圖形的對(duì)稱與翻折：2021-2023中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編（解析版）

三年（2021-2023）中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編【全國(guó)通用】

專題30圖形的對(duì)稱與翻折（優(yōu)選真題60道）

選擇題（共24小題）

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義（如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，那么這樣的圖形

就叫做軸對(duì)稱圖形）對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析.

【解答】解：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義可知：48、C都不是軸對(duì)稱圖形，只有。是軸對(duì)稱圖形.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的定義，難度不大，掌握定義是解答的關(guān)鍵.

2.（2023?赤峰）如圖，把一個(gè)邊長(zhǎng)為5的菱形ABC。沿著直線￡）￡折疊，使點(diǎn)C與延長(zhǎng)線上的點(diǎn)。重

合，DE交BC于點(diǎn)F,交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,DQ交BC于點(diǎn)、P,于點(diǎn)AM=4,則下列結(jié)論：

@DQ=EQ,②8。=3,③8P=型，?BD//FQ.正確的是（）

8

Dr

AMBQE

A.①②③B.②④C.①③④D.①②③④

【分析】由折疊性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得/。r＞尸=NC。/=N。ER根據(jù)等角對(duì)等邊即可判斷①正確；

根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出MQ=AM=4,再求出BQ即可判斷②正確；由得

史0=立，求出BP即可判斷③正確；根據(jù)空工還即可判斷④錯(cuò)誤.

BPBQ3DE^BE

【解答】解：由折疊性質(zhì)可知：ZCDF=ZQDF,CD=DQ=5,

'：CD//AB,

：.ZCDF=ZQEF.

：.ZQDF=ZQEF.

：.DQ=EQ=5.故①正確；

"：DQ^CD=AD=5,DMLAB,

；.MQ=AM=4.

"：MB=AB-AM=5-4=1,

,".BQ=MQ-MB=4-1=3.故②正確；

,JCD//AB,

:.△CDPsABQP.

.CPCD5

,,薩同"T

\"CP+BP=BC=5,

BPaBC」在，故③正確；

88

'：CD//AB,

:.ACDFs4BEF.

.DF二CD_CD二5二5

"EF"BF=BQ-H2E=3+5

?EF,8

??瓦H，

..QE5

?-------

BE8

.EF,QE

??瓦產(chǎn)麗’

/\EFQ與AEDB不相似.

:.NEQFWNEBD.

.?.BD與p。不平行.故④錯(cuò)誤；

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì),

菱形的性質(zhì)等知識(shí)，屬于選擇壓軸題，有一定難度，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?牡丹江）在以“矩形的折疊”為主題的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某位同學(xué)進(jìn)行了如下操作：

第一步：將矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個(gè)正方形ABER然后把紙片展平；

第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點(diǎn)C恰好落在點(diǎn)尸處，得到折痕如圖②.

根據(jù)以上的操作，若AB=8,AD=12,則線段BM的長(zhǎng)是（）

D.1

【分析】由矩形的性質(zhì)得。C=AB=8,BC=4Q=12,NBAO=/B=90°,由折疊得/AFE=/B=90°,

AP=AB=8,所以四邊形A8EB是正方形，則BE=￡F=AB=8,ZBEF=90°,所以EM=8-BM,FM

=CM=12-BM,由勾股定理得(8-BM)2+82=(12-BM)2,求得BAf=2,于是得到問題的答案.

【解答】解：如圖①，：四邊形A8C。是矩形，AB=8,AO=12,

；.r)C=AB=8,2C=AO=12,/BAD=NB=90°,

由折疊得/AFE=N8=90°,

四邊形ABEF是矩形,

VAF=AB=8,

四邊形4BEF是正方形，

:.BE=EF=AB=8,/BE尸=90°,

如圖②，由折疊得EM=CM,

'：EM2+EF2=FM2,5.EM=8-BM,FM=CM=\2-BM,

：.(8-BM}2+82=(12-BM}2,

解得BM=2,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查正方形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，推導(dǎo)出

=8-BM,FM=CM=12-BM,是解題的關(guān)鍵.

4.(2023?黑龍江)如圖，在平面直角坐標(biāo)中，矩形ABC。的邊AO=5.OA：OD=1：4,將矩形ABC。沿

直線OE折疊到如圖所示的位置，線段。囪恰好經(jīng)過點(diǎn)8,點(diǎn)C落在y軸的點(diǎn)。位置，點(diǎn)E的坐標(biāo)是

)

C.（V5-1，2）D.（1-遍，2）

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得到△ABCs△DiCiO,求出A2=CO=2,連接OC,設(shè)BC與。Ci

交于R然后求出OC=OCi=2遙，得到CLF=2灰-2,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：丫矩形A2C。的邊AD=5.OA：00=1：4,

：.0A=\,。。=4,BC=5,

'：AB//OC\,

：.ZABO^ZDiOCi,

,：ZBAO=ZOD\C\=90°,

AAOBSADICIO,

，QA_D1C1

"AB"ODj'

:將矩形ABCD沿直線OE折疊到如圖所示的位置,

二0。1=?！?gt;=4,DiCi^DC^AB,

?.?一1一=AB一,

AB4

：.AB=2（負(fù)值舍去），

：.CD=2,

連接。。，設(shè)3C與0C，交于尸，

22

???℃=VOD<D=742+22=2459

VZFOA=ZOAB=ZABF=90°,

???四邊形04跖是矩形，

：.AB=0F=2f/BF0=9U°=ZEFCi,OA=BF=19

：.CF=5-1=4,

由折疊知，OCi=OC=2泥，ECi=EC=CF-EF=4-EF,

:.FCi=OCi=2&-2,

22

VEF+CIF=EC2,

?'-EF2+(2V5-2)2=(4-EF)2>

解得-1,

：.E(1-遙，2),

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，利用相似

三角形的性質(zhì)求出AB的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

5.(2023?聊城)如圖，在直角坐標(biāo)系中，△A8C各點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-2,1),8(-1,3),C(-4,4).先

作△ABC關(guān)于x軸成軸對(duì)稱的△AiBiCi,再把△A1B1C1平移后得到282c2.若&(2,1),則點(diǎn)加

【分析】先根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)求出Ai,Bi,Ci的坐標(biāo)，根據(jù)平移的性質(zhì)即可求出42的坐標(biāo).

【解答】解：VA(-2,1),B(-1,3),C(-4,4)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為Ai(-2,-1),

Bi(-1,-3),Ci(-4,-4),

又,：B2(2,1),

平移規(guī)律為向右平移3個(gè)單位，向上平移4個(gè)單位,

.,.點(diǎn)42坐標(biāo)為(-2+3,-1+4),即(1,3).

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，坐標(biāo)與圖形變化-平移，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸

對(duì)稱的性質(zhì)和平移的性質(zhì).

6.(2023?安徽)如圖，E是線段上一點(diǎn)，△AOE和△BCE是位于直線同側(cè)的兩個(gè)等邊三角形，點(diǎn)P,

產(chǎn)分別是CO,AB的中點(diǎn).若AB=4,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.B4+P2的最小值為3y

B.尸E+PF的最小值為2愿

C.△口)￡周長(zhǎng)的最小值為6

D.四邊形ABC。面積的最小值為3愿

【分析】延長(zhǎng)ADBC交于過P作直線/〃A8,由△△￡>￡和是等邊三角形，可得四邊形。ECM

是平行四邊形，而尸為C。中點(diǎn)，知P為中點(diǎn)，故P在直線/上運(yùn)動(dòng)，作A關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)A',

連接AB,當(dāng)尸運(yùn)動(dòng)到與直線/的交點(diǎn)，即4,P,8共線時(shí)，最小，即可得B4+尸8

最小值4'8=、岫，2+AB2=2A/7,判斷選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由即可得當(dāng)M,P,尸共線時(shí)，PE+PF

最小，最小值為的長(zhǎng)度，此時(shí)PE+PF的最小值為2a，判斷選項(xiàng)8正確；過。作。KLA8于K,

過C作CT_LAB于T,由△ADE和△2CE是等邊三角形，得KT=KE+TE=^AB=2,有CD22,故4

2

CDE周長(zhǎng)的最小值為6,判斷選項(xiàng)C正確；設(shè)AE=2m可得S四邊形ABCD=?(/??-1)2+343,即知四

邊形ABC。面積的最小值為3?,判斷選項(xiàng)。正確.

【解答】解：延長(zhǎng)ADBC交于M,過P作直線/〃如圖：

M

AADE和ZXBCE是等邊三角形，

/.ZDEA=ZMBA=60°,ZCEB=ZMAB^60°,

J.DE//BM,CE//AM,

...四邊形OECM是平行四邊形，

?；P為CD中點(diǎn)，

為EM中點(diǎn)，

YE在線段AB上運(yùn)動(dòng)，

；.尸在直線/上運(yùn)動(dòng)，

由AB=4知等邊三角形ABM的高為2近，

到直線I的距離，P到直線的距離都為我，

作A關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)A,連接AB,當(dāng)尸運(yùn)動(dòng)到48與直線/的交點(diǎn)，即A,P,3共線時(shí)，見+尸8

=E4'+PB最小，

此時(shí)B4+P2最小值48=、以，2+AB2=1（2\6）2+42=2J7,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，符合題意；

?：PM=PE,

；.PE+PF=PM+PF,

...當(dāng)M,P,尸共線時(shí)，PE+PF最小,最小值為用尸的長(zhǎng)度，

\?尸為AB的中點(diǎn),

J.MFLAB,

:.MF為等邊三角形的高，

.?.尸￡+尸尸的最小值為2/百，故選項(xiàng)2正確，不符合題意；

過。作DKL4B于K,過C作CT_LAB于T,如圖，

C

P

D

AKEFTB

/\ADE和△BCE是等邊三角形，

：.KE^—AE,TE=LBE,

22

KT=KE+TE=—AB=2,

2

:.CD，2,

：.DE+CE+CD^AE+BE+2,即DE+CE+CD^AB+2,

：.DE+CE+CD^6,

...△CDE周長(zhǎng)的最小值為6,故選項(xiàng)C正確，不符合題意；

設(shè)AE=2m,貝!]BE=4-2m,

：.AK=KE=m,BT=ET=2-m,DK=MAK=Mm,-Mm,

?'?S/\ADK=—m9技2=返■nr,SABCT=—（2-m）（2?-我機(jī)）上立-ni2-2am+2如,S梯形。KTC

2222

=2（百優(yōu)+2?-如心2=2百，

2

..?S四邊形4BCD=?"F+?_2am+2如+2如=如序-2MMM=如（m-1）2+3A

22

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，四邊形ABC。面積的最小值為3?,故選項(xiàng)。正確，不符合題意；

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱-最短路徑問題，涉及等邊三角形的性質(zhì)及應(yīng)用，三角形面積等知識(shí)，解題的

關(guān)鍵是求出P的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線I.

7.（2023?臨沂）某小區(qū)的圓形花園中間有兩條互相垂直的小路，園丁在花園中栽種了8棵桂花，如圖所示.若

A,8兩處桂花的位置關(guān)于小路對(duì)稱，在分別以兩條小路為x,y軸的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)

為（-6,2）,則點(diǎn)8的坐標(biāo)為（）

y

A.（6,2）B.（-6,-2）C.（2,6）D.（2,-6）

【分析】關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，據(jù)此可得答案.

【解答】解：若A,3兩處桂花的位置關(guān)于小路對(duì)稱，在分別以兩條小路為x,y軸的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，

若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6,2）,則點(diǎn)2的坐標(biāo)為（6,2）.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了關(guān)于無(wú)軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：（1）

關(guān)于無(wú)軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互

為相反數(shù).

8.（2023?金昌）如圖，將矩形紙片ABC。對(duì)折，使邊與。C,BC與4。分別重合，展開后得到四邊形

EFGH.若A8=2,BC=4,則四邊形EFGH的面積為（）

A.2B.4C.5D.6

【分析】由折疊可知/AGE=/BGE=90°,AG=BG,ZAFH=ZDFH=90°,AF=DF,由同旁內(nèi)角

互補(bǔ)，兩直線平行得AD〃GE_L8C,AB//FH//CD,由平行線的性質(zhì)可得M_LGE,GE=BC=4,FH=

AB=2,OF=OH,OG=OE,再根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形為菱形可知四邊形EFGH為菱形，最

后利用菱形的面積公式計(jì)算即可求解.

【解答】解：如圖，設(shè)EG與血交于點(diǎn)O,

???四邊形ABC。為矩形，

J.AD//BC,AB//CD,ZA=ZB=ZC=ZD=90°,

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，NAG￡=/BGE=90°,AG=BG,NAFH=NDFH=90°,AF^DF,

：.AD//GE±BC,AB//FH//CD,

J.FH1GE,GE=BC=4,FH=AB=2,OF=OH,OG=OE,

.?.四邊形所GH為菱形，

=4

?'?S菱形EFGH=^E?FH=^X2X4-

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、菱形的判定、菱形的面積公式，熟知折疊的性質(zhì)和菱

形的判定方法是解題關(guān)鍵.

9.（2023?浙江）如圖，已知矩形紙片A8CD其中48=3,8c=4,現(xiàn)將紙片進(jìn)行如下操作：

第一步，如圖①將紙片對(duì)折，使A8與。C重合，折痕為ER展開后如圖②；

第二步，再將圖②中的紙片沿對(duì)角線8。折疊，展開后如圖③；

第三步，將圖③中的紙片沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)C落在對(duì)角線3。上的點(diǎn)X處，如圖④.則?！ǖ?/p>

長(zhǎng)為（）

【分析】過點(diǎn)M作于點(diǎn)G,根據(jù)勾股定理求得8。=5,由折疊可知8E=CE=EH=」BC=2,

2

ZC=ZEHM=9Q°,CM=HM,進(jìn)而得出BE=E”，ZEBH=ZEHB,利用等角的余角相等可得NHDM

=ZDHM,則。于是可得DW=HM=CM=^C￡>=旦，由等腰三角形的性質(zhì)可得。H=2OG,

22

易證明AMGDs△BCD,利用相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)M作于點(diǎn)G,

,四邊形ABC。為矩形，AB=3,BC=4,

：.AB=CD=3,ZC=90",

在RtABCD中，五02。2=^42+32=5，

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，BE=CE=LBC=2,ZC=ZEHM=90°,CE=EH=2,CM=HM,

2

：.BE=EH=2,

...△BEH為等腰三角形，ZEBH=ZEHB,

■:/EBH+NHDM=90°,

ZEHB+ZDHM=90°,

：.ZHDM=ZDHM,

...△OHM為等腰三角形，DM=HM,

：.DM=HM=CM=—CD=—,

22

\'MG±BD,

：.DH=2DG,NMGD=NBCD=90°,

ZMDG=ZBDC,

:.叢MGDs叢BCD,

3_

?DGDMpnDG~2

CDBD3"5

:.DH=2DG=生.

5

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的

判定與性質(zhì)，根據(jù)矩形和折疊的性質(zhì)推理論證出。以此得出點(diǎn)M為CO的中點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

10.(2022?濟(jì)寧)如圖，三角形紙片48c中，NBAC=90°,AB=2,AC=3.沿過點(diǎn)A的直線將紙片折疊，

使點(diǎn)8落在邊BC上的點(diǎn)。處；再折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)。重合，若折痕與AC的交點(diǎn)為E,則AE的

【分析】根據(jù)沿過點(diǎn)A的直線將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊BC上的點(diǎn)。處，得AD=AB=2,ZB=ZADB,

又再折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)。重合，得CE=DE,ZC^ZCDE,即可得/ADE=90°,AD2+DE2=AE2,

設(shè)貝i|CE=DE=3-x,可得22+(3-x)2=x2,即可解得AE=W.

6

【解答】解：???沿過點(diǎn)A的直線將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊BC上的點(diǎn)。處，

：.AD=AB=2,NB=NADB,

?..折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)。重合，

；.CE=DE,ZC^ZCDE,

;Na4c=90°,

：.ZB+ZC=90°,

：.ZADB+ZCDE=90°,

ZADE=90°,

：.AD2+DE1=AE1,

設(shè)AE=x,則CE=DE=3-x,

22+(3-x)2=x2,

解得

6

.4j-,13

6

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形中的翻折變換，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)，熟練利用勾股定理列方程.

11.(2022?荷澤)如圖，在菱形A5CD中，AB=2,ZABC=60°,M是對(duì)角線8。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，CF=

則的最小值為（）

【分析】當(dāng)MA+MF的值最小時(shí)，A、M、F三點(diǎn)共線，即求AF的長(zhǎng)度，根據(jù)題意判斷AABC為等邊三

角形，且P點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，求出AP的長(zhǎng)度即可.

【解答】解：當(dāng)A、M、尸三點(diǎn)共線時(shí)，即當(dāng)M點(diǎn)位于時(shí)，M4+MF的值最小，

AB=BC,

又,.?/ABC=60°,

：.AABC為等邊三角形，

：尸點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，48=2,

J.AFLBC,CF=FB=1,

在RtAABF中，AF=7AB2-BF2=V3.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查最短路線問題、等邊三角形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)，確定MA+MF的最小值為AF的長(zhǎng)

度是關(guān)鍵.

12.（2022?臺(tái)灣）如圖1為一張正三角形紙片ABC,其中。點(diǎn)在A3上，E點(diǎn)在BC上.今以。E為折線將

B點(diǎn)往右折后，BD、BE分別與AC相交于尸點(diǎn)、G點(diǎn)，如圖2所示.若4。=10,”=16,。尸=14,

8尸=8,則CG的長(zhǎng)度為多少？（）

AA

【分析】根據(jù)三角形ABC是正三角形，可得NA=N5=60°,AAFD^ABFG,即可求出尸G=7,而

AD=10,=14,BF=8,可得A8=32=AC,故CG=AC-Ab-bG=9.

【解答】解：:三角形ABC是正三角形，

AZA=ZB=60°,

NAFD=NBFG,

，XAFDsXBFG,

.DF=AF即

??而麗，、而"T，

:?FG=7,

VAD=10,DF=14,BF=8,

：.AB=32,

/.AC=32,

JCG=AC-AF-FG=32-16-7=9；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形中的翻折問題，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)，證明如尸G,從

而求出尸G的長(zhǎng)度.

13.（2022?河北）如圖，將△A3C折疊，使AC邊落在A8邊上，展開后得到折痕/,則/是△43。的（）

【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)和圖形，可以判斷直線/與的關(guān)系.

【解答】解：由己知可得,

Z1=Z2,

則/為△ABC的角平分線,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查翻折變換、角平分線，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

14.（2022?畢節(jié)市）矩形紙片ABCZ）中，E為BC的中點(diǎn)，連接AE,將△ABE沿AE折疊得到△AM,連接

CF.若AB=4,BC=6,則CF的長(zhǎng)是（）

【分析】連接8凡交AE于。點(diǎn)，根據(jù)翻折的性質(zhì)知8E=EF,ZAEB=ZAEF,AE垂直平分BE再

說明AE〃CR利用等積法求出2。的長(zhǎng)，再利用勾股定理可得答案.

【解答】解：連接8尸，交AE于。點(diǎn)，

將AABE沿AE折疊得到△AFE,

：.BE=EF,/AEB=/AEF,AE垂直平分8尸,

?.?點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),

:.BE=CE=EF=3,

:.NEFC=/ECF,

ZBEF=ZECF+ZEFC,

???NAEB=/ECF,

：.AE//CF,

：.ZBFC=ZBOE=90°,

在中，由勾股定理得，22>

RtZXABEAE=^AB2+BE2=>/3+4=5

.sABXBE3X412

AE55

：.BF=2BO=^-,

5

在RtZkBC尸中，由勾股定理得，

3=加2_832=/2_（譽(yù)產(chǎn)普,

VDD

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，利用等積法求出8。

的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

15.（2022?湖州）如圖，已知8。是矩形ABC。的對(duì)角線，AB=6,8C=8,點(diǎn)E,E分別在邊A。，8c上，

連結(jié)BE,DF.將△ABE沿BE翻折，將△“T沿。尸翻折，若翻折后，點(diǎn)A,C分別落在對(duì)角線BD上

的點(diǎn)G,H處,連結(jié)GE則下列結(jié)論不正確的是（）

A.BD=10B.HG=2C.EG//FHD.GF±BC

【分析】由矩形的性質(zhì)及勾股定理可求出10；由折疊的性質(zhì)可得出A3=3G=6,CD=DH=6,則

可求出GH=2；證出/A=NBGE=NC=N■DH^^=9（r,由平行線的判定可得出結(jié)論；由勾股定理求出

C廣=3,根據(jù)平行線分線段成比例定理可判斷結(jié)論.

【解答】解：：四邊形ABC。是矩形，

AZA=90°,BC=AD,

；AB=6,2C=8,

AB￡)=VAB2+AD2=762+82=10,

故A選項(xiàng)不符合題意；

??,將△ABE沿BE翻折，將△DCb沿。尸翻折，點(diǎn)A,。分別落在對(duì)角線8。上的點(diǎn)G,H處,

：.AB=BG=6,CD=DH=6,

:?GH=BG+DH-BD=6+6-10=2,

故5選項(xiàng)不符合題意；

???四邊形A5CD是矩形，

AZA=ZC=90°,

??,將△ABE沿5E翻折，將△OC尸沿。尸翻折，點(diǎn)A,。分別落在對(duì)角線5。上的點(diǎn)G,H處,

：.ZA=ZBGE=ZC=ZDHF=90°,

：.EG//FH.

故。選項(xiàng)不符合題意；

?:GH=2,

:?BH=DG=BG-GH=6-2=4,

設(shè)FC=HF=x,貝!J5尸=8-%，

/.^+42=(8-x)之，

，％=3,

:,CF=3,

?BF5

??--——"9

CF3

又..BG=6=3

'DG

?'CF^DG,

若Gb_LBC,貝|JG尸〃CO,

?.B?-F--BG—9

CFDG

故。選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，平行線的判定，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

16.（2022?北京）圖中的圖形為軸對(duì)稱圖形，該圖形的對(duì)稱軸的條數(shù)為（)

C.3D.5

【分析】一個(gè)圖形沿一條直線對(duì)折，直線兩旁的部分能夠完全重合，這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形，這條直

線就是這個(gè)圖形的一條對(duì)稱軸，由此即可解決問題.

【解答】解：如圖所示，該圖形有5條對(duì)稱軸，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了利用軸對(duì)稱圖形的定義判斷軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸條數(shù)和位置的靈活應(yīng)用.

17.（2022?赤峰）如圖，菱形ABCD,點(diǎn)A、B、C、。均在坐標(biāo)軸上.ZABC=120°，點(diǎn)A（-3,0）,點(diǎn)

A.3B.5C.2A/2D.

【分析】根據(jù)題意得，E點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是2C的中點(diǎn)E,連接DE交AC與點(diǎn)P,此時(shí)PD+PE有

最小值，求出此時(shí)的最小值即可.

【解答】解：根據(jù)題意得，E點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是BC的中點(diǎn)E,連接。E交AC與點(diǎn)P,止匕時(shí)PD+PE

有最小值為。E',

,四邊形ABCD是菱形，ZABC=120°,點(diǎn)A(-3,0),

：.OA=OC=3,ZDBC=6Q°,

...△BC。是等邊三角形，

：.DE=OC=3,

即PD+PE的最小值是3,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.（2022?廣安）如圖，菱形ABC。的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)尸是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)￡、尸分別為邊AD、

DC的中點(diǎn)，則PE+PF的最小值是（）

A.2B.V3C.1.5D.V5

【分析】如圖，取的中點(diǎn)T,連接PT,FT.首先證明四邊形ADFT是平行四邊形，推出A￡）=BT=2,

再證明PE+PF=PT+PF,由PF+PT^FT=2,可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，取的中點(diǎn)T,連接PT,FT.

.四邊形A2CD是菱形,

CD//AB,CD=AB,

?；DF=CF,AT=TB,

：.DF=AT,DF//AT,

，四邊形AAFT是平行四邊形，

：.AD=FT=2,

:四邊形ABC。是菱形，AE=DE,AT=TB,

：.E,T關(guān)于AC對(duì)稱，

：.PE=PT,

：.PE+PF=PT+PF,

,；PF+PTNFT=2,

:.PE+PFN2,

.?.PE+PF的最小值為2.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱最短問題，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)

利用軸對(duì)稱解決最短問題.

19.（2022?營(yíng)口）如圖，在矩形ABCQ中，點(diǎn)M在邊上，把△BCM沿直線CM折疊，使點(diǎn)8落在

邊上的點(diǎn)E處，連接EC,過點(diǎn)8作8ELEC,垂足為尸，若CZ）=1,CF=2,則線段AE的長(zhǎng)為（）

A.V5-2B.V3-1

【分析】證明△磯)(A4S),得DE=CF=2,即可得CE=7cD2+DE2=V5=AD,故

AE=AD-DE=yf5-2.

【解答】解：:BC=CE,ZEDC=ZCFB=9O°,ZDEC=ZBCF,

.?.△EDg^CFB(AAS),

：.DE=CF=2,

CE=7CD2+DE2=Vl2+22=A=BC=AD,

：.AE=AD-￡>￡=V5-2,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形中的翻折問題，涉及勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)，能熟練應(yīng)

用勾股定理列方程解決問題.

20.(2022?常州)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A與點(diǎn)4關(guān)于無(wú)軸對(duì)稱，點(diǎn)A與點(diǎn)人2關(guān)于y軸對(duì)稱.已

知點(diǎn)4(1,2),則點(diǎn)A?的坐標(biāo)是()

A.(-2,1)B.(-2,-1)C.(-1,2)D.(-1,-2)

【分析】關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特

點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變.

【解答】解：?.?點(diǎn)4與點(diǎn)兒關(guān)于無(wú)軸對(duì)稱，已知點(diǎn)4(1,2),

.,.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,-2),

:點(diǎn)A與點(diǎn)A2關(guān)于y軸對(duì)稱,

.?.點(diǎn)人2的坐標(biāo)為(-1,-2),

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于無(wú)軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，關(guān)鍵是熟練掌握點(diǎn)的變化規(guī)律，不要混淆.

21.(2022?德州)如圖，正方形A3C。的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)E在8C上，CE=2.點(diǎn)M是對(duì)角線3。上的一個(gè)動(dòng)

C.2V13D,4V13

【分析】要求ME+MC的最小值，ME、MC不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化ME,MC的值，從

而找出其最小值求解.

【解答】解：如圖，連接AE交8。于M點(diǎn)，

C關(guān)于8。對(duì)稱，

：.AE就是ME+MC的最小值，

,正方形42CD中，點(diǎn)E是BC上的一定點(diǎn)，且2￡=20廢=6-2=4,

'：AB=6,

AE=J$2+42=2yJ13，

J.ME+MC的最小值是2d石.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是軸對(duì)稱--路徑最短問題、勾股定理的應(yīng)用、正方形的性質(zhì)，明確當(dāng)點(diǎn)4

M,E在一條直線上時(shí)，ME+MA有最小值是解題的關(guān)鍵.

22.（2022?六盤水）如圖，將一張長(zhǎng)方形紙對(duì)折，再對(duì)折，然后沿圖中虛線剪下，剪下的圖形展開后可得

到（）

T,，45

再對(duì)折沿虛線剪下

A.三角形B.梯形C.正方形D.五邊形

【分析】動(dòng)手操作可得結(jié)論.

【解答】解：將一張長(zhǎng)方形紙對(duì)折，再對(duì)折，然后沿圖中虛線剪下，剪下的圖形展開后可得到：正方形.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查剪紙問題，正方形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)動(dòng)手操作，

屬于中考?？碱}型.

23.（2022?資陽(yáng)）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是直線上一動(dòng)點(diǎn).若AB=4,0ljAE+OE

的最小值是（）

A.4A/2B.2V5+2C.2V13D.2V10

【分析】本題為典型的將軍飲馬模型問題，需要通過軸對(duì)稱，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)A,再連接

AO,運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短得到AO為所求最小值，再運(yùn)用勾股定理求線段AO的長(zhǎng)度即可.

【解答】解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)4,連接A'O,其與BC的交點(diǎn)即為點(diǎn)E,再作

。尸LLA8交A8于點(diǎn)F,

與A關(guān)于BC對(duì)稱，

：.AE=A'E,AE+OE=A'E+OE,當(dāng)且僅當(dāng)A,O,E在同一條線上的時(shí)候和最小，如圖所示，止匕時(shí)AE+OE

=A'E+OE=A'O,

?..正方形A2CD點(diǎn)。為對(duì)角線的交點(diǎn)，

???0F=FB=/AB=2，

與A關(guān)于BC對(duì)稱，

：.AB=BA'=4,

：.FA'=FB+BA'=2+4=6,

在Rd0剛'中，OA'=VFO2+FA/2=2>/10,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題為典型的將軍飲馬模型，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，并運(yùn)用勾股定理求線段長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵.

24.（2022?鄂州）如圖，定直線〃尸。，點(diǎn)、B、C分別為MN、PQ上的動(dòng)點(diǎn)，且BC=12,BC在兩直線

間運(yùn)動(dòng)過程中始終有NBCQ=60°.點(diǎn)4是上方一定點(diǎn)，點(diǎn)。是PQ下方一定點(diǎn)，且AE〃BC〃。乩

AE=4,。歹=8,AD=24?,當(dāng)線段2C在平移過程中，AB+C。的最小值為（）

A.24Vl§B.24^/15C.12V13D.12^/15

【分析】沿8C的方向?qū)⑹?。和MN平移重合，即2和C點(diǎn)重合，點(diǎn)。平移至T,連接AT,BPAB+CD

最小，進(jìn)一步求得結(jié)果.

【解答】解：如圖，

作。CP。于L過點(diǎn)A作尸。的垂線，過點(diǎn)。作P。的平行線，它們交于點(diǎn)R,延長(zhǎng)。/至T,使DT

=BC=12,連接AT,

AT交MN于B',作"C//BC,交PQ于C',則當(dāng)8C在夕C時(shí)，AB+CD最小，最小值為AT

的長(zhǎng)，

可得AK=AE?sin60°=^-AE=2?，。L=^-DF=4我，^-BC=6V3>

.?.AR=2V§+6F+4百=12百，

；A￡）=24我，

sinNADR=岷=上,

AD2

；.乙4。7?=30°,

VZPFD=60°,

/.ZADT=90°,

AT=22

VAD+DT=V（24V3）2+122=12vl§，

故答案為：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平移性質(zhì)和平移的運(yùn)用，解直角三角形等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，將B

和C兩地變?yōu)椤耙粋€(gè)點(diǎn)

填空題（共26小題）

25.（2023?泰安）如圖，在△ABC中，AC=BC=16,點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)￡■在2C上，點(diǎn)B關(guān)于直線DE的

軸對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)8',連接。夕，EB',分別與AC相交于尸點(diǎn)，G點(diǎn)，若AF=8,DF=1,B'F=4,

則CG的長(zhǎng)度為2.

一2一

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱可得,進(jìn)而得出△AOf's△夕GR根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出尸G,

進(jìn)而求出CG.

【解答】解：：△■B/組與△2'DE關(guān)于DE對(duì)稱,

：.ZB=ZB',

XVZAFD=ZB'FG,

：./\ADF^/\B'GF,

?AF_DF

"B7F而，

即星=」-,

4GF

:.GF=L,

2

ACG=AC-AF-GF

=16-8--

2

-_-9,

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)以及軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)以及相似三角形的判

定和性質(zhì)是正確解答的前提.

26.（2023?吉林）如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,8CCAC.點(diǎn)。，E分別在邊AB,BC上，連接。E,

將△8OE沿。E折疊，點(diǎn)2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B,若點(diǎn)正剛好落在邊AC上，ZCB'E=30°,CE=3,則

BC的長(zhǎng)為9.

c

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出3名=8￡,=2CE=6即可求解.

【解答】解：：將△BDE沿。E折疊，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn),若點(diǎn)、B'剛好落在邊AC上，

在RtZXABC中，ZC=90°,BC<AC,NCB'E=30°,CE=3,

:.B'E=BE=2CE=6,

:.BC=CE+BE=3+6=9.

故答案為：9.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)熟練掌握以上性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

27.（2023?徐州）如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,CA=CB=3,點(diǎn)。在邊BC上.將△ACD沿AO折

疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處，連接BC',則3C'的最小值為_3a-3_.

【分析】由折疊性質(zhì)可知AC=AC=3,然后根據(jù)三角形的三邊不等關(guān)系可進(jìn)行求解.

【解答】解：,.?/C=90°,CA=CB=3,

?*-AB=VAC2+BC2=3V2>

由折疊的性質(zhì)可知AC=AC=3,

'：BC^AB-AC,

...當(dāng)A、C、8三點(diǎn)在同一條直線時(shí)，取最小值，最小值即為BC'=AB-ACy=3\歷-3，

故答案為3圾

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理、折疊的性質(zhì)及三角形的三邊不等關(guān)系，熟練掌握勾股定理、折疊的性

質(zhì)及三角形的三邊不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

28.（2023?通遼）點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為一元一次方程3x+7=32-2x的解，縱坐標(biāo)為a+b的值，其中a,b滿足

二元一次方程組12a-b=4,則點(diǎn)。關(guān)于>軸對(duì)稱點(diǎn)0，的坐標(biāo)為(-5,-4).

I_a+2b=_8

【分析】結(jié)合已知條件分別求得x,的值，然后根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)即可求得答案.

【解答】解：3x+7=32-2尤，

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：5尤=25,

系數(shù)化為1得：尤=5；

(2a-b=40

i-a+2b=-8②

①+②得：a+b--4；

則Q(5,-4),

那么點(diǎn)。關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-5,-4),

故答案為：(-5,-4).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解一元一次方程及二元一次方程組和關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)，結(jié)合已知條件求

得x,a+b的值是解題的關(guān)鍵.

29.(2023?遼寧)如圖，在三角形紙片ABC中，AB=AC,N8=20°,點(diǎn)。是邊上的動(dòng)點(diǎn)，將三角形

紙片沿對(duì)折，使點(diǎn)8落在點(diǎn)夕處，當(dāng)B'時(shí)，NBA。的度數(shù)為25°或115°.

【分析】分兩種情況,一是點(diǎn)8,在直線8c的下方，則=90°,所以/A。"=ZADB=135°,

則N2AZ)=180°-/B-/ADB=25°；二是點(diǎn)8'在直線BC的上方，則=/4。3=45°,所

以NA4￡>=180°-ZB-ZADB=115°,于是得到問題的答案.

【解答】解：當(dāng)點(diǎn)夕在直線BC的下方，如圖1,

?:B'D±BC,

：.ZBDB'=90°,

：.ZADB'+ZADB=360°-90°=270°,

?.?將三角形紙片沿AD對(duì)折，使點(diǎn)2落在點(diǎn)次處，

/.ZADB'=ZADB=Ax270°=135°,

2

VZB=20°,

：.ZBAD=1SO0-ZB-ZADB=180°-20°-135°=25°；

當(dāng)點(diǎn)2'在直線BC的上方時(shí)，如圖2,

'：B'D±BC,

：.ZBDB'=90°,

?..將三角形紙片沿AO對(duì)折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)8'處，

AZADB'=ZADB=AX90°=45°,

2

：.ZBAD=1SO°-ZB-ZADB=180°-20°-45°=115°,

故答案為：25°或115°.

圖2

圖1

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，正確地求出/瓶皮

的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

30.（2023?深圳）如圖,在△A8C中，AB=AC,tanB=^-,點(diǎn)。為8c上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD,將沿

4

OE交AC于點(diǎn)G,GE<DG,且AG：CG=3：1,則。二;甬形的七=_理_

AD翻折得到△AOE,

S三角形ADG75

【分析】過點(diǎn)A作AFLBC于點(diǎn)片過點(diǎn)A作AHLOE于點(diǎn)〃，由折疊易得Ab=AH,AB=AE,BF=

EH,CG=a,則AG=3a,于是AB=AC=AE=4a,在RtZXABF中，利用tanB=3可求出AH=AF=^a,

45

BF=EH=^-a,在RtZXAGH中，利用勾股定理求出38=旦2，以此求出或?=工2，由△AEGsADCG

555

嚼嗡求得DG小則魯鬻嚕

【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作A尸，3。于點(diǎn)R過點(diǎn)A作于點(diǎn)H,

:?/B=/C,

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，NB=/E,AF=AH,AB=AEfBF=EH,

???/￡=NC,

設(shè)CG=m則AG=3〃，