專題02 五大類數(shù)列題型-2024年高考數(shù)學最后沖刺大題秒殺技巧及題型專項訓練（新高考新題型專用）（教師解析版）

專題02五大類數(shù)列題型-2024年高考數(shù)學大題秒殺技巧及專項訓練（解析版）【題型1錯位相減求和無需錯位直接出答案】【題型2裂項相消巧妙變形問題】【題型3分組求和必記常見結(jié)論】【題型4含類求和問題】【題型5含絕對值求和問題】數(shù)列求和之前需要掌握一些求數(shù)列通項的技巧，技巧如下：當高考數(shù)列大題出現(xiàn)《與》或《與》遞推關(guān)系且關(guān)系式中系數(shù)為1時，應遵循以下步驟第一步：作差第二步：列舉第三步：求和→簡稱《知差求和》注意：列舉時最后一項必須是已知{}的首項，，（）求通項公式。解：第一步：作差第二步：列舉。。。。。。。。。。。 左側(cè) 右側(cè)第三步：求和口訣：左左加右右加，相互抵消用等差∴當高考數(shù)列大題出現(xiàn)《與》或《與》遞推關(guān)系且關(guān)系式中系數(shù)不為1時，應遵循以下步驟第一步：秒求所配系數(shù)第二步：尋找新的等比數(shù)列第三步：求新數(shù)列的通項第四步反解→簡稱《構(gòu)造法》結(jié)論:已知數(shù)列中,,,求的通項公式.解:第一步：秒求所配系數(shù)==1第二步：尋找新的等比數(shù)列,是首項為,公比為2的等比數(shù)列,第三步：求新數(shù)列的通項即第四步反解驗證：當也成立故答案為：當高考數(shù)列大題出現(xiàn)《與》或《與》遞推關(guān)系，關(guān)系式中系數(shù)不為1且還存在n時，應遵循以下步驟第一步：秒求所配系數(shù)第二步：尋找新的等比數(shù)列第三步：求新數(shù)列的通項第四步反解→簡稱《構(gòu)造法》結(jié)論:已知：，時，，求的通項公式。解：第一步：秒求所配系數(shù)設∴秒求解得：∴第二步：尋找新的等比數(shù)列∴是以3為首項，為公比的等比數(shù)列第三步：求新數(shù)列的通項∴第四步反解∴驗證：當時通項也成立故答案為：當高考數(shù)列大題出現(xiàn)《與》或《與》遞推關(guān)系，關(guān)系式中系數(shù)不為1且還存在指數(shù)時，應遵循以下步驟第一步：等式兩邊直接同除以第二步：尋找新的數(shù)列第三步：秒求所配系數(shù)第四步：尋找新的等比數(shù)列第五步：求新數(shù)列的通項第六步反解→簡稱《直接除+構(gòu)造法》結(jié)論：已知中，，（）求。第一步：等式兩邊直接同除以由得第二步：尋找新的數(shù)列∴成等差數(shù)列，驗證：當也成立故答案為∴型，可化為的形式。待定系數(shù)法，其中在數(shù)列{}中，，當，①求通項公式.解：①第一步：秒出系數(shù)①式可化為：比較系數(shù)得，不妨取.①式可化為：第二步：出現(xiàn)新的等比數(shù)列則是一個等比數(shù)列，首項，公比為3.第三步：求新等比數(shù)列通項∴.利用上題結(jié)果有：第四步：反解.題型1錯位相減求和無需錯位直接出答案錯位相減；形式必須是則求和：秒殺1卷子上書寫第一步：尋找標準形式可知，{}的通項是等差數(shù)列的通項與等比數(shù)列{}的通項之積第二步：列舉①………………②①－②得？第三步：利用結(jié)論秒求草稿紙上書寫第四步：化解結(jié)論求卷子上書寫秒殺2卷子上書寫第一步：尋找標準形式可知，的通項是等差數(shù)列的通項與等比數(shù)列的通項之積第二步：列舉①………………②①－②得？第三步：利用結(jié)論秒求草稿紙上書寫則其中或第四步：化解結(jié)論求卷子上書寫已知數(shù)列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．解：秒殺1卷子上書寫（1）快速求解通項當時，；當時，.不適合.綜上所述，；⑵第一步：尋找標準形式由（1）可得.第二步：列舉當時，；當時，①，得②，①－②得？第三步：利用結(jié)論秒求草稿紙上書寫第四步：化解結(jié)論求卷子上書寫，滿足，因此，.1．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，且.(1)寫出，，并求的通項公式；(2)記求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解法一：因為，，所以，當時，，，所以.當時，，，所以.當時，，所以當時，也符合上式.綜上，解法二：因為，，，所以，當時，，，所以.當時，，，所以.因為，所以，即.所以，即.又，所以（2）解法一：由（1）得，即記則①，②①-②，得，所以，故.解法二：由（1）得，即.記，則.故.2．記.(1)當時，為數(shù)列的前項和，求的通項公式；(2)記是的導函數(shù)，求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當時，.當時，.又當時，不滿足上式，所以（2）①②①-②得，3．設是等差數(shù)列，是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，．(1)求數(shù)列與的通項公式；(2)數(shù)列的前項和分別為；（ⅰ）證明；（ⅱ）求．【答案】(1)；(2)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）【詳解】（1）解：設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，，因為，可得，解得，又因為，可得，又由且，可得，解得（負值舍去），所以.（2）（?。┳C明：由，可得，所以，則.（?、。┙猓河桑傻?，則，可得，則，兩式相減得，，所以，即4．已知數(shù)列中，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，記為的前項和，證明：時，.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）因為，所以，作差可得，變形為，即，即，化簡為，因為，所以，因為，所以數(shù)列的通項公式為.（2）因為，所以，，作差可得，所以，，設，則在給定區(qū)間上遞減，又故在是減函數(shù)，，所以當時，.5．設等比數(shù)列的前n項和為，，．(1)求；(2)設，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）設等比數(shù)列的公比為，由，得，則，即，而，因此，解得，所以.（2）由（1）知，，則，則，于是，兩式相減得，即.6．已知數(shù)列的前項和為.(1)求；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意，當時，，從而，當時，也滿足，故.（2）由（1）可知，所以，從而，所以，所以數(shù)列的前項和.7．設數(shù)列滿足：，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意知數(shù)列滿足：，，則，，故為首項是6，公比為2的等比數(shù)列，故，即，適合上述結(jié)果，故；（2）設，則，設，故；，，作差得到，故，，故.8．已知是各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵，當時，，解得或（舍去），當時，，∴，∵，∴∴數(shù)列是首項為1、公差為1的等差數(shù)列，∴.（2）由（1）知，，∴，∴，兩式相減得，∴裂項相消巧妙變形問題裂項相消求和①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩在數(shù)列中，，又，求數(shù)列的前項的和.解：第一步：裂項∵∴第二步：裂項求和∴數(shù)列的前項和＝＝求證：證明：第一步：裂項設∵第二步：裂項求和∴＝＝＝∴原等式成立已知，若數(shù)列的前項和，則________．解：第一步：裂項因為，第二步：裂項求和所以，因此，即.1．已知是等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，且，求的前項和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為成等比數(shù)列，所以，解得．又是等差數(shù)列，，所以公差，故.（2）由，得，所以,又,當時，,又也適合上式，所以,則,所以.2．在正項等比數(shù)列中，.(1)求的通項公式：(2)已知函數(shù)，數(shù)列滿足：.（i）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項公式（ii）設，證明：，【答案】(1)(2)（i）證明見解析，；（ii）證明見解析【詳解】（1）因為正項等比數(shù)列中，，所以.又因為，所以，進而公比，所以.（2）（i）因為，所以，所以，所以數(shù)列是以為首項，公差為1的等差數(shù)列.所以，即.（ii）.當時，左式，右式，左式＝右式.當時，下面先證明，，令，，，，，又，，即，又，所以..所以.即.綜上：當時，.3．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，數(shù)列的前n項和為．求證：．【答案】(1)；(2)證明見詳解.【詳解】（1）記數(shù)列的公比為，則，解得，所以.（2）由（1）可得，，所以，所以，所以，因為，所以，所以，即.4．已知為公差不為0的等差數(shù)列的前項和，且．(1)求的值；(2)若，求證：．【答案】(1)2(2)證明見解析【詳解】（1）解法一：設的公差為，由①，得②，則②-①得，即，又，則；解法二：設的公差為，因為，所以對恒成立，即對恒成立，所以，又，則；（2）由得，即，所以，又即，則，因此則．5．已知數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）數(shù)列的前項和為，當時，當時，所以，又當時，也成立，數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）可得，設數(shù)列的前項和為，則.6．已知是數(shù)列的前項和，，是公差為1的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）因是公差為1的等差數(shù)列，而，則，因此，即，當時，，經(jīng)檢驗，滿足上式，所以的通項公式是.（2）由（1）知：，所以.7．已知數(shù)列的前項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由①，當時，解得，當時，②，①-②，得，數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列，．經(jīng)驗證符合上式，所以．（2）由（1）知，，．則，故，所以，，，故.8．設數(shù)列的前項和為，已知，是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以，所以，即．當時，，又適合上式，所以．（2），故．分組求和必記常見結(jié)論①等差數(shù)列求和公式：②等比數(shù)列求和公式：③④⑤求數(shù)列的前項和：，解：第一步：分組設將其每一項拆開再重新組合得第二步：分組求和當時，＝當時，＝求數(shù)列的前項和.解：第一步：分組設∴＝將其每一項拆開再重新組合得＝第二步：分組求和＝記正項等比數(shù)列滿足，.等差數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.解：（1）快速求解通項設的公比為，的公差為，，即，，，，解得或（舍去），，，，，，；第一步：分組依題意，，第二步：分組求和數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，故.1．已知數(shù)列，______.在①數(shù)列的前n項和為，；②數(shù)列的前n項之積為，這兩個條件中任選一個，補充在上面的問題中并解答.（注：如果選擇多個條件，按照第一個解答給分.在答題前應說明“我選______”）(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)條件選擇見解析，(2)【詳解】（1）選①，當時，，即，當時，（I），（II），（I）（II）得：，即，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以.選②，當時，，即,當時，，即,當時，符合上式.所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以（2）因為，所以，所以.2．已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)給定，記集合中的元素個數(shù)為，若，試求的最小值.【答案】(1)(2)11【詳解】（1）依題意，①當時，，②.①②兩式相減得，即，因為，所以，即，所以是公差為1的等差數(shù)列，又，故數(shù)列的通項公式為.（2）依題意，即，因為，所以滿足不等式的正整數(shù)個數(shù)為，即，.，因為，所以單調(diào)遞增，當時，，當時，，所以的最小值為11.3．已知為數(shù)列的前n項和，且滿足，其中，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，若對任意的，都有，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，當時，，所以，當時，，所以，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，所以；（2）由（1）得，則，故，，而隨的增大而減小，所以，隨的增大而增大，所以，因為對任意的，都有，所以.4．已知數(shù)列滿足，，且．(1)證明為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)設，且數(shù)列的前項和為，證明：當時，．【答案】(1)證明見解析，(2)證明見解析【詳解】（1）因為，，所以，，.易知，所以，因為．所以是等比數(shù)列，首項，公比，所以．（2）由（1）可得，先證明左邊：即證明，當時，，所以，所以，再證明右邊：，因為，所以，即，下面證明，即證，即證，設，，則，設，，因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，，所以，所以．綜上，．5．已知數(shù)列滿足.(1)求的通項公式；(2)設，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由題意可知，當時，；當時，由得，，兩式作差可得，，也適合該式，故；（2）證明：由題意知，故，由于，則，故，即.6．已知數(shù)列滿足.(1)設，證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）因為，所以，所以，所以，所以，又，則，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可知，，由于，所以，所以.7．在等差數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若記為中落在區(qū)間內(nèi)項的個數(shù)，求的前k項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）等差數(shù)列中，由，得，而，解得，因此數(shù)列的公差，，所以數(shù)列的通項公式是.（2）由（1）知，，由，得，整理得，因此正整數(shù)滿足，從而得，所以的前k項和為.8．已知數(shù)列是正項等比數(shù)列，其前n項和為，且，．(1)求的通項公式；(2)記的前n項和為，求滿足的最大整數(shù)n．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設的公比為，則，因為，所以，依題意可得，即，整理得，解得或（舍去），所以.（2）由（1）可知，故顯然，隨著的增大而增大，，，所以滿足的最大整數(shù).含類進行求和問題我們估且把這種求和的方法稱為“并項法”，可以推廣到一般情況，用“并項法”求形如通項公式為的擺動數(shù)列前項和的步驟如下：第一步：首先獲得并項后的一個通項公式，即先求當為奇數(shù)時，的表達式；第二步：然后對分奇、偶進行討論，即當為偶數(shù)時，由求出；第三步：當為奇數(shù)且時，由求出，特別注意對時要單獨討論，即要單獨求出.第四步：將代入當為奇數(shù)且時的表達式進行檢驗，如果適合，結(jié)果寫成兩段分段函數(shù)形式表示，如果不適合，結(jié)果寫成三段分段函數(shù)形式表示已知數(shù)列的通項公式，求數(shù)列的前項和.解：第一步：首先獲得并項后的一個通項公式，即先求當為奇數(shù)時，的表達式不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)列的項依次為間隔出現(xiàn)，所以,第二步：然后對分奇、偶進行討論，即當為偶數(shù)時，由求出①當為偶數(shù)時,第三步：當為奇數(shù)且時，由求出，特別注意對時要單獨討論，即要單獨求出.②當為奇數(shù)且時，第四步：將代入當為奇數(shù)且時的表達式進行檢驗，如果適合，結(jié)果寫成兩段分段函數(shù)形式表示，如果不適合，結(jié)果寫成三段分段函數(shù)形式表示③當時,綜上，已知數(shù)列的通項公式，求數(shù)列的前項和.解：第一步：首先獲得并項后的一個通項公式，即先求當為奇數(shù)時，的表達式； 因為當為奇數(shù)時，第二步：然后對分奇、偶進行討論，即當為偶數(shù)時，由求出； ①當為偶數(shù)時, 第三步：當為奇數(shù)且時，由求出，特別注意對時要單獨討論，即要單獨求出.②當為奇數(shù)且時，第四步：將代入當為奇數(shù)且時的表達式進行檢驗，如果適合，結(jié)果寫成兩段分段函數(shù)形式表示，如果不適合，結(jié)果寫成三段分段函數(shù)形式表示③當時, 又因為適合當為奇數(shù)且時.綜上，1．已知為數(shù)列的前n項和，且滿足，其中，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，若對任意的，都有，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，當時，，所以，當時，，所以，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，所以；（2）由（1）得，則，故，，而隨的增大而減小，所以，隨的增大而增大，所以，因為對任意的，都有，所以.2．已知數(shù)列是遞增數(shù)列，前項和為，且當時，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為當時，，則，所以，兩式相減可得，整理得，即.因為是遞增數(shù)列，且，所以，則，即，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，即，經(jīng)檢驗時成立，則.（2）由（1）知.當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，，綜上所述，.3．在數(shù)列中，，且數(shù)列是等差數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)若，設數(shù)列的前項和為，求.【答案】(1)；(2)220.【詳解】（1）因為，所以.所以數(shù)列是首項為4，公差為2的等差數(shù)列，所以.當時，，當時，也滿足上式，所以.（2）由（1）知，.當時，.4．已知數(shù)列滿足：，.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前20項和.【答案】(1)證明見解析，(2)【詳解】（1）顯然，由得，又，則數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列.由，得.（2）由（1）可知，所以.5．設是數(shù)列的前項和，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當時，，解得.當時，，兩式相減得，即，又，數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列.數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）知，，，當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，，.6．已知是等比數(shù)列，滿足，且成等差數(shù)列，數(shù)列滿足．(1)求和的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和：(3)設，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)，(2)(3)【詳解】（1）設數(shù)列的公比為，則由條件得，又，可得，則，因為，解得，故．對于，當時，，當時，由得，所以可得，可得，且也適合，故，所以，，即和的通項公式分別為，.（2）因為，所以．（3）由（1）可得，所以①，所以②，①②得，所以.7．在等差數(shù)列中，.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設的公差為，則解得所以.（2）（方法一）.（方法二）當為偶數(shù)時，當為奇數(shù)時，.綜上，8．已知是等比數(shù)列，滿足，且成等差數(shù)列，數(shù)列滿足.(1)求和的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）設等比數(shù)列的公比為，依題意，，又，則，即，而，解得，因此；數(shù)列中，當時，，由，得當時，，兩式相減得，即，顯然滿足上式，因此，所以數(shù)列和的通項公式分別為.（2）由（1）知，，，因此當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，，所以數(shù)列的前n項和.含絕對值求和問題給出數(shù)列，要求數(shù)列的前項和，必須分清取什么值時如果數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項和，那么有：①若則有②若則有如果數(shù)列為等比數(shù)列，為其前項和，那么有：已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，，求.解：(1)快速求解通項設各項都為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，則，因為，，所以，解得，，所以，(2)第一步：秒求臨界由(1)知，，故，第二步：利用結(jié)論當時，；當時，，故.已知等差數(shù)列的首項為6，公差為，且成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）若，求的值.解：(1)快速求解通項公差為成等比數(shù)列，解得或當時，；當時，，故或.(2)第一步：秒求臨界∵0，∴=-1，此時．第二步：利用結(jié)論當時，當時，在公差不為零的等差數(shù)列中，，且、、成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.解：(1)快速求解通項設公差為，由、、成等比數(shù)列，得.解得.所以.(2)第一步：秒求臨界因為所以.第二步：利用結(jié)論當時，，所以.當時，，所以.∴.1．已知數(shù)列的前n項和，且的最大值為．(1)確定常數(shù)，并求；(2)求數(shù)列的前15項和．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）解：由數(shù)列的前n項和，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當時，取得最大值，即，解得，所以，

當時，，當時，（符合上式），所以數(shù)列的通項公式為.（2）解：由（1）知，可得，且當且時，可得；當且時，可得，所以數(shù)列的前15項和：．2．設等差數(shù)列的前項和為，，．(1)求的通項公式；(2)設數(shù)列的前項和為，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，，，，解得，，故.（2）由（1）知，，，，，．3．已知等差數(shù)列，記為的前項和，從下面①②③中再選取一個作為條件，解決下面問題．①；②；③．(1)求的最小值；(2)設的前項和為，求．【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，且．選擇①：（1）因為，所以，解得．所以，則，利用二次函數(shù)對稱性和開口方向知，關(guān)于對稱，因為，所以當或6時，.選擇②：因為，可得，因為，所以，此時，所