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文檔簡介
不同函數(shù)增長的差異在我們學(xué)習(xí)過的
一
次函數(shù)
、
二
次函數(shù)
、
反比例函數(shù)
、
冪函數(shù)
、
指數(shù)函數(shù)
、
對數(shù)函數(shù)中哪些函數(shù)在定義域上是增函數(shù)?情境引入高中數(shù)學(xué)情境引入h(x)
=
loga
x(a
>1)g
(x)
=
ax
(a>1)f(x)
=
kx(k>
0)高中數(shù)學(xué)3y=
xy
=
y=x雖然它們都是增函數(shù),但增長方式存在很大差異,
這種差異正是不同類型現(xiàn)實問題具有不同增長規(guī)律的反映.下面就來研究
一
次函數(shù)
f
(x
)
=kx+
b,
k
>0
,
指數(shù)函數(shù)g(x
)
=
ax
(a
>
1),對數(shù)函數(shù)
h(x)
=
loga
x(a
>1)在定義域內(nèi)增長方式的差異.我們采用由特殊到
一般,
由具體到抽象的研究方法.情境引入高中數(shù)學(xué)分析:
(1)在區(qū)間(-∞
,0)上,
指數(shù)函數(shù)
y=2x值恒大于0,
一
次函數(shù)
y=2x值恒小于0,
所以我們重點研究在區(qū)間(0,+∞)上它們的增長差異.以函數(shù)
y=2x
與
y=2x為例研究指數(shù)函數(shù)
、
一
次函數(shù)增長方式的差異.探究一:高中數(shù)學(xué)xy=2xy=2x0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386·
·
··
·
··
·
·以函數(shù)
y=2x
與
y=2x為例研究指數(shù)函數(shù)
、
一
次函數(shù)增長方式的差異.(2)借助信息技術(shù),
在同
一直角坐標系內(nèi)列表
、
描點作圖如下:
y=2x
y=2xy
O高中數(shù)學(xué)x綜上:
雖然函數(shù)y=2x
與y=2x都是增函數(shù),
但是它們的增長速度不同,
函數(shù)y=2x的增長速度不變,
但是y=2x
的增長速度改變,
先慢
后快.高中數(shù)學(xué)(3)
觀察兩個函數(shù)圖象及其增長方式:結(jié)論
一:
函數(shù)y=2x
與y=2x有兩個交點(1,2)和(2,4);結(jié)論二:
在區(qū)間(0,
1)上,
函數(shù)y=2x
的圖象位于y=2x之上;結(jié)論三:
在區(qū)間(1,2)上,
函數(shù)y=2x
的圖象位于y=2x之下;
結(jié)論四:
在區(qū)間(2,3)上,
函數(shù)y=2x
的圖象位于y=2x之上.y87654321
O1
2
x(1,2)(2,4)請大家想象
一
下,
取更大的x值,
在更大的范圍內(nèi)兩個函數(shù)圖象的關(guān)系?想象:
隨著自變量取值越來越大,
函數(shù)y=2x
的圖象幾乎與x
軸垂直,
函數(shù)值快速增長,
函數(shù)y=2x的增長速度保持不變,
和y=2x
的增長相比幾乎微不足道.高中數(shù)學(xué)總結(jié)
一:
函數(shù)
y=2x與
y=2x在[0,+∞)上增長快慢的不同如下:雖然函數(shù)
y=2x與
y=2x在[0,+∞)上都是單調(diào)遞增,
但它們的增長速度不同,
而且不在
一
個“檔次
”.隨著x
的增大,y=2x
的增長速度越來越快,
會超過并遠遠大于y=2x的增長速度.盡管在x
的
一
定范圍內(nèi),
2x<2x,
但由于y=2x
的增長最終會快于y=2x的增長,因此,
總會存在
一
個x0,當(dāng)x>x0
時,
恒有2x>2x.高中數(shù)學(xué)總結(jié)二:
一般地指數(shù)函數(shù)
y=ax(a>1)與
一
次函數(shù)
y=kx(k>0)的增長都與上述類似.即使k值遠遠大于a值,
指數(shù)函數(shù)
y=ax(a>1)雖然有
一段區(qū)間會小于y=kx(k>0),
但總會存在
一
個x0,當(dāng)x>x0
時,y=ax(a>1)的增長速度會大
大超過
y=kx(k>0)的增長速度.高中數(shù)學(xué)x051015202530y151305051130200531304505y25901620291605248809447840170061120y35305580105130155例1.
三個變量y1,y2,y3
隨變量x
變化的數(shù)據(jù)如下表:其中關(guān)于x呈指數(shù)增長的變量是
y2
.高中數(shù)學(xué)分析:
(1)在區(qū)間(-∞
,0)上,
對數(shù)函數(shù)
y=lgx沒意義,
一
次函數(shù)值恒小于0,
所以研究在區(qū)間(0,+∞)上它們的增長差異.x
為例研究對數(shù)函數(shù)
、
一
次函數(shù)增長方式的差異.探究二:以函數(shù)
y=lgx與y
=高中數(shù)學(xué)101xy=lgx1y
=
10
x0不存在01011201.3012301.4773401.6024501.6995601.7786·
·
··
·
··
·
·以函數(shù)
y=lgx與y
=
x
為例研究對數(shù)函數(shù)
、
一
次函數(shù)增長方式的差異.(2)借助信息技術(shù),
在同
一直角坐標系內(nèi)列表
、
描點作圖如下:y
=
x
y=lgxy654321
O10
20
30
40
50
60
x高中數(shù)學(xué)(3)
觀察兩個函數(shù)圖象及其增長方式:總結(jié)
一:
雖然函數(shù)
y=lgx與y
=
x
在(0,+∞)上都是單調(diào)遞增,
但它們的增長速度存在明顯差異.在(0,+∞)上增長速度不變,
y=lgx在(0,+∞)上的增長速度在變化.,而函數(shù)y=lgx的圖象越來越平緩,
就像與x軸平行
一樣.的圖象離x軸越來越遠y654321
O隨著x
的增大,10
20
30
40
50
60
x1
y
=
10
x
高中數(shù)學(xué)1
x101
x10y=lgxy
=y=例如:
lg10=
1,
lg100=2,
lg1000=3,
lg10000=4;
′
10
=
1,
′
100
=
10,
′
1000
=
100,
′
10000
=
1000.這表明,當(dāng)x>10,
即y>1,y=lgx比y
=
x
相比增長得就很慢了.y654321
O10
20
30
40
50
60
x1
y
=
10
x
y=lgx高中數(shù)學(xué)思考:
將y=lgx放大1000倍,
將函數(shù)y=
1000lgx與
y
=律嗎?
先想象
一
下,
仍然有.y1477012660105508440633042202110
O2110
4220
6330
8440105501266014770
1688018990211002321025320
274302954031650
3376035870
37980400904220044310
46420485305064052750比較,
仍有上面規(guī)高中數(shù)學(xué)1
x10x總結(jié)二:
一般地,雖然對數(shù)函數(shù)y
=
loga
x(a
>1)
與
一
次函數(shù)
y=kx(k>0)在(0,+∞)上都是單調(diào)遞增,
但它們的增長速度不同.隨著x
的增大,
一
次函數(shù)
y=kx(k>0)保持固定的增長速度,
而對數(shù)函數(shù)
y
=
loga
x(a
>1)
的增長速度越來越慢.不論a值比k值大多少,
在
一
定范圍內(nèi),loga
x
(a>1)可能會大于kx,
但由于loga
x
(a>1)的增長會慢于kx
的增長,因此總存在
一
個x0,當(dāng)x>x0
時,恒有
log
a
x<
kx
.高中數(shù)學(xué)例2.
函數(shù)的圖象如圖所示
.(
1
)
試根據(jù)函數(shù)的增長差異指出曲線C1,
C2
分別對應(yīng)的函數(shù);(2
)比較兩函數(shù)的增長差異(以兩圖象交點為分界點,
對
f
(x
)
,
g
(x)
的大小進行比較).高中數(shù)學(xué)例2.
函數(shù)的圖象如圖所示
.(
1
)
試根據(jù)函數(shù)的增長差異指出曲線C1,
C2
分別對應(yīng)的函數(shù);(2
)比較兩函數(shù)的增長差異(以兩圖象交點為分界點,
對
f
(x
)
,
g
(x)
的大小進行比較).解:(
1
)
C1
對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=0.3x-
1,
C2
對應(yīng)的函數(shù)為f(x)=lg
x.(2
)
當(dāng)x<x1時,g(x)>f(x);當(dāng)x1<x<x2時,f(x)>g(x);當(dāng)x>x2時,
g(x)>f(x);當(dāng)x
=x1
或x
=x2時,f(x)=g(x)
.高中數(shù)學(xué)探究三:(1)畫出
一
次函數(shù)y=2x
,
對數(shù)函數(shù)y=
lg
x
和指數(shù)函數(shù)y=
2x
的圖象,并比較它們的增長差異.高中數(shù)學(xué)總結(jié)
一:
雖然函數(shù)y=2x,
函數(shù)y=lg
x與y=2x在(0,+∞)上都是單調(diào)遞增,
但它們的增長速度存在明顯差異.y=2x在(0,+∞)上增長速度不變,
函數(shù)y=lg
x與
y=
2x
在(0,+∞)上的增長速度在變化.函數(shù)y=
2x
的圖象越來越陡,
就像與x軸垂直
一樣;
函數(shù)y=lg
x的圖象越來越平緩,
就像與
軸平行
一樣.高中數(shù)學(xué)(2)概括
一
次函數(shù)
y=kx
(k>0)
,
對數(shù)函數(shù)y=
loga
x
(a
>1)和指數(shù)函數(shù)
y=bx
(b>1)的增長差異.高中數(shù)學(xué)總結(jié)二:
一般地,雖然
一
次函數(shù)y=kx
(k>0),
對數(shù)函數(shù)
y=
loga
x
(a
>1)和指數(shù)函數(shù)y=bx
(b>1)在(0,+∞)上都是單調(diào)遞增,
但它們的增長速度不同.隨著x
的增大,
一
次函數(shù)
y=kx
(k
>0保持固定的增長速度,
而指數(shù)函數(shù)y=bx
(b>1的增長速度越來越快;
對數(shù)函數(shù)y=loga
x
(a>的增長速度越來越慢.不論b值比k值小多少,
在
一
定范圍內(nèi),bx
可能會小于kx,
但由于bx
的增長會快
于kx
的增長,因此總存在
一
個x0,
當(dāng)
x
>
x0
時,
恒有bx
>
kx;同樣,
不論a值比k值大多少,
在
一
定范圍內(nèi),loga
x
(a
>
1)可能會大于kx,
但由于loga
x
(a>1)的增長會慢于kx的增長,因此總存在
一
個x0
,當(dāng)
x
>
x0
時,恒有l(wèi)oga
x<
.kx
.高中數(shù)學(xué)總結(jié)二:
一般地,雖然
一
次函數(shù)y=kx
(k>0),
對數(shù)函數(shù)y=loga
x
(a>1)和指數(shù)函數(shù)
y=bx
(b>1)
在(0,+∞)上都是單調(diào)遞增,
但它們的增長速度
不同.隨著x
的增大,
一
次函數(shù)y=kx
(k
>0保持固定的增長速度,
而指數(shù)函數(shù)y=bx
(b
>1的增長速度越來越快;
對數(shù)函數(shù)y=loga
x
(a>
的增長速度越來越慢.高中數(shù)學(xué)(3
)
討論交流“
直線上升
”“
對數(shù)增長
”“指數(shù)爆炸
”
的含義
.高中數(shù)學(xué)直線上升:
增長速度不變,
是
一
個固定的值;對數(shù)增長:
增長速度越來越慢,
圖象越來越平緩,
就像與x
軸平行
一樣;指數(shù)爆炸:
增長速度越來越快,以相同倍數(shù)增加,
圖象越來越陡,
最終就像與x軸垂直
一樣.(3
)
討論交流“
直線上升
”“
對數(shù)增長
”“指數(shù)爆炸
”
的含義
.高中數(shù)學(xué)例3.
下列函數(shù)中隨x
的增大而增大且速度最快的是(
)
.A.
y=ex
B.
y=ln
xC.
y=
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