2023年各地中考幾何壓軸題匯編附詳解

2023年各地中考幾何壓軸題匯編

1.(2023?安徽)在RtZ\A」BC中，M是斜邊AB的中點，將線段MA繞點M旋轉(zhuǎn)至位置,

點D在直線AB外,連接AD,BD.

(1)如圖1,求—4)8的大??；

(2)已知點O和邊AC上的點E滿足ME±AD,DE//AB.

(i)如圖2,連接CO,求證：BD=CD；

(ii)如圖3,連接6E,若4。=8,8。=6,求3//由上的值.

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2.（2023?北京）在_ABC中、NB=NC=a（O°＜。＜45°）,AM_16c于點M。是線段

上的動點（不與點MC重合），將線段ZW繞點。順時針旋轉(zhuǎn)2。得到線段。E.

（1）如圖1,當(dāng)點E在線段AC上時,求證：。是MC的中點；

（2）如圖2,若在線段BM上存在點尸（不與點B,"重合）滿足?！?OC,連接AE,EF,

直接寫出NA￡F的大小，并證明.

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3.(2023?福建)如圖1,在-ABC中，NBAC=90°,AB=AC,￡＞是A8邊上不與A8重合

的一個定點.AOSBC于點。，交CO于點E.DE是由線段OC繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°

得到的，F(xiàn)D'CA的延長線相交于點M.

圖2

(1)求證：/XADEs^FMC；

求NA3尸的度數(shù);

(3)若N是AF的中點，如圖2.求證:ND=NO.

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4.（2023?廣西）如圖，是邊長為4的等邊三角形，點，E,F分別在邊48,BC,CA

上運(yùn)動,滿足AD=BE=CF.

（1）求證：AADFABED；

（2）設(shè)A￡＞的長為x,_。所的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（3）結(jié)合（2）所得的函數(shù)，描述二。七尸的面積隨的增大如何變化.

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5.（2023?河北）如圖1和圖2,平面上，四邊形ABCD中，

AB=8,8C=2拒,CD=U,DA=6,NA=90°

，點M在邊上，且。"=2.將線段

M4繞點M順時針旋轉(zhuǎn)〃°（。<〃<180）到MA',ZA'MA的平分線MP所在直線交折線

.一于點尸，設(shè)點P在該折線上運(yùn)動的路徑長為x（“>°）,連接A'P.

圖I圖2%用圖

（1）若點P在AB上,求證：AP=AP；

（2）如圖2.連接8D.

①求NC8O的度數(shù)，并直接寫出當(dāng)〃=180時，x的值；

②若點P到BD的距離為2,求tanZAMP的值；

（3）當(dāng)0〈尤W8時,請直軍寫出點4到直線的距離.（用含x的式子表示）.

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6.（2023?山西）問題情境：“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿

對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，表示為-48C和4DFE,其中

NACB=NDEF=90。,NA=ND.將二A8C和△OEE按圖2所示方式擺放，其中點3與

點尸重合（標(biāo)記為點8）.當(dāng)乙43￡=NA時，延長OE交AC于點G.試判斷四邊形

（2）深入探究：老師將圖2中的，.ABE繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點￡落在二ABC內(nèi)部,

圖2

①“善思小組”提出問題：如圖3,當(dāng)ZABE=ABAC時，過點A作AM_LBE交8E的延長

線于點M,BM與AC交于點N.試猜想線段AM和BE的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.請你解

②“智慧小組”提出問題：如圖4,當(dāng)NCBE=N84。時.，過點A作AH_LD￡于點〃，若

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BC=9,AC=12,求A”的長.請你思考此問題,直接寫出結(jié)果.

圖4

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7.(2023?深圳)(1)如圖,在矩形A8C￡＞中，E為AD邊上一點，連接BE,

①若BE=BC,過C作CFLBE交BE于點F,求證：AABEHFCB：

②若S矩切88=20時，則BECF=.

(2)如凰在菱形A8CO中，cosA=；，過C作CE1AB交AB的延長線于點E,過E作

所1AD交AO于點尸，若S^ABCD=24時，求砂.3C的值.

(3)如圖,在平行四邊形43co中，NA=60。，AB=6,4)=5,點E在CD上，且C￡=2,

點E為BC上一點,連接EE,過E作EGLEF交平行四邊形A3CD的邊于點G,若

EF?EG=7百時,請直接寫出AG的長.

備用圖

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8.（2023?無錫）如圖，四邊形ABC。是邊長為4的菱形，NA=60。，點。為CD的中點，P

為線段A3上的動點,現(xiàn)將四邊形PBCQ沿PQ翻折得到四邊形PB'C'Q.

（1）當(dāng)/QPB=45°時，求四邊形BB'CC的面積；

（2）當(dāng)點尸在線段A3上移動時，設(shè)BP=x,四邊形83'C'C的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)

表達(dá)式.

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9.（2023?武漢）問題提出：如圖（1）,E是菱形A8GD邊上一點，是等腰三角

形，AE=EF,44￡/?=乙鉆。=二（。之90。）,川交。。于點6,探究/6。/與&的數(shù)

量關(guān)系.

問題探究：

（1）先將問題特殊化，如圖（2）,當(dāng)。=90°時，直接寫出NGC9的大??；

（2）再探究一般情形，如圖（1），求NGB與a的數(shù)量關(guān)系.

問題拓展：

（3）將圖（1）特殊化，如圖（3）,當(dāng)a=120。吐若變=L求毀的值.

CG2CE

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10.（2023?徐州）【閱讀理解】如圖1,在矩形A8C。中，若A6=a,BC=6由勾股定理,

22

得AC?="+〃，同理BD2=〃+層，故AC+BD=2（片+〃）.

【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2,四邊形ABC。為平行四邊形,若AB=a,8C=。，則上述結(jié)論是否依然

成立？請加以判斷,并說明理由.

【拓展提升】如圖3,已知8。為-ABC的一條中線，AB=a,BC=b,AC=c.求證：

八立三2T-2三?

24

（嘗試應(yīng)用】如圖4,在矩形ABCD中，若AB=8,8C=12,點尸在邊斗。上,則PB2+PC2

的最小值為

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11.（2023?黃岡）【問題呈現(xiàn)】

△C4B和iCDE都是直角三角形，NACB=NDCE=90°,CB=mCA,CE=mCD,連接

AD,BE,探究A。，BE的位置關(guān)系.

（1）如圖1,當(dāng)〃2=1時，直接寫出AO,8E的位置關(guān)系：；

（2）如圖2,當(dāng)相。1時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由.

【拓展應(yīng)用】

（3）當(dāng)加=g,AB=477,DE=4時,將-CDE繞點C旋轉(zhuǎn)，使AE三點恰好在同一直

線上，求的長.

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12.(2023?十堰)過正方形ABCO的頂點。作直線DP,點、C關(guān)于直線的對稱點為點E,

連接AE,直線AE交直線DP于點產(chǎn).

(1)如圖1,若NCDP=25。,則ZDAF=°；

(2)如圖1,請?zhí)骄烤€段CO,EF,"之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)在0P繞點。轉(zhuǎn)動的過程中，設(shè)A/=a,E/=)請直接用含的式子表示DF的長.

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13.（2023?隨州）1643年，法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直

線上的三個點A,B,C,求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置,意大利數(shù)學(xué)家和物

理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也

被稱為“將軍巡營”問題.

（1）下面是該問題的一種常見的解決方法,請補(bǔ)充以下推理過程：（其中①處從“直角”和

“等邊”中選擇填空,②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選

擇填空,③處填寫角度數(shù),④處填寫該三角形的某個頂點）

當(dāng)-A3C的三個內(nèi)角均小于120。時，

如圖I,將△APC繞,點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得至U?APC,連接PP',

故24+P8+PC=24'+PB+PP>A'B,

由②可知,當(dāng)B,P,尸'，4在同一條直線上時，24+依+PC取最小值,如圖2,最小值

為AB,此時的P點為該三角形的“費馬點”.且有ZAPC=NBPC=ZAPB=③；

已知當(dāng)一A5C有一個內(nèi)角大于或等于120°時，“費馬點”為該三角形的某個頂點.如圖3,

若N3AC2120。，則該三角形的“費馬點”為④點.

（2）如圖4,在二A8C中，三個內(nèi)角均小于120°,且AC=3,BC=4,NACB=30。，已知

點P為.一ABC的“費馬點”，求Q4+P8+PC的值；

（3）如圖5,設(shè)村莊A,8,C的連線構(gòu)成一個三角形,且已知

AC=4km,BC=2y/3km,ZACB=60°.現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A,B,C三個村莊

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鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A,B,C的鋪設(shè)成本分別為。元/krn,。元/km,億元/km,

選取合適的P的位置,可以使總的鋪設(shè)成本最低為___________元.（結(jié)果用含a的式子表示）

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14.(2023?東營)(1)用數(shù)學(xué)的眼光觀察.

如圖，在四邊形A8CD中，AD=BC,P是對角線3。的中點，"是A8的中點，N是DC

的中點，求證：4PMN=4PNM.

(2)用數(shù)學(xué)的思維思考.

如圖，延長圖中的線段AO交MN的延長線于點E,延長線段8C交MN的延長線于點廠,

求證：NAEM=4F.

(3)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá).

如圖，在中，AC<AB,點。在AC上，AD=BC,”是AB的中點，N是。。的中

點,連接MN并延長,與BC的延長線交于點G,連接GD,若ZANM=60°,試判斷

△CG￡>的形狀,并進(jìn)行證明.

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15.（2023?臨沂）如圖，ZA=90°,AB=AC,BD±AB,BC=AB+BD.

(1)寫出AB與3。的數(shù)量關(guān)系；

(2)延長到E,使C￡=BC,延長。C到尸，使CV=DC,連接求證：EF±AB.

(3)在(2)的條件下，作/ACE的平分線，交A歹于點，，求證：AH=FH.

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16.(2023?煙臺)如圖，點C為線段AB上一點，分別以AC,BC為等腰三角形的底邊，在

AB的同側(cè)作等腰ACO和等腰-3CE,且NA=NCBE.在線段EC上取一點尸，使

￡F=AD,連接

(1)如圖1,求證：DE=BF;

(2)如圖2,若AD=2,3尸的延長線恰好經(jīng)過DE的中點G,求BE的長.

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17.（2023?邵陽）如圖,在等邊三角形ABC中，。為A3上的一點，過點。作6C的平行線

交AC于點E,點P是線段OE上的動點（點P不與。、￡重合）.將4A3P繞點A逆

時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△ACQ,連接EQ、PQ,PQ交AC于尸.

（1）證明：在點P的運(yùn)動過程中，總有ZPEQ=120。.

AP

（2）當(dāng)而為何值時，AAQ/7是直角三角形？

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18.（2023?湘潭）問題情境：小紅同學(xué)在學(xué)習(xí)了正方形的知識后,進(jìn)一步進(jìn)行以下探究活動:

在正方形ABC。的邊8C上任意取一點G,以BG為邊長向外作正方形BEFG,將正方形

BEFG繞點、8順時針旋轉(zhuǎn).

圖①圖②圖③

特例感知：

（1）當(dāng)BG在BC上時，連接。尸，AC相交于點P,小紅發(fā)現(xiàn)點P恰為DF的中點，如圖

①.針對小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請給出證明；

（2）小紅繼續(xù)連接EG,并延長與?？谙嘟?發(fā)現(xiàn)交點恰好也是OF中點P,如圖②,根據(jù)小

紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論,請判斷AAPE的形狀，并說明理由；

規(guī)律探究：

（3）如圖③,將正方形BEFG繞點8順時針旋轉(zhuǎn)。，連接?？邳cP是。/中點，連接AP,

EP,AE,.PE的形狀是否發(fā)生改變？請說明理由.

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19.（2023?岳陽）如圖1,在JRC中，A5=AC,點〃,N分別為邊的中點，連接

MN.

初步嘗試：（1）用N與AC的數(shù)量關(guān)系是,MN與AC的位置關(guān)系是.

特例研討：⑵如圖2,若NR4c=90。,6c=4JL先將一8VW繞點3順時針旋轉(zhuǎn)a（?

為銳角），得到43所，當(dāng)點AE,尸在同一直線上時，AE與8C相交于點。，連接CF.

（2）求CO的長.

深入探究：（3）若ZB4C<90°,將.BMN繞點8順時針旋轉(zhuǎn)a,得到ZXB所，連接AE,

CF.當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a滿足0。<a<360°,點C,E,尸在同一直線上時,利用所提供的備用圖探

究NBAE與ZABF的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

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20.(2023?大連)綜合與實踐

問題情境：數(shù)學(xué)活動課上,王老師給同學(xué)們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質(zhì).

已知A8=AC,NA>90。，點E為AC上一動點，將ABE以8E為對稱軸翻折.同學(xué)們經(jīng)

過思考后進(jìn)行如下探究：

獨立思考：小明：“當(dāng)點￡>落在上時，N￡DC=2NACB.”

小紅：“若點E為AC中點,給出AC與DC的長,就可求出BE的長.

實踐探究：奮進(jìn)小組的同學(xué)們經(jīng)過探究后提出問題1,請你回答：

問題1：在等腰一A8C中，AB=AC,NA>90°,ABDE由二ABE翻折得到.

(I)如圖1,當(dāng)點。落在BC上時,求證：ZEDC=2ZACB；

(2)如圖2,若點E為AC中點，AC=4,QD=3,求5E的長.

問題解決：小明經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：若將問題1中的等腰三角形換成NA<90°的等腰三角形,

可以將問題進(jìn)一步拓展.

問題2：如圖3,在等腰145c中，NA<90°,AB=AC=BZ)=4,2N￡)=NA3。.若

8=1,則求的長.

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2023年各地中考幾何壓軸題匯編詳解

1.(2023?安徽)在RtAABC中，M是斜邊AB的中點,將線段MA繞點M旋轉(zhuǎn)至MD位置,

點D在直線AB外,連接AD,BD.

(1)如圖1,求—4)8的大??；

(2)已知點。和邊AC上的點E滿足ME±AD,DE//AB.

(i)如圖2,連接CO,求證：BD=CD；

(ii)如圖3,連接若AC=8,BC=6,求tanNABE的值.

【答案】(1)ZAZM=90°(2)(i)見解析；(ii),

2

【小問1詳解】

解：==

NMAD=NMDA,ZMBD=NMDB,

在△?￡)中，ZMAD+ZMDA+ZMBD+ZMDB=\^°,

1QAO

/.ZADB=ZADM+ZBDM==90°.

2

【小問2詳解】

證明：(i)證法一：

如圖，延長B。、AC,交于點F,則ZBCF=90°,

VME±AD,ZADB=90°,

EM//BD.

又?:DE//AB,

：.四邊形BDEM是平行四邊形.

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DE=BM.

是AB的中點,，

二AM=BM.

???DE=AM.

，四邊形AMDE是平行四邊形.

?/ME上AD,

，,AMDE是菱形.

；?AE=AM.

,:EM〃BD,

.AE_AM

/.AB=AF.

?/ZADB=90°，即ADJ_6/，

BD=Z)R,即點。是RtBCF斜邊的中點.

BD=CD.

證法二：

?/ZACB=ZADB=90°,〃是斜邊AB的中點，

...點A、C、D、B在以“為圓心，A5為直徑的。M上.

?/MELAD,

???ME垂直平分AD.

；?EA=ED.

ZEAD=ZEDA.

?/DE//AB,

/./BAD=/EDA.

：./EAD=/RAE>.

BD=CD.

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證法三：

yME±AD,ZAZ）3=90。，

EM〃BD.

又?:DE//AB,

四邊形BDEM是平行四邊形.

/.DE=BM.

：M是AB的中點，

/?AM=BM.

???DE=AM.

四邊形AAQE是平行四邊形.

'：ME±AD,

，.-AMDE是菱形.

，ZEAD-ZMAD.

：ZACB=ZADB=90°,M是斜邊A3的中點，

...點A、C、D、B在以M為圓心，AB為直徑的《Mh.

/.BD=CD.

（2）如圖所示，過點E作瓦/_LAB于點〃，

?/AC=8,8C=6,

,AB=JAC?+3c2=10，則AE=AM=；AB=5,

?/ZEAH=ABAC,ZACB=ZAHE=90°,

...AHES'ACB,

.EHAH_AE_5

：.EH=3,AH=4,

：.BH=AB-AH=10-4=6,

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.—LEH31

??tanABE=-----=—=—

BH62

2.(2023?北京)在_ABC中、=NC=a(0°<a<45°),AM_L6C于點M。是線段

上的動點（不與點MC重合），將線段。M繞點。順時針旋轉(zhuǎn)2。得到線段OE.

（1）如圖1,當(dāng)點E在線段AC上時,求證：。是MC的中點;

（2）如圖2,若在線段上存在點尸（不與點B,M重合）滿足=￡>C,連接AE,EF,

直接寫出NA￡F的大小，并證明.

【答案】（1）見解析（2）NAE尸=90。，證明見解析

【小問1詳解】

證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：DM=DE,^MDE=2a,

Z.C—a,

ZDEC^ZMDE-ZC=a,

：.ZC=ZDEC,

：.DE=DC,

DM=DC,即。是MC的中點;

【小問2詳解】

ZAEF=90°；

證明：如圖2,延長所到”使EE=￡W,連接CH,47,

DF=DC,

DE是AFC”的中位線,

DE//CH,CH=2DE,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：DM=DE,/MDE="

/./FCH=2a,

*//LB=NC=ct,

???NACH=a,_ABC是等腰三角形,

:.NB=NACH,AB^AC,

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設(shè)DM=DE-m,CD=〃，則CH—2m,CM—m+n,

.*?DF-CD=n,

FM=DF-DM—n-m,

'：AMYBC,

BM=CM-m+n,

BF=BM-FM=m+n—^n—m)=2m,

：.CH=BF,

AB=AC

在△AB廠和ACH中，＜NB=ZACH,

BF=CH

.ABFACH(SAS),

；?AF^AH,

???FE=EH，

；?AE_LW，即NA￡F=90°.

圖2

3.（2023?福建）如圖1,在-ABC中，/84。=90°,48=4。,。是43邊上不與48重合

的一個定點.4018。于點。，交C。于點E.OE是由線段QC繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°

得到的，E2CA的延長線相交于點M.

(1)求證：AADE^AfMC；

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（2）求NA3/的度數(shù)；

（3）若N是AF的中點，如圖2.求證：ND=NO.

【答案】（1）見解析（2）ZAB尸=135°（3）見解析.

【小問1詳解】

解：。廠是由線段。C繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，

/.ZZ）FC=45°,

AB=AC,AO±BC,

ZBAO^-ZBAC.

2

NBAC=90。，

:.ZBAO=ZABC=45°.

：.ZBAO=ZDFC.

NEDA+ZADM=90°,AM+ZADM=90°,

：.ZEDA=ZM.

:.^ADEsAFMC.

【小問2詳解】

解：如圖1：設(shè)與OR的交點為/,

圖1

ADBI=ZCF/=45°,ABID=4FIC,

:.△BI44FIC,

絲-

FZ

旦

皿-

ZBIF=ZDIC,

.-.△B/F^ZXDZC,

第28頁共80頁

:.NIBF=NIDC.

又,ZZZ）C=90°,

.-.ZZBF=90°.

ZABC=45°,ZABF=ZABC+ZIBF,

：.ZABF^135°.

【小問3詳解】

解：如圖2：延長ON交防于點T，連接。T，。。，

/FBI=NBOA=90°,

BF//AO,

AFTN=ZAON.

QN是AF的中點，

AN=NF.

又一ZTNF=ZONA,

^TNF94ONA,

:.NT=NO,FT=AO.

ABAC=90°,AB=AC,AO±BC,

AO-CO,

:.FT=CO.

由（2）知，△BIFsADIC,

:.ADFT=ADCO.

DF=DC,

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DT=DO,NFDT=NCDO,

ZFDT+ZFDO=ZCDO+ZFDO,即NODT=NCDF.

ZCDF-90°,

ZODT=ZCDF=90°,

：.ND=-TO^NO.

2

4.（2023?廣西）如圖，.45。是邊長為4的等邊三角形，點DE,F分別在邊A&BC,CA

上運(yùn)動，滿足=

（1）求證：:.ADFABED；

（2）設(shè)AT>的長為x,，無尸的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（3）結(jié)合（2）所得的函數(shù)，描述..￡）砂的面積隨AD的增大如何變化.

【答案】（1）見詳解；（2）3，=述/_36》+46;

4

（3）當(dāng)2<x<4時，的面積隨A￡>的增大而增大，當(dāng)0<x<2時，1）石尸的面積隨

AO的增大而減小.

【小問1詳解】

證明：：.ABC是邊長為4的等邊三角形，

ZA—/B—ZC=60°,AB=BC=AC=4,

AD=BE=CF,

：.AF=BD=CE,

在△ADE和BED中，

AF=BD

<ZA=ZB,

AD=BE

....ADF^BED（SAS）；

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【小問2詳解】

解：分別過點C、尸作CH_LA8,FG145,垂足分別為點“、G,如圖所示:

在等邊“ABC中，NA=N3=NAC3=60°,AB=BC=AC=4,

???CH=AC-sin600=2y/3,

???SABC=；A6C"=46，

設(shè)AD的長為x,則AD=BE=CF=x,AF=4-x,

FG=AF?sin60°=^-（4-x）

.?.SAL；ADFG=￥X（4—X）,

同理（1）可知一①汪一CEE,

,1,S4）=SBED=SCFE=乎%（4一%），

；_￡>所的面積為必

y=SABC—3sADF~4^3—x（4—x）x~—3>/3x+;

【小問3詳解】

解：由（2）可知：^=2?/—3瓜+46,

4

飛瓜_-3\/3_

。=3〉0,對稱軸為直線“=三方=

42x—

4

.??當(dāng)x>2時,y隨x的增大而增大，當(dāng)x<2時,y隨x的增大而減小;

第31頁共80頁

即當(dāng)2<x<4時，.。砂的面積隨A￡1的增大而增大，當(dāng)()<x<2時，.巫尸的面積隨

A￡)的增大而減小.

5.(2023?河北)如圖1和圖2,平面上,四邊形A8CD中，

48=8,8。=2而,。。=12,。4=6,/4=90°,點加在/1￡>邊上,且。加=2.將線段

MA繞點、M順時針旋轉(zhuǎn)n°(O<n<180)到MA:,ZAMA的平分線MP所在直線交折線

43—3。于點「，設(shè)點「在該折線上運(yùn)動的路徑長為》(》>0),連接47.

圖I圖2品用圖

(1)若點尸在AB上,求證：AP=AP；

(2)如圖2.連接30.

①求NCBD的度數(shù),并直接寫出當(dāng)〃=180時，x的值；

②若點P到BD的距離為2,求tanZAMP的值；

(3)當(dāng)0<xW8時,請直談寫出點A到直線A3的距離.(用含x的式子表示).

7238x2

【答案】(1)見解析(2)@ZCBD=90°,x=13;②二或二,(3)

66x2+16

【小問1詳解】

V將線段MA繞點M順時針旋轉(zhuǎn)n°(O<n<l80)到MA,

???AM=AM,

VNA'MA的平分線MP所在直線交折線A6—于點P,

:.ZAMP=ZAMP,

又?:PM=PM,

MMP^MMP(SAS),

???AP=AP；

【小問2詳解】

①：AB=S,DA=6,ZA=90°,

?*-BD=yjAB2+AD2=10-

第32頁共80頁

BC=2拒,CD=n,

BC2+BD2=(2而『+1()2=144,CD?=122=144,

BC2+BD2=CD2,

：.NCBD=90°；

如圖所示，當(dāng)72=180時,

圖2

???PM平分N4'M4,

ZPMA=90°,

???PM//AB.

；?ADNM，\DBA,

一DN=——DM=——MN，

DBDABA.

DM=2,DA=6,

.DN_2_MN

1068

D2N,=——10,M…N=8

33

BN=BD-DN=—.

3

,//PBN=ZNMD=90°,4PNB=/DNM,

???APBN-ADMN,

20

.PBBNAllPB_3

DMMN28

二解得PB=5,

?*.x=AB+P5=8+5=13.

第33頁共80頁

②如圖所示，當(dāng)P點在A5上時，PQ=2,ZA'MP^ZAMP,

?；AB=S,DA=6,ZA=90°,

?'-BD7AB'AD?=依+82=10,sinZDBA=—,

L>L)1UJ

BP.BQ=210

???sinADBA33,

5

AP=AB-BP^8-—^—

33

14

?AP7

,,tanZA'MP=tanZAMP=——=工=一；

AM46

如圖所示，當(dāng)尸在5c上時，則P6=2,過點尸作PQLAB交AB的延長線于點Q,延長

交AB的延長線于點H,

NQPB=90°-ZPBQ=NDBA,

JPQBS^BAD,

.PQQBPB

PQQB_PB

即

第34頁共80頁

?..P°TY31PB咚

46

AQ=AB+BQ=—,

'：PQ±AB,DAA.AB,

：.PQ//AD,

：.i.HPQ^HMA,

?HQ二PQ

''HA~AM'

8

.HQ.J

92

解得：HQ=—.

15

92

tanZA'MP=tanZAMP=tanZQPH=理=烏="，

PQ6

5

723

綜上所述，tanNA'MP的值為士或一；

66

【小問3詳解】

解：?.?當(dāng)0<xW8時，

/.P在A8上，

如圖所示,過點A'作AE_LA8交A8于點￡過點M作，AE于點F,則四邊形

4WFE是矩形，

???AE=FM,EF=AM=A,

第35頁共80頁

/AMP^.AMP,

；?ZPAM=ZA=90°,

：.NP4'￡+NRVM=90。，

又ZAMF+ZFAM=90°,

???ZPAE=ZAMF,

又?；ZAEP=ZMFA=90°,

..APE^MAF,

.A'PPEA'E

??加一春一麗’

?/A'P=AP=x,M4'=M4=4,設(shè)施=AE=y,A'E=h

xx—yh

即一=——-=

4h-4y

；?.4(x-y)=x(〃-4),

X

???一

=X(/J-4),

Q2

整理得"=r

X2+16

即點A'到直線AB的距離為.

無2+16

6.（2023?山西）問題情境：“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿

對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，表示為_A8C和4DFE,其中

NACB=ZDEF=90°,NA=ND.將_ABC和4DFE按圖2所示方式擺放，其中點B與

點/重合（標(biāo)記為點B）.當(dāng)乙鉆E=NA時，延長OE交AC于點G.試判斷四邊形

第36頁共80頁

3CGE的形狀,并說明理由.

(1)數(shù)學(xué)思考：談你解答老師提出的問題；

(2)深入探究：老師將圖2中的繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點E落在一ABC內(nèi)部,

并讓同學(xué)們提出新的問題.

圖2

①“善思小組”提出問題：如圖3,當(dāng)=時，過點A作AM_L8E交班的延長

線于點",助0與AC交于點N.試猜想線段A"和8E的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.請你解

圖3

②“智慧小組”提出問題：如圖4,當(dāng)NCBE=4AC時，過點A作于點，，若

BC=9,AC=12,求AH的長.請你思考此問題，直接寫出結(jié)果.

第37頁共80頁

圖4

27

【答案】（1）正方形，見解析，（2）①AM=BE,見解析；②彳.

【小問1詳解】

解：四邊形BCGE為正方形.理由如下：

,/ABED=90°,

；?ABEG=180°-ABED=90°.

ZABE^ZA,

AC//BE.

/CGE=/BED=90。.

,/ZC=90°,

四邊形8CGE為矩形.

?：hACB'DEB,

BC=BE.

.??矩形8CG￡為正方形.

【小問2詳解】

：①AM=BE.

證明：VZABE=ZBAC,

二AN=BN.

,/ZC=90°,

???BC1AN.

AM±BE,即AMLBN,

S^BN=-ANBC=-BNAM.

?/AN=BN,

第38頁共80頁

由（1）得BE=BC,

/?AM=BE.

②解：如圖：設(shè)的交點為過M作MG_LB￡＞于G

?：AACB'DEB,

：.BE=BC=9,DE=AC=\2,ZA=N￡>,ZABC=/DBE,

/.NCBE=NDBM；

,:ZCBE=ZBAC,

:.ZD=/BAC,

：?MD=MB,

'：MGVBD,

點G是8。的中點;

由勾股定理得AB=y/AC2+BC2=15,

二DG-BD=—

22

DGDE

cosZD=

~DM~BD

15

75

DGBD9X75,即

=DMT

DE128

AM=AB-BM——=——

88

VAH±DE,BELDE,ZAMH=ZBME,

:.AMHBME,

.AHAM_3

332727

A"=gBE=Mx9=g，即AH的長為行.

7.（2023?深圳）（1）如圖,在矩形A8CO中，E為AO邊上一點，連接

①若BE=BC,過C作CFLBE交BE于點F,求證：AABESFCB；

②若S矩形ABCO=20時，則BECF=

第39頁共80頁

(2)如圖,在菱形ABC。中，cosA=g,過。作CE_ZA8交A3的延長線于點￡,過E作

(3)如圖,在平行四邊形A8CO中，ZA=60°,AB=6,">=5,點E在8上，且CE=2,

點戶為BC上一點，連接EE,過E作EGJ?所交平行四邊形A8CD的邊于點G,若

EF-EG=773時,請直接寫出AG的長.

備用圖

3

【答案】(1)①見解析；②20；(2)32：(3)3或4或一.

2

【詳解】解：(1)①：四邊形ABC。是矩形，則NA=Z4BC=90°,

：.ZABE+ZCBF=90°,

又?：CF：LBC,

：.NFCB+NCBF=90°,ZCFB=NA=90°,

ZFCB=ZABE,

又：BC=BE,

：./\ABE烏AFCB；

第40頁共80頁

②由①可得NFCB=ZABE,ZCFB=NA=90°.

:yABEs^FCB.

.ABBE

,*CF-BC'

又S矩形As。=ABCD=20,

BECF=AB-BC=20,

故答案為：20.

(2)???在菱形ABC。中，cosA=；,

/.AD//BC,AB=BC,

則NC6E=NA,

,/CE1AB,

/.ZC￡B=90°,

BE

VcosACBE=——，

CB

BE=BCCQSZ.CBE=BCxcosZA=-BC,

3

114

AE=AB+BE=AB+-BC=AB+-AB=-AB,

333

?/EFJ.AD,CE1AB,

/.ZAFE=NBEC=90。,

又NC8￡=NA,

/\AFEs/\BEC,

.AE_EF_AF

444

砂BC=AECE=§ABxCE=§S菱形ABC。=§x24=32；

(3)①當(dāng)點G在A。邊上時,如圖所示,延長FE交AD的延長線于點M,連接GF,過點￡

作七于點H,

第41頁共80頁

M

???平行四邊形ABC。中，AB=6,CE=2,

，CD=AB=6,DE=DC—EC=6-2=4,

DM//FC,

：.；EDMS?.ECF,

EMED4c

：.——=—=一=2,

EFEC2

.SMGE_EM=2

,?二一EF-，

SMGE=2sEFG_EF-EG=76，

在Rt/XDEH中，ZHDE=ZA=60°,

馳EH=BDE=BX4=2瓜DH;DE=2,

222

：.、MGxHE=7瓜

2

；.MG=7,

?:GE上EF,EH上MG,

ZMEH=90°-ZHEG=ZHGE,

...tanAMEH=tanNHGE,

.HE_HM

HE?=HM-HG.

設(shè)AG=a,則G0=AD—AG=5—a,GH=GD+HD=5-a+2=l-a,

HM=GM-GH=7-（7-a）=a,

第42頁共80頁

二（2扃=x（7-x）,

解得：a=3或。=4,

即AG=3或AG=4,

②當(dāng)G點在AB邊上時,如圖所示,

連接GF，延長GE交BC的延長線于點M,過點G作GN〃AD,則GN〃3C,四邊形

ADNG是平行四邊形，

設(shè)AG=x,則。N=AG=x,EN=DE-DN=4-x,

?：GN//CM,

A.ENG^.ECM,

.EGENGN4—x

"'~EM~~EC~~CM~2,

?2GN10

CM=------=------,

4-x4-x

.SGEF_EG_4x

,,SMFFEM2'

?/EF-EG=7y/3,

2sCEF.7百

MEF4-x4-x'

過點￡作于點”,

在中，EC=2,ZECH=60°,

；?EH=瓜CH=1,

第43頁共80頁

百

SMEF--XMFxEH，則，x6xMF7

224-x'

4-x

1410,x

FH=MF-CM-CH=——------1=—

4-x4-x4-x

in14-r

4-x4-x

ZMEF=ZEHM=90°,

...ZFEH=90°-AMEH=AM,

tanNFEH=tanNM,

???EH2=FHHM

即魯，

\/4-x4-x

3

解得：玉=-,x2=8（舍去），

3

即AG=-

2;

③當(dāng)G點在BC邊上時,如圖所示,

過點8作BTLOC于點T,

在Rt.BTC中，CT=LBC=*,BT=y/3TC=^-

222

2573

=LBTXTC=

心BTC22228

?/EFEG=7瓜

??.5…9，

第44頁共80頁

，G點不可能在8c邊上，

3

綜上所述，AG的長為3或4或一.

2

8.(2023?無錫)如圖，四邊形A8C0是邊長為4的菱形，NA=60。，點。為C。的中點，P

為線段AB上的動點,現(xiàn)將四邊形PBCQ沿PQ翻折得到四邊形PB'C'Q.

(1)當(dāng)NQPB=45。時,求四邊形BB'C'C的面積；

(2)當(dāng)點P在線段A3上移動時，設(shè)8P=x,四邊形BB'C'C的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)

表達(dá)式.

【答案】⑴4G+8

(2)S=^1^+4百

X2+12

【小問I詳解】

如圖，連接BD、BQ,

四邊