第1課時圓周角和圓心角的關(guān)系

3.4圓周角和圓心角的關(guān)系第三章圓第1課時圓周角和圓心角的關(guān)系

問題1

什么叫圓心角？指出圖中的圓心角.頂點在圓心，角的兩邊與圓相交的角叫圓心角，如∠BOC.A

在射門過程中，球員射中球門的難易與它所處的位置

B對球門

AC的張角（∠ABC）有關(guān).問題2圖中的三個張角∠ABC、∠ADC和∠AEC的頂點各在圓的什么位置？它們的兩邊和圓是什么關(guān)系？

頂點在☉O上，角的兩邊分別與

☉O相交.ABDECO圓周角的定義1（兩個條件必須同時具備，缺一不可）總結(jié)頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.例如：∠ACB.ABOC·COAB·COB·COBAA·COAB·COB·COBAA1.下列各圖中的∠BAC是否為圓周角？簡述理由.頂點A不在圓上頂點

A不在圓上邊

AC沒有和圓相交√√√做一做2圓周角定理及其推論當(dāng)球員在B，D，E

處射門時，他所處的位置對球門AC

分別形成三個張角∠ABC，∠ADC，∠AEC.這三個角的大小有什么關(guān)系？ABDECO如圖，∠AOB=80°.（1）請你畫出幾個所對的圓周角，這幾個圓周角有什么關(guān)系？與同伴進(jìn)行交流.提示：思考圓周角和圓心角有幾種不同的位置關(guān)系？做一做ABOCABOCABOCABO圓心

O

在∠C

的內(nèi)部圓心

O

在∠C

的一邊上圓心

O

在∠C

的外部(2)這些圓周角與圓心角∠AOB的大小有什么關(guān)系?猜想：

改變圓心角∠AOB的度數(shù)，上述結(jié)論還成立嗎？議一議CABOCABOCABO圓心

O

在∠C

的內(nèi)部圓心

O

在∠C

的一邊上圓心

O

在∠C

的外部

證明：(1)圓心O

在∠C

的一條邊上，如圖.情況一：圓心

O在∠C的一邊上

(特殊情形)已知：如圖，∠C

是所對的圓周角，∠AOB

是所對的圓心角.求證：CABO∴∠AOB=2∠C，∵OA=OC，∴∠A=∠C.∵∠AOB

是△AOC

的外角，∴∠AOB=∠A+∠C.CABOCABO圓心

O

在∠C

的內(nèi)部圓心

O

在∠C

的外部試一試：你能完成另兩種情況的證明嗎？合作探究已知：如圖，∠C

是所對的圓周角，∠AOB

是所對的圓心角.求證：情況二：圓心

O在∠C的內(nèi)部提示：能否轉(zhuǎn)化為前一種已證明的情況?D過點

C作直徑

CD.由已證可得：CABO情況三：圓心

O在∠C的外部提示：能否也轉(zhuǎn)化為第一種已證明的情況?D過點

C作直徑

CD.由已證可得:已知：如圖，∠C

是所對的圓周角，∠AOB

是所對的圓心角.求證：CABO圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.歸納總結(jié)CABOCABOCABO

在上面的射門游戲中，當(dāng)球員在B，D，E

處射門時，所形成三個張角∠ABC，∠ADC，∠AEC

的大小有什么關(guān)系？你能用圓周角定理證明你的結(jié)論嗎？●

O所以∠ABC

=∠ADC=∠AEC.根據(jù)圓周角定理，想一想歸納總結(jié)●

O推論：同弧所對的圓周角相等.1.

如圖，點

A、B、C、D在☉O上，點

A與點

D在點

B、C所在直線的同側(cè)，∠BAC=35°.(1)

∠BOC=

°，理由是

;(2)

∠BDC=

°，理由是

.7035同弧所對的圓周角相等一條弧所對的圓周角等于該弧所對的圓心角的一半練一練例1

如圖，OA、OB、OC

都是

⊙O

的半徑，∠AOB

=

50°，

∠BOC

=

70°.求∠ACB

和

∠BAC

度數(shù).BCO.70°A∴∠ACB

=∠AOB

=

25°.同理∠BAC

=∠BOC

=

35°.

解：∵圓心角∠AOB與圓周角∠ACB

所對的弧為，典例精析圓心角類比圓周角圓周角定義圓周角定理圓周角定理的推論1圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半.同弧或等弧所對的圓周角相等.1.頂點在圓上；2.兩邊都與圓相交的角.1.判斷（1）同一個圓中等弧所對的圓周角相等（）（2）相等的弦所對的圓周角也相等（）（3）同弦所對的圓周角相等（）√××2.已知

△ABC的三個頂點在

⊙O

上，∠BAC=50°，∠ABC=47°，

則

∠AOB=

．BACO166°3.如圖，已知圓心角∠AOB=100°，則圓周角∠ADB=

.DAOCB50°4.如圖，△ABC

的頂點

A、B、C都在

⊙O

上，∠C＝30°，AB＝2，則

⊙O

的半徑是