第03講 分式與二次根式（知識(shí)精講+真題練+模擬練+自招練）（解析版）

第03講分式與二次根式（知識(shí)精講+真題練+模擬練+自招練）【考綱要求】1.了解分式的概念，會(huì)利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分，會(huì)進(jìn)行分式的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算；能夠根據(jù)具體問題數(shù)量關(guān)系列出簡(jiǎn)單的分式方程，會(huì)解簡(jiǎn)單的可化為一元一次方程的分式方程；2.利用二次根式的概念及性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)，運(yùn)用二次根式的加、減、乘、除法的法則進(jìn)行二次根式的運(yùn)算．【知識(shí)導(dǎo)圖】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、分式的有關(guān)概念及性質(zhì)1．分式設(shè)A、B表示兩個(gè)整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能為零，否則分式?jīng)]有意義.2.分式的基本性質(zhì)（M為不等于零的整式）.

3．最簡(jiǎn)分式分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式．如果分子分母有公因式，要進(jìn)行約分化簡(jiǎn).

要點(diǎn)詮釋：分式的概念需注意的問題：分式是兩個(gè)整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分?jǐn)?shù)線則可以理解為除號(hào)，還含有括號(hào)的作用；（2）分式中，A和B均為整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必須含有字母且不為0；

（3）判斷一個(gè)代數(shù)式是否是分式，不要把原式約分變形，只根據(jù)它的原有形式進(jìn)行判斷．

（4）分式有無意義的條件：在分式中，①當(dāng)B≠0時(shí)，分式有意義；當(dāng)分式有意義時(shí)，B≠0．

②當(dāng)B=0時(shí)，分式無意義；當(dāng)分式無意義時(shí)，B=0．③當(dāng)B≠0且A=0時(shí)，分式的值為零．考點(diǎn)二、分式的運(yùn)算

1．基本運(yùn)算法則

分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類似,具體運(yùn)算法則如下:

（1）加減運(yùn)算±=同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.；異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法則進(jìn)行計(jì)算.（2）乘法運(yùn)算兩個(gè)分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母.（3）除法運(yùn)算兩個(gè)分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘.（4）乘方運(yùn)算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分別乘方．

2．零指數(shù).

3．負(fù)整數(shù)指數(shù)

4．分式的混合運(yùn)算順序

先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的．

5．約分

把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分．

6．通分

根據(jù)分式的基本性質(zhì)，異分母的分式可以化為同分母的分式，這一過程稱為分式的通分．

要點(diǎn)詮釋：約分需明確的問題：(1)對(duì)于一個(gè)分式來說，約分就是要把分子與分母都除以同一個(gè)因式，使約分前后分式的值相等；

(2)約分的關(guān)鍵是確定分式的分子和分母的公因式，其思考過程與分解因式中提取公因式時(shí)確定公因式的思考過程相似；在此，公因式是分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)和相同字母最低次冪的積．通分注意事項(xiàng)：

(1)通分的關(guān)鍵是確定最簡(jiǎn)公分母；最簡(jiǎn)公分母應(yīng)為各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有因式的最高次冪的積．

(2)不要把通分與去分母混淆，本是通分，卻成了去分母，把分式中的分母丟掉．

(3)確定最簡(jiǎn)公分母的方法：

最簡(jiǎn)公分母的系數(shù)，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；

最簡(jiǎn)公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次冪的積.考點(diǎn)三、分式方程及其應(yīng)用

1．分式方程的概念

分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．

2．分式方程的解法

解分式方程的關(guān)鍵是去分母,即方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程．

3．分式方程的增根問題

驗(yàn)根：因?yàn)榻夥质椒匠炭赡艹霈F(xiàn)增根，所以解分式方程必須驗(yàn)根．驗(yàn)根的方法是將所得的根帶入到最簡(jiǎn)公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解．

4．分式方程的應(yīng)用列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題類似，但要稍復(fù)雜一些．解題時(shí)應(yīng)抓住“找等量關(guān)系、恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、確定主要等量關(guān)系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量”等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，從而正確列出方程，并進(jìn)行求解．另外，還要注意從多角度思考、分析、解決問題，注意檢驗(yàn)、解釋結(jié)果的合理性．

要點(diǎn)詮釋：

解分式方程注意事項(xiàng)：（1）去分母化成整式方程時(shí)不要與通分運(yùn)算混淆；（2）解完分式方程必須進(jìn)行檢驗(yàn)，驗(yàn)根的方法是將所得的根帶入到最簡(jiǎn)公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解．列分式方程解應(yīng)用題的基本步驟：

(1)審——仔細(xì)審題，找出等量關(guān)系；

(2)設(shè)——合理設(shè)未知數(shù)；

(3)列——根據(jù)等量關(guān)系列出方程；

(4)解——解出方程；

(5)驗(yàn)——檢驗(yàn)增根；

(6)答——答題．考點(diǎn)四、二次根式的主要性質(zhì)1.；2.；3.；4.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：；5.商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：.6.若，則.要點(diǎn)詮釋：與的異同點(diǎn)：（1）不同點(diǎn)：與表示的意義是不同的，表示一個(gè)正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在中，而中a可以是正實(shí)數(shù)，0，負(fù)實(shí)數(shù)．但與都是非負(fù)數(shù)，即，．因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的，

，而（2）相同點(diǎn)：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時(shí)，=；時(shí)，無意義，而.考點(diǎn)五、二次根式的運(yùn)算1．二次根式的乘除運(yùn)算(1)運(yùn)算結(jié)果應(yīng)滿足以下兩個(gè)要求：①應(yīng)為最簡(jiǎn)二次根式或有理式；②分母中不含根號(hào).(2)注意知道每一步運(yùn)算的算理；2．二次根式的加減運(yùn)算先化為最簡(jiǎn)二次根式，再類比整式加減運(yùn)算，明確二次根式加減運(yùn)算的實(shí)質(zhì)；3．二次根式的混合運(yùn)算(1)對(duì)二次根式的混合運(yùn)算首先要明確運(yùn)算的順序，即先乘方、開方，再乘除，最后算加減，如有括號(hào)，應(yīng)先算括號(hào)里面的；(2)二次根式的混合運(yùn)算與整式、分式的混合運(yùn)算有很多相似之處，整式、分式中的運(yùn)算律、運(yùn)算法則及乘法公式在二次根式的混合運(yùn)算中也同樣適用.要點(diǎn)詮釋：怎樣快速準(zhǔn)確地進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算.1.明確運(yùn)算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的；2.在二次根式的混合運(yùn)算中，原來學(xué)過的運(yùn)算律、運(yùn)算法則及乘法公式仍然適用；3.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法與乘法的混合運(yùn)算，可分解為兩個(gè)步驟完成，一是進(jìn)行乘法運(yùn)算，二是進(jìn)行加法運(yùn)算，使難點(diǎn)分散，易于理解和掌握.在運(yùn)算過程中，對(duì)于各個(gè)根式不一定要先化簡(jiǎn)，可以先乘除，進(jìn)行約分，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的，但最后結(jié)果一定要化簡(jiǎn).例如，沒有必要先對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，使計(jì)算繁瑣，可以先根據(jù)乘法分配律進(jìn)行乘法運(yùn)算，，通過約分達(dá)到化簡(jiǎn)目的；(2)多項(xiàng)式的乘法法則及乘法公式在二次根式的混合運(yùn)算中同樣適用.如：，利用了平方差公式.所以，在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時(shí)，借助乘法公式，會(huì)使運(yùn)算簡(jiǎn)化.【典型例題】題型一、分式的意義 【例1-1】使代數(shù)式有意義的的取值范圍是（）A.B.C.且D.一切實(shí)數(shù)【答案】C；【解析】解不等式組得且，故選C．【點(diǎn)評(píng)】代數(shù)式有意義，就是要使代數(shù)式中的分式的分母不為零；代數(shù)式中的二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，即需要中的x0；分母中的2x-10.【例1-2】若分式的值為0，則x的值等于．【答案】1；【解析】由分式的值為零的條件得﹣1=0，x+1≠0，由﹣1=0，得x=﹣1或x=1，由x+1≠0，得x≠﹣1，∴x=1，故答案為1．【總結(jié)升華】若分式的值為零，需同時(shí)具備兩個(gè)條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個(gè)條件缺一不可．【變式1】當(dāng)x取何值時(shí)，分式有意義?值為零?【答案】當(dāng)時(shí)，分式有意義，即時(shí)，分式有意義.當(dāng)且時(shí)，分式值為零，解得，且，即時(shí)，分式值為零.【變式2】如果分式的值為0，則x的值應(yīng)為.【答案】由分式的值為零的條件得3x2-27=0且x-3≠0，由3x2-27=0，得3（x+3）（x-3）=0，∴x=-3或x=3，由x-3≠0，得x≠3．綜上，得x=-3，分式的值為0．故答案為：-3．【變式3】若分式不論x取何實(shí)數(shù)總有意義，則m的取值范圍是．【答案】若分式不論x取何實(shí)數(shù)總有意義，則分母≠0，設(shè)，當(dāng)△＜0即可，.答案m＞1.題型二、分式的性質(zhì)【例2-1】已知,求下列各式的值.(1);(2).【答案與解析】(1)因?yàn)?所以.即.所以.(2),所以.【點(diǎn)評(píng)】觀察(1)和已知條件可知,將已知等式兩邊分別平方再整理,即可求出(1)的值;對(duì)于(2),直接求值很困難,根據(jù)其特點(diǎn)和已知條件,能夠求出其倒數(shù)的值,這樣便可求出(2)的值.【例2-2】已知求的值.【答案與解析】設(shè),所以所以所以即或當(dāng),所求代數(shù)式,當(dāng),所求代數(shù)式.即所求代數(shù)式等于或.【總結(jié)升華】當(dāng)已知條件以此等式出現(xiàn)時(shí)，可用設(shè)k法求解.【變式1】已知求的值.【答案】由得所以即.所以.【變式2】已知求的值.【答案】因?yàn)楦魇娇杉拥盟?，所以題型三、分式的運(yùn)算【例3-1】計(jì)算【答案與解析】【點(diǎn)評(píng)】異分母分式相加減，先根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行通分，轉(zhuǎn)化為同分母分式，再進(jìn)行相加減.在通分時(shí)，先確定最簡(jiǎn)公分母，然后將各分式的分子、分母都乘以分母與最簡(jiǎn)公分母所差的因式.運(yùn)算的結(jié)果應(yīng)根據(jù)分式的基本性質(zhì)化為最簡(jiǎn)形式.【例3-2】已知且,求的值.【答案與解析】因?yàn)?所以原等式兩邊同時(shí)乘以,得:即所以所以【總結(jié)升華】條件分式的求值，如需把已知條件或所示條件分式變形，必須依據(jù)題目自身的特點(diǎn)，這樣才能到事半功倍的效果，條件分式的求值問題體現(xiàn)了整體的數(shù)學(xué)思想和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.【變式1】已知，化簡(jiǎn)求值：【答案】原式【變式2】已知且,求的值.【答案】由已知得所以即,所以,同理所以.【變式3】已知x＋y=－4，xy=－12，求的值．【答案】原式=將x＋y＝－4，xy＝－12代入上式，∴原式類型四、分式方程及應(yīng)用【例4-1】如果方程有增根,那么增根是.【答案與解析】因?yàn)樵龈鞘狗质降姆帜笧榱愕母?由分母或可得.所以增根是.答案:【點(diǎn)評(píng)】使分母為0的根是增根.【例4-2】a何值時(shí),關(guān)于x的方程會(huì)產(chǎn)生增根?【答案與解析】方程兩邊都乘以,得整理得.當(dāng)a=1時(shí),方程無解.當(dāng)時(shí),.如果方程有增根,那么,即或.當(dāng)時(shí),,所以;當(dāng)時(shí),,所以a=6.所以當(dāng)或a=6原方程會(huì)產(chǎn)生增根.【總結(jié)升華】因?yàn)樗o方程的增根只能是或，所以應(yīng)先解所給的關(guān)于x的分式方程，求出其根，然后求a的值.【例4-3】為創(chuàng)建“國家衛(wèi)生城市”，進(jìn)一步優(yōu)化市中心城區(qū)的環(huán)境，德州市政府?dāng)M對(duì)部分路段的人行道地磚、花池、排水管道等公用設(shè)施全面更新改造，根據(jù)市政建設(shè)的需要，須在60天內(nèi)完成工程．現(xiàn)在甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)有能力承包這個(gè)工程．經(jīng)調(diào)查知道：乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程的時(shí)間比甲隊(duì)單獨(dú)完成多用25天，甲、乙兩隊(duì)合作完成工程需要30天，甲隊(duì)每天的工程費(fèi)用2500元，乙隊(duì)每天的工程費(fèi)用2000元．（1）甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)單獨(dú)完成各需多少天？（2）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種符合要求的施工方案，并求出所需的工程費(fèi)用．【答案與解析】（1）設(shè)甲工程隊(duì)單獨(dú)完成該工程需x天，則乙工程隊(duì)單獨(dú)完成該工程需（x+25）天．根據(jù)題意得：．方程兩邊同乘以x（x+25），得30（x+25）+30x=x（x+25），即x2﹣35x﹣750=0．解之，得x1=50，x2=﹣15．經(jīng)檢驗(yàn)，x1=50，x2=﹣15都是原方程的解．但x2=﹣15不符合題意，應(yīng)舍去．∴當(dāng)x=50時(shí)，x+25=75．答：甲工程隊(duì)單獨(dú)完成該工程需50天，則乙工程隊(duì)單獨(dú)完成該工程需75天．（2）此問題只要設(shè)計(jì)出符合條件的一種方案即可．方案一：由甲工程隊(duì)單獨(dú)完成．（所需費(fèi)用為：2500×50=125000（元）．方案二：由甲乙兩隊(duì)合作完成．所需費(fèi)用為：（2500+2000）×30=135000（元）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程在工程問題中的應(yīng)用．分析題意，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．工程問題的基本關(guān)系式：工作總量=工作效率×工作時(shí)間．（1）如果設(shè)甲工程隊(duì)單獨(dú)完成該工程需x天，那么由“乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程的時(shí)間比甲隊(duì)單獨(dú)完成多用25天”，得出乙工程隊(duì)單獨(dú)完成該工程需（x+25）天．再根據(jù)“甲、乙兩隊(duì)合作完成工程需要30天”，可知等量關(guān)系為：甲工程隊(duì)30天完成該工程的工作量+乙工程隊(duì)30天完成該工程的工作量=1．（2）首先根據(jù)（1）中的結(jié)果，排除在60天內(nèi)不能單獨(dú)完成該工程的乙工程隊(duì)，從而可知符合要求的施工方案有兩種：方案一：由甲工程隊(duì)單獨(dú)完成；方案二：由甲乙兩隊(duì)合作完成．針對(duì)每一種情況，分別計(jì)算出所需的工程費(fèi)用．【例4-4】甲．乙兩人準(zhǔn)備整理一批新到的實(shí)驗(yàn)器材．若甲單獨(dú)整理需要40分鐘完工：若甲．乙共同整理20分鐘后，乙需再單獨(dú)整理20分鐘才能完工．（1）問乙單獨(dú)整理多少分鐘完工？（2）若乙因工作需要，他的整理時(shí)間不超過30分鐘，則甲至少整理多少分鐘才能完工？【答案與解析】（1）設(shè)乙單獨(dú)整理x分鐘完工，根據(jù)題意得：解得x＝80，經(jīng)檢驗(yàn)x＝80是原分式方程的解．答：乙單獨(dú)整理80分鐘完工．（2）設(shè)甲整理y分鐘完工，根據(jù)題意，得解得：y≥25答：甲至少整理25分鐘完工．【總結(jié)升華】分析題意，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．此題等量關(guān)系比較多，主要用到公式：工作總量＝工作效率×工作時(shí)間．（1）將總的工作量看作單位1，根據(jù)本工作分兩段時(shí)間完成列出分式方程解之即可；（2）設(shè)甲整理y分鐘完工，根據(jù)整理時(shí)間不超過30分鐘，列出一次不等式解之即可．【變式1】小明乘出租車去體育場(chǎng)，有兩條路線可供選擇：路線一的全程是25千米，但交通比較擁堵，路線二的全程是30千米，平均車速比走路線一時(shí)的平均車速能提高80%，因此能比走路線一少用10分鐘到達(dá)．若設(shè)走路線一時(shí)的平均速度為x千米/小時(shí)，根據(jù)題意，得（）A． B． C． D．【答案】設(shè)走路線一時(shí)的平均速度為x千米/小時(shí)，故選A．【變式2】萊蕪盛產(chǎn)生姜，去年某生產(chǎn)合作社共收獲生姜200噸，計(jì)劃采用批發(fā)和零售兩種方式銷售．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，批發(fā)每天售出6噸．（1）受天氣、場(chǎng)地等各種因素的影響，需要提前完成銷售任務(wù)．在平均每天批發(fā)量不變的情況下，實(shí)際平均每天的零售量比原計(jì)劃增加了2噸，結(jié)果提前5天完成銷售任務(wù)．那么原計(jì)劃零售平均每天售出多少噸？（2）在（1）的條件下，若批發(fā)每噸獲得利潤為2000元，零售每噸獲得利潤為2200元，計(jì)算實(shí)際獲得的總利潤．【答案】（1）設(shè)原計(jì)劃零售平均每天售出x噸．根據(jù)題意，得，解得x1=2，x2=﹣16．經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是原方程的根，x=﹣16不符合題意，舍去．答：原計(jì)劃零售平均每天售出2噸．（2）．實(shí)際獲得的總利潤是：2000×6×20+2200×4×20=416000（元）．類型五、二次根式的定義及性質(zhì)【例5-1】當(dāng)x取何值時(shí)，的值最?。孔钚≈凳嵌嗌?？【答案與解析】∵∴，∴當(dāng)9x+1=0，即時(shí)，有最小值，最小值為3.【點(diǎn)評(píng)】解決此類問題一定要熟練掌握二次根式的非負(fù)性，即≥0（a≥0）.由二次根式的非負(fù)性可知的最小值為0，因?yàn)?是常數(shù)，所以的最小值為3.【例5-2】要使式子有意義，則a的取值范圍為．【答案】a≥－2且a≠0．【解析】根據(jù)題意得：a+2≥0且a≠0，解得：a≥－2且a≠0．故答案為：a≥－2且a≠0．【總結(jié)升華】本題考查的考點(diǎn)為：分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．可以求出x的范圍．類型六、二次根式的運(yùn)算【例6-1】計(jì)算：；【答案與解析】原式【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是二次根式的混合運(yùn)算，在進(jìn)行此類運(yùn)算時(shí)一般先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式的形式后再運(yùn)算．【例6-2】【答案與解析】原式＝=30-12+5-2【總結(jié)升華】此題關(guān)鍵是變?yōu)?5-2.【中考過關(guān)真題練】一．選擇題（共3小題）1．（2021?上海）下列實(shí)數(shù)中，有理數(shù)是（）A． B． C． D．【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)得出答案．【解答】解：A.＝，不是有理數(shù)，不合題意；B.＝，不是有理數(shù)，不合題意；C.＝，是有理數(shù)，符合題意；D.＝，不是有理數(shù)，不合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．2．（2020?上海）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A．6 B． C． D．【分析】根據(jù)同類二次根式的定義解決此題．【解答】解：A．根據(jù)同類二次根式的定義，6與不是同類二次根式，那么A不符合題意．B．根據(jù)算術(shù)平方根以及同類二次根式，＝3與不是同類二次根式，那么B不符合題意．C．根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及同類二次根式的定義，與是同類二次根式，那么C符合題意．D．根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及同類二次根式的定義，與不是同類二次根式，那么D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同類二次根式，熟練掌握同類二次根式的定義是解決本題的關(guān)鍵．3．（2018?上海）下列計(jì)算﹣的結(jié)果是（）A．4 B．3 C．2 D．【分析】先化簡(jiǎn)，再合并同類項(xiàng)即可求解．【解答】解：﹣＝3﹣＝2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】考查了二次根式的加減法，關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的加減法法則：二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．二．解答題（共2小題）4．（2018?上海）先化簡(jiǎn)，再求值：（﹣）÷，其中a＝．【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再將a的值代入計(jì)算可得．【解答】解：原式＝[﹣]÷＝?＝，當(dāng)a＝時(shí)，原式＝＝＝5﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．5．（2017?上海）計(jì)算：+（﹣1）2﹣+（）﹣1．【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義計(jì)算．【解答】解：原式＝3+2﹣2+1﹣3+2＝+2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】一．選擇題（共15小題）1．（2022?松江區(qū)校級(jí)模擬）下列代數(shù)式中，歸類于分式的是（）A． B． C． D．【分析】一般地，如果A，B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式，結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、不是分式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、是分式，故本選項(xiàng)正確；C、不是分式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、分母不是整式，所以不是分式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的定義，屬于基礎(chǔ)題，注意掌握分式的定義是關(guān)鍵，這些需要我們理解記憶．2．（2022?長寧區(qū)模擬）的倒數(shù)是（）A． B．2 C． D．﹣【分析】的倒數(shù)是，再分母有理化即可．【解答】解：的倒數(shù)是，．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查分母有理化，是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，解法的關(guān)鍵是準(zhǔn)確判斷分母的有理化因式．3．（2022?奉賢區(qū)二模）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A．1 B． C． D．3【分析】首先進(jìn)行二次根式化簡(jiǎn)，再進(jìn)行合并同類項(xiàng)，即可得出答案．【解答】解：，＝2﹣，＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，正確地進(jìn)行化簡(jiǎn)二次根式是解決問題的關(guān)鍵．4．（2022?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】最簡(jiǎn)二次根式滿足：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式．【解答】解：A、中被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)，故不是最簡(jiǎn)二次根式；B、中被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)，故不是最簡(jiǎn)二次根式；C、中被開方數(shù)不含分母，不含能開得盡方的因數(shù)或因式，故是最簡(jiǎn)二次根式；D、中含能開得盡方的因數(shù)，故不是最簡(jiǎn)二次根式；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了最簡(jiǎn)二次根式的定義，判定一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查被開方數(shù)不含分母，也不含能開的盡方的因數(shù)或因式，同時(shí)滿足的就是最簡(jiǎn)二次根式，否則就不是．5．（2022?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）計(jì)算的結(jié)果是（）A． B． C． D．【分析】利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)．【解答】解：原式＝，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的性質(zhì)，理解（）2＝a（a≥0）是解題關(guān)鍵．6．（2022?上海模擬）（﹣）﹣1的相反數(shù)是（）A．﹣ B． C．﹣2 D．2【分析】根據(jù)a﹣p＝（a≠0）計(jì)算，再求相反數(shù)即可得出答案．【解答】解：原式＝＝﹣2，﹣2的相反數(shù)是2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，掌握a﹣p＝（a≠0）是解題的關(guān)鍵．7．（2022?楊浦區(qū)二模）下列各式中，運(yùn)算結(jié)果是分?jǐn)?shù)的是（）A．sin30° B． C． D．【分析】A、sin30°＝是分?jǐn)?shù)；B、底數(shù)不為0的0次冪為1，是整數(shù)；C、2是整數(shù)；D、是無理數(shù)．【解答】解：A、原式＝，∴符合題意；B、原式＝1，∴不符合題意；C、原式＝2，∴不符合題意；D、原式＝，∴不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)、實(shí)數(shù)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握這幾個(gè)性質(zhì)的綜合應(yīng)用是解題關(guān)鍵．8．（2022?金山區(qū)二模）在下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的條件，逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：∵＝，∴選項(xiàng)A不符合題意；∵＝2，∴選項(xiàng)B不符合題意；∵是最簡(jiǎn)二次根式，∴選項(xiàng)C符合題意；∵＝3，∴選項(xiàng)D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了最簡(jiǎn)二次根式的特征和判斷，解答此題的關(guān)鍵是要明確最簡(jiǎn)二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．9．（2022?虹口區(qū)二模）下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的條件，逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：∵＝，∴選項(xiàng)A不符合題意；∵＝，∴選項(xiàng)B不符合題意；∵是最簡(jiǎn)二次根式，∴選項(xiàng)C符合題意；∵＝2，∴選項(xiàng)D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了最簡(jiǎn)二次根式的特征和判斷，解答此題的關(guān)鍵是要明確最簡(jiǎn)二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．10．（2022?普陀區(qū)二模）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A． B．x C．3 D．【分析】化簡(jiǎn)二次根式，然后根據(jù)同類二次根式的概念進(jìn)行判斷．【解答】解：A、＝，與是同類二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；B、x與不是同類二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；C、3與不是同類二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；D、與不是同類二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了同類二次根式，以及二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，熟練掌握同類二次根式的定義是解本題的關(guān)鍵．11．（2022?黃浦區(qū)二模）下列根式中，與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，再根據(jù)同類二次根式的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：與不是同類二次根式，所以選項(xiàng)A不符合題意；與不是同類二次根式，所以選項(xiàng)B不符合題意；＝2，與是同類二次根式，所以選項(xiàng)C符合題意；＝2，與不是同類二次根式，所以選項(xiàng)D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查同類二次根式，掌握同類二次根式的定義是正確判斷的前提，將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式是正確判斷的關(guān)鍵．12．（2022?松江區(qū)校級(jí)模擬）下列式子屬于同類二次根式的是（）A．與 B．與 C．與 D．與【分析】根據(jù)同類二次根式的概念判斷即可．【解答】解：A選項(xiàng)，與2是同類二次根式，故該選項(xiàng)符合題意；B選項(xiàng)，與2不是同類二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意；C選項(xiàng)，與5不是同類二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意；D選項(xiàng)，與2不是同類二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同類二次根式，掌握一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式是解題的關(guān)鍵．13．（2022?金山區(qū)校級(jí)模擬）下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念判斷即可．【解答】解：A選項(xiàng)，原式＝2，故該選項(xiàng)不符合題意；B選項(xiàng)，原式＝，故該選項(xiàng)不符合題意；C選項(xiàng)，是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)符合題意；D選項(xiàng)，原式＝＝，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，掌握最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式是解題的關(guān)鍵．14．（2022?崇明區(qū)二模）如果最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，那么x的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)同類項(xiàng)二次根式的定義可得3x﹣5＝x+3，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：3x﹣5＝x+3，解得：x＝4，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，同類項(xiàng)二次根式，熟練掌握同類項(xiàng)二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．15．（2022?寶山區(qū)二模）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，再根據(jù)同類二次根式的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：＝2，因此與不是同類二次根式，所以選項(xiàng)A不符合題意；與不是同類二次根式，所以選項(xiàng)B不符合題意；＝2，與是同類二次根式，所以選項(xiàng)C符合題意；＝2，與不是同類二次根式，所以選項(xiàng)D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查同類二次根式，掌握同類二次根式的定義是正確判斷的前提，將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式是正確判斷的關(guān)鍵．二．填空題（共12小題）16．（2022?黃浦區(qū)二模）如果分式有意義，那么x的取值范圍是x≠﹣3．【分析】根據(jù)分式有意義的條件，可得：3+x≠0，據(jù)此求出x的取值范圍即可．【解答】解：∵分式有意義，∴3+x≠0，∴x的取值范圍是x≠﹣3．故答案為：x≠﹣3．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式有意義的條件，解答此題的關(guān)鍵是要明確：分式有意義的條件是分母不等于零．17．（2022?楊浦區(qū)三模）計(jì)算：＝．【分析】分式的加減運(yùn)算中，如果是同分母分式，那么分母不變，把分子直接相加減即可；如果是異分母分式，則必須先通分，把異分母分式化為同分母分式，然后再相加減．【解答】解：原式＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的加減運(yùn)算．解決本題首先應(yīng)通分，最后要注意將結(jié)果化為最簡(jiǎn)分式．18．（2022?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是x≠2．【分析】根據(jù)分式的分母不為0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由題意得，2x﹣4≠0，解得，x≠2，故答案為：x≠2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式有意義的條件，掌握分式的分母不為0是解題的關(guān)鍵．19．（2022?金山區(qū)校級(jí)模擬）化簡(jiǎn)：﹣＝．【分析】根據(jù)分式加減的運(yùn)算法則，將分式通分、化簡(jiǎn)即可．【解答】解：原式＝﹣＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的加減運(yùn)算．解決本題首先應(yīng)通分，最后要注意將結(jié)果化為最簡(jiǎn)分式．20．（2022?青浦區(qū)模擬）計(jì)算：?＝2n2．【分析】根據(jù)分式的乘法法則計(jì)算即可．【解答】解：?＝2n2，故答案為：2n2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式的乘法，分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母．21．（2022?嘉定區(qū)二模）計(jì)算：＝1．【分析】根據(jù)分式的加減運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求出答案．【解答】解：原式＝＝＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的加減運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．22．（2022?寶山區(qū)模擬）化簡(jiǎn)：＝．【分析】原式通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算即可．【解答】解：原式＝﹣＝．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式的加減法，分式加減法的關(guān)鍵是通分，通分的關(guān)鍵是找出最簡(jiǎn)公分母．23．（2022?長寧區(qū)模擬）計(jì)算：＝．【分析】首先通分，然后再根據(jù)同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：原式＝﹣＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式的加減，關(guān)鍵是掌握分式加減的計(jì)算法則．24．（2022?寶山區(qū)模擬）計(jì)算：＝﹣1．【分析】把原式化為﹣，再根據(jù)同分母的分式相加減進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：原式＝﹣＝＝＝﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的加減法則，注意：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．25．（2022?普陀區(qū)二模）3﹣2＝．【分析】根據(jù)冪的負(fù)整數(shù)指數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算．【解答】解：原式＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是冪的負(fù)整數(shù)指數(shù)運(yùn)算，先把底數(shù)化成其倒數(shù)，然后將負(fù)整數(shù)指數(shù)冪當(dāng)成正的進(jìn)行計(jì)算．26．（2022?徐匯區(qū)二模）如果代數(shù)式有意義，那么實(shí)數(shù)x的取值范圍是x≥．【分析】根據(jù)二次根式的有意義的條件即可求出答案．【解答】解：由題意可知：3x﹣2≥0，∴x≥，故答案為：x≥．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式有意義的條件，本題屬于基礎(chǔ)題型．27．（2022?上海模擬）化簡(jiǎn)：＝．【分析】直接化簡(jiǎn)二次根式，進(jìn)而相乘求出即可．【解答】解；5＝5×＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．三．解答題（共17小題）28．（2022?上海模擬）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x＝4cos30°．【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)、零指數(shù)冪的意義、分式的加減運(yùn)算以及乘除運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后將x的化簡(jiǎn)后代入原式即可求出答案．【解答】解：原式＝（2+1﹣）?＝?＝?＝?＝，當(dāng)x＝4cos30°＝4×＝2時(shí)，原式＝＝4+2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用絕對(duì)值的性質(zhì)、零指數(shù)冪的意義、分式的加減運(yùn)算以及乘除運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．29．（2022?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）計(jì)算：（﹣3）0﹣+|1﹣|+．【分析】直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)得出答案．【解答】解：原式＝1﹣3+﹣1+﹣＝﹣2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了零指數(shù)冪的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的性質(zhì)，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．30．（2022?嘉定區(qū)二模）計(jì)算：（）﹣1+（1﹣）+﹣（）3．【分析】先算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的乘法，分母有理化和乘方運(yùn)算，再合并即可．【解答】解：原式＝2+﹣2++1﹣（）2×＝2+﹣2++1﹣2＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的混合運(yùn)算的相關(guān)法則．31．（2022?松江區(qū)二模）計(jì)算：（﹣）﹣1﹣+|1﹣|+．【分析】先算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，化簡(jiǎn)二次根式，去絕對(duì)值，分母有理化，再合并即可．【解答】解：原式＝﹣2﹣3+﹣1+﹣1＝﹣4﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵式掌握二次根式的混合運(yùn)算的相關(guān)法則．32．（2022?靜安區(qū)二模）先化簡(jiǎn)，再求值：1﹣（a+）．其中，實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是它本身．【分析】先算括號(hào)里，再算括號(hào)外，然后把a(bǔ)的值代入化簡(jiǎn)后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：1﹣（a+）＝1﹣?＝1﹣（a﹣1）＝1﹣a+1＝2﹣a，由題意得：a＝0，∴當(dāng)a＝0時(shí)，原式＝2﹣0＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，實(shí)數(shù)的性質(zhì)，相反數(shù)，熟練掌握因式分解是解題的關(guān)鍵．33．（2022?普陀區(qū)模擬）先化簡(jiǎn)，再求值：（）÷，其中a＝+3．【分析】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把a(bǔ)的值代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：原式＝÷＝?＝?＝﹣，當(dāng)a＝+3時(shí)，原式＝﹣＝﹣1﹣．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．34．（2022?同安區(qū)二模）先化簡(jiǎn)，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+2．【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再將x的值代入計(jì)算可得．【解答】解：原式＝（﹣）÷＝?＝，當(dāng)x＝+2時(shí)，原式＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．35．（2022?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）先化簡(jiǎn)，后求值：（）÷，其中x＝2019．【分析】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把x的值代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：原式＝（﹣）?＝?＝?＝，當(dāng)x＝2019時(shí)，原式＝．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．36．（2022?松江區(qū)校級(jí)模擬）計(jì)算：．【分析】先進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)，絕對(duì)值運(yùn)算，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算，再算加減即可．【解答】解：＝3++1﹣（2﹣）+1+2＝3++1﹣2++1+2＝5+2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．37．（2022?徐匯區(qū)模擬）計(jì)算：．【分析】直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的性質(zhì)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而計(jì)算得出答案．【解答】解：原式＝2﹣﹣（﹣）+1+﹣+＝2﹣﹣++1+﹣+＝+．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．38．（2022?松江區(qū)校級(jí)模擬）計(jì)算：．【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪與分母有理化得到原式＝2﹣（+2）﹣3×+1﹣2+2，然后去括號(hào)和進(jìn)行乘法運(yùn)算后合并即可．【解答】解：原式＝2﹣（+2）﹣3×+1﹣2+2＝2﹣﹣2﹣+3﹣2＝﹣2+1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，然后合并同類二次根式．也考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪．39．（2022?金山區(qū)校級(jí)模擬）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x＝﹣．【分析】根據(jù)分式的減法和除法可以化簡(jiǎn)題目中的式子，然后將x的值代入化簡(jiǎn)后的式子即可解答本題．【解答】解：＝＝＝＝，當(dāng)x＝﹣時(shí)，原式＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡(jiǎn)求值的方法．40．（2022?崇明區(qū)二模）計(jì)算：2﹣1+sin30°﹣﹣（﹣1）0．【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、分母有理化和零指數(shù)冪可以解答本題．【解答】解：2﹣1+sin30°﹣﹣（﹣1）0＝﹣﹣1＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．41．（2022?楊浦區(qū)二模）先化簡(jiǎn)再計(jì)算：，其中．【分析】先根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，算乘法，再根據(jù)分式的加法法則進(jìn)行計(jì)算，最后代入求出答案即可．【解答】解：＝?+＝+＝＝＝＝，當(dāng)時(shí)，原式＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵．42．（2022?普陀區(qū)二模）先化簡(jiǎn)，再求值：（1﹣），其中a＝．【分析】先根據(jù)分式的減法法則進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【解答】解：（1﹣）＝?＝?＝，當(dāng)a＝時(shí)，原式＝＝＝2﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵．43．（2022?徐匯區(qū)模擬）先化簡(jiǎn)，再求值：÷（a+）．其中a＝+3．【分析】先根據(jù)分式的加法法則進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【解答】解：÷（a+）＝÷＝÷＝?＝，當(dāng)a＝+3時(shí)，原式＝＝＝＝﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵．44．（2022?徐匯區(qū)模擬）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x＝2sin60°﹣（）﹣2．【分析】將原式第二項(xiàng)中被除式的分子利用完全平方公式分解因式，除式的分子利用平方差公式分解因式，然后利用除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)將除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，約分后再利用同分母分式的減法運(yùn)算計(jì)算，得到最簡(jiǎn)結(jié)果，接著利用特殊角的三角函數(shù)值及負(fù)指數(shù)公式化簡(jiǎn)，求出x的值，將x的值代入化簡(jiǎn)后的式子中計(jì)算，即可得到原式的值．【解答】解：﹣÷＝﹣÷＝﹣?＝﹣＝﹣，當(dāng)x＝2sin60°﹣（）﹣2＝2×﹣4＝﹣4時(shí)，原式＝﹣＝﹣．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，特殊角的三角函數(shù)值，以及負(fù)指數(shù)公式，分式的加減運(yùn)算關(guān)鍵是通分，通分的關(guān)鍵是找最簡(jiǎn)公分母；分式的乘除運(yùn)算關(guān)鍵是約分，約分的關(guān)鍵是找公因式，約分時(shí)分式的分子分母出現(xiàn)多項(xiàng)式，應(yīng)將多項(xiàng)式分解因式后再約分．【名校自招練】一．選擇題（共1小題）1．（2016?寶山區(qū)校級(jí)自主招生）已知0＜a＜b，則大小不一定位于a和b之間的數(shù)是（）A． B． C． D．【分析】取特殊值a＝1、b＝2，分別代入各選項(xiàng)計(jì)算可得．【解答】解：取特殊值a＝1、b＝2，則＝，在1和2之間；＝＝，不在1和2之間，符合題意；＝＝，在1和2之間；＝，在1和2之間；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的加減法，解題的關(guān)鍵是取特殊值的方法比較大小．二．填空題（共11小題）2．（2017?浦東新區(qū)校級(jí)自主招生）如果（x﹣1）x+4＝1成立，那么滿足它的所有整數(shù)x的值是﹣4，0，2．【分析】分情況討論：當(dāng)x+4＝0時(shí)；當(dāng)x﹣1＝1時(shí)，分別討論求解．還有﹣1的偶次冪都等于1．【解答】解：如果（x﹣1）x+4＝1成立，則x+4＝0或x﹣1＝1即x＝﹣4或x＝2當(dāng)x＝0時(shí)，（﹣1）4＝1故本題答案為：﹣4、2或0．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了零指數(shù)冪的意義和1的指數(shù)冪．3．（2016?寶山區(qū)校級(jí)自主招生）若分式＝0，則x的值為2【分析】根據(jù)分式的值為零的條件可以求出x的值．【解答】解：由分式的值為零的條件得2x2﹣4x＝0，且x2+x≠0，解得x＝2．故答案是：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式值為0的條件，具備兩個(gè)條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個(gè)條件缺一不可．4．（2017?楊浦區(qū)校級(jí)自主招生）若x＝ab，y＝a2+b2，則+＝2a2+2b2．【分析】利用配方法、實(shí)數(shù)平方的非負(fù)性．先判斷x+y、x﹣y與0的關(guān)系，在化簡(jiǎn)求值．【解答】解：+＝|x+y|+|x﹣y|∵y﹣x＝a2﹣ab+b2＝（a2﹣ab+b2）+b2＝（a﹣）2+b2≥0，∴a2﹣ab+b2≥0即y﹣x≥0∵x+y＝a2+ab+b2＝（a2+ab+b2）+b2＝（a+）2+b2≥0，∴a2+ab+b2≥0即y+x≥0所以原式＝x+y+y﹣x＝2y＝2a2+2b2故答案為：2a2+2b2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次三項(xiàng)式的配方、一次不等式及二次根式、絕對(duì)值的化簡(jiǎn)．利用配方和完全平方的非負(fù)性，判斷x與y的和差的正負(fù)是解決本題的關(guān)鍵．5．（2017?浦東新區(qū)校級(jí)自主招生）計(jì)算：＝2﹣5【分析】觀察與，與，發(fā)現(xiàn)有公因數(shù)，提取公因數(shù)后因式分解分子分母，約分、分母有理化后得結(jié)果．【解答】解：原式＝＝＝＝＝2﹣5【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，把分子、分母分解后約分是解決本題的關(guān)鍵．6．（2016?徐匯區(qū)校級(jí)自主招生）化簡(jiǎn)：＝1﹣【分析】利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，進(jìn)而化簡(jiǎn)得出答案．【解答】解：原式＝＝＝＝＝1﹣．故答案為：1﹣．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．7．（2016?寶山區(qū)校級(jí)自主招生）計(jì)算：＝﹣．【分析】直接分母有理化即可．【解答】解：原式＝＝＝﹣．故答案為﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把各二次根式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．8．（2017?浦東新區(qū)校級(jí)自主招生）已知a+a﹣1＝4，則a4+a﹣4＝194．【分析】直接