贏戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)模擬仿真卷 1卷(理科)(全國卷專用)(解析版)

【沖鋒號-考場模擬】贏戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)模擬仿真卷01卷（理科）

（全國卷專用）

（解析版）

本卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)

考證號填寫在答題卡上.

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.寫在本試卷上無效.

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

4.測試范圍：高考全部內(nèi)容

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的。

1.（2023?浙江溫州?模擬預(yù)測）已知全集0=11,集合4=卜--2》-3>0},B={x\x=2k,k&Z},則

（04）c8=（）

A.{2}B.{0,2}C.{0,2,4}D.{-1,0,1,2,3）

【答案】B

【分析】先求出集合A的補集，再求出（aA）cB即可.

【詳解】因為A={x,-2x-3>0},所以0”={和2-2》一340}={止14x43},

因為8={x|x=2匕左eZ},所以支4m3={0,2},故選：B

2.已知復(fù)數(shù)2=8$6+1與116,現(xiàn)有如下說法：①目=1；②復(fù)數(shù)z的實部為正數(shù)；③復(fù)數(shù)z的虛部為正

數(shù).則正確說法的個數(shù)為（）.

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】命題①按照復(fù)數(shù)模的計算法則結(jié)合同角三角函數(shù)的運算進行計算即可；命題②③按照復(fù)數(shù)實

部和虛部的定義，結(jié)合象限角三角函數(shù)值的正負進行判斷即可.

【詳解】依題意，|z|=>/cos26+sin26=l,故①正確；

復(fù)數(shù)z的實部為cos6,為正數(shù)，故②正確；

復(fù)數(shù)z的虛部為sin6,為負數(shù)，故③錯誤.故選：B.

3.(2022婀南南陽高三期中(理))若函數(shù)/(同=6飛山》+〃)在點4(0,〃0))處的切線方程為片3*+”,

則實數(shù)〃的值為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出“0)、r(o),從而求出切線方程，即可得到方程，解得即可.

【詳解】解：因為f(x)=e*(sinx+a),所以"0)=e°(sin0+a)=a,

又/'(x)=e*(sinx+a+cosx),所以J"⑼=e"(sin。+a+cos0)=l+a,

所以切線方程為y-a=(l+a)(x-0),即y=(l+a)x+a,

所以l+a=3,解得a=2；故選：B

4.新式茶飲是指以上等茶葉通過萃取濃縮液，再根據(jù)消費者偏好，添加牛奶、堅果、檸檬等小料調(diào)制而

成的飲料.下圖為2021年我國消費者購買新式茶飲頻次扇形圖及月均消費新式茶飲金額條形圖：

2021年消費者購買新式茶飲的頻次

2021年消費者月均消費新式茶飲的金額

FrequencyofConsumersBuyingNewTeain2021

AverageMonthlyConsumptionofNewTeaby

Consumersin2021

50元以下14.5%

根據(jù)所給統(tǒng)計圖，下列結(jié)論中不正確的是()

A.每周消費新式茶飲的消費者占比超過90%

B.每天消費新式茶飲的消費者占比超過20%

C.月均消費50—200元的消費者占比超過50%

D.月均消費新式茶飲超過100元的消費者占比超過60%

【答案】D

【分析】由所給統(tǒng)計圖逐一判斷即可

【詳解】每周消費新式茶飲的消費者占比1-9.1%>90%,A正確，

每天消費新式茶飲的消費者占比5.4%+16.4%>20%,B正確；

月均消費50—200元的消費者占比30.5%+25.6%>50%,C正確；

月均消費新式茶飲超過100元的消費者占比1-14.5%-30.5%<60%.D錯誤.故選：D

5.劉徽構(gòu)造的幾何模型"牟合方蓋"中說："取立方棋八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸.規(guī)之為圓困，

徑二寸，高二寸.又復(fù)橫規(guī)之，則其形有似牟合方蓋矣."牟合方蓋是一個正方體被兩個圓柱從縱橫兩側(cè)

面作內(nèi)切圓柱體時的兩圓柱體的公共部分，計算其體積的方法是將原來的"牟合方益”平均分為八份，取

它的八分之一（如圖一）.記正方形0A8C的邊長為r,設(shè)OP=/?,過尸點作平面PQRS平行于平面

OABC.OS=OO=r,由勾股定理有&=PQ=J勾—〃？,故此正方形PQRS面積是一一站.如果將圖一

的幾何體放在棱長為r的正方體內(nèi)（如圖二），不難證明圖二中與圖一等高處陰影部分的面積等于力\（如

圖三）設(shè)此棱錐頂點到平行于底面的截面的高度為〃，不難發(fā)現(xiàn)對于任何高度/?,此截面面積必為〃2,根

據(jù)祖唾原理計算牟合方蓋體積（）

注：祖曬原理："寨勢既同，則積不容異意思是兩個同高的立體，如在等高處的截面積相等，則體積

相等

【答案】C

【分析】計算出正方體的體積，四棱錐的體積,根據(jù)祖曬原理可得圖一中幾何體體積,從而得結(jié)論.

2

【詳解】Vm=15/z=|xrxr=lr\由祖胞原理圖二中牟合方蓋外部的體積等于V

所以圖1中幾何體體積為丫"-9=，，所以牟合方蓋體積為W=$3故選：C.

6.（2。22.河北.模擬預(yù)測）若To，。，黑篝4,則，。+訃＜）

A.—B.—C.1D.1

222

【答案】C

【分析】將cos2a用上”里替換后，解方程解出a即可.

1+tarra

222

dm、cos2a3,./2\csina-cosal-tana

【詳解】因為a￡。，彳<----2~=o，可得3(l+tan“a)=8x-----------=8nx--------

V2Jl+tana8'7sin~a+cos“a1+tan'a

0,31，所以tana=@,所以a=f,

可得3(1+tan2a)2=8-8tan2a,解得tan'a=-,因為aw

732736

所以cos(a+7)=cos?=g.故選：C.

7.設(shè)。為一ABC所在平面內(nèi)一點，BC=3CD>AD=AAB+pAC,則〃-4=()

【答案】D

【分析】由平面向量共線定理得30=48,再由平面向量的基本定理得到=從而求得

I4

A=4，〃=?,由此得到結(jié)果.

。J

【詳解】因為BC=3C￡＞，所以BD=4C￡＞，

14

所以AO=AB+8￡>=AB+4CO=A8+4AD-4AC，故AD=--AB+-AC，

145

又因為AZ)=/IAB+"AC,所以％=-鼻，jLi=—,則〃一4二,.故選：D.

8.(2022?河南?模擬預(yù)測(理))如圖是函數(shù)/(x)的圖象，則函數(shù)f(x)的解析式可以為().

A.er+ln|x|B.ex+e2xC.x2+-D.x+J

【答案】D

【分析】利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷.

【詳解】解:對于A：/(x)=e'+lnW定義域為{x|xwO},

當(dāng)x＞0時/(x)=e'+lnx,則/(x)=e'+：＞0,即函數(shù)在(0,+少)上單調(diào)遞增，故A錯誤;

對于B：/（x）=eT+e2*定義域為R,且e-fO，e2x＞0,所以〃司=。一，+?2、＞0,故B錯誤；

21\

2"2"+1

八JY尸“--耳=——=--------1----2---------------

21（11V3I

又23/+23犬+1=123*+2+：＞0,所以當(dāng)*＞2不時戶"）＞0，

當(dāng)x＜o(jì)或0＜尢＜2^時r（x）＜。，即函數(shù)在（一嗎0），（0,2一：）上單調(diào)遞減，在+a＞）上單調(diào)遞增，故C

錯誤；對于D：〃x）=x+/?定義域為｛X|XK0｝,

（1\（12\（（?1V3-

x-23X2+23X+231-23X+--23+--23

f，⑴=1二*=1_A__________1=—J?…」

J⑴X3V?A-3

所以當(dāng)x＞2：或x＜0時/中）＞0,當(dāng)0＜*＜2（時T（x）＜°，

即函數(shù)在（-8,0）,2rM上單調(diào)遞增，在0,2與上單調(diào)遞減，符合題意；故選：D

\7\7

9.（2022?江西?二模（理））若正整數(shù)m、”只有1為公約數(shù)，則稱機、”互質(zhì).對于正整數(shù)〃，9（〃）是小

于或等于”的正整數(shù)中與”互質(zhì)的數(shù)的個數(shù).函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：

奴3）=2,.7）=6,奴9）=6,則下列說法正確的是（）

A.姒12）=7B.數(shù)列加（3"）｝是等差數(shù)列

9

C.log7^（7）=9+log76D.數(shù)列;溫的前”項和為S"，則S“＜4

【答案】D

【分析】利用題中定義可判斷A選項；利用特殊值法可判斷B選項；求出夕（7）的值，結(jié)合對數(shù)的運算

性質(zhì)可判斷C選項：計算出9（2"）,利用錯位相減法可求得S“，可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，在不超過12的正整數(shù)中，與12互質(zhì)的正整數(shù)有：1、5、7、11,故夕（12）=4,A

錯；對于B選項,因為奴3）=2,奴9）=6,以27）=18,顯然姒3）、*（9）、奴27）不成等差數(shù)列，B錯:

對于C選項，7為質(zhì)數(shù)，在不超過79的所有正整數(shù)中，能被7整除的正整數(shù)的個數(shù)為7。，所有與79互質(zhì)

的正整數(shù)的個數(shù)為79-7*,所以，夕（7〃=79-78=78（7-1）=6x73,

因此，log?＜（7）=k＞g7（6x78）=8+10876,c錯；

對于D選項，因為2為質(zhì)數(shù)，在不超過2"的正整數(shù)中，所有偶數(shù)的個數(shù)為2”,，

所以，（p（2n）=2n-2"-'=2'-',所以，碓）=廣，

口?c123n,112n-\n

rrio++,

則S"=m+要+齊++廣…似，25n=7+F+￥TF

上述兩個不等式作差可得;S?=1+：+（++白-*=―\--2=2-琮^,

乙乙乙乙

2

〃+2

所以，S,,=4-苗<4,D對.故選：D.

10.（2022?四川資陽?一模（理））已知函數(shù)〃x）=sin5+coss,其中（y>0.給出以下命題:

①若f（x）在1°，］上有且僅有1個極值點，則1<345：

②若〃x）在生）上沒有零點，則?！?或*［；

③若〃x）在區(qū)間信今）上單調(diào)遞增，則0<。"或|<。43.

其中所有真命題的序號是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【分析】對于①，先整理得了（x）=^sin（0x+5）再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到+￡，從而

得以判斷正誤；

7171.

—69+—>KTI

2435

對于②，先由正弦函數(shù)的性質(zhì)得到，,從而分析得—V'即&=°或％=1,從而可

兀

7167+—<（Z：+l）7t

求得。的取值范圍

兀兀、兀

—6U+->——+2配

對于③，先由正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到，：42,從而分析得即&=o或2=i,

3兀兀/兀c?88

——。+—W—+2E

442

從而可求得。的取值范圍.

【詳解】f（x）=sin<wx+cos0x=&sin（"x+：）,

對于①，因為f（x）在（0,；）上有且僅有1個極值點，則f（x）在（0,：）上只有個最值,

因為0<x<3,所以烏〈口無+工<四/+色,

44444

令f=s+；,則卜苧+?則尸&sinW：O+*只有一個最值,

所以］:工與，得1<045,故①正確；

_.十/T\ll、,71廣1l、t兀兀兀兀人兀GUI九兀兀

對.于（2）,因為—<.X<.TI,所以/G+1<①X+—<TICO+-,令f=8+一,則一0+—</<兀@+一,

4244

因為/1（X）在仁,兀）上沒有零點，則丫=后皿在（畀+50+"上沒有零點,

7171.

—CO+—>KJl

241333

所以,故2k—<co<k-\—,因為勿>0,所以&d—>ty>0?k>---,

兀&+一兀/乙+i\兀2444

乂由24一±14%+3二，得&5t^-3-<k<5~,又keZ,所以上=0或&=1,

24444

13337

當(dāng)左=0時，--<6><-,所以0<。4一：當(dāng)％=1時，-<<w<-；

24424

綜上：0<04、3或3故②7正確；

對于③,因為<包'所以￥<y+'<tyx+￥〈任0+',^-t=cox+—,貝！|“0+色<，<也。+￥'

242444442444

因為〃x）在區(qū)間與引匕單調(diào)遞增，則y=VJsin/在4+：3@+：）上單調(diào)遞增，

因為y=&sinx在一^+2依:$+2版，ZeZ上單調(diào)遞增,

所以,故4左一24。42氏+上,因為。>0,所以2&+L2刃>0,即發(fā)>-2,

3兀兀/兀.,233338

—co+-<—+2/01

442

□Q111111

又由4人一?工2女+：,得左故__;.<%4?，乂kwZ,所以&=0或4=1,

233888

3115

當(dāng)％=0時，—<co<—所以0<GW—；當(dāng)％=1時:—<a）<3；

23392

綜上：0<&>4§或/4043,故③正確.故選：D.

11.（2022?遼寧?一模）國家體育場"鳥巢"的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖1所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同

的橢圓；某校體育館的鋼結(jié)構(gòu)與“鳥巢"相同，其平面圖如圖2所示，若由外層橢圓長軸一端點A和短軸

一端點B分別向內(nèi)層橢圓引切線AC,BD,且兩切線斜率之積等于則橢圓的離心率為（）

【答案】C

【分析】設(shè)出外層橢圓方程，利用離心率表達出內(nèi)層橢圓方程，設(shè)出直線方程，聯(lián)立后由根的判別式得

到4=7」?：2與片=?！皣?yán),利用斜率乘積列出方程，求出4=2,從而求出離心率.

(1-彳)屋2a2a-3

2222

【詳解】設(shè)外層橢圓方程為A方=1,則內(nèi)層橢圓方程為/+方=彳(0<彳<1),

設(shè)過A點的切線方程為y=K(x+a)￡<0,

4^-+p-=A(0</l<l)聯(lián)立得：僅2+$甘卜2+2ayk^x+/《一=0,

2

由4=4以：-4(從+akf)("6_Aa2b2)=°得：好=,

設(shè)過點B的切線方程為y=k2x+b,

22

222222

與=+5=久0</1<1)聯(lián)立得：(b+aki)x+2ak2bx+(l-A)ab=0,

2222

由A2=4aW-4(b+aki)(\-^ab=0得：抬=,

從而*=清記卡=『4'故橢圓的離心率為哼故還c

12.設(shè)。=*，^=21n^sin^+cos-^j,c=|ln|^,則。，b,c的大小關(guān)系正確的是(

)

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.h<a<c

【答案】D

Z>=lnfsin—+cos—Y,c=ln包下，所以只要比較

【力析】由一」°=ine5。=Ine002

I100lOOj1,50J

x=e"",y=(sin2一+cos[—]=1+sin，=1+sin0.02,z=]的大小即嘰然后分別構(gòu)造函數(shù)

I100100j50V50j

/(x)=eJt-(l+sinx)(x>0),g(x)=(l+x)L2-er,判斷出其單調(diào)性，利用其單調(diào)性比較大小即可

【詳解】因為〃=in/=Ine°°2，〃=ln51

50

所以只要比較x=e002,y=[sin-^―+cos=14-sin—=1+sin0.02,z=f—Y=(1+0,02)12的大小即可,

(100100J50(50J

令/'(x)=e*-(1+sinx)(x>0),貝ijJ"(x)=e*-cosx>0,所以/(x)在(0,+°o)上遞增,

所以f(x)>/(0),所以e*>l+sinx,所以e。02>1+sin0.02,即x>y>l,

令g(x)=(1+x)，2-e*,則g'(x)=1.2(1+x)0-2-er,g"(x)=0.24(1+x)-08-e*

因為g"(x)在(0.+8)上為減函數(shù)，旦g"(0)=0.24-1<0,

所以當(dāng)x>0時，g"M<0,所以g'(x)在(0.+8)上為減函數(shù)，

因為g'(0)=1.2-1>0,g'(0.2)=1.2x1.2°2-e0-2=1.212-e°-2,

要比較1土與e°2的大小，只要比較In1.212=1.2In1.2與Ine02=0.2的大小，

令h(x)=(1+x)ln(l+x)-x(x>0),則h'(x)=ln(l+x)+1-1=ln(l+x)>0,

所以〃(x)在上遞增,所以〃(x)>/?(())=0,

所以當(dāng)xe(0,+oo)時，(l+x)ln(l+x)>x,所以1.21nl.2>0.2,

所以1,21-2>e02,所以^(O.2)=1.2xl.202-e0-2=l.^-e02>0,

所以當(dāng)X€(0,0.2)時,g'(x)>0,所以g(x)在(0,0.2)上遞增，

所以g(x)>g(0)=0,所以(1+x嚴(yán)〉e*,

所以(1+0.02)12>e°m,所以z>x,所以z>x>y,所以。>。>方，故選：D

【點睛】此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)比較大小，解題的關(guān)鍵是對已知的數(shù)變形，然后合理構(gòu)造

函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小，考查數(shù)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于難題。

第n卷

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知(1+X—X~j則。3=.

【答案】30

【分析】利用二項式定理的原理與組合的意義求解即可.

【詳解.】因為(1+x-0”>=%+平++為/°，所以的是含丁項的系數(shù)，

若從10個(l+x-Y)式子中取出0個卜f),則需要從中取出3個x,7個1,則得到的項為

2

C,o(-%)°CC；『=120/；

若從10個(1+x-V)式子中取出1個(-Y),則需要從中取出1個x,8個1,則得到的項為

283

C；O(-X)C；JCC^1=-9OX；

若從10個（l+X-Y）式子中取出大于或等于2個卜x2）,則無法得到含丁的項；

綜上：含丁的項為1209_90丁=30/，則含/項的系數(shù)為30,即。3=30.

故答案為：30.

14.（2022?福建?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛4｝滿足奇數(shù)項成等差數(shù)列，公差為d,偶數(shù)項成等比數(shù)列，公比

為4,且數(shù)列｛4｝的前"項和為5“，4=1,%=2,S5=2a4+a5,a9=a3+a4.若4M向="2，則正整

數(shù)m-.

【答案】2

【分析】利用等差等比數(shù)列的通項公式求解即可.

【詳解】由題意知，q=l,%=2,因為55=24+。5=2。24+4+24,

S5=4+%+%+%+%=%+生+4+4+&q+4+2d=3q+3d+a2+a2q,

所以得4-2q+d=0,①由為二陽+為得4+4d=q+d+2g,即3d=2q,（2）

聯(lián)立①②解得d=2,g=3,所以％=之,

當(dāng)初=2%時,由%仆+|=4+2得2X3*TX（21+1）=2X3*,解得&=1,此時加=2;

當(dāng)加=2%-1時，由amam+l=勺+2得（2%-1）x2x3^'=2*+1,

此等式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，則方程無解.故答案為2

22

15.（2022?山東?一模）已知工分別為雙曲線C:工-二=1的左、右焦點，E為雙曲線C的右頂點，

412

過B的直線與雙曲線C的右支交于A,8,兩點（其中點A在第一象限），設(shè)M,N分別為5，2BF\F]

的內(nèi)心，則|阿-”目的取值范圍是.

4G4疔

【答案】

33

【分析】根據(jù)圓的切線長定理和雙曲線的定義可推得△4GK，48片心的內(nèi)切圓與x軸切于雙曲線的右頂

點E,設(shè)直線A8的傾斜角為。，可用6表示|郎-|凋，根據(jù)AB兩點都在右支上得到。的范圍，利用6

的范圍可求得|陷-|煙的取值范圍.

【詳解】如圖：

設(shè)月的內(nèi)切圓與凹,40耳鳥分別切于匕￡>,6,所以|4//|=|AD|Jg|=|Gf；|,|￡>EI=|G片|,

所以|A￡|-|A片|=|AH\+\HFl\-\AD\-\DF2\=\HF}\-\DF2\=\GFt\-\GF2\=2a,

又|G用+1GE|=2c,所以IG/=；\=a+c,\GF21=c-a,

乂|環(huán)|=a+c,|￡/"=c-a,所以G與E5。)重合，所以M的橫坐標(biāo)為“，同理可得N的橫坐標(biāo)也為〃,

設(shè)直線AB的傾斜角為。.則/即時二工/,2E&N=*,

|ME\-\NE\=(c-a)tan~~~-(c-?)tan

.產(chǎn)8、.為e.e\0.0

sin(----)sin—cos—sinco2s——si2n—cq

(c—〃)?22222

,兀e、osi/cos^

cos(----)cos—…一sin工--cos戶—(1)鬻

222)22)22

當(dāng)。4時，1^1-INEhO,當(dāng)時，由題知，a=2.c"?H

因為A,B兩點在雙曲線的右支上，,且。wg,所以tan8<-JJ或tan?！凳?，

回一且-<且.且一!一#0,|ME|-|NE|=(4-2)?三4

6f-Jfn⑸

3tan<93tan。tan。tan。V°°'T

孚明.故答案沏卜哈功

綜上所述，|ME|-|NE|e

【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)圓的切線長定理和雙曲線的定義推出△△片居，耳心的內(nèi)切圓與工軸同時切

于雙曲線的右頂點E,并將|M目-|限用直線AB的傾斜角。表示出來是解題關(guān)鍵.

16.在棱長為4的正方體ABCO-AgGA中，分別為RG，耳G的中點，G為正方體棱上一動點.下

列說法中所有正確的序號是

①G在A8上運動時，存在某個位置，使得MG與A。所成角為60;

②G在AB上運動時，MG與CG所成角的最大正弦值為中；

③G在A4上運動且AG=§GA時，過G,M,N三點的平面截正方體所得多邊形的周長8石+2及；

④G在CJ上運動時（G不與C|重合），若點G”,N，G在同一球面上，則該球表面積最大值24萬.

【答案】②④

【分析】通過證明平面ABC"可知AQLMG,得①錯誤；

PC

取6中點P,根據(jù)sin/PMG=——可知當(dāng)MG最大時，cosNPMG最小，則sinNPMG最大，可確定當(dāng)G

MG

與A或5重合時MG最大，由此計算知②正確：

作出平面GMN截正方體所得的截面圖形，依次計算各邊長可知③錯誤；

根據(jù)四點共球面可知該球即為三棱錐G-GMN的外接球，由R=卜+（；C°j可知當(dāng)G與C重合時，

球的半徑最大，由此可求得④正確.

【詳解】對于①，連接.

Q45_L平面AORA，44匚平面4。。4，:.48，4。：四邊形為正方形，，A。J_AR；

乂A〃cAB=A,AA，A8u平面ABCQ,r.A。，平面ABCQ,

又MGu平面4BGA，??.AQ_LMG,即MG與A4所成角恒為90,①錯誤；

對于②，取C￡＞中點P,連接MP.PG,

時,「分別為&。,。。中點，，/2/（6，又8口平面ABC。，.1MPL平面A8C。，

PG

二.MG與CG所成角即為NPMG,sinZPMG=——,當(dāng)sinNPMG最大時，cosNPMG最小，

MG

MP4

又cosZ.PMG==，.二當(dāng)MG最大時，cos4PMG最小，

MGMG

；當(dāng)6與A或B而合時，MG取得最大值，7+2?+"=6,

,sinZPMG的最小值為包包=2,②正確；

63

對于③，延長交于點S,連接GS交。A于R：

延長MMA4交于點T,連接GT交丁。；

則過G,",N:.點的平面截止方體所得多邊形即為五邊形GQNMR；

SD、D、M1SD.1D.R1

取的中點K,連接NK,D,M〃NK,豪:笈=>.忒=q,即*="

B.Q1

同理可得：需=￡，.??。s=用。=1；

；.GQ=GR=42+22=2后,MR=NQ=df+22=石，MN7*+12=2&，

???五邊形GQVMR的周長為6石+2后，③錯誤；

對于④，若點G,M,N，G在同一球面上，則該球即為三棱錐G-GMV的外接球，

,GMN的外接圓半徑r=gMN=&,.?.三棱錐G-GMN外接球半徑=，

又GG的最大值為CG=4,，?皿=岳4=庭，

???該球表面積最大值為4萬*6=24萬，④正確.故答案為：@(4).

【點睛】思路點睛：本題考查立體幾何中的動點問題的求解，涉及到線線角的求解、正方體截面問題、

三棱錐的外接球表面積的求解問題；求解此類問題的基本思路是根據(jù)所求量確定最值點，再結(jié)合線線角、

球的表面積的求解方法確定最值.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個試題考

生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(-)必考題：共60分。

17.(12分)記銳角ABC的內(nèi)角48,C的對邊分別為",b,c,已知—M~g)=-(A^Q.(1)求證：8=C；

cosBcosC

(2)若asinC=l,求*的最大值.

【答案】⑴見解析；(2)孑25.

16

【分析】(1)運用兩角和與差正弦進行化簡即可；

(2)根據(jù)(1)中結(jié)論運用正弦定理得asinC=2RsinA±=6sinA=l,然后等量代換出』+!，再運

2Ra~Z?

用降次公式化簡，結(jié)合內(nèi)角取值范圍即可求解.

【詳解】(1)證明：由題知則理，?，

cosBcosC

所以$山(/4-3)8$。=$皿/4一。)858,

所以sinAcosBcosC-cosAsin8cosC=sinAcosCcosB-cosAsinCcosB,

所以cosAsinBcosC=cosAsinCeosB

因為A為銳角,即cosAwO,

所以sinBcosC=sinCeosB,

所以tanB=tanC,所以B=C.

(2)由(1)知：B=C,所以sin8=sinC,

因為asinC=l,所以L=sinC,

a

因為由正弦定理得：。=2RsinA,sin8=3，

所以asinC=2Hsin=Z?sinA=1,所以』=sinA

27?b

因為A=乃一3-C=萬一2c,所以一=sinA=sin2C,

b

所以二+2

2=sin?C+sii?2C=>8$2c+(1_cos22Q=-COS2C--cos2C+-

ab222

rr7T

因為.ABC是銳角三角形，且6=C,所以,

42

所以—<2c<7t,所以—1<cos2c<0，

2

當(dāng)cos2c=-。時，4取最大值為號，

4a~h16

所以1最1大值為：2言5.

a2h216

18.（12分）（2022?廣東?模擬預(yù)測）近期國內(nèi)疫情反復(fù)，對我們的學(xué)習(xí)生活以及對各個行業(yè)影響都比較大，

某房地產(chǎn)開發(fā)公司為了回籠資金，提升銷售業(yè)績，讓公司旗下的某個樓盤統(tǒng)一推出了為期10天的優(yōu)惠活

動，負責(zé)人記錄了推出活動以后售樓部到訪客戶的情況，根據(jù)記錄第一天到訪了12人次，第二天到訪了

22人次，第三天到訪了42人次，第四天到訪了68人次，第五天到訪了132人次，第六天到訪了202人

次，第七天到訪了392人次，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，用x表示活動推出的天數(shù)，y表示每天來訪的人次，繪制了

以下散點圖.

y（人次）

i-4oo

350

V-300

i-250

y--ioo

i--i50

i-ioo

\—\50

TiOx（天）

⑴請根據(jù)散點圖判斷，以下兩個函數(shù)模型丫=〃+及與）；=。4,（c,d均為大于零的常數(shù)）哪一個適宜作

為人次y關(guān)于活動推出天數(shù)x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）；

⑵根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及下表中的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測活動推出第8天售樓部來訪的

人次.

17

參考數(shù)據(jù)：其中匕=電如"=弓2匕，

/i=l

力7士匕

84

V100

i=I

1.8458.556.9

⑶已知此樓盤第一天共有10套房源進行銷售，其中6套正價房，4套特價房，設(shè)第一天賣出的4套房中

特價房的數(shù)量為求4的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【答案】（l）y=cd⑵R6.9X10。25，，到訪人次為690（3）分布列見解析，E（J=1.6

【分析】（1）觀察散點圖，結(jié)合散點圖的特征選擇合適的回歸方程類型，（2）由y=c?，取對數(shù)可得

lgy=lgc+lgJx,結(jié)合線性回歸方程求法及參考數(shù)據(jù)可求回歸方程，結(jié)合回歸方程進行預(yù)測；（3）由條件

確定4的可能取值，及取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望.

（1）根據(jù)散點圖可得了隨X的增大，增長速度越來越快，故判斷y=cw*適合作為人次y關(guān)于活動推出

天數(shù)x的回歸方程類型.

（2）（2）由（1）知，y=cd,兩邊同時取對數(shù)得lgy=lgc+lgd-x,令lgy=v，則v=lg〃-x+lgc

7

由題意知匕=lgy；,v=1.84,Z苦匕=58.55,

1=1

17

又元=一（1+2+3+4+5+6+7）=4,=I2+22+32+42+52+62+72=140,

7i=i

Vxv-7xv

(;58.55-7x4x1.84

所以1g4二號--------比0.25

140-7x42

i=i

所以lgc=D-lgH=1.84-0.25x4=0.84,1gy=0.84+0.25x,

則y關(guān)于x的回歸方程為y=100-84+°-25v=6.9xIO025',

當(dāng)x=8時，3=6.9x1()2=690,故預(yù)測活動推出第8天售樓部到訪人次為690.

(3)由題意可知J的取值可能為0,1,2,3,4.

p4=o)=冬=_L,pq=i)=2d^l=_§_,PC=2)=^^1=3,p(^=3)=^^i=—

MolJoy。'JoJJ

c41

p(^=4)=-^=—.

1210

所以4的分布列為:

01234

18341

P

14217352W

J^l^E(a=Ox—+lx—+2x-+3xA+4x—=1.6

1421735210

19.（12分）（2022?河南開封?模擬預(yù)測（理））如圖，。-0分別是圓臺上、下底的圓心，AB為圓0的

直徑，以。8為直徑在底面內(nèi)作圓E,C為圓O的直徑A8所對弧的中點，連接8c交圓E于點。，AA,,

BBX,CC,為圓臺的母線，AB=24瓦=8.

（1）證明；G。//平面084。；⑵若二面角￡-BC-。為?1T，求。Q與平面ACQ所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見解析；（2）通.

【分析】（1）連接。區(qū)。萬，根據(jù)圓的性質(zhì)知回BOC、ISBED都為等腰直角?:角形，進而有。EQG為平

行四邊形，則EQJ/DG，根據(jù)線面平行的判定證明結(jié)論.

(2)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知求得00=2#,再求出OQ、面ACQ的法向量，利用空間向量

夾角的坐標(biāo)表示求線面角的正弦值.

(1)連接。C為圓0的直徑AB所對弧的中點，

所以回BOC為等腰直角三角形，即NOBD=45°,

乂。在圓E上，故為等腰直角三角形，

所以O(shè)E〃OC且OE=^OC,又CG是母線且?G=；oc，則06//0C,

故DE"0￡且DE=0￡,則DEO￡為平行四邊形，

所以EOJ/OC」而E?u面0叫。，。6<2面0%。，故G。//平面0陰。.

(2)由題設(shè)及(1)知：。。、OB、0C兩兩垂直，構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，

過G作C///OQ,則尸為0C的中點，再過尸作尸G〃O￡),連接GG,

由圓。，即GF，圓0，BCu圓0,則GFLBC,乂0DJ.3C，則尸G_LBC,

故二面角G-8C-。的平面角為NFGG=g,而FG=1OZ)="O8=0,

324

則A(0,Y,0),0(2,2,0),6(2,0,向，Q(0,0,倔,

所以A￡>=(2,6,0),C]￡>=(0,2,-#),O、D=Q2-顯),

/n-AD=2x+6y=0廠「r-

若加=（x,y,z）為面AC1。的,個法向量，則〈廠，令y=",則加=（一3而倔2）,

m.C[D=2y-娓z=0

Icos<m,OtD>l=犍_=通，故。。與平面A