2024年上海市高考高三數學模擬試卷試題及答案詳解

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024上海高考高三數學模擬試卷（本試卷共10頁，滿分150分，90分鐘完成．答案一律寫在答題紙上）命題：侯磊審核：楊逸峰一、填空題．（本題共12小題，前6題每小題4分；后6題每小題5分，共54分．請在橫線上方填寫最終的、最簡的、完整的結果）1．已知集合，則．2．已知圓柱底面圓的周長為，母線長為4，則該圓柱的體積為．3．的二項展開式中，項的系數為．4．等比數列的各項和為2，則首項的取值范圍為．5．已知平面向量，若與的夾角為銳角，則實數的取值范圍為．6．已知復數滿足，則．7．已知空間向量，則在方向上的投影為．8．已知（a、b、c為實數），且，則的值是9．已知是拋物線上的兩個不同的點，且，若點為線段的中點，則到軸的距離的最小值為．10．一個飛碟射擊運動員練習射擊，每次練習可以開2槍．當他發(fā)現飛碟后，開第一槍命中的概率為0.8；若第一槍沒有命中，則開第二槍，且第二槍命中的概率為0.6；若2發(fā)子彈都沒打中，該次練習就失敗了．若已知在某次練習中，飛碟被擊中的條件下，則飛碟是運動員開第二槍命中的概率為．11．已知中，為其三個內角，且都是整數，則．12．已實數滿足，則的取值范圍是．二、選擇題（本題共4小題，前2題每小題4分；后2題每小題5分，共18分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請?zhí)顚懛弦蟮倪x項前的代號）13．以下能夠成為某個隨機變量分布的是（

）A． B． C． D．14．某高級中學高一年級、高二年級、高三年級分別有學生名、名、名，為了解學生的健康狀況，用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為的樣本，若從高三年級抽取名學生，則為A． B． C． D．15．設等比數列的前項和為，設甲：，乙：是嚴格增數列，則甲是乙的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件16．橢圓具有如下的聲學性質：從一個焦點出發(fā)的聲波經過橢圓反射后會經過另外一個焦點．有一個具有橢圓形光滑墻壁的建筑，某人站在一個焦點處大喊一聲，聲音向各個方向傳播后經墻壁反射（不考慮能量損失），該人先后三次聽到了回音，其中第一、二次的回音較弱，第三次的回音較強；記第一、二次聽到回音的時間間隔為，第二、三次聽到回音的時間間隔為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．三、解答題．（本大題共5小題，滿分78分．請寫出必要的證明過程或演算步驟）17．三棱柱中，平面，且，為中點．

(1)求四面體的體積：(2)求平面與所成銳二面角的余弦值．18．（1）在用“五點法”作出函數的大致圖象的過程中，第一步需要將五個關鍵點列表，請完成下表：001（2）設實數且，求證：；（可以使用公式：）（3）證明：等式對任意實數恒成立的充要條件是19．為幫助鄉(xiāng)村脫貧，某勘探隊計劃了解當地礦脈某金屬的分布情況，測得了平均金屬含量（單位：克每立方米）與樣本對原點的距離（單位：米）的數據，并作了初步處理，得到了下面的一些統(tǒng)計量的值．（表中）．697.900.212400.1414.1226.13(1)利用相關系數的知識，判斷與哪一個更適宜作為平均金屬含量關于樣本對原點的距離的回歸方程類型；(2)根據（1）的結果建立關于的回歸方程，并估計樣本對原點的距離米時，平均金屬含量是多少？20．已知拋物線，過點與軸不垂直的直線與交于兩點．(1)求證：是定值（是坐標原點）；(2)的垂直平分線與軸交于，求的取值范圍；(3)設關于軸的對稱點為，求證：直線過定點，并求出定點的坐標．21．已知，函數的導函數為．(1)當時，求在處的切線方程；(2)求函數的極值點；(3)函數的圖象上是否存在一個定點，使得對于定義域內的任意實數，都有成立？證明你的結論．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．【分析】根據給定條件，利用交集的定義直接求解即可.【詳解】集合，則.故答案為：2．【分析】根據條件，直接求出，再利用圓柱的體積公式，即可求出結果.【詳解】設圓柱的底面半徑為，所以，得到，又圓柱的母線長為，所以圓柱的體積為，故答案為：.3．210【分析】先求出二項式展開式的通項公式，然后令的次數為2，求出，代入通項公式中可求得結果.【詳解】的二項展開式的通項公式為，令，得，所以項的系數為，故答案為：2104．【分析】根據給定條件，利用等比數列各項和公式，結合公比的取值范圍求解即得.【詳解】依題意，，或，則，或，所以首項的取值范圍為.故答案為：5．【分析】根據給定條件，利用向量夾角公式結合共線向量列出不等式組求解即得.【詳解】向量的夾角為銳角，則且與不共線，因此，解得且，所以實數的取值范圍為.故答案為：6．【分析】設，根據得到方程組，求出，分兩種情況計算出答案，從而求出.【詳解】設，則，所以，解得，當時，，故，；當時，，故，故答案為：-87．【分析】根據給定條件，利用投影向量的定義求解即得.【詳解】向量，則，所以在方向上的投影為，故答案為：8．3【分析】令，則，然后判斷的奇偶性，再利用函數的奇偶性求值即可【詳解】令，則，函數的定義域為，因為，所以為奇函數，因為，所以，所以，所以，所以，故答案為：39．4【分析】求出過拋物線焦點的弦長范圍，再利用拋物線定義列式求解即得.【詳解】拋物線的焦點，準線方程，令過點與拋物線交于兩點的直線方程為，由消去得，，設兩個交點為，則，，于是，當且僅當時取等號，令點的橫坐標分別為，而，則，當且僅當三點共線時取等號，所以到軸的距離的最小值為4.故答案為：410．【分析】根據給定條件，利用條件概率公式計算即得.【詳解】記事件為“運動員開第一槍命中飛碟”，為“運動員開第二槍命中飛碟”，為“飛碟被擊中”，則，，所以飛碟是運動員開第二槍命中的概率為.故答案為：11．6【分析】不妨令，利用正切函數的單調性，結合已知求出，再利用和角的正切公式分析求解即得.【詳解】在中，不妨令，顯然為銳角，而是整數，若，又函數在上單調遞增，則，此時與矛盾，因此，，，整理得，又都是整數，且，因此，所以.故答案為：612．【分析】確定動點的幾何意義，利用直線現圓的位置關系分段討論，結合幾何意義求解即得.【詳解】顯然點在圓及內部，直線，直線，由，得直線與圓相離，且，由，解得或，即直線與圓交于點，①當時，即點在直線與圓所圍成的小弓形及內部，，目標函數，即表示斜率為，縱截距為的平行直線系，畫出直線，平移直線分別到直線，當過點時，取得最大值，最小，當過點時，取得最小值，最大，因此，，從而；②當時，即點在直線與圓所圍成的大弓形及內部（不含直線上的點），，目標函數，即表示斜率為，縱截距為的平行直線系，畫出直線，顯直線，平移直線分別到直線，直線與圓分別相切于點，當過點時，取得最大值，最小，因此，當過點時，取得最小值，最大，因此，從而，所以的取值范圍是.故答案為：

【點睛】方法點睛：求解線性規(guī)劃問題的一般方法：①準確作出不等式組表示的平面區(qū)域，作圖時一定要分清虛實線、準確確定區(qū)域；②根據目標函數的類型及幾何意義結合圖形判斷目標函數在何處取得最值．13．B【分析】分布列中各項概率大于0，且概率之和為1，從而得到正確答案.【詳解】由題意得，分布列中各項概率非負，且概率之和為1，顯然AC選項不滿足概率之和為1，D選項不滿足各項概率大于0，B選項滿足要求.故選：B14．C【詳解】分析：由題意結合分層抽樣的性質得到關于n的方程，解方程即可求得最終結果.詳解：由題意結合分層抽樣的定義可得：，解得：.本題選擇C選項.點睛：進行分層抽樣的相關計算時，常利用以下關系式巧解：(1)；(2)總體中某兩層的個體數之比＝樣本中這兩層抽取的個體數之比．15．D【分析】舉出反例得到充分性和必要性均不成立.【詳解】不妨設，則，滿足，但是嚴格減數列，充分性不成立，當時，是嚴格增數列，但，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要條件.故選：D16．B【分析】根據給定條件，分析聽到的三次回聲情況確定幾個時刻聲音的路程，再列出等式求解即得.【詳解】依題意，令聲音傳播速度為，時刻，剛剛吶喊聲音傳播為0，時刻聽到第一次回聲，聲音的路程為，即從左焦點到左頂點再次回到左焦點，時刻，聲音的路程為，即從左焦點到右頂點，又從右頂點回到左焦點，時刻，聲音的路程為，即從左焦點反射到右焦點，再反射到左焦點，因此，，即，則，即，整理得，所以橢圓的離心率為.故選：B【點睛】關鍵點點睛：利用橢圓幾何性質，確定聽到回聲的時刻，回聲的路程是解題的關鍵.17．(1)(2)【分析】（1）利用等體積法，再根據條件，即可求出結果；（2）建立空間直角坐標系，求出平面與的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出結果.【詳解】（1）因為平面，又面，所以，又，，面，所以面，因為面，所以到面的距離即,又，，所以.（2）如圖，建立空間直角坐標系，因為，，則，所以設平面的一個法向量為，由，得到，取，得到，所以，設平面的一個法向量為，則由，得到，取，則，所以，設平面與所成銳二面角為，則.

18．（1）表格見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）根據給定條件，結合“五點法”作圖完善表格.（2）根據給定條件，利用復合函數求導法則計算即得.（3）根據給定條件，利用恒等式成立的充要條件推理即得.【詳解】（1）“五點法”作函數的圖象的5個關鍵點的橫坐標為，所以表格如下：0001010121（2）實數且，則，因此，所以.（3），依題意，對任意實數恒成立，因此，所以等式對任意實數恒成立的充要條件是.19．(1)更適宜作為回歸方程類型；(2)，.【分析】（1）根據題意，分別求得相關系數的值，結合和，結合，即可得到結論.（2）（i）根據最小二乘法，求得回歸系數，進而求得回歸方程；（ii）當時，結合回歸方程，即可求得預報值.【詳解】（1）因為的線性相關系數，的線性相關系數，因為，所以更適宜作為平均金屬含量關于樣本對原點的距離的回歸方程類型.（2）依題意，，則，于是，所以關于的回歸方程為.當時，金屬含量的預報值為.20．(1)證明見解析；(2)；(3)證明見解析，.【分析】（1）聯立直線和拋物線方程，再利用韋達定理及數量積的坐標表示計算即得..（2）求出弦的中點坐標及弦的中垂線方程，進而求出，再結合判別式求解即得.（3）設出D點的坐標，求出直線BD的方程，借助（1）的信息，推理判斷即得.【詳解】（1）顯然直線不垂直于坐標軸，設過點的直線的方程為，由消去x得：，，則，所以為定值.（2）設兩點的中點坐標為，則，，則，即AB的垂直平分線為，令，解得，顯然，當時，恒有成立，則，當時，，則，所以的取值范圍為.（3）由A關于軸的對稱點為D，得，則直線BD：，整理得：.又.因此直線BD為：，即過定點，所以直線過定點.【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：①“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；②“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據題設條件選擇參數，建立一個直線系或曲線的方程，再根據參數的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；③求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.21．(1)；(2)答案見解析；(3)不存在，理由見解析.【分析】（1）利用導數求切線斜率，再求出切點坐標，點斜式寫出切線方程即可.（2）利用導數探討單調性，進而確定函數的極值點.（3）假設存在，利用導數，將等式化簡，減少變量，從而可構造適當新函數，研究新函數的性質，即可判斷.【詳解】（1）當時，，求導得，切線方程為，所以所求切線方程為.（2）函數的定義域為，求導得，令，即，即，①當時，函數在定義域內嚴格增,無極值點