含30°角的直角三角形的應(yīng)用在直角三角形中，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半，主要用于解決直角三角形中的計算和證明問題．【例3】如圖，∠B＝90°，AB＝6cm，∠BAC＝30°，D為BC延長線上一點，AC＝DC，則AD＝__12__cm.eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例3題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例4題圖）))【例4】如圖所示是某超市自動扶梯的示意圖，大廳兩層之間的距離h＝6.5m，自動扶梯的傾斜角為30°.若自動扶梯運行速度v＝0.5m/s，則顧客乘自動扶梯上一層樓的時間為__26__s.◎命題角度3等腰三角形性質(zhì)與30°角定理的綜合應(yīng)用把等腰三角形的性質(zhì)的等邊對等角、“三線合一”，與30°角定理結(jié)合考查，檢驗學(xué)生對定理的熟練及靈活應(yīng)用程度．【例5】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D在線段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3eq\r(3)，則BD的長度為__2eq\r(3)__．eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例5題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例6題圖）))【例6】如圖，已知∠AOB＝60°，點P在邊OA上，OP＝20，點M，N在邊OB上，PM＝PN.若MN＝4，則OM的長度為(D)A．3B．4C．6D．8◎命題角度4等邊三角形與30°角定理的綜合運用當在等邊三角形中出現(xiàn)垂直條件時，結(jié)合等邊三角形的內(nèi)角為60°轉(zhuǎn)化成含30°角的直角三角形，再利用其邊長間的關(guān)系進行計算即可．【例7】如圖，△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分別為D，E.若AB＝8cm，則BD＝__4__cm，BE＝__2__cm.eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例7題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例8題圖）))【例8】如圖，等邊三角形ABC中，AD＝BD，過點D作DF⊥AC于點F，過點F作FE⊥BC于點E，若AF＝4，則線段BE的長為__10__．高效課堂教學(xué)設(shè)計1．理解等邊三角形的判定定理及其證明，理解含有30°角的直角三角形的性質(zhì)定理及其證明．2．能利用等邊三角形的兩個判定定理解決問題．▲重點等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明及含30°角的直角三角形的性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)與證明．▲難點含30°角的直角三角形的性質(zhì)定理的探索與證明．◆活動1創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課(課件)欣賞幾組圖片(多媒體展示)：eq\o(\s\up7(),\s\do5(注意行人))eq\o(\s\up7(),\s\do5(注意兒童))eq\o(\s\up7(),\s\do5(注意信號燈))eq\o(\s\up7(),\s\do5(注意危險))同學(xué)們，這幾幅圖是我們生活中常見的交通安全警示標志．(1)圖中的三角形都是__等邊__三角形．(2)等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系是__等邊三角形是特殊的等腰三角形__．(3)等邊三角形的特點是三條邊相等、三個角相等、三線合一．一個三角形滿足什么條件時是等邊三角形？這節(jié)課讓我們一起來學(xué)習(xí)等邊三角形的判定定理及證明．◆活動2實踐探究交流新知【探究1】等邊三角形的判定方法問題1：一個三角形滿足什么條件時就是等邊三角形？問題2：一個等腰三角形滿足什么條件時是等邊三角形？問題3：你能證明你的結(jié)論嗎？定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形．已知：如圖，在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C.求證：△ABC是等邊三角形．證明：∵∠B＝∠C，∴AC＝AB.∵∠A＝∠C，∴BC＝AB，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等邊三角形．定理2：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．方法一：已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°.求證：△ABC是等邊三角形．證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠A＝60°，∴∠B＝∠C＝eq\f(180°－60°,2)＝60°，∴∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等邊三角形．方法二：已知：在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°.求證：△ABC是等邊三角形．證明：∵AB＝AC，∠B＝60°，∴∠C＝∠B＝60°.∴∠A＝180°－60°×2＝60°，∴∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等邊三角形．【歸納】等邊三角形的判定定理：定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形．定理2：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．名稱性質(zhì)判定等邊三角形三條邊都相等三條邊都相等的三角形是等邊三角形三個角都是60°三個角都相等的三角形是等邊三角形有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形【探究2】含30°角的直角三角形的性質(zhì)問題：請同學(xué)們用兩個含30°角的全等三角尺拼成一個三角形．你能拼成怎樣的三角形？能拼出一個等邊三角形嗎？因此你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？說明理由．發(fā)現(xiàn)：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．已知：如圖，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∠A＝30°.求證：BC＝eq\f(1,2)AB.證明：如圖，延長BC至點D，使CD＝BC，連接AD.∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.∵AC＝AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)，∴AB＝AD(全等三角形的對應(yīng)邊相等)，∴△ABD是等邊三角形(有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形)．∴BC＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(1,2)AB.定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．◆活動3開放訓(xùn)練應(yīng)用舉例【例1】如圖，在△ABC中，D為AC邊上的一點，DE⊥AB于點E，DE的反向延長線交BC的延長線于點F，CD＝CF，且∠F＝30°.求證：△ABC是等邊三角形．【方法指導(dǎo)】由CD＝CF，可得∠CDF＝∠F，從而得到∠ADE＝∠F，又由DE⊥AB，易得∠A＝∠B，∠B＝60°，即可證明△ABC是等邊三角形．證明：∵CD＝CF，∴∠CDF＝∠F.又∵∠CDF＝∠ADE，∴∠ADE＝∠F.∵DE⊥AB，∴∠A＋∠ADE＝90°，∠B＋∠F＝90°，∴∠A＝∠B(等角的余角相等)，∴△ABC是等腰三角形(等角對等邊).又∵∠F＝30°，∴∠B＝90°－∠F＝60°，∴△ABC是等邊三角形(有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形).【例2】求證：如果等腰三角形的底角為15°，那么腰上的高是腰長的一半．【方法指導(dǎo)】這是一道文字敘述題，首先把它用已知、求證的形式轉(zhuǎn)化成圖形語言和符號語言．觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)在△ABC中，AB＝AC，∠B＝∠ACB，而∠DAC是△ABC的一個外角，則∠DAC＝2×15°＝30°.根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，可求出CD＝eq\f(1,2)AC.已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高．求證：CD＝eq\f(1,2)AB.證明：在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝15°，∴∠ACB＝∠B＝15°(等邊對等角)，∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.∵CD是腰AB上的高，∴∠ADC＝90°.∴CD＝eq\f(1,2)AC(在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半)．∴CD＝eq\f(1,2)AB.◆活動4隨堂練習(xí)1．下列三角形：①有兩個角等于60°；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個外角(每個頂點處各取一個外角)都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有(D)A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AO平分∠BAC，若∠BOC＝60°，則△BOC的形狀是(A)A．等邊三角形B．腰和底邊不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等邊三角形3．等腰三角形的底角等于15°，腰長為10，則這個等腰三角形腰上的高是__5__．4．課本P12隨堂練習(xí)◆活動5課堂小結(jié)與作業(yè)【學(xué)生活動】1．你這節(jié)課有