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文檔簡(jiǎn)介
第06講正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象
號(hào)目標(biāo)導(dǎo)航
課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀
1.理解并掌握用單位圓作正弦函數(shù)以及
作余弦函數(shù)的圖象的方法.掌握數(shù)形結(jié)三角函數(shù)的圖象是認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的窗口,通過(guò)本節(jié)課的
合的優(yōu)勢(shì).學(xué)習(xí)要求會(huì)作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的同時(shí),能認(rèn)
2.通過(guò)兩類(lèi)函數(shù)圖象認(rèn)識(shí)函數(shù)圖象的特識(shí)圖象與三角函數(shù)的密切關(guān)系,并能解決與圖象有關(guān)的
點(diǎn),并能通過(guò)兩類(lèi)圖象的形狀掌握兩三角函數(shù)問(wèn)題.
類(lèi)函數(shù)的性質(zhì).
蜒知識(shí)精講
y、知識(shí)點(diǎn)01正弦函數(shù)的圖象
生’
1.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)
實(shí)數(shù)集與角的集合之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,而一個(gè)確定的角對(duì)應(yīng)著唯一確定的正弦(或余弦)值.這樣,任意
給定一個(gè)實(shí)數(shù)x,有唯一確定的值sinx(或cosx)與之對(duì)應(yīng).由這個(gè)對(duì)應(yīng)法則所確定的函數(shù))=$山x(或尸cosx)
叫做正弦函數(shù)(或余弦函數(shù)),其定義域是R.
2.利用正弦線作正弦函數(shù)的圖象
如圖,在直角坐標(biāo)系的x軸上取一點(diǎn)。1,以。為圓心,單位長(zhǎng)為半徑作圓,從。。?與x軸的交點(diǎn)A起,
把。Oi分成12等份(等份越多,畫(huà)出的圖象越精確).過(guò)。Oi上各分點(diǎn)作x軸的垂線,得到對(duì)應(yīng)于
7TTT7T
0,,2兀等角的正弦線.相應(yīng)地,再把X軸上從0至112兀(2兀*6.28)這一段分成12等份.把角
632
X的正弦線向右平移,使它的起點(diǎn)與X軸上的點(diǎn)X重合,再把這些正弦線的終點(diǎn)用光滑的曲線連接起來(lái),
即得到函數(shù)產(chǎn)sinX,xe[0,2汨的圖象.
y=sinx9xe[0,2TT]
將函數(shù)y=sinx,X£[0,2TC)的圖象向左、向右平行移動(dòng)(每次2兀個(gè)單位長(zhǎng)度),就可以得到正弦函數(shù)
y=sinx,的圖象,如圖.正弦函數(shù)y=sinx,的圖象叫做正弦曲線(sinecurve).
3.五點(diǎn)法作產(chǎn)sinx,尤£[0,2元]的簡(jiǎn)圖
7TSir
在函數(shù)產(chǎn)sinx,xe[0,2切的圖象上,起關(guān)鍵作用的點(diǎn)有以下五個(gè):(0,0),(2,1),(兀,0),(萬(wàn),—1),(2兀,0),
如下表:
713兀
X02兀
2~2
產(chǎn)sinx010-10
描出這五個(gè)點(diǎn)后,函數(shù)尸sinx,xe[0,2兀]的圖象形狀就基本上確定了.因此,在精確度要求不高時(shí),我
們可以先找出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),然后用光滑的曲線順次將它們連接起來(lái),就得到函數(shù)的簡(jiǎn)圖,這種作圖的
方法稱為五點(diǎn)法作圖.
堂知識(shí)點(diǎn)02余弦函數(shù)的圖象
1.利用圖象變換作余弦函數(shù)的圖象
7T7T
根據(jù)誘導(dǎo)公式,由y=cosx=cos(-x)=sin[5-(—x)]=sin(x+]),可知余弦函數(shù)的圖象可以通過(guò)將
正弦曲線向左平移四個(gè)單位長(zhǎng)度而得到.如圖所示.類(lèi)似地,我們把余弦函數(shù)丁=。。$乂%€11的圖象叫
2
做余弦曲線(cosinecurve).
2.用五點(diǎn)法作余弦函數(shù)的圖象
與正弦函數(shù)的圖象一樣,在函數(shù)y=cosx,xe[0,2兀]的圖象上,起關(guān)鍵作用的點(diǎn)有以下五個(gè):
7T3元
(0,1),(不0),(兀,—1),(二,0),(2兀,1),如下表:
22
713兀
X0n2兀
2T
y=cosx10-101
同樣,在精確度要求不高時(shí),我們可以先找出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),然后用光滑的曲線順次將它們連接起來(lái),
就得到函數(shù)的簡(jiǎn)圖,這種作圖的方法也稱為五點(diǎn)法作圖.
【即學(xué)即練1】用五點(diǎn)法作函數(shù)尸2sinx-1的圖象時(shí),首先應(yīng)描出的五點(diǎn)的橫坐標(biāo)可以是()
冗3兀7T713冗
A.0,,兀,,2兀B.0,,!,7C
~2T45,4
n71712乃
C.0,7C,2江,3%,4%D.0,
6,5'T
【答案】A
【分析】
根據(jù)五點(diǎn)作圖法,確定首先描出的五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo).
【詳解】
TT3
由五點(diǎn)作圖法可知,首先描出的五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為:%=0,彳,乃,7乃,21.
22
故選:A.
【即學(xué)即練2】不等式sin".在,xe(0,2?)的解集為()
2
乃乃[「乃34[「乃34]「乃乃
A.—B.——C.-TD.—
62J44J|_24J64
【答案】B
【分析】
根據(jù)y=sinx的圖象與性質(zhì)可得sin"虐的解集.
2
【詳解】
解:sinx..-^-,XG(0,2^-)
2
y=sinx函數(shù)圖象如卜所示:
【即學(xué)即練3】使得sinx>cosx正確的一個(gè)區(qū)間是()
【分析】
在同一坐標(biāo)系中作出y=sinxHV=cosx的圖象即可得出選項(xiàng).
【詳解】
作出y=sinx與y=cosx的圖象,如圖:
故選:A
【即學(xué)即練4】用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=2sinx在[0,2句上的圖象時(shí),應(yīng)取的五個(gè)點(diǎn)依次為
【答案】(0,0)停2)(肛0)仔-2)(2萬(wàn),0)
【分析】
根據(jù)正弦函數(shù)的“五點(diǎn)”,即可代換求出.
【詳解】
由〉=011%的“五點(diǎn)”(0,0),6,1),(萬(wàn),0)得,-1),(2%,0)即可知,函數(shù)y=2sinx在[0,2句上應(yīng)取的五個(gè)點(diǎn)為
(0,0),(乙0),怎,一2),(2萬(wàn),0).
故答案為:(0,0),仁,2),(萬(wàn),0),既,-2),(2肛0).
【即學(xué)即練5]根據(jù)函數(shù)'=$皿*圖像,可得方程sinx=0(xeR)的解為.
【答案】X=&WGZ)
【分析】
由函數(shù)y=sinx在[0,2乃)上圖像可知,sinx=0的解為工=0或》=乃,即可求出sinx=0(xeR)的解.
【詳解】
如圖所示,當(dāng)xe[0,2%)時(shí),sinx=0的解為兀=0或》=乃,而函數(shù)y=sinx的周期為2萬(wàn),所以方程
sinx=O(xeR)的解為x=火乃(々GZ).
故答案為:x=fcrReZ).
(即學(xué)即練6]函數(shù)丫=cosx相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間距離為.
[答案]14+/
【分析】
結(jié)合余弦函數(shù)圖象的特點(diǎn)進(jìn)行分析求解即可.
【詳解】
T
因?yàn)橄噜徸罡唿c(diǎn)和最低點(diǎn)的水平距離為今=%,垂直距離為1-(-1)=2,
由勾股定理可知相鄰最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的距離為:亞口彳=>環(huán)/,
故答案為:,4+/.
【即學(xué)即練7】已知余弦函數(shù)過(guò)點(diǎn)(一2,,,,則加的值為.
【答案】B
2
【分析】
將(一£'")代入余弦函數(shù)即可求解.
【詳解】
設(shè)余弦函數(shù)為y=cosx,
由函數(shù)過(guò)點(diǎn)(一£”[可得/?=<:05]-看)=£?.
故答案為:正.
2
【即學(xué)即練8]若函數(shù)y=sinx,xe[O,4]與x軸有5個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)“的取值范圍是.
【答案】4兀工a<5兀.
【分析】
作出y=sinx的函數(shù)圖象,根據(jù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定出。的取值范圍即可.
【詳解】
y=sinx的圖像如下圖所示:
因?yàn)閥=sinx,xw[O,a|軸有5個(gè)交點(diǎn),
由圖象可知I:4乃4a<5乃,
故答案為:4兀4a<5乃.
【即學(xué)即練9】用五點(diǎn)法作函數(shù)y=l+2sinx,xe[-2%,0]圖像時(shí),最高點(diǎn)為
【答案】仔,3)
【分析】
根據(jù)五點(diǎn)法作圖求解即可得答案.
【詳解】
由五點(diǎn)法作圖知,當(dāng)、€[-2肛0]時(shí),所取的五點(diǎn)分別為(-2肛1)(寺,3),(一e1)卜/-1),(0,1)
故最高點(diǎn)為(一|乃,3).
故答案為:(一(萬(wàn),3)
【即學(xué)即練10】滿足cosx<(),xe[0,2加的龍的取值范圍是.
【答案】
【分析】
作出函數(shù)丫=85工,xe[0,2%)的圖象,觀察圖象即可得結(jié)果.
【詳解】
作出函數(shù)〉=8$不xw[0,2%]的圖象,如圖所示,
由圖象,可知xl[0,2萬(wàn)]上,滿足cosX<0的X的取值范圍是
故答案為:
J能力拓展
考法
作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象
(1)作正弦函數(shù)圖象時(shí)的關(guān)鍵點(diǎn):
作正弦函數(shù)產(chǎn)sin尤,xe[0,2旭的圖象時(shí),其中起關(guān)鍵作用的是函數(shù)產(chǎn)sinx,xe[0,2兀]與無(wú)軸的交點(diǎn)
及最高點(diǎn)和最低點(diǎn)這五個(gè)點(diǎn).這五個(gè)點(diǎn)我們可以稱之為正弦曲線的特征點(diǎn),在x軸上的三個(gè)點(diǎn)是函數(shù)上
凸、下凹的轉(zhuǎn)折點(diǎn),而最高點(diǎn)和最低點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的轉(zhuǎn)折點(diǎn).利用五點(diǎn)作圖法時(shí),只要描出這五個(gè)點(diǎn),
在x軸上方的兩點(diǎn)間曲線向上凸,在x軸下方的兩點(diǎn)間曲線向下凹,就可快速作出圖象.
(2)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象上的關(guān)鍵點(diǎn)的異同:
作余弦函數(shù)y=cosx,xw[0,27t]的圖象時(shí),其中起關(guān)鍵作用的是函數(shù)y=cosx,xw[0,2兀]與%軸的交
點(diǎn)及最高點(diǎn)和最低點(diǎn).與正弦函數(shù)),=sinx,xe[0,2兀]的圖象相比:二者的圖象的最低點(diǎn)都只有一個(gè);
余弦函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)有2個(gè),而正弦函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)有3個(gè);余弦函數(shù)圖象的最高點(diǎn)
有2個(gè),而正弦函數(shù)圖象的最高點(diǎn)只有1個(gè).
【典例1]在[0,2河內(nèi),作出函數(shù)y=3-sinx的圖象.
【解析】按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表:
兀3兀
X0712兀
2T
sinx010-10
3-sinx32343
描點(diǎn)連線,如圖所示.
【典例2】畫(huà)出函數(shù)y=1+cosx,xG[02t]的圖象.
【解析】①列表如下:
Tt3兀
X0nT2兀
2
cosX10-101
1+cosX21012
②描點(diǎn):
③連線:用光滑的曲線依次連接各點(diǎn),即得所求的圖象.
【名師點(diǎn)睛】作形如y=osinx+/或y=acosx+6),x?[0,2河的圖象時(shí),可用“五點(diǎn)法”作圖,其步驟是:
①列表,取x=0、一、兀、—、2兀;
22
②描點(diǎn);
③用光滑曲線連成圖.這是一種基本作圖方法,應(yīng)該熟練掌握.
【典例3】己知點(diǎn)(95兀,M在余弦曲線上,則%=()
6
A.BB.-BC.!D.
2222
【答案】B
【分析】
將點(diǎn)代入余弦函數(shù)中,計(jì)算可得選項(xiàng).
【詳解】
因?yàn)辄c(diǎn)(學(xué),㈤在余弦函數(shù)?=8sx的圖象上,所以m=cos紅=-3,
662
故選:B.
【典例4】(多選題)對(duì)于余弦函數(shù)y=cosx的圖象,有以下描述,其中正確的描述有()
A.將[。,2句內(nèi)的圖象向左、向右無(wú)限延展
B.與〉=$也、的圖象形狀完全一樣,只是位置不同
C.與X軸有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)
D.關(guān)于y軸對(duì)稱
【答案】BCD
【分析】
根據(jù)余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì),對(duì)選項(xiàng)逐一分析,由此得出正確選項(xiàng).
【詳解】
對(duì)于A選項(xiàng),余弦函數(shù)y=8Sx的圖像,是將[0,2句內(nèi)的圖像向左、向右無(wú)限“重復(fù)”得到,是“重復(fù)”不是延
展,因?yàn)檠诱箍赡苁抢?,不符合,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
對(duì)于B選項(xiàng),正弦函數(shù)》=$也入的圖像向左平移5個(gè)單位,會(huì)與y=cosx的圖像重合,故B選項(xiàng)正確.
對(duì)于C選項(xiàng),當(dāng)工:也+微飲^%)時(shí),y=cosx=0,故余弦函數(shù)y=cosx圖像與x軸有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn),故c選
項(xiàng)正確.
對(duì)于D選項(xiàng),余弦函數(shù)丫=8$乂是偶函數(shù),圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,故D選項(xiàng)正確.
綜上所述,正確的描述有BCD.
本小題主要考查余弦函數(shù)y=cosx的圖像與性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.
【典例5】用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=l—cosx,2兀]的圖象時(shí),應(yīng)取的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)分別是.
【答案】(0,0),信1],(乃,2),右,1),⑵,0)
【分析】
取一個(gè)周期內(nèi)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),即分別令x=0,g,m當(dāng),2乃,求出對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)即可.
22
【詳解】
因?yàn)閥=l—cosx,x£[0,2%],則
當(dāng)x=0時(shí),y=l-cos0=0,
當(dāng)彳=1時(shí),y=l-cosy=1,
當(dāng)入=萬(wàn)時(shí),y=l-cos4=2,
當(dāng)*=電時(shí),y=l-cos—=1,
22
當(dāng)x=2萬(wàn)時(shí),y=l-cos2^=0,
故五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(0,0),(5,1),(乃,2),(冬,1),(2萬(wàn),0)
22
故答案為:(0,0),邑1),(萬(wàn),2),(當(dāng),1),⑵,0).
22
【典例6】試求關(guān)于x的不等式LsinxS正
22
【答案】]x|—+2k兀<x<—+2kw或—+2k兀<x<—+2k/r,kez\,
[6336J
【分析】
作出正弦函數(shù)y=sinx在[0,2兀]上的圖象,作出直線和丫=迫,根據(jù)圖象得出在[0,2兀]上的x的范
2-2
圍,根據(jù)正弦函數(shù)的周期可得答案.
【詳解】
解:作出正弦函數(shù)y=sinx在[0,2河上的圖象,作出直線和y=3,如圖所示.
22
由圖可知,在[0,2可上當(dāng)或竺時(shí),不等式;<sin爛也成仁
633622
TTIT27r\冗
|^<x<-+2^n£—+2^<x<—+2^,/:GZ
{X6+2336
fii分層提分
題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
1.若函數(shù)〃x)=/sin(x-l的定義域?yàn)?)
兀/?5〃"’,
A.—+-4-6k/r(ZwZ)
122」
B.--}-6k,—+6k(AcZ)
\_22]
7i八57r八,.、
C.—+6k/c,——+6k7r(zZwZ)
44_
D.—+6k,—+6k(AwZ)
_44_
【答案】B
【分析】
偶次根式,根號(hào)下要求大于等于0,得到Sin^x^g,利用三角函數(shù)的圖像判斷,即可得到
2k7c+-<-x<2k7r+^-,從而求出定義域.
636
【詳解】
解:要使函數(shù)有意義,則2sin?x-lN0,BPsinyx>p
即2kji—W—x?2,k/r4-----,keZ、得6kH—<xW6k-\—,%£Z,
63622
即函數(shù)的定義域?yàn)間+6A,g+6Z(*Z).
故選:B
2.分別對(duì)應(yīng)于函數(shù)y=xsinx,y=xcosx,y=—,y=xe*的圖象的正確順序是().
①②③
A.①②③④B.②①③④C.①②④③D.②①④③
【答案】A
【分析】
根據(jù)題意,依次分析4個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象,綜合可得答案.
【詳解】
解:根據(jù)題意,依次分析4個(gè)函數(shù):
對(duì)于y=xsinx,其定義域?yàn)镽,有/(-工)=心抽工=/*),是偶函數(shù),與圖象①對(duì)應(yīng);
對(duì)于y=X8SX,其定義域?yàn)镽,有/(-x)=-xcosx=-/(x),是奇函數(shù),與圖象②對(duì)應(yīng);
對(duì)于〉=哄,其定義域?yàn)?0,+8),與圖象③對(duì)應(yīng);
X
對(duì)于y=xe",其定義域?yàn)镽,x<0時(shí),y=xe'<0,x>0時(shí),y=xe*>0,與圖象④對(duì)應(yīng):
故選:A.
3.已知。是實(shí)數(shù),則函數(shù)f(x)=I+“sin奴的圖象不可能是()
【答案】D
【分析】
根據(jù)。=0,同>1,0<同41分類(lèi)討論,結(jié)合尸sinx的性質(zhì)可得.
【詳解】
由題知,f(x)=\+asinax.若a=OJ(x)=l,選項(xiàng)C滿足;
2乃
若?sinm:e[-|?|,|?|],f(x)e[l-\a\,l+\a\],其中l(wèi)-|a|>0,l+|a|<2,函數(shù)周期『=>2萬(wàn),選項(xiàng)
|?|
2乃
A滿足:若asinar€[-|a|,|a|],/(x)e[l-|a|,l+|a|],其中,1+1a|>2,函數(shù)周期T=;~~;<2%,
1?1
選項(xiàng)B滿足:
若1可=1,則/(x)=l+asinare[0,2],且周期為2萬(wàn).而選項(xiàng)D不滿足以上四種情況,故圖象不可能是D.
故選:D.
4.若y=/(x)的圖像與》=??》的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱,則y=/(x)的解析式為()
A.y=cos(-x)B.y=-cosx
C.y=cos|XD.y=|cosM
【答案】B
【分析】
根據(jù)〃-x)、-/3、/(W)與的圖象特征依次判斷即可得到結(jié)果.
【詳解】
對(duì)于A,y=cos(-x)=cosx,圖象與》=cosx重合,A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,y=與y=-/(x)圖象關(guān)于x軸對(duì)稱,;.y=-cosx與y=cosx圖象關(guān)于x軸對(duì)稱,B正確;
對(duì)于C,當(dāng)X20時(shí),y=cos|x|=cosx,可知其圖象不可能與y=cosx關(guān)于x軸對(duì)稱,c錯(cuò)誤;
對(duì)于D,將V=cosx位于x軸下方的圖象翻折到x軸上方,就可以得到y(tǒng)=|cosM的圖象,可知其圖象與
y=8sx的圖象不關(guān)于x軸對(duì)稱,D錯(cuò)誤.
故選:B.
5.根據(jù)函數(shù)y=$足工的圖像,可得方程sinx=O的解為()
A.x=2kn(攵eZ)B.x=k4(ZwZ)
冗34
C.x——Fkit(GZ)D.x-...卜2ki(左wZ)
22
【答案】B
【分析】
結(jié)合正弦函數(shù)y=sinx的圖象和正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出結(jié)果.
【詳解】
由題意和正弦函數(shù)y=sinx的圖象可知,sinx=O叮得X=(ZeZ).
故選:B.
6.方程lOg2X=COSX的實(shí)根個(gè)數(shù)是()
A.0B.1C.2D.無(wú)數(shù)個(gè)
【答案】B
【分析】
分別作出函數(shù)y=lOg2X與y=COSX的圖像,根據(jù)丫=1嗚尢的圖像過(guò)點(diǎn)(2,1),函數(shù)y=COSX的最大值為h
結(jié)合函數(shù)圖像可得答案.
【詳解】
在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=iog?x與y=cosx的圖像,
由函數(shù)y=cosx的最大值為1,當(dāng)x=2時(shí),y=logzX的值為1,
即y=log?x的圖像過(guò)點(diǎn)(2,1),如圖,
根據(jù)圖像可得:函數(shù)y=bgzx與y=cosx的圖像有1個(gè)交點(diǎn)
所以方程log?X=cosX有1個(gè)解.
故選:B
7.函數(shù)y=sinx,xe[0,2乃]與y圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()
A.0B.1C.2D.3
【答案】C
【分析】
作出直線y=;與函數(shù)y=sinx在[0,2加上的圖象,觀察圖形即可得解.
【詳解】
作出函數(shù)'=小1^在[0,2劃上的圖象,并作出直線y=g,如圖:
觀察圖形知:函數(shù)y=sinx在[0,2幻上的圖象與直線y=3有兩個(gè)公共點(diǎn),
所以函數(shù)'=411%"€[0,2萬(wàn)]與〉=3圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.
故選:C
8.用五點(diǎn)法畫(huà)y=3sinx,xw[0,2句的圖象時(shí),下列哪個(gè)點(diǎn)不是關(guān)鍵點(diǎn)()
A.信B.[y,3]c.(乃,。)D.(2zr,0)
【答案】A
【分析】
根據(jù)五點(diǎn)作圖法即可選出答案.
【詳解】
),=3$啟五點(diǎn)作圖法在[0,2句內(nèi)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)為(0,0),停3),(萬(wàn),0),仁,-3),(2萬(wàn),0),可知你!)不是關(guān)
鍵點(diǎn).
故選:A.
9.在[0,2同內(nèi),不等式sinx<-*的解集是()
A.(0,左)B.匕力C.匕,引D,院網(wǎng)
【答案】C
【分析】
先作出正弦圖象尸sinx,XG[0,2句,結(jié)合Sieg的根為x答或x=*即得不等式的解集.
【詳解】
畫(huà)出y=sinx,xe[0,2句的草圖如下.
故選:c.
題組B能力提升練
【答案】D
【分析】
先判斷函數(shù)的奇偶性得函數(shù)是偶函數(shù),故排除BC,再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)得xw(O,兀)時(shí),函數(shù)y>0,故排除
A,得D正確.
【詳解】
解:函數(shù)>=xsinx的定義域?yàn)镽,/(—x)=—xsin(—x)=xsinx=/(x),
故函數(shù)y=xsinx是偶函數(shù),可知8,C不正確;
當(dāng)xc(O,7T)時(shí),函數(shù)y>0,可知函數(shù)的圖象為:D,A不正確.
故選:D.
【點(diǎn)睛】
本題考查根據(jù)函數(shù)解析式選函數(shù)圖象,考查正弦函數(shù)的性質(zhì),是中檔題.
2.函數(shù)/(x)=sinx+2|sinx|,xe[0,2%]的圖象與直線y=Z的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是()
A.0B.1C.2D.3
【答案】ABCD
【分析】
根據(jù)sinx.O和sinx<0對(duì)應(yīng)的”的范圍,去掉絕對(duì)值化簡(jiǎn)函數(shù)解析式,再由解析式畫(huà)出函數(shù)的圖象,對(duì)女分
類(lèi)討論即可判斷.
【詳解】
解:由題意知,,(x)=sinx+2|sinx|,xe[0,2%],
、[3sinx,xe[0,萬(wàn)]
小)=彳.
由其圖象知,當(dāng)直線y=?,kw(l,3)時(shí),/(x)=sinx+2|sinx|>xe[0,2句的圖象,與直線y=左有且僅有
兩個(gè)不同的交點(diǎn).
當(dāng)直線y=%,A=O或人=1時(shí),/(x)=sinx+2|sinx|,XG[0,2句的圖象,與直線y=%有且僅有三個(gè)不同
的交點(diǎn).
當(dāng)直線》=%,無(wú)=3時(shí),/(x)=sinx+2|sinx|,xw[0,2句的圖象,與直線丫=化有且僅有一個(gè)不同的交點(diǎn).
當(dāng)直線y=Z,*e(-oo,0)(3,+00)時(shí),/(x)=sinx+2|sinx|,XW[0,2T]的圖象,與直線y=k無(wú)交點(diǎn).
故選:ABCD.
3.(多選題)已知點(diǎn)mj、。5岑、嗚,1)、$俘°),若這四個(gè)點(diǎn)中有且僅有兩個(gè)點(diǎn)在函數(shù)
/(x)=sin<yx的圖象上,則正數(shù)。的可能值為()
A.2B.4C.8D.12
【答案】BC
【分析】
將各個(gè)選項(xiàng)中G的值代入函數(shù)/(x)的解析式,驗(yàn)證題干中四個(gè)點(diǎn)是否在函數(shù)“X)的圖象上,由此可得出合
適的選項(xiàng).
【詳解】
對(duì)于A選項(xiàng),當(dāng)刃=2時(shí),f(.r)=sin2x,
.江上rsiny=1,/(g)=sin;r=O,
sin?,/sm—=——,t
24232
此時(shí),Q、R、s三點(diǎn)在函數(shù)/(x)的圖象上,A選項(xiàng)不合乎題意;
對(duì)于B選項(xiàng),當(dāng)<w=4時(shí),/(x)=sin4x,
=sin|=曰,/(f=sin"l,/^y^=sin2^=0,
此時(shí),。、S兩點(diǎn)在函數(shù)/(x)的圖象上,B選項(xiàng)合乎題意;
對(duì)于C選項(xiàng),當(dāng)勿=8時(shí),/(x)=sin8x,
既卜常卜吟邛,代卜in2*l,d£|=sin4…,
此時(shí),P、S兩點(diǎn)在函數(shù).f(x)的圖象匕C選項(xiàng)合乎題意;
對(duì)于D選項(xiàng),當(dāng)口=12時(shí),/(A-)=sinl2x,
此時(shí),S點(diǎn)在函數(shù)/(x)的圖象上,D選項(xiàng)不合乎題意.
故選:BC.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:解本題的關(guān)鍵在于對(duì)各選項(xiàng)中的參數(shù)值代入函數(shù)解析式,并檢驗(yàn)出各點(diǎn)是否在函數(shù)圖象匕
4.(多選題)函數(shù)y=l+cosx,口6,2")的圖象與直線產(chǎn)/。為常數(shù))的交點(diǎn)可能有()
A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)E.4個(gè)
【答案】ABC
【分析】
畫(huà)出y=l+cosx在萬(wàn)J的圖象,即可根據(jù)圖象得出.
【詳解】
畫(huà)出y=l+cosx在的圖象如下:
貝I]可得當(dāng)r<0或tN2時(shí),y=l+cosx與y=f的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0:
3
當(dāng)f=o或54f<2時(shí),y=l+cosxh)y=,的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1;
3
當(dāng)0<r<5時(shí),y=1+cosx與y=f的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.
故選:ABC.
A.y=sin|H的圖象的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱
B.y=cos(—x)的圖象與y=cos|N的圖象相同
C.y=sinW的圖象與曠=%(一)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱
D.?=cosx的圖象與丫=£:0$(-x)的圖象相同
【答案】BD
【分析】
利用正弦曲線和余弦曲線以及正余弦函數(shù)的奇偶性,借助圖象變換,逐個(gè)判斷,即可得出結(jié)論.
【詳解】
對(duì)于A,y=sin|x|是偶函數(shù),而丫=5加不為奇函數(shù),故丫=$111|耳與ysinx的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱,故A錯(cuò)
誤;
對(duì)于B,y=cos(-x)=cosx,y=cos|x|=cosx,即其圖象相同,故B正確;
對(duì)于C當(dāng)x<0時(shí),y=sinN=sin(r),即兩圖象相同,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,y=cos(-x)=cosx,故這兩個(gè)函數(shù)圖象相同,故D正確,
故選BD.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查三角函數(shù)的圖象,考查命題真假的判斷,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.
6.已知sinx=Y^,當(dāng)xe——時(shí),x=__________;當(dāng)xw[O,27t]時(shí);x=__________;當(dāng)xeR時(shí),
2L22J
x=.
■■兀?!狪、2兀71「八,2兀,一
【答案】一一或一2妹+—或2祈+—,keZ
33333
【分析】
直接利用三角函數(shù)的圖象求解.
【詳解】
TT27r
當(dāng)xwR時(shí),%=22兀+—或2E+—,keZ.
33
一代一,、,71兀32?!!?2兀.r
故答案為:~;;或丁;x=2E+;或2阮+二-,keZ.
33333
C培優(yōu)拔尖練
cosx(-^<x<0)
(sinx(O<x<^-)
(1)作出該函數(shù)的圖象;
(2)若〃x)=;,求x的值.
【答案】⑴見(jiàn)解析;(2)x的值為4或2或1
366
【分析】
(1)結(jié)合正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象即可得了(X)的圖象;(2)圖①基礎(chǔ)上再作直線>=;,分為-"Vx<o
和04x4萬(wàn)兩種情形即可得結(jié)果.
【詳解】
⑴作出函數(shù)小/\)=|mco(sx0(-皿^<x<J0)的圖象,如圖①所示.
圖②
則由圖象,知當(dāng)一萬(wàn)KXV。時(shí),X=-y,
當(dāng)OKxK乃時(shí),x=—^x=—,
66
綜上,可知X的值為;或?或好
366
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象,三角形式方程的解法,
2.用“五點(diǎn)法”作出
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