一維應(yīng)變平面波課件

一維平面應(yīng)變波,有：（6-1）第六章一維應(yīng)變平面波

設(shè)均勻作用在橫截面上，所有非零的應(yīng)力分量和應(yīng)變分量都只是X和t的函數(shù).根據(jù)對稱性，有(6-2)第1頁/共60頁控制方程以為未知函數(shù)的一階偏微分方程組：(6-4a)(6-4b)或者可以得到以為未知函數(shù)的一階偏微分方程組：第六章一維應(yīng)變平面波第2頁/共60頁當(dāng)以縱向位移為未知函數(shù)，有二階偏微分方程組：(6-5)其中，為一維應(yīng)變平面縱波波速第六章一維應(yīng)變平面波第3頁/共60頁§6.2一維應(yīng)變彈性波對于各向同性線彈性體，Hooke定律具有如下的形式：(6-6)第六章一維應(yīng)變平面波第4頁/共60頁各應(yīng)變分量定義如下：當(dāng)式（6-6）以張量形式表示時(shí)，有(6-7)(6-8)第六章一維應(yīng)變平面波第5頁/共60頁

和是Lame系數(shù)：引入體積應(yīng)變及靜水壓力（即平均法應(yīng)力之負(fù)值）(6-9)引入代表畸變的應(yīng)變偏量和應(yīng)力偏量(6-10)(6-11)(6-12)第六章一維應(yīng)變平面波第6頁/共60頁廣義Hooke定律：由此，一維應(yīng)變()條件下的縱向應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為容變律部分畸變律部分(6-13)為體積模量：(6-14)(6-15)側(cè)限彈性模量第六章一維應(yīng)變平面波第7頁/共60頁將式(6-15)代入式(6-5)可知一維應(yīng)變彈性縱波波速側(cè)限應(yīng)力為：(6-16)(6-17)①同號(hào)，三向受壓或三向受拉.②一維應(yīng)變彈性縱波速度比一維應(yīng)力彈性縱波要快.第六章一維應(yīng)變平面波在1.1-1.22之間。第8頁/共60頁③一維應(yīng)變彈性縱波是各向同性、線彈性、無限介質(zhì)中的平面無旋波。鋼銅鋁玻璃橡膠11295562810814526287*10-45.944.566.325.81.04第9頁/共60頁§6.3一維應(yīng)變下的彈塑性本構(gòu)關(guān)系屈服準(zhǔn)側(cè)可表示為：當(dāng)計(jì)及應(yīng)變硬化性能時(shí)，Y是塑性應(yīng)變的函數(shù)：也可取作塑性功的函數(shù)而一維應(yīng)力下的塑性功為應(yīng)力對塑性應(yīng)變的導(dǎo)數(shù)第六章一維應(yīng)變平面波(6-20)(6-22)(6-23)(6-21)第10頁/共60頁可見假定總應(yīng)變是彈性部分和塑性部分之和且彈性階段有塑性階段，根據(jù)式(6-22)(6-23)，應(yīng)有由此可知一維應(yīng)力下塑性變形階段曲線的斜率可表示為稱為塑性硬化模量，等于常數(shù)時(shí)即為線性硬化材料。(6-24)(6-25)(6-26)(6-27)第六章一維應(yīng)變平面波第11頁/共60頁

在三維應(yīng)力的一般情況下，假定材料各向相同性的，靜水壓力對屈服沒有影響，以及Bauschinger效應(yīng)可以忽略，則最常用的兩個(gè)屈服準(zhǔn)則有：Mises準(zhǔn)則（最大畸變能準(zhǔn)則）和Tresca準(zhǔn)則（最大切應(yīng)力準(zhǔn)則）Mises準(zhǔn)則：(彈性畸變能達(dá)到臨界值時(shí)材料開始塑性變形).(6-28)第七章一維應(yīng)變平面波第12頁/共60頁Tresca準(zhǔn)則:(最大切應(yīng)力達(dá)到臨界值是材料開始塑性變形)。(6-29)在一維應(yīng)變條件下，這兩個(gè)屈服準(zhǔn)則具有相同的形式：(7-30)理想塑性材料(Y=Y0)屈服軌跡是固定不變的;2)對于各向同性硬化材料，則屈服軌跡的上下界將隨著塑性變形或塑性功的增加，保持與靜水壓力線對稱并且平行地向外擴(kuò)大。第13頁/共60頁Hugoniot彈性極限:一維應(yīng)變條件下對軸向應(yīng)力而言的初始屈服極限為

(6-31)第七章一維應(yīng)變平面波第14頁/共60頁假定塑性變形對體積變形沒有貢獻(xiàn)，即

則容變律完全是彈性性質(zhì)的，再結(jié)合

則一維應(yīng)變條件下的彈塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可寫為：容變律：畸變律：(6-34)(6-33)(6-35)(6-32)第15頁/共60頁加載時(shí)的軸向彈塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系(6-36)第16頁/共60頁1)理想塑性材料，

2)各向同性硬化材料，為確定，實(shí)際上也是確定畸變律的斜率，即。

由一維應(yīng)變條件下變形的對稱性，及塑性變形對體積變形無貢獻(xiàn)的假定式（6-32）可知，三個(gè)塑性主應(yīng)變中只有一個(gè)是獨(dú)立的，即：

(6-38)(6-37)第17頁/共60頁當(dāng)作為軸向塑性應(yīng)變的函數(shù)，計(jì)及應(yīng)變硬化時(shí)，由式(6-35)中的畸變律可知在彈性階段和塑性階段分別有：

假定總應(yīng)變是彈性部分和塑性部分之和，有：

定義畸變律塑性段曲線的斜率之半為塑性剪切剛度，則有(6-40)(6-39)第18頁/共60頁當(dāng)作為塑性功的函數(shù)時(shí),由于一維應(yīng)變條件下有

因而可得

塑性剪切模量可寫作：

各向同性硬化材料在一維應(yīng)變條件下的軸向應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的斜率可表示為

(6-41)(6-42)第19頁/共60頁反向彈性加載；反向屈服；反向塑性加載；加卸載軌跡：第20頁/共60頁§6.4一維應(yīng)變彈塑性波一維應(yīng)變條件下的關(guān)系，是以假定彈性變形部分服從Hooke定律為前提的。在此基礎(chǔ)上，來討論一維應(yīng)變彈塑性波的傳播。在加載階段，一維應(yīng)變彈性波波速按式為塑性波波速為由于，因而由上式可知，從而有第21頁/共60頁理想塑性材料:

1、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的塑性段是水平線，應(yīng)力應(yīng)變之間不再具有一一對應(yīng)的關(guān)系。2.一維應(yīng)變情況,可以用應(yīng)變率無關(guān)理論來處理應(yīng)力波問題;軸向應(yīng)力和軸向應(yīng)變之間則具有對應(yīng)的單值函數(shù)關(guān)系，而且在塑性段呈線性，其斜率取決于k.

第22頁/共60頁2、一般情況下，一維應(yīng)變塑性波波速是塑性應(yīng)變或塑性功的函數(shù)。對于線性硬化材料和理想塑性材料，塑性波速為常數(shù)，分別以和表述為：

3、在一維應(yīng)力下，塑性波速一般比彈性波速小得多，可相差一個(gè)量級(jí)。而一維應(yīng)變下的塑性波速則較高，其下限是理想塑性假定下的體波波速。如果，體波波速接近于桿中的彈性縱波波速，。(6-47)第23頁/共60頁4.在卸載階段，初始是彈性卸載，按式(6-44)卸載擾動(dòng)以無限介質(zhì)中彈性縱波波速傳播。由于，即彈性卸載擾動(dòng)傳播得比塑性加載擾動(dòng)快，因此和一維應(yīng)力中情況一樣，視情況的不同存在有追趕卸載和迎面卸載等問題。不過，由于比大得不多，在追趕卸載過程中塑性加載波的衰減較一維應(yīng)力波中的要慢。

第24頁/共60頁5.和一維應(yīng)力波相比，一維應(yīng)變彈塑性波的一個(gè)最具特色的問題是在尚未卸到零而滿足反向塑性屈服條件時(shí)(見式7-30)，將傳播所謂反向塑性加載波。在反向塑性加載階段，既然塑性波速小于彈性波速，即晚傳播的反向塑性加載擾動(dòng)比早傳播的彈性卸載擾動(dòng)傳播得慢，因此這兩波陣面的距離在傳播過程中將愈拉愈遠(yuǎn)。第25頁/共60頁§7.6固體高壓狀態(tài)方程前面所討論的一維應(yīng)變彈塑性波，都以材料的彈性變形部分遵循Hooke定律為前提。顯然，這只在小應(yīng)變的條件下成立。在較高壓力、較大變形時(shí)，彈性模量實(shí)際上不再是常數(shù)，而是應(yīng)變或應(yīng)力的函數(shù)。這時(shí)，本構(gòu)方程中的彈性變形部分也是非線性的。由于在高壓下，固體材料抗畸變的能力(即剪切強(qiáng)度)常可近似地忽略不計(jì)，因而本構(gòu)關(guān)系中的畸變律部分也就可暫時(shí)忽略不計(jì)，而只考慮容變律部分。換言之，此時(shí)本構(gòu)關(guān)系就簡化成了靜水壓力和體積應(yīng)變或比體積之間的關(guān)系，也稱為固體高壓狀態(tài)方程。相當(dāng)于把高壓下固體材料看成如同無粘性的可壓縮流體一樣第26頁/共60頁實(shí)際上，固體高壓狀態(tài)方程不僅在固體剪切強(qiáng)度可忽略的高壓下，對于固體中沖擊波的研究是必需的；而且在固體剪切強(qiáng)度不可忽略的條件下，對于非線性彈塑性波的傳播的研究，也是必不可少的。

對體積應(yīng)變，按工程應(yīng)變來定義，記作，有

式中：是材料初始化比體積（）

相應(yīng)的體積模量為

這是以Lagrange觀點(diǎn)來描述的體積模量，可稱為Lagrange體積模量。(6-48)(6-49)第27頁/共60頁如果體積應(yīng)變按對數(shù)應(yīng)變（真應(yīng)變）來定義，記作，有：

相應(yīng)的體積模量為

這是以Euler觀點(diǎn)來描述的體積模量，稱為Euler體積模量。

顯然，和之間有如下關(guān)系：

(6-50)(6-51)(6-52)一維應(yīng)變條件下第28頁/共60頁Bridgman方程P.W.Bridgman（1949）曾對數(shù)十種元素和化合物在高達(dá)1GPa~10GPa（104bar~105bar）的靜高壓條件下研究了它們的體積壓縮隨靜壓力變化的情況。根據(jù)試驗(yàn)測定結(jié)果，提出了如下經(jīng)驗(yàn)公式：(6-54)第29頁/共60頁由式(6-54)可求得體積模量作為靜水壓的函數(shù)關(guān)系：

(6-55)可見，隨著的增加而增大，如圖所示。

凹曲線的形式反映了固體材料對體積壓縮的抗力隨壓縮變形程度的增大而增大，從而愈來愈難壓縮這一物理圖像。第30頁/共60頁由于約為10-5bar-1~10-6bar-1量級(jí)，式(6-55)表明至少需要0.1GPa~1GPa(103bar~104bar)量級(jí)的壓力，才變化約1%。這說明了為什么通常只在高壓下才計(jì)及彈性容變律的非線性特則。當(dāng)時(shí)，把式(6-55)展開為冪級(jí)數(shù)并忽略高階小量后可得:

可見相當(dāng)于低壓時(shí)線彈性容變律的體積模量，而是當(dāng)近似作為的線性函數(shù)是表征隨的變化率系數(shù)

有時(shí)也采用其它函數(shù)形式的關(guān)系，利用Bridgman的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合來確定有關(guān)的材料常數(shù)。(6-56)第31頁/共60頁D.C.Pack,W.M.Evans,H.J.Jane(1948)在固體物理理論分析的基礎(chǔ)上建議采用如下的關(guān)系：

在一維應(yīng)變條件下，由于，上式化為：(6-57a)(6-57b)第32頁/共60頁Murnagham方程

如果從Euler體積模量定義式(6-51)出發(fā)，并類似于式(6-56)來考察隨線性變化的情況，即設(shè)

式中：和均為材料常數(shù)，則關(guān)系歸結(jié)為解常微分方程：

這里。根據(jù)初始條件可解得：

(6-58)(6-59b)(6-59a)第33頁/共60頁在一維應(yīng)變條件下則化為：

式(6-59a)在形式上與理想氣體的等熵方程相類似。

因此，式(6-59)通常稱為Murnagham方程或固體等熵狀態(tài)方程。式中材料常數(shù)和常由等熵條件下的波傳播實(shí)驗(yàn)測試來確定。對于金屬，的典型值為4.(6-59c)第34頁/共60頁Grüneisen方程

Bridgman方程和Murnagham方程分別描述了等溫過程和等熵過程的關(guān)系，因而它們都只是特定熱力學(xué)條件下的固體狀態(tài)方程，不足以描述當(dāng)溫度T或熵S有變化時(shí)的更一般條件下的材料各狀態(tài)參量間的相互關(guān)系。也就是說，一般條件下的固體狀態(tài)方程不是能由和兩個(gè)狀態(tài)參量間的關(guān)系所能代表的，必須考慮，和其他熱力學(xué)參量間的關(guān)系。

例如，可以采用一系列不同溫度下的Bridgman方程（等溫p-V曲線），或一系列不同熵值下的Murnagham方程（等熵p-V曲線）來描述。第35頁/共60頁溫度形式的狀態(tài)方程

熵形式的狀態(tài)方程

顯然，Bridgman方程只不過是曲面與恒溫平面的截線，而Murnagham方程只不過是曲面與恒熵平面的截線。這些截線的斜率則分別確定了等溫體積模量和等熵體積模量。(6-60)熱力學(xué)狀態(tài)量第36頁/共60頁上兩式對于高壓下固體中的沖擊波研究來說，都是不太適用的。因?yàn)榻Y(jié)合前面關(guān)于沖擊波波陣面上質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒和能量守恒條件的討論，這些守恒方程所涉及到的狀態(tài)參量，在忽略材料畸變的情況下，只包含靜水壓力、比體積和內(nèi)能，而并未直接涉及到溫度T或熵S。所以，比較方便的是采用把、、三者聯(lián)系起來的所謂內(nèi)能形式的狀態(tài)方程：

或等價(jià)地：

引入如下定義的新參量：

稱為Grüneisen系數(shù)。(6-61)第37頁/共60頁Grüneisen系數(shù)代表在定容條件下壓力對于單位體積內(nèi)能的變化率，即定容條件下每增加單位體積內(nèi)能時(shí)增加的壓力值。

根據(jù)熱力學(xué)第一、第二定律，有：

對于等容過程有

這里是定容比熱容；另一方面，等容條件下還有

因而

(6-63)(6-62)第38頁/共60頁于是;

上式給出了由易于測定的熱力學(xué)參量、和來確定Grüneisen系數(shù)的基本關(guān)系式。幾種元素的參數(shù)可以計(jì)算出來。

假定只是函數(shù)：

對式(6-61)積分后可得

或改寫為

Mie-Grüneisen狀態(tài)方程(6-64)(6-65a)(6-65b)第39頁/共60頁

內(nèi)能兩部分組成：與溫度無關(guān)的冷能和與溫度相關(guān)的熱能；冷能：0k時(shí)的內(nèi)能；晶格勢能（彈性能）；分子（離子，原子）間相互作用能，零點(diǎn)振動(dòng)能等；熱能：晶格動(dòng)能，晶格熱振動(dòng)和電子熱激活能；

不完全狀態(tài)方程：利用，不能由熱力學(xué)基本關(guān)系式直接得到其余各狀態(tài)量，必須輔助其他熱力學(xué)數(shù)據(jù)（如比容）。一般測量材料，再理論計(jì)算物態(tài)方程，半經(jīng)驗(yàn)半理論方法。第40頁/共60頁§6.7高壓下固體中的沖擊波在固體剪切強(qiáng)度可以忽略的高壓下，固體可當(dāng)作非粘性可壓縮流體來處理，只需計(jì)及固體高壓狀態(tài)方程與氣體狀態(tài)方程的差別。這種近似處理方法稱為流體動(dòng)力學(xué)近似?！?.7.1沖擊突躍條件Lagrange形式高壓下的固體,按流體動(dòng)力學(xué)近似,可忽略與畸變有關(guān)的項(xiàng)。沖擊突躍條件為Rankine-Hugoniot關(guān)系一維應(yīng)力下的變形(6-66)第41頁/共60頁Euler形式設(shè)平面沖擊波以空間波速D沿空間坐標(biāo)x軸方向傳播，如圖.固定空間坐標(biāo)系下的Euler形式的沖擊突躍條件沖擊波波陣面(6-67)第42頁/共60頁1）質(zhì)量守恒條件，通過波陣面的質(zhì)量流率守恒，即有：或2）動(dòng)量守恒條件：則有3）能量守恒：第43頁/共60頁如果參考坐標(biāo)系隨沖擊波前方的質(zhì)點(diǎn)一起運(yùn)動(dòng)，則沖擊波相對于其前方質(zhì)點(diǎn)的相對空間波速為：代入式(6-67)，并且，那么，運(yùn)動(dòng)空間坐標(biāo)系下Euler形式的R-H關(guān)系是(6-68)沖擊波前未壓縮；靜止?fàn)顟B(tài)第44頁/共60頁五個(gè)未知參量：終態(tài)和沖擊波波速A材料B材料對于一定的材料，在給定的初始條件和邊界條件下，平面沖擊波傳播問題是定解的。在撞擊界面有：第45頁/共60頁§6.7.2沖擊絕熱線沖擊絕熱線（Hugoniot線）：如果不具體規(guī)定邊界條件，則對于一定的平衡初態(tài)，R-H關(guān)系連同狀態(tài)方程一起給出了它們所包含的五個(gè)未知參量中任意兩參量間的關(guān)系，例如，關(guān)系等等。最常用的有三種：第46頁/共60頁（1）

Hugoniot線JonesOE，1972特點(diǎn)：1）沖擊突躍過程是一個(gè)非平衡的不可逆過程，沖擊絕熱線實(shí)際上只代表對于一定的平衡初態(tài)（稱為Hugoniot線的心點(diǎn)）通過沖擊突躍所可能達(dá)到的平衡終態(tài)點(diǎn)的軌跡，而并不表示材料在這一沖擊突躍過程中所經(jīng)歷的相繼的狀態(tài)點(diǎn)。第47頁/共60頁2）沖擊波的波速取決于Rayleigh線的斜率，Rayleigh線下的面積恰好代表沖擊波波陣面上的內(nèi)能突躍值。

3）初態(tài)和終態(tài)為熱力學(xué)平衡態(tài)外，其余均為非平衡態(tài)。4）對于一定的材料，物質(zhì)波速將完全由Rayleigh線斜率所定，但空間波速則還同時(shí)取決于沖擊波波陣面前方的初態(tài)密度。第48頁/共60頁沖擊突躍是不可逆熵增的過程微分：Rayleigh斜率上凹終態(tài)B斜率結(jié)論：第49頁/共60頁Hugoniot線與等熵絕熱線以及等溫線的關(guān)系

沿著Hugoniot線作對的全微分：

正常情況下：

壓縮過程中與同號(hào)，因此上式表明：

如果，則有第50頁/共60頁Hugoniot線AB在經(jīng)過初態(tài)點(diǎn)A的等熵線的上方，但在經(jīng)過終態(tài)點(diǎn)B的等熵線的下方。

如果，則Hugoniot線斜率和等熵線斜率之差進(jìn)一步增大，結(jié)論不變。

Rayleigh線AB與膨脹等熵線BC之間所包圍的面積（陰影部分）正代表沖擊突躍過程中不可逆的能量耗散，也表明沖擊突躍是一個(gè)具有不可逆熵增的過程。第51頁/共60頁沖擊壓縮過程：從A到B過程中比內(nèi)能變化（面積MABN）：等熵壓縮過程中比內(nèi)能變化（面積MAQN）沖擊壓縮過程與等熵古成中比內(nèi)能變化之差（面積AFBQA