專題02 五大類數(shù)列題型-2024年高考數(shù)學(xué)最后沖刺大題秒殺技巧及題型專項(xiàng)訓(xùn)練（新高考新題型專用）（教師解析版）

專題02五大類數(shù)列題型-2024年高考數(shù)學(xué)大題秒殺技巧及專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）【題型1錯(cuò)位相減求和無(wú)需錯(cuò)位直接出答案】【題型2裂項(xiàng)相消巧妙變形問(wèn)題】【題型3分組求和必記常見(jiàn)結(jié)論】【題型4含類求和問(wèn)題】【題型5含絕對(duì)值求和問(wèn)題】數(shù)列求和之前需要掌握一些求數(shù)列通項(xiàng)的技巧，技巧如下：當(dāng)高考數(shù)列大題出現(xiàn)《與》或《與》遞推關(guān)系且關(guān)系式中系數(shù)為1時(shí)，應(yīng)遵循以下步驟第一步：作差第二步：列舉第三步：求和→簡(jiǎn)稱《知差求和》注意：列舉時(shí)最后一項(xiàng)必須是已知{}的首項(xiàng)，，（）求通項(xiàng)公式。解：第一步：作差第二步：列舉。。。。。。。。。。。 左側(cè) 右側(cè)第三步：求和口訣：左左加右右加，相互抵消用等差∴當(dāng)高考數(shù)列大題出現(xiàn)《與》或《與》遞推關(guān)系且關(guān)系式中系數(shù)不為1時(shí)，應(yīng)遵循以下步驟第一步：秒求所配系數(shù)第二步：尋找新的等比數(shù)列第三步：求新數(shù)列的通項(xiàng)第四步反解→簡(jiǎn)稱《構(gòu)造法》結(jié)論:已知數(shù)列中,,,求的通項(xiàng)公式.解:第一步：秒求所配系數(shù)==1第二步：尋找新的等比數(shù)列,是首項(xiàng)為,公比為2的等比數(shù)列,第三步：求新數(shù)列的通項(xiàng)即第四步反解驗(yàn)證：當(dāng)也成立故答案為：當(dāng)高考數(shù)列大題出現(xiàn)《與》或《與》遞推關(guān)系，關(guān)系式中系數(shù)不為1且還存在n時(shí)，應(yīng)遵循以下步驟第一步：秒求所配系數(shù)第二步：尋找新的等比數(shù)列第三步：求新數(shù)列的通項(xiàng)第四步反解→簡(jiǎn)稱《構(gòu)造法》結(jié)論:已知：，時(shí)，，求的通項(xiàng)公式。解：第一步：秒求所配系數(shù)設(shè)∴秒求解得：∴第二步：尋找新的等比數(shù)列∴是以3為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列第三步：求新數(shù)列的通項(xiàng)∴第四步反解∴驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)通項(xiàng)也成立故答案為：當(dāng)高考數(shù)列大題出現(xiàn)《與》或《與》遞推關(guān)系，關(guān)系式中系數(shù)不為1且還存在指數(shù)時(shí)，應(yīng)遵循以下步驟第一步：等式兩邊直接同除以第二步：尋找新的數(shù)列第三步：秒求所配系數(shù)第四步：尋找新的等比數(shù)列第五步：求新數(shù)列的通項(xiàng)第六步反解→簡(jiǎn)稱《直接除+構(gòu)造法》結(jié)論：已知中，，（）求。第一步：等式兩邊直接同除以由得第二步：尋找新的數(shù)列∴成等差數(shù)列，驗(yàn)證：當(dāng)也成立故答案為∴型，可化為的形式。待定系數(shù)法，其中在數(shù)列{}中，，當(dāng)，①求通項(xiàng)公式.解：①第一步：秒出系數(shù)①式可化為：比較系數(shù)得，不妨取.①式可化為：第二步：出現(xiàn)新的等比數(shù)列則是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比為3.第三步：求新等比數(shù)列通項(xiàng)∴.利用上題結(jié)果有：第四步：反解.題型1錯(cuò)位相減求和無(wú)需錯(cuò)位直接出答案錯(cuò)位相減；形式必須是則求和：秒殺1卷子上書(shū)寫(xiě)第一步：尋找標(biāo)準(zhǔn)形式可知，{}的通項(xiàng)是等差數(shù)列的通項(xiàng)與等比數(shù)列{}的通項(xiàng)之積第二步：列舉①………………②①－②得？第三步：利用結(jié)論秒求草稿紙上書(shū)寫(xiě)第四步：化解結(jié)論求卷子上書(shū)寫(xiě)秒殺2卷子上書(shū)寫(xiě)第一步：尋找標(biāo)準(zhǔn)形式可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積第二步：列舉①………………②①－②得？第三步：利用結(jié)論秒求草稿紙上書(shū)寫(xiě)則其中或第四步：化解結(jié)論求卷子上書(shū)寫(xiě)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：秒殺1卷子上書(shū)寫(xiě)（1）快速求解通項(xiàng)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.不適合.綜上所述，；⑵第一步：尋找標(biāo)準(zhǔn)形式由（1）可得.第二步：列舉當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，①，得②，①－②得？第三步：利用結(jié)論秒求草稿紙上書(shū)寫(xiě)第四步：化解結(jié)論求卷子上書(shū)寫(xiě)，滿足，因此，.1．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，且.(1)寫(xiě)出，，并求的通項(xiàng)公式；(2)記求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解法一：因?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，，，所以.當(dāng)時(shí)，，，所以.當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，也符合上式.綜上，解法二：因?yàn)椋?，，所以，?dāng)時(shí)，，，所以.當(dāng)時(shí)，，，所以.因?yàn)?，所以，?所以，即.又，所以（2）解法一：由（1）得，即記則①，②①-②，得，所以，故.解法二：由（1）得，即.記，則.故.2．記.(1)當(dāng)時(shí)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求的通項(xiàng)公式；(2)記是的導(dǎo)函數(shù)，求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.又當(dāng)時(shí)，不滿足上式，所以（2）①②①-②得，3．設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，．(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列的前項(xiàng)和分別為；（?。┳C明；（ⅱ）求．【答案】(1)；(2)（?。┳C明見(jiàn)解析；（ⅱ）【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，，因?yàn)?，可得，解得，又因?yàn)?，可得，又由且，可得，解得（?fù)值舍去），所以.（2）（?。┳C明：由，可得，所以，則.（?、。┙猓河桑傻?，則，可得，則，兩式相減得，，所以，即4．已知數(shù)列中，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，記為的前項(xiàng)和，證明：時(shí)，.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)?，所以，作差可得，變形為，即，即，化?jiǎn)為，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）因?yàn)?，所以，，作差可得，所以，，設(shè)，則在給定區(qū)間上遞減，又故在是減函數(shù)，，所以當(dāng)時(shí)，.5．設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)求；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，則，即，而，因此，解得，所以.（2）由（1）知，，則，則，于是，兩式相減得，即.6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，從而，當(dāng)時(shí)，也滿足，故.（2）由（1）可知，所以，從而，所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.7．設(shè)數(shù)列滿足：，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意知數(shù)列滿足：，，則，，故為首項(xiàng)是6，公比為2的等比數(shù)列，故，即，適合上述結(jié)果，故；（2）設(shè)，則，設(shè)，故；，，作差得到，故，，故.8．已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵，當(dāng)時(shí)，，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴∴數(shù)列是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，∴.（2）由（1）知，，∴，∴，兩式相減得，∴裂項(xiàng)相消巧妙變形問(wèn)題裂項(xiàng)相消求和①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩在數(shù)列中，，又，求數(shù)列的前項(xiàng)的和.解：第一步：裂項(xiàng)∵∴第二步：裂項(xiàng)求和∴數(shù)列的前項(xiàng)和＝＝求證：證明：第一步：裂項(xiàng)設(shè)∵第二步：裂項(xiàng)求和∴＝＝＝∴原等式成立已知，若數(shù)列的前項(xiàng)和，則________．解：第一步：裂項(xiàng)因?yàn)椋诙剑毫秧?xiàng)求和所以，因此，即.1．已知是等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，且，求的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，解得．又是等差數(shù)列，，所以公差，故.（2）由，得，所以,又,當(dāng)時(shí)，,又也適合上式，所以,則,所以.2．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，.(1)求的通項(xiàng)公式：(2)已知函數(shù)，數(shù)列滿足：.（i）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式（ii）設(shè)，證明：，【答案】(1)(2)（i）證明見(jiàn)解析，；（ii）證明見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列中，，所以.又因?yàn)?，所以，進(jìn)而公比，所以.（2）（i）因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列.所以，即.（ii）.當(dāng)時(shí)，左式，右式，左式＝右式.當(dāng)時(shí)，下面先證明，，令，，，，，又，，即，又，所以..所以.即.綜上：當(dāng)時(shí)，.3．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．求證：．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)詳解.【詳解】（1）記數(shù)列的公比為，則，解得，所以.（2）由（1）可得，，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，?4．已知為公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且．(1)求的值；(2)若，求證：．【答案】(1)2(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）解法一：設(shè)的公差為，由①，得②，則②-①得，即，又，則；解法二：設(shè)的公差為，因?yàn)?，所以?duì)恒成立，即對(duì)恒成立，所以，又，則；（2）由得，即，所以，又即，則，因此則．5．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，又當(dāng)時(shí)，也成立，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可得，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.6．已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，是公差為1的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）因是公差為1的等差數(shù)列，而，則，因此，即，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足上式，所以的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）知：，所以.7．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，，求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由①，當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，②，①-②，得，數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，．經(jīng)驗(yàn)證符合上式，所以．（2）由（1）知，，．則，故，所以，，，故.8．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，即．?dāng)時(shí)，，又適合上式，所以．（2），故．分組求和必記常見(jiàn)結(jié)論①等差數(shù)列求和公式：②等比數(shù)列求和公式：③④⑤求數(shù)列的前項(xiàng)和：，解：第一步：分組設(shè)將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得第二步：分組求和當(dāng)時(shí)，＝當(dāng)時(shí)，＝求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：第一步：分組設(shè)∴＝將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得＝第二步：分組求和＝記正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，.等差數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）快速求解通項(xiàng)設(shè)的公比為，的公差為，，即，，，，解得或（舍去），，，，，，；第一步：分組依題意，，第二步：分組求和數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，故.1．已知數(shù)列，______.在①數(shù)列的前n項(xiàng)和為，；②數(shù)列的前n項(xiàng)之積為，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中并解答.（注：如果選擇多個(gè)條件，按照第一個(gè)解答給分.在答題前應(yīng)說(shuō)明“我選______”）(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)條件選擇見(jiàn)解析，(2)【詳解】（1）選①，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，（I），（II），（I）（II）得：，即，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.選②，當(dāng)時(shí)，，即,當(dāng)時(shí)，，即,當(dāng)時(shí)，符合上式.所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以（2）因?yàn)?，所以，所?2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)給定，記集合中的元素個(gè)數(shù)為，若，試求的最小值.【答案】(1)(2)11【詳解】（1）依題意，①當(dāng)時(shí)，，②.①②兩式相減得，即，因?yàn)椋?，即，所以是公差?的等差數(shù)列，又，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）依題意，即，因?yàn)?，所以滿足不等式的正整數(shù)個(gè)數(shù)為，即，.，因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為11.3．已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且滿足，其中，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，若對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，所以；（2）由（1）得，則，故，，而隨的增大而減小，所以，隨的增大而增大，所以，因?yàn)閷?duì)任意的，都有，所以.4．已知數(shù)列滿足，，且．(1)證明為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，?易知，所以，因?yàn)椋允堑缺葦?shù)列，首項(xiàng)，公比，所以．（2）由（1）可得，先證明左邊：即證明，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，再證明右邊：，因?yàn)?，所以，即，下面證明，即證，即證，設(shè)，，則，設(shè)，，因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，則，即，，所以，所以．綜上，．5．已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由題意可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由得，，兩式作差可得，，也適合該式，故；（2）證明：由題意知，故，由于，則，故，即.6．已知數(shù)列滿足.(1)設(shè)，證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，又，則，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可知，，由于，所以，所以.7．在等差數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若記為中落在區(qū)間內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求的前k項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）等差數(shù)列中，由，得，而，解得，因此數(shù)列的公差，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）知，，由，得，整理得，因此正整數(shù)滿足，從而得，所以的前k項(xiàng)和為.8．已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記的前n項(xiàng)和為，求滿足的最大整數(shù)n．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)的公比為，則，因?yàn)?，所以，依題意可得，即，整理得，解得或（舍去），所以.（2）由（1）可知，故顯然，隨著的增大而增大，，，所以滿足的最大整數(shù).含類進(jìn)行求和問(wèn)題我們估且把這種求和的方法稱為“并項(xiàng)法”，可以推廣到一般情況，用“并項(xiàng)法”求形如通項(xiàng)公式為的擺動(dòng)數(shù)列前項(xiàng)和的步驟如下：第一步：首先獲得并項(xiàng)后的一個(gè)通項(xiàng)公式，即先求當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，的表達(dá)式；第二步：然后對(duì)分奇、偶進(jìn)行討論，即當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由求出；第三步：當(dāng)為奇數(shù)且時(shí)，由求出，特別注意對(duì)時(shí)要單獨(dú)討論，即要單獨(dú)求出.第四步：將代入當(dāng)為奇數(shù)且時(shí)的表達(dá)式進(jìn)行檢驗(yàn)，如果適合，結(jié)果寫(xiě)成兩段分段函數(shù)形式表示，如果不適合，結(jié)果寫(xiě)成三段分段函數(shù)形式表示已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：第一步：首先獲得并項(xiàng)后的一個(gè)通項(xiàng)公式，即先求當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，的表達(dá)式不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)列的項(xiàng)依次為間隔出現(xiàn)，所以,第二步：然后對(duì)分奇、偶進(jìn)行討論，即當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由求出①當(dāng)為偶數(shù)時(shí),第三步：當(dāng)為奇數(shù)且時(shí)，由求出，特別注意對(duì)時(shí)要單獨(dú)討論，即要單獨(dú)求出.②當(dāng)為奇數(shù)且時(shí)，第四步：將代入當(dāng)為奇數(shù)且時(shí)的表達(dá)式進(jìn)行檢驗(yàn)，如果適合，結(jié)果寫(xiě)成兩段分段函數(shù)形式表示，如果不適合，結(jié)果寫(xiě)成三段分段函數(shù)形式表示③當(dāng)時(shí),綜上，已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：第一步：首先獲得并項(xiàng)后的一個(gè)通項(xiàng)公式，即先求當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，的表達(dá)式； 因?yàn)楫?dāng)為奇數(shù)時(shí)，第二步：然后對(duì)分奇、偶進(jìn)行討論，即當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由求出； ①當(dāng)為偶數(shù)時(shí), 第三步：當(dāng)為奇數(shù)且時(shí)，由求出，特別注意對(duì)時(shí)要單獨(dú)討論，即要單獨(dú)求出.②當(dāng)為奇數(shù)且時(shí)，第四步：將代入當(dāng)為奇數(shù)且時(shí)的表達(dá)式進(jìn)行檢驗(yàn)，如果適合，結(jié)果寫(xiě)成兩段分段函數(shù)形式表示，如果不適合，結(jié)果寫(xiě)成三段分段函數(shù)形式表示③當(dāng)時(shí), 又因?yàn)檫m合當(dāng)為奇數(shù)且時(shí).綜上，1．已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且滿足，其中，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，若對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，所以；（2）由（1）得，則，故，，而隨的增大而減小，所以，隨的增大而增大，所以，因?yàn)閷?duì)任意的，都有，所以.2．已知數(shù)列是遞增數(shù)列，前項(xiàng)和為，且當(dāng)時(shí)，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，則，所以，兩式相減可得，整理得，即.因?yàn)槭沁f增數(shù)列，且，所以，則，即，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，即，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)成立，則.（2）由（1）知.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，綜上所述，.3．在數(shù)列中，，且數(shù)列是等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】(1)；(2)220.【詳解】（1）因?yàn)?，所?所以數(shù)列是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列，所以.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，所以.（2）由（1）知，.當(dāng)時(shí)，.4．已知數(shù)列滿足：，.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)【詳解】（1）顯然，由得，又，則數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列.由，得.（2）由（1）可知，所以.5．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，又，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列.數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，.6．已知是等比數(shù)列，滿足，且成等差數(shù)列，數(shù)列滿足．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和：(3)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)(3)【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，則由條件得，又，可得，則，因?yàn)?，解得，故．?duì)于，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由得，所以可得，可得，且也適合，故，所以，，即和的通項(xiàng)公式分別為，.（2）因?yàn)?，所以．?）由（1）可得，所以①，所以②，①②得，所以.7．在等差數(shù)列中，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)的公差為，則解得所以.（2）（方法一）.（方法二）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.綜上，8．已知是等比數(shù)列，滿足，且成等差數(shù)列，數(shù)列滿足.(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，依題意，，又，則，即，而，解得，因此；數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，，由，得當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，顯然滿足上式，因此，所以數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為.（2）由（1）知，，，因此當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.含絕對(duì)值求和問(wèn)題給出數(shù)列，要求數(shù)列的前項(xiàng)和，必須分清取什么值時(shí)如果數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，那么有：①若則有②若則有如果數(shù)列為等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，那么有：已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，，求.解：(1)快速求解通項(xiàng)設(shè)各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，則，因?yàn)?，，所以，解得，，所以?2)第一步：秒求臨界由(1)知，，故，第二步：利用結(jié)論當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為6，公差為，且成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求的值.解：(1)快速求解通項(xiàng)公差為成等比數(shù)列，解得或當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故或.(2)第一步：秒求臨界∵0，∴=-1，此時(shí)．第二步：利用結(jié)論當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在公差不為零的等差數(shù)列中，，且、、成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：(1)快速求解通項(xiàng)設(shè)公差為，由、、成等比數(shù)列，得.解得.所以.(2)第一步：秒求臨界因?yàn)樗?第二步：利用結(jié)論當(dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，，所以.∴.1．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，且的最大值為．(1)確定常數(shù)，并求；(2)求數(shù)列的前15項(xiàng)和．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）解：由數(shù)列的前n項(xiàng)和，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當(dāng)時(shí)，取得最大值，即，解得，所以，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，（符合上式），所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）解：由（1）知，可得，且當(dāng)且時(shí)，可得；當(dāng)且時(shí)，可得，所以數(shù)列的前15項(xiàng)和：．2．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，，解得，，故.（2）由（1）知，，，，，．3．已知等差數(shù)列，記為的前項(xiàng)和，從下面①②③中再選取一個(gè)作為條件，解決下面問(wèn)題．①；②；③．(1)求的最小值；(2)設(shè)的前項(xiàng)和為，求．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．選擇①：（1）因?yàn)椋?，解得．所以，則，利用二次函數(shù)對(duì)稱性和開(kāi)口方向知，關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)?，所以?dāng)或6時(shí)，.選擇②：因?yàn)椋傻?，因?yàn)?，所以，此時(shí)，所