2023年北京首都師大附中初二（下）期中數(shù)學(xué)試卷及答案

第1頁/共1頁2023北京首都師大附中初二（下）期中數(shù)學(xué)一、選擇題（本題共8小題）1.下列計算正確的是（）A. B. C. D.2.由下列三條線段組成的三角形中，能構(gòu)成直角三角形的是（）A.1，2，2 B.2，3，4 C.3，4，5 D.5，6，73.某函數(shù)圖象經(jīng)過原點，這個函數(shù)解析式可能是（）A. B. C. D.4.如圖，在矩形中，對角線，相交于點，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.5.如圖，將函數(shù)的圖象平移至圖中虛線位置，則平移后得到的函數(shù)的解析式為（）A. B. C. D.6.如圖，的對角線與相交于點，，若，，則的長是（）A.4 B.5 C.6 D.87.在一次“講文明，樹新風(fēng)”文明禮儀知識競賽中，6位學(xué)生的成績分別為75分，75分，80分，85分，90分，95分，統(tǒng)計時誤將一位學(xué)生的成績75分記成了70分，則其中不受影響的統(tǒng)計量是（）A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.方差8.如圖1，在正方形中，，交于點．點為線段上的一個動點，連接，．設(shè)正方形中某條線段的長為，，若表示與的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示，則這條線段可能是圖1中的（）A.線段 B.線段 C.線段 D.線段二、填空題（本題共8小題）9.若二次根式有意義，則x的取值范圍是___．10.如圖，在中，E，F(xiàn)分別是邊AD，BC上的點，連接AF，CE，只需添加一個條件即可證明四邊形AFCE是平行四邊形，這個條件可以是_____________（寫出一個即可）．11.某同學(xué)對甲、乙兩個市場四月份每天的蔬菜價格進行了調(diào)查，計算后發(fā)現(xiàn)這個月兩個市場的價格平均值相同，方差分別為，．則四月份蔬菜價格最穩(wěn)定的市場是______．12.中，，，，點是的中點，連接，則的長為_____．13.如圖，已知菱形的邊長為，，為的中點，若為對角線上一動點，則的最小值為___________．14.如圖，一次函數(shù)（，是常數(shù)，）的圖象如圖所示，請你寫出一個的值___，使得不等式成立．15.如圖，直線與軸和軸分別交與A、兩點，射線于點A，若點是射線上的一個動點，點是軸上的一個動點，且以、、A為頂點的三角線與全等，則的長為________．16.某班體育課上組織同學(xué)們練習(xí)定點投籃，如圖描述了一節(jié)課中甲、乙、丙、丁四名同學(xué)的投籃命中個數(shù)與投籃總次數(shù)之間的關(guān)系，則這四位同學(xué)在本節(jié)課中投籃命中率最高的是______．（投籃命中率=投籃命中個數(shù)÷投籃總次數(shù)）．三、解答題（本大題共11小題）17.計算：（1）（2）18.已知直線與直線平行，且直線過點，求直線與軸的交點坐標．19.先化簡，再求值：，其中．20.王老師為了選拔一名學(xué)生參加數(shù)學(xué)比賽，對兩名備賽選手進行了10次測驗，成績?nèi)缦拢▎挝唬悍郑杭祝?，6，6，6，6，6，7，9，9，10乙：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10選手平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差甲7a6乙b7cd（1）以上成績統(tǒng)計分析表中_______，________，______；（2）d______（填“＞”、＜或“＝”）：（3）根據(jù)以上信息，你認為王老師應(yīng)該選哪位同學(xué)參加比賽，請說明理由．21.如圖，四邊形是平行四邊形，平分交于點，交于點，連接，判斷與的位置關(guān)系，并證明．（1）補全圖形；（2）與的位置關(guān)系：_________；（3）證明：_____________22.已知，都是實數(shù)，為整數(shù)，若，則稱與是關(guān)于的一組“平衡數(shù)”．（1）與_________是關(guān)于1的“平衡數(shù)”；（2）與_________是關(guān)于3的“平衡數(shù)”；（3）若，，判斷與是否為關(guān)于某數(shù)的一組“平衡數(shù)”，說明理由．23.用描點法畫出一次函數(shù)與的圖象，并結(jié)合圖象回答問題：（1）繪制函數(shù)圖象①列表：下列是與，的幾組對應(yīng)值，其中_______，_______；②描點：根據(jù)表中所給的數(shù)值在圖中描點；③連線：畫出函數(shù)圖象；（2）探究函數(shù)性質(zhì)①當__________，，所以兩個函數(shù)圖象的交點坐標是__________；②當_________，的圖象位于的圖象上方，所以的解集是________；③過點做軸的垂線與，的圖象分別交于，兩點，若，則的取值范圍是_________．24.如圖所示，點為內(nèi)一點，平分，且交于點，點為邊的中點，點在上，且．（1）證明：四邊形是平行四邊形；（2）請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：______．25.如圖，在平面直角坐標系中，，分別是一次函數(shù)，的圖像．（1）直接寫出函數(shù)的解析式________；（2）已知點，在上．①比較與的大小，并說明理由；②若，點在上，．求函數(shù)的解析式以及，的交點坐標．26.如圖，點是菱形對角線上一動點，．在線段的同側(cè)做線段，使得，連接．（1）補全圖形，并回答問題：當____________時，；（2）連接，交于點，若，探索與的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）直接寫出當___________時，將平行．27.在平面直角坐標系中，我們將橫縱坐標都是整數(shù)的點叫作整點．以為頂點向右上方作各邊垂直于坐標軸的正方形，若對于直線，此正方形內(nèi)部（不包括邊）有且僅有個整點在直線上，則稱該正方形為直線關(guān)于點的“類正方形”．（1）已知點，，，，則正方形為直線關(guān)于點的_____類正方形；（2）已知點是整點且位于直線上．設(shè)直線關(guān)于點的“3類正方形”的邊長為，求的取值范圍；（3）已知點，位于直線與（，為常數(shù)）之間，點，分別位于直線與上．若存在以，，，為頂點的正方形，是某條直線關(guān)于點的“3類正方形”，直接寫出的取值范圍．

參考答案一、選擇題（本題共8小題）1.【答案】A【解析】【分析】由二次根式的性質(zhì)，分別進行判斷，即可得到答案．【詳解】解：，故A正確，C錯誤；，故B、D錯誤；故選：A．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握性質(zhì)進行判斷．2.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩小邊的平方和與最長邊的平方是否相等即可判定．【詳解】解：A．，∴以1，2，2為邊不能組成直角三角形，故此選項不符合題意；B．，∴以2，3，4為邊不能組成直角三角形，故此選項不符合題意；C．，∴以3，4，5為邊能組成直角三角形，，故此選項符合題意；D．∴以5，6，7為邊能組成直角三角形，故本選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，能熟記勾股定理的逆定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：如果一個三角形的三邊a、b、c滿足，那么這個三角形是直角三角形．3.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)，正比例函數(shù)，一次函數(shù)圖象的特點可得答案．【詳解】解：為反比例函數(shù)，不經(jīng)過原點，故A不符合題意；為正比例函數(shù)，函數(shù)圖象過原點，故B符合題意；為一次函數(shù)，圖象不過原點，故C不符合題意；為一次函數(shù)，圖象不過原點，故D不符合題意；故選B．【點睛】本題考查的是正比例函數(shù)，一次函數(shù)，反比例函數(shù)的圖象，熟記三種函數(shù)圖象經(jīng)過的象限是解本題的關(guān)鍵．4.【答案】D【解析】【分析】利用矩形的性質(zhì)求得，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊對等角，掌握矩形的性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵．5.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)“左加右減，上加下減”，即可找出平移后的直線解析式．【詳解】解：由圖像可知，將函數(shù)向上平移了2個單位，∴函數(shù)的解析式為．故選A．【點睛】本題考查的是一次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握“左加右減，上加下減”是解答本題的關(guān)鍵．6.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，利用勾股定理得出，進而利用平行四邊形的性質(zhì)得出即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，∴，∵，，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握平行四邊形的對角線互相平分是解答本題的關(guān)鍵．7.【答案】B【解析】【分析】由于中位數(shù)體現(xiàn)數(shù)據(jù)的中間值的大小，75分和70分都不是中間數(shù)，不受影響，由此得出答案．【詳解】解：統(tǒng)計時誤將一位學(xué)生的成績75分記成了70分，則其中不受影響的統(tǒng)計量是中位數(shù).故選：B．【點睛】此題主要考查統(tǒng)計的有關(guān)知識，主要包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義．8.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)圖象可知x的值可以取0，在起點取最小值，即圖2中表示長為x的線段的長度可以為0，由此即可排除B；再根據(jù)y隨x增大而增大，在起點取最小值行判斷A、C、D即可．【詳解】解：由圖2函數(shù)圖象可知，表示長為x的線段的長度可以為0，∵點E在線段上，∴線段長度不可能為0，故B不符合題意；當該線段為時，∵一開始表示長為x的線段為0，∴一開始點E與點A重合，然后慢慢從點A向點C運動，根據(jù)垂線段最短可知當時，此時線段的長度有最小值（即點與點重合時），即此過程y隨x的增大而減小，當點E繼續(xù)運動時，的長度逐漸增大，即y隨x的增大而增大，但圖象中y隨x的增大而增大，在起點取最小值，不符合圖2的函數(shù)圖象，故A不符合題意；同理當該線段為時，一開始點E與點C重合，然后慢慢從點C向點A運動，此過程中y隨x的增大而減小，點與點重合時線段的長度有最小值，當點E繼續(xù)運動時，的長度逐漸增大，即y隨x的增大而增大，但圖象中y隨x的增大而增大，在起點取最小值，不符合圖2的函數(shù)圖象，故C不符合題意；當該線段為時，∵一開始表示長為x的線段為0，∴一開始點E與點O重合，然后慢慢從點O向點A（或點C）運動，此過程y隨x的增大而增大，符合圖2所示的函數(shù)圖象，故D符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查的是動點問題的函數(shù)圖象，正方形的性質(zhì)，根據(jù)垂線段最短確定出函數(shù)最小值出現(xiàn)的時刻是解題關(guān)鍵．二、填空題（本題共8小題）9.【答案】【解析】【詳解】解：根據(jù)題意，使二次根式有意義，即x﹣2≥0，解得：x≥2．故答案為：x≥2．【點睛】本題主要考查使二次根式有意義的條件，理解二次根式有意義的條件是解題關(guān)鍵．10.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)的性質(zhì)得到，然后由“對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形”添加條件即可．【詳解】解：如圖，在中，，則．當添加時，根據(jù)“對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形”可以判定四邊形是平行四邊形，故答案是：（答案不唯一）．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用平行四邊形的判定解決問題．11.【答案】乙【解析】【分析】根據(jù)方差的定義，方差越小數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，即可得出答案．【詳解】解：∵方差分別為，．∴，∴四月份蔬菜價格最穩(wěn)定的市場是乙，故答案為：乙．【點睛】本題考查了方差的含義，方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．12.【答案】6.5【解析】【分析】先利用勾股定理求出的長，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線與斜邊的數(shù)量關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵中，，，，∴．∵點D為的中點，連接，∴線段是斜邊上的中線，∴．故答案是：6.5．【點睛】本題考查了勾股定理，以及直角三角形斜邊上的中線，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．13.【答案】【解析】【分析】連接，，，交于，依據(jù)，可得，依據(jù)是等邊三角形，即可得到，當點，，在同一直線上時，即點在點處時，的最小值為的長，的最小值為【詳解】解：如圖，連接，，，交于，四邊形是菱形，，，，，，，，，是等邊三角形，又是的中點，菱形的邊長為，，，，中，，當點，，在同一直線上時，即點在點處時，的最小值為的長，的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查軸對稱—最短問題、菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，軸對稱求線段和的最值問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線．14.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象得出不等式的解集為，然后寫出一個在此范圍內(nèi)的x的值即可．【詳解】解：根據(jù)圖象可知，不等式的解集為，∴使得不等式成立的x值可以是．故答案為：．（答案不唯一）【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)和不等式的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)圖象求出不等式的解集為．15.【答案】3或【解析】【分析】根據(jù)一次函數(shù)解析式可求出A點和B點坐標，從而求出的兩條直角邊，并運用勾股定理求出．根據(jù)已知可得，分別從或時，即當時，，或時，，分別求得的值，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵直線與x軸和y軸分別交與A、B兩點，當時，即，解得：．當時，，∴．∴．∴．∵，點C在射線上，∴，即．∵，∴．若以C、D、A為頂點的三角形與全等，則或，即或．如圖1所示，當時，，∴；如圖2所示，當時，，∴．綜上所述，的長為3或．故答案為：3或．【點睛】此題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識，掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16.【答案】乙【解析】【分析】根據(jù)斜率的大小來判斷投籃命中率即可解答．【詳解】解：根據(jù)題意棵得圖形，依圖形可得命中率的大小為乙甲丙丁，故答案為乙．【點睛】本題考查了考查了直線的斜率及斜率的大小比較，掌握斜率的大小是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共11小題）17.【答案】（1）（2）11【解析】【分析】（1）先化簡二次根式，然后計算加減法．（2）先去括號，然后計算加減法．【小問1詳解】【小問2詳解】【點睛】本題主要考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的運算順序是解此題的關(guān)鍵．18.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)直線的解析式為，將點代入，待定系數(shù)法求解析式，進而令，即可求解．【詳解】解：依題意，設(shè)直線的解析式為，將點代入得，解得：∴直線的解析式為，當時，∴直線與軸的交點坐標為．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的平移，待定系數(shù)法求解析式，求一次函數(shù)與坐標軸的交點，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19.【答案】；【解析】【分析】首先計算括號里的，然后把除法化為乘法，化簡，再將代入計算即可．【詳解】解：，∵，∴原式．【點睛】本題考查了分式的化簡求值，分母有理化，解本題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．20.【答案】（1）6，7，7（2）（3）乙同學(xué)，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的定義即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)平均數(shù)和方差的計算結(jié)果求出答案；（3）比較出甲、乙兩位同學(xué)的中位數(shù)、眾數(shù)和方差即可．【小問1詳解】解：甲數(shù)據(jù)從小到大排列，第5、6位都是6，故中位數(shù)為；乙的平均數(shù)，乙的數(shù)據(jù)中7最多有4個，所以眾數(shù)，故答案為：6，7，7；【小問2詳解】，，故答案為：；【小問3詳解】選擇乙同學(xué)，理由：乙同學(xué)的中位數(shù)和眾數(shù)都比甲的大，并且乙的方差比甲小，成績比較穩(wěn)定．【點睛】本題主要考查了平均數(shù)、眾數(shù)、方差的有關(guān)概念，在解題時要能根據(jù)方差的計算公式求出一組數(shù)據(jù)的方差是本題的關(guān)鍵．21.【答案】（1）見解析（2）（3）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意作出的角平分線交于點，過點作，交于點；（2）根據(jù)作圖得出四邊形為菱形，可得，（3）由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)可得AB=AF=BE，得出四邊形為菱形，即可得出【小問1詳解】解：如圖所示，【小問2詳解】與的位置關(guān)系：【小問3詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴，∵AE平分∠BAD，∴，∴，∴，同理可得，∴，∵，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∵，∴四邊形ABEF是菱形，∴．【點睛】本題主要考查菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)及角平分線的定義，熟練掌握菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22.【答案】（1）（2）（3）是，見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)“平衡數(shù)”的定義列方程求解；（2）根據(jù)“平衡數(shù)”的定義列方程求解；（3）根據(jù)二次根式的運算法則計算出，再根據(jù)“平衡數(shù)”的定義判斷．【小問1詳解】解：設(shè)與x是關(guān)于1的“平衡數(shù)”，則，解得，故答案為：；【小問2詳解】解：設(shè)與y是關(guān)于3的“平衡數(shù)”，則，解得，故答案為：；【小問3詳解】解：與是關(guān)于19的一組“平衡數(shù)”，理由如下：，，，，與是關(guān)于19的一組“平衡數(shù)”．【點睛】本題考查新定義的實數(shù)運算、二次根式的運算等，解題的關(guān)鍵是理解“平衡數(shù)”的定義．23.【答案】（1）①，；②見解析；③見解析（2）①2；；②，；③或【解析】【分析】（1）①根據(jù)將表格中的求出的值；②③根據(jù)表格描點連線；（2）①根據(jù)題意列出方程求出未知數(shù)即可解答；②根據(jù)圖象求出不等式的解集．③根據(jù)題意得到關(guān)于的取值范圍．【小問1詳解】解：①∵，，∴，∵，，∴，故答案為：；②③如圖所示：【小問2詳解】解：①∵，∴，∴，∴交點坐標為：故答案為：，；②由圖象可知：當時，，故答案為：；③根據(jù)題意設(shè)，，∵，∴或，∴或，故答案為：或，【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象的畫法，一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的的與一元一次方程，一次函數(shù)與一元一次不等式，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）先證明，可得．結(jié)合點為邊的中點，可得為的中位線，則．再結(jié)合已知條件可得結(jié)論；（2）由D、E分別是、的中點，可得．由，可得，結(jié)合，可得答案．【小問1詳解】解：四邊形是平行四邊形，理由如下：∵，∴，∵平分，∴，∴．∴．∵點為邊的中點，∴為的中位線，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形；【小問2詳解】如圖，由（1）得：．∵D、E分別是、的中點，∴．∵，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，證明四邊形是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．25.【答案】（1）（2）①，見解析；②，【解析】【分析】（1）根據(jù)圖示，過，，根據(jù)待定系數(shù)法即可求解；（2）直線中，函數(shù)值隨自變量的增大而減小，由此即解①；【小問1詳解】解：直線過，，設(shè)，∴，解得，，∴函數(shù)的解析式為，故答案為：．【小問2詳解】解：①直線過第一、二、四象限，函數(shù)值隨自變量的增大而減小，點，在上，∵，∴；②設(shè)線的解析式為，點，在上，∴，∴，∴，解得，，∵點在上，且的解析式為，∴，則把代入，得，，，∵，∴，解得，或，根據(jù)圖形的對稱性，可知當時，在的下方，∴，∴，∵，∴，解得，，∴，且，∴函數(shù)的解析式為，把點代入得，，∴函數(shù)的解析式為，∴聯(lián)立方程組得，解得，，∴，的交點坐標是．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)圖像的性質(zhì)，理解圖示，掌握一次函數(shù)，正比例函數(shù)圖像的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，聯(lián)立方程組求交點坐標是解題的關(guān)鍵．26.【答案】（1）圖形見解析，6（2），見解析（3）4【解析】【分析】（1）根據(jù)題意補全圖形即可；過點C作交于點G，連接，證明四邊形為平行四邊形，得出，即，得出當時，，當，四邊形為菱形，得出，，得出當點E在對角線的交點O上時，符合題意，此時；（2）連接、，證明，得出，證明，得出，，證