不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異在我們學(xué)習(xí)過(guò)的

一

次函數(shù)

、

二

次函數(shù)

、

反比例函數(shù)

、

冪函數(shù)

、

指數(shù)函數(shù)

、

對(duì)數(shù)函數(shù)中哪些函數(shù)在定義域上是增函數(shù)？情境引入高中數(shù)學(xué)情境引入h(x)

=

loga

x(a

>1)g

(x)

=

ax

(a>1)f(x)

=

kx(k>

0)高中數(shù)學(xué)3y=

xy

=

y=x雖然它們都是增函數(shù)，但增長(zhǎng)方式存在很大差異，

這種差異正是不同類型現(xiàn)實(shí)問(wèn)題具有不同增長(zhǎng)規(guī)律的反映.下面就來(lái)研究

一

次函數(shù)

f

(x

)

=kx+

b,

k

>0

，

指數(shù)函數(shù)g(x

)

=

ax

(a

>

1)，對(duì)數(shù)函數(shù)

h(x)

=

loga

x(a

>1)在定義域內(nèi)增長(zhǎng)方式的差異.我們采用由特殊到

一般，

由具體到抽象的研究方法.情境引入高中數(shù)學(xué)分析：

(1)在區(qū)間(-∞

,0)上，

指數(shù)函數(shù)

y=2x值恒大于0，

一

次函數(shù)

y=2x值恒小于0，

所以我們重點(diǎn)研究在區(qū)間(0,+∞)上它們的增長(zhǎng)差異.以函數(shù)

y=2x

與

y=2x為例研究指數(shù)函數(shù)

、

一

次函數(shù)增長(zhǎng)方式的差異.探究一：高中數(shù)學(xué)xy=2xy=2x0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386·

·

··

·

··

·

·以函數(shù)

y=2x

與

y=2x為例研究指數(shù)函數(shù)

、

一

次函數(shù)增長(zhǎng)方式的差異.(2)借助信息技術(shù)，

在同

一直角坐標(biāo)系內(nèi)列表

、

描點(diǎn)作圖如下：

y=2x

y=2xy

O高中數(shù)學(xué)x綜上：

雖然函數(shù)y=2x

與y=2x都是增函數(shù)，

但是它們的增長(zhǎng)速度不同，

函數(shù)y=2x的增長(zhǎng)速度不變，

但是y=2x

的增長(zhǎng)速度改變，

先慢

后快.高中數(shù)學(xué)(3)

觀察兩個(gè)函數(shù)圖象及其增長(zhǎng)方式：結(jié)論

一：

函數(shù)y=2x

與y=2x有兩個(gè)交點(diǎn)(1,2)和(2,4)；結(jié)論二：

在區(qū)間(0,

1)上，

函數(shù)y=2x

的圖象位于y=2x之上；結(jié)論三：

在區(qū)間(1,2)上，

函數(shù)y=2x

的圖象位于y=2x之下；

結(jié)論四：

在區(qū)間(2,3)上，

函數(shù)y=2x

的圖象位于y=2x之上.y87654321

O1

2

x(1,2)(2,4)請(qǐng)大家想象

一

下，

取更大的x值，

在更大的范圍內(nèi)兩個(gè)函數(shù)圖象的關(guān)系？想象：

隨著自變量取值越來(lái)越大，

函數(shù)y=2x

的圖象幾乎與x

軸垂直，

函數(shù)值快速增長(zhǎng)，

函數(shù)y=2x的增長(zhǎng)速度保持不變，

和y=2x

的增長(zhǎng)相比幾乎微不足道.高中數(shù)學(xué)總結(jié)

一：

函數(shù)

y=2x與

y=2x在[0,+∞)上增長(zhǎng)快慢的不同如下：雖然函數(shù)

y=2x與

y=2x在[0,+∞)上都是單調(diào)遞增，

但它們的增長(zhǎng)速度不同，

而且不在

一

個(gè)“檔次

”.隨著x

的增大，y=2x

的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，

會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=2x的增長(zhǎng)速度.盡管在x

的

一

定范圍內(nèi)，

2x<2x，

但由于y=2x

的增長(zhǎng)最終會(huì)快于y=2x的增長(zhǎng)，因此，

總會(huì)存在

一

個(gè)x0，當(dāng)x>x0

時(shí)，

恒有2x>2x.高中數(shù)學(xué)總結(jié)二：

一般地指數(shù)函數(shù)

y=ax(a>1)與

一

次函數(shù)

y=kx(k>0)的增長(zhǎng)都與上述類似.即使k值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于a值，

指數(shù)函數(shù)

y=ax(a>1)雖然有

一段區(qū)間會(huì)小于y=kx(k>0)，

但總會(huì)存在

一

個(gè)x0，當(dāng)x>x0

時(shí)，y=ax(a>1)的增長(zhǎng)速度會(huì)大

大超過(guò)

y=kx(k>0)的增長(zhǎng)速度.高中數(shù)學(xué)x051015202530y151305051130200531304505y25901620291605248809447840170061120y35305580105130155例1.

三個(gè)變量y1，y2，y3

隨變量x

變化的數(shù)據(jù)如下表：其中關(guān)于x呈指數(shù)增長(zhǎng)的變量是

y2

.高中數(shù)學(xué)分析：

(1)在區(qū)間(-∞

,0)上，

對(duì)數(shù)函數(shù)

y=lgx沒(méi)意義，

一

次函數(shù)值恒小于0，

所以研究在區(qū)間(0,+∞)上它們的增長(zhǎng)差異.x

為例研究對(duì)數(shù)函數(shù)

、

一

次函數(shù)增長(zhǎng)方式的差異.探究二：以函數(shù)

y=lgx與y

=高中數(shù)學(xué)101xy=lgx1y

=

10

x0不存在01011201.3012301.4773401.6024501.6995601.7786·

·

··

·

··

·

·以函數(shù)

y=lgx與y

=

x

為例研究對(duì)數(shù)函數(shù)

、

一

次函數(shù)增長(zhǎng)方式的差異.(2)借助信息技術(shù)，

在同

一直角坐標(biāo)系內(nèi)列表

、

描點(diǎn)作圖如下：y

=

x

y=lgxy654321

O10

20

30

40

50

60

x高中數(shù)學(xué)(3)

觀察兩個(gè)函數(shù)圖象及其增長(zhǎng)方式：總結(jié)

一：

雖然函數(shù)

y=lgx與y

=

x

在(0,+∞)上都是單調(diào)遞增，

但它們的增長(zhǎng)速度存在明顯差異.在(0,+∞)上增長(zhǎng)速度不變，

y=lgx在(0,+∞)上的增長(zhǎng)速度在變化.,而函數(shù)y=lgx的圖象越來(lái)越平緩，

就像與x軸平行

一樣.的圖象離x軸越來(lái)越遠(yuǎn)y654321

O隨著x

的增大，10

20

30

40

50

60

x1

y

=

10

x

高中數(shù)學(xué)1

x101

x10y=lgxy

=y=例如：

lg10=

1，

lg100=2，

lg1000=3，

lg10000=4；

′

10

=

1，

′

100

=

10，

′

1000

=

100，

′

10000

=

1000.這表明，當(dāng)x>10，

即y>1，y=lgx比y

=

x

相比增長(zhǎng)得就很慢了.y654321

O10

20

30

40

50

60

x1

y

=

10

x

y=lgx高中數(shù)學(xué)思考：

將y=lgx放大1000倍，

將函數(shù)y=

1000lgx與

y

=律嗎？

先想象

一

下，

仍然有.y1477012660105508440633042202110

O2110

4220

6330

8440105501266014770

1688018990211002321025320

274302954031650

3376035870

37980400904220044310

46420485305064052750比較，

仍有上面規(guī)高中數(shù)學(xué)1

x10x總結(jié)二：

一般地，雖然對(duì)數(shù)函數(shù)y

=

loga

x(a

>1)

與

一

次函數(shù)

y=kx(k>0)在(0,+∞)上都是單調(diào)遞增，

但它們的增長(zhǎng)速度不同.隨著x

的增大，

一

次函數(shù)

y=kx(k>0)保持固定的增長(zhǎng)速度，

而對(duì)數(shù)函數(shù)

y

=

loga

x(a

>1)

的增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢.不論a值比k值大多少，

在

一

定范圍內(nèi)，loga

x

(a>1)可能會(huì)大于kx，

但由于loga

x

(a>1)的增長(zhǎng)會(huì)慢于kx

的增長(zhǎng)，因此總存在

一

個(gè)x0，當(dāng)x>x0

時(shí)，恒有

log

a

x<

kx

.高中數(shù)學(xué)例2．

函數(shù)的圖象如圖所示

.（

1

）

試根據(jù)函數(shù)的增長(zhǎng)差異指出曲線C1，

C2

分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)；（2

）比較兩函數(shù)的增長(zhǎng)差異(以兩圖象交點(diǎn)為分界點(diǎn)，

對(duì)

f

(x

)

,

g

(x)

的大小進(jìn)行比較).高中數(shù)學(xué)例2．

函數(shù)的圖象如圖所示

.（

1

）

試根據(jù)函數(shù)的增長(zhǎng)差異指出曲線C1，

C2

分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)；（2

）比較兩函數(shù)的增長(zhǎng)差異(以兩圖象交點(diǎn)為分界點(diǎn)，

對(duì)

f

(x

)

,

g

(x)

的大小進(jìn)行比較).解：（

1

）

C1

對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝0.3x－

1，

C2

對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝lg

x.（2

）

當(dāng)x<x1時(shí)，g(x)>f(x)；當(dāng)x1<x<x2時(shí)，f(x)>g(x)；當(dāng)x>x2時(shí)，

g(x)>f(x)；當(dāng)x

＝x1

或x

＝x2時(shí)，f(x)＝g(x)

.高中數(shù)學(xué)探究三：(1)畫出

一

次函數(shù)y=2x

，

對(duì)數(shù)函數(shù)y=

lg

x

和指數(shù)函數(shù)y=

2x

的圖象，并比較它們的增長(zhǎng)差異.高中數(shù)學(xué)總結(jié)

一：

雖然函數(shù)y=2x，

函數(shù)y=lg

x與y=2x在(0,+∞)上都是單調(diào)遞增，

但它們的增長(zhǎng)速度存在明顯差異.y=2x在(0,+∞)上增長(zhǎng)速度不變，

函數(shù)y=lg

x與

y=

2x

在(0,+∞)上的增長(zhǎng)速度在變化.函數(shù)y=

2x

的圖象越來(lái)越陡，

就像與x軸垂直

一樣；

函數(shù)y=lg

x的圖象越來(lái)越平緩，

就像與

軸平行

一樣.高中數(shù)學(xué)(2)概括

一

次函數(shù)

y=kx

(k>0)

，

對(duì)數(shù)函數(shù)y=

loga

x

(a

>1)和指數(shù)函數(shù)

y=bx

(b>1)的增長(zhǎng)差異.高中數(shù)學(xué)總結(jié)二：

一般地，雖然

一

次函數(shù)y=kx

(k>0)，

對(duì)數(shù)函數(shù)

y=

loga

x

(a

>1)和指數(shù)函數(shù)y=bx

(b>1)在(0,+∞)上都是單調(diào)遞增，

但它們的增長(zhǎng)速度不同.隨著x

的增大，

一

次函數(shù)

y=kx

(k

>0保持固定的增長(zhǎng)速度，

而指數(shù)函數(shù)y=bx

(b>1的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快；

對(duì)數(shù)函數(shù)y=loga

x

(a>的增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢.不論b值比k值小多少，

在

一

定范圍內(nèi)，bx

可能會(huì)小于kx，

但由于bx

的增長(zhǎng)會(huì)快

于kx

的增長(zhǎng)，因此總存在

一

個(gè)x0，

當(dāng)

x

>

x0

時(shí)，

恒有bx

>

kx；同樣，

不論a值比k值大多少，

在

一

定范圍內(nèi)，loga

x

(a

>

1)可能會(huì)大于kx，

但由于loga

x

(a>1)的增長(zhǎng)會(huì)慢于kx的增長(zhǎng)，因此總存在

一

個(gè)x0

，當(dāng)

x

>

x0

時(shí)，恒有l(wèi)oga

x<

.kx

.高中數(shù)學(xué)總結(jié)二：

一般地，雖然

一

次函數(shù)y=kx

(k>0)，

對(duì)數(shù)函數(shù)y=loga

x

(a>1)和指數(shù)函數(shù)

y=bx

(b>1)

在(0,+∞)上都是單調(diào)遞增，

但它們的增長(zhǎng)速度

不同.隨著x

的增大，

一

次函數(shù)y=kx

(k

>0保持固定的增長(zhǎng)速度，

而指數(shù)函數(shù)y=bx

(b

>1的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快；

對(duì)數(shù)函數(shù)y=loga

x

(a>

的增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢.高中數(shù)學(xué)（3

）

討論交流“

直線上升

”“

對(duì)數(shù)增長(zhǎng)

”“指數(shù)爆炸

”

的含義

.高中數(shù)學(xué)直線上升：

增長(zhǎng)速度不變，

是

一

個(gè)固定的值；對(duì)數(shù)增長(zhǎng)：

增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，

圖象越來(lái)越平緩，

就像與x

軸平行

一樣；指數(shù)爆炸：

增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，以相同倍數(shù)增加，

圖象越來(lái)越陡，

最終就像與x軸垂直

一樣.（3

）

討論交流“

直線上升

”“

對(duì)數(shù)增長(zhǎng)

”“指數(shù)爆炸

”

的含義

.高中數(shù)學(xué)例3.

下列函數(shù)中隨x

的增大而增大且速度最快的是（

）

.A.

y=ex

B.

y=ln

xC.

y=