邊際分析彈性分析與經(jīng)濟問題的最優(yōu)化課件

16四月2024邊際分析彈性分析與經(jīng)濟問題的最優(yōu)化復(fù)習(xí)：1.邊際：表示自變量增加1單位時，函數(shù)的增量的導(dǎo)數(shù)

稱為邊際

常用的邊際函數(shù)：邊際成本：邊際需求：邊際收益：邊際利潤：2.彈性:函數(shù)

在點x處的彈性，記作

表示：當(dāng)自變量變化1%時，函數(shù)變化的百

分?jǐn)?shù)為常用的彈性：成本彈性；需求彈性；收益彈性2第七章第八節(jié)一、邊際分析二、彈性分析三、經(jīng)濟問題的最優(yōu)化邊際分析、彈性分析與經(jīng)濟問題的最優(yōu)化3一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟學(xué)中稱為邊際；的偏導(dǎo)數(shù)二元函數(shù)一、邊際分析和分別稱為關(guān)于和的邊際。邊際的概念也可推廣到多元函數(shù)的情形。

例如,某種品牌的電視機營銷人員在開拓市場時,除了關(guān)心本品牌電視機的價格取向外,更關(guān)心其他品牌同類型電視機的價格情況,以決定自己的營銷策略。41.邊際函數(shù)定義:的偏導(dǎo)數(shù)都存在，設(shè)二元函數(shù)稱為關(guān)于的邊際。表示：當(dāng)y保持不變而x改變一個單位時，函數(shù)z=f(x,y)的變化量

稱為關(guān)于的邊際。表示：當(dāng)x保持不變而y改變一個單位時，函數(shù)z=f(x,y)的變化量

5例1設(shè)Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)為P(K,L)=20K0.3L0.7。其中P表示產(chǎn)量、K表示資本、L表示勞動。求解：P’K(1,1)及P’L(1,1)，并解釋其含義。P’K(1,1)=6(1)-0.7(1)0.7

=6P’K

=6K-0.7L0.7含義:

P’K=6表示當(dāng)資本在1個單位時，每增加一單位，產(chǎn)量約增加6單位。稱為資本的邊際生產(chǎn)量。P’L=14K0.3L-0.3P’L(1,1)=14(1)0.3(1)-0.3=14含義:

P’L

=14表示當(dāng)勞動在1個單位時，每增加一單位，產(chǎn)量約增加14單位。稱為勞動的邊際生產(chǎn)量。6例2已知某企業(yè)雇傭熟練工x人，非熟練工y人，日產(chǎn)量由二元函數(shù)決定。已知該企業(yè)雇傭熟練工20人，非熟練工50人，若增加熟練工1人，試估計對產(chǎn)量的影響。解：根據(jù)題意，必須求得因為,所以,日產(chǎn)大約會增加1800單位。實際上，日產(chǎn)量增加的真實值為用來逼近是恰當(dāng)?shù)摹?2.邊際需求設(shè)兩種相關(guān)商品甲和乙的需求函數(shù)為：其中

為甲，乙商品需求量，分別表示甲和乙

表示乙商品的價格

保持不變的情況下，

甲商品的價格變化時，甲商品需求量的變化率，的價格.需求量

的偏導(dǎo)數(shù)為邊際需求函數(shù)：稱其為甲商品關(guān)于自身價格的邊際需求；8表示乙商品的價格

保持不變的情況下，

稱其為甲商品關(guān)于自身價格的邊際需求；乙商品的價格變化時，甲商品需求量的變化率，的邊際解釋可與的邊際解釋類似.9

兩種商品彼此關(guān)系可分為為替代型還是互補型。

替代型：一種商品的需求增加時伴隨的結(jié)果是另一種商品需求的減少。如國產(chǎn)汽車與進口汽車、豬肉和雞蛋等。

互補型：一種商品的需求增加時，另一種商品的需求也跟著增加。例如高爾夫球桿與高爾夫球鞋、CD機和光盤等。假設(shè)有兩種商品A與B。p1與p2分別表示商品A與B每單位的價格。函數(shù)Q1（p1,p2）表示商品A的需求函數(shù)，函數(shù)Q2（p1,p2）表示商品B的需求函數(shù)。則函數(shù)恒有下列關(guān)系：即：商品A的價格p1上升，則商品A的需求量會下降。商品B的價格p2上升，則商品B的需求量會下降。3、利用偏導(dǎo)數(shù)對兩種商品之間性質(zhì)進行解釋10兩商品在價格(x0,y0)處為互補型

表示當(dāng)商品B的價格上升時，商品A的需求量減少；當(dāng)A的價格上升時，商品B的需求量減少。即一種商品需求的減少導(dǎo)致另一種商品需求的減少。兩商品在價格(p1,p2)處為替代型

表示當(dāng)商品B的價格上升時，商品A的需求量增加；當(dāng)A的價格上升時，商品B的需求量增加。即一種商品需求的減少導(dǎo)致另一種商品需求的增加。11例3兩種商品A與B，當(dāng)其價格分別為x與y時的需求函數(shù)為

f(x,y)=300-6x2+10y2(A的需求函數(shù))

g(x,y)=600+6x-2y2(B的需求函數(shù))試問這兩種商品為替代型還是互補型？解：所以，兩種商品為替代型關(guān)系。12二、彈性分析在一元函數(shù)處的彈性為它表示y在x處的相對變化率。彈性的概念也可推廣到多元函數(shù)的情形。

例如：某品牌電視機的銷售量是它的價格及其他品牌電視機價格的函數(shù)13通過分析其邊際及可知道，隨著及變化而變化的規(guī)律。進一步分析其彈性

可知這種變化的靈敏度。

前者稱為對的彈性

;后者稱為對的彈性,亦稱為對的交叉彈性。這里,我們將主要研究交叉彈性及其經(jīng)濟意義。141.偏彈性函數(shù)

定義設(shè)函數(shù)

z=f

(

x

,y

)

在

(

x

,y

)

處偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)對

x

的相對改變量與自變量

x

的相對改變量之比

稱為函數(shù)

z=f

(

x

,y

)

對

x

從

x

到

x+

x

兩點間的彈性.

15當(dāng)

x

0

時，

的極限稱為f

(

x

,y

)

在

(

x

,y

)

處對

x

的彈性，記作或

即類似可定義f

(

x

,y

)

在

(

x

,y

)

對

y

的彈性

16假設(shè)有兩種商品A與B。p1與p2分別表示商品A與B每單位的價格。函數(shù)Q1（p1,p2）表示商品A的需求函數(shù)，函數(shù)Q2（p1,p2）表示商品B的需求函數(shù)。稱：為需求量對自身價格的直接價格偏彈性。稱2、需求價格偏彈性為需求量對相關(guān)價格的交叉價格偏彈性。17例4設(shè)某市場牛肉的需求函數(shù)為

Q1＝4580-5P1+1000+1.5P2其中牛肉價格P1＝10,相關(guān)商品豬肉的價格P2＝8.求(1)牛肉需求的價格偏彈性,(2)牛肉需求的交叉價格偏彈性,(3)若豬肉價格增加10%,求牛肉需求量的變化率.解:(1)牛肉需求的價格偏彈性為18例4設(shè)某市場牛肉的需求函數(shù)為

Q1＝4580-5P1+1000+1.5P2其中牛肉價格P1＝10,相關(guān)商品豬肉的價格P2＝8.求(1)牛肉需求的價格偏彈性,(2)牛肉需求的交叉價格偏彈性,(3)若豬肉價格增加10%,求牛肉需求量的變化率.解:(2)牛肉需求的交叉價格偏彈性為19例4設(shè)某市場牛肉的需求函數(shù)為

Q1＝4580-5P1+1000+1.5P2其中牛肉價格P1＝10,相關(guān)商品豬肉的價格P2＝8.求(1)牛肉需求的價格偏彈性,(2)牛肉需求的交叉價格偏彈性,(3)若豬肉價格增加10%,求牛肉需求量的變化率.解:3)由需求的交叉價格偏彈性,得即當(dāng)相關(guān)商品豬肉的價格增加10%,而牛肉價格不變時,牛肉的市場需求量將增加0.02％．20例5隨著養(yǎng)雞工業(yè)化程度的提高，肉雞價格(用表示)會不斷下降?，F(xiàn)估計明年肉雞價格將下降5%,且豬肉需求量(用表示)對肉雞價格的交叉彈性為

0.85，問明年豬肉的需求量將如何變化?將導(dǎo)致豬肉需求量的下降。

解由于雞肉與豬肉互為替代品，故肉雞價格的下降依題意，豬肉需求量對肉雞價格的交叉彈性為

而肉雞價格將下降

于是豬肉的需求量將下降

21也可用偏彈性函數(shù)來描述兩種商品彼此為替代型還是互補型。假設(shè)有兩種商品A與B。p1與p2分別表示商品A與B每單位的價格。函數(shù)Q1（p1,p2）表示商品A的需求函數(shù)，函數(shù)Q2（p1,p2）表示商品B的需求函數(shù)。因為函數(shù)恒有下列關(guān)系：所以恒有：2、需求價格偏彈性22若兩商品在價格(p1,p2)處為替代型

因為：則有：表示當(dāng)商品A的價格不變，而商品B的價格上升時，商品A的需求量增加；當(dāng)商品B的價格不變，而A的價格上升時，商品A的需求量增加。即一種商品需求的減少導(dǎo)致另一種商品需求的增加，兩種產(chǎn)品是替代關(guān)系。23若兩商品在價格(p1,p2)處為互補型

因為：則有：表示當(dāng)商品A的價格不變，而商品B的價格上升時，商品A的需求量減少；當(dāng)商品B的價格不變，而A的價格上升時，商品A的需求量減少。即一種商品需求的減少導(dǎo)致另一種商品需求的減少，兩種產(chǎn)品是互補關(guān)系。24

小結(jié)：不同交叉彈性的值，能反映兩種商品間的相關(guān)性，具體就是：當(dāng)交叉彈性大于零時，兩商品互為替代品；當(dāng)交叉彈性小于零時，兩商品為互補品；當(dāng)交叉彈性等于零時，兩商品為相互獨立的商品。25例6某種數(shù)碼相機的銷售量,除與它自身的價格有關(guān)外，還與彩色噴墨打印機的價格有關(guān)，具體為

求時

,(1)對的彈性

;(2)對的交叉彈性。

解(1)對的彈性為26當(dāng)時，

(2)對的彈性為當(dāng)時，

27三、經(jīng)濟問題的最優(yōu)化例7：某企業(yè)生產(chǎn)兩種商品的產(chǎn)量分別為x、y單位,利潤函數(shù)為：L=64-2x2+4xy-4y2+32y-14，求最大利潤。解：由極值的必要條件解得唯一駐點(40,24).由可知,唯一駐點(40,24)為極大值點,亦即最大值點。最大值為：L(40,24)=165028例8：某廠生產(chǎn)A、B兩產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為x和y(單位:千件),利潤函數(shù)為L=6x-x2+16y-4y2-2(單位:萬元);已知生產(chǎn)這兩產(chǎn)品時,每千件消耗某原料2000公斤,現(xiàn)有該原料12000公斤,問兩產(chǎn)品各生產(chǎn)多少,總利潤最大？解：條件極值問題拉格朗日函數(shù)令解得唯一駐點：由實際意義可知,最大值為答：當(dāng)A生產(chǎn)3.8千件,B生產(chǎn)2.2千件時,利潤最大,最大利潤為36.72萬元。29

例9某工廠預(yù)估其生產(chǎn)函數(shù)為P(K,L)=100K1/4

L3/4，其中K與L分別代表資本和勞動力的單位數(shù)量。每單位的資本成本為200元，每單位的勞動力成本為100元。若每日所能使用的資本及勞動力成本限制為8000元，求日產(chǎn)量達到最大時資本與勞動力的配置數(shù)量。

解：問題轉(zhuǎn)化成令其偏導(dǎo)數(shù)為0：30例10假設(shè)劉先生擁有一口礦泉，使用自有的泉源生產(chǎn)礦泉水且為小鎮(zhèn)的唯一供貨商，因為生產(chǎn)成本極低，此處不予計算。如果他的價格函數(shù)為p=60-0.01x，x≦6000，其中p表示每日可以賣出x公升的價格。求其最大收入。解：劉先生的收入函數(shù)為R(x)=(60-0.01x)x