第7講 弦長與面積最值問題-2023屆新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義

第7講弦長與面積問題

一、問題綜述：

在直線與二次曲線相交的模型中，弦長和面積是最基本的幾何量，也是考察幾何圖形分析和代數(shù)運算最常

建立起來的運算式。考察方向比較復(fù)雜多變。

知識要點：弦長問題：

在直線與橢圓相交，以及直線與雙曲線相交，求弦長問題研究過程中，可通過直線與已知二次曲線聯(lián)立，借助

韋達定理得到兩根關(guān)系，從而進行研究.

設(shè)直線/:丁="+加，/上兩點4（%,）[）,3（工2，%），則=]+%[5-x2\

S&0AB=萬|明念A(yù)B=綱人-引

設(shè)直線/:x=my+/,/上兩點4（&%）,3（工2，%），則|明=J1+加1y-刃

SAOAff=萬|明心AS=5ME-必|

①特殊地：在直線與圓問題中：弦長公式經(jīng)常用：|A曰二2|AM|=2必萬

2

②特殊地：橢圓中焦點三角形面積：SW1A.=btanI（其中彌留Pg）

證明：由于%*退=4對「療用sin。

且恒用「=伊耳「+歸耳卜21P用?|P周cos'=（歸用+|P用）2-2|尸用?cos（9）

故4c2=4/-2|PG|?|P段（1cos6?）

h

故|P/羽P用2"二2（二=...-~_

S，=2歸相尸耶me-=*2

因為右，；/=2鬃。％一伙，所以〃tani2一c?%?

③特殊地：雙曲線中焦點三角形面積：內(nèi)=從一5

：=/cote（其中。=￡）/鏟用）

tan

2

③特殊地：在直線與拋物線問題中：

設(shè)拋物線方程：V=2px,過焦點的直線/:y=Z（x-Jp（斜率存在且80）,

對應(yīng)傾斜角為0,與拋物線交于A（x?y）,B（x2,y2）

I/=2Px

聯(lián)立方程：In?k2{x"）2=2px,

jy=k（x-§2

整理可得：k2x2-(k2p+2p)x+^=0

4

2

(1)王玉=?,ytyt=-p

(2)|AB|=演+x,+夕=小3=20(1+二^)=3-(幾何法亦可證明)

11-k2tan?6sin*

(3)S——dJ.Afi]—sin0—y———―—―

MOH20o-''122sin?。2sin。

二、典例分析

類型一：圓中的弦長問題

模型1：特殊三角形、特殊位置

【例1-1-1】(2012天津)在平面直角坐標系x0y中，直線3x+4y—5=0與圓￡+:/=4相交于A,B兩點，

則弦A3的長等于()

A.36B.26C.GD.1

解析：圓x?+V=4的圓心0(0,0)到直線3x+4y-5=0的距離d=Lg=1,r=2

由內(nèi)角為30。，60°,90。的三角形邊長比為1:6:2知:弦長AB=2G.

【解后反思】圓中三類特殊三角形：等腰直角、等邊、含30。角的直角三角形可以幫助簡化運算，熟練記憶掌

握，會讓運算效率高很多。

【例1-1-2】(2012湖北)過點P(l,l)的直線，將圓形區(qū)域｛(x,y)|x?+仇,4｝分為兩部分，使得這兩部分的面積

之差最大，則該直線的方程為()

A.x+y-2=0B.y-1=0C.x-y=0D.x+3y-4=0

解析：要使直線將圓形區(qū)域分成兩部分的面積之差最大，必須使過點P的圓的弦長達到最小，所以需該直線與

直線。尸垂直即可.又已知點尸(1,1),則28=1,故所求直線的斜率為—1.又所求直線過點故由點

斜式得，所求直線的方程為y—1=—(x—l),

即x+y-2=0.故選A.

【解后反思】圓中的動態(tài)問題，可考慮找特殊位置、極限位置，先定位置再分析，可以事半功倍.

【例設(shè)機,〃1R,若直線/:/nv+1=0與尢軸相交于點A,與y軸相交于8,且/與圓V+丁=4相交所

得弦的長為2,0為坐標原點，則A4O3面積的最小值為.

解析：直線與兩坐標軸的交點坐標為A(O-),B(L,O),直線與圓相交所得的弦長為2,圓心到直線的距離d滿足

nm

d2=r2-I2=4-1=3,所以"=G,即圓心到直線的距離d=J"=6,所以1+〃2=1■.三角形的面積

“2+73

為S=LL?工工，又s=工？3,當且僅當加|=同=2時取等號,所以最小值為3.

2mn2|/nn|2\/nn\m~+n~6

【解后反思】雙參數(shù)問題的研究過程中，除了定量運算外，也可以考慮極限和特殊位置進行分析求解。

模型2：幾何法(|/q=21AMi=2-Jr2-d2)

【例1-2-1】若直線/過點C,且被圓“：/+(六3)2=10截得的弦長為2,求直線/的方程

X2+(y—3)"=10[x=3fx=3

解答：①當直線斜率不存在時，l:x=3,聯(lián)立方程：\I)J

尤=3[)=4[y=2

弦長為2,符合題意.

②當直線斜率存在時，設(shè)/:y-2=Z:(x—3)=辰一y+2—3左=0

22

由弦長為2和r=而可得：</w_/=Vr-l=3

MM=卜，[3從=3n(l+3%y=9付+[),解得：k=^

4

:.I:y-2=Q(X-3)4x-3y-6—0

綜上所述：/的方程為4x-3y-6=0和x=3

【解后反思】在設(shè)直線方程求解時，一定要考慮先特殊后一般防止漏解。

【例122】已知圓C:%2+y?-(6-2/n)x-4s+5〃P-6/n=0,直線/經(jīng)過點(1,1),若對任意的實數(shù)相，直線

/被圓。截得的弦長都是定值，則直線/的方程為

解答：圓標準方程：(3-3+m)2+(丁一2機)2=9,圓心為0(3—m,2間，半徑為3,可知(7在直線y=—2工+6。

|2+1-6|3

點(1,1)到直線y=—2x+6的距離d=<3,所以過(1,1)且與y=-2x+6平行的直線與圓相

y/5一方

交，因為圓的半徑r=3,所以截得的弦長為定值。所以左=—2,即-l=—2(x—l)=2x+y—3=0

【解后反思】解析幾何的含參問題，在動態(tài)變化過程中，要考慮有不變量。本題圓心橫縱坐標有線性相等關(guān)系,

所以圓的圓心軌跡為直線，而圓半徑為定值，固可求解.本題亦可特殊化處理，令加=0,進行求解.

【例1-2-3]在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：V+(y-3尸=2,點A是x軸上的一個動點，AR4Q分別

切圓C于P,Q兩點，則弦長尸。的取值范圍是()

A.［半,qB,半,2&)C.［半，&D.陣20

3

解答：如圖設(shè)AC,PQ交于M,則有|PQ|=2|PM，只需確認|PM|的范圍即可，由圓方程可得r=JL設(shè)

APCM=0,所以1PMi=|pqsin6=0sine,在RtPCA中，可得

\AP\J\ACf-r2

sin，所以|PM|=V2-1--~正，下面確定|AC「的范圍。設(shè)

14cl|AC|

A(x,O),因為C(0,3),所以|AC「=X2+9C［9,M)從而解得\PM\

\PQ\=2\PM\

類型二：橢圓和雙曲線中的弦長問題

【例2-1】過橢圓:+3=1的右焦點尸作兩條相互垂直的直線分別交橢圓于A,8,C,。四點，則向+總的

4

值為（）

解析：①若AB,C￡＞分別與坐標軸平行,不妨設(shè)A6_Lx軸，則|AB|=（"=3

??7

因為C0_LAB.?.CD為長軸長，即ICDUZcy=.1~r+；~r=—

11|CD|12

②當A3,CD斜率均存在時，設(shè)AB斜率為左，由CDLA5可得CO斜率為——

k

設(shè)AB:y=Z(x-l),A(再,

y=k(X—］)

聯(lián)立《')得：3/+4左2(%_1)2=12,整理后為:

3x2+4y2=l2

(4公+3片-8公％+4%2-12=0

2

、8公。4k-12、r~-T,,12公+12

\x+=-,x,——7------\\AB\=，］+《％-%,=----

1-4k2+3,-4/+31111-14公+3

設(shè)。(工,％),。(4%)，CZ):y=--(x-l),同理只需用一2替換|AB|中的人即可

kk

g哮一口…

114^+33^+47^+77

_____|__________________________________

|AB||C￡＞「12公+1212公+12-12尸+12-12

117

綜上所述:

\AB\\CD\~\2

【解題反思】反設(shè)直線和特殊化解決小題會更加輕松.

【例2-2】已知長軸為12,短軸長為6,焦點在x軸上的橢圓，過它對的左焦點”作傾斜解為工的直線交橢圓

于A,8兩點，求弦45的長.

解：【解析法】

|AB|=222-4^]%].

"\Z1+^|X,-X2|=^(1+A:)[(XI4-X2)2

因為a=6,b=3,所以C=36.

因為焦點在x軸上，所以橢圓方程為土+2=1,左焦點尸（-36，0），

369

從而直線方程為曠=JIr+9.

由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得：13爐+72瓜+36*8=0.設(shè)匹，超為方程兩根，所以修+%2=-必"，

36x8.rr

xtx2=於，k=73,

222

從而|4同=yjl+k\xt-x2\=y](\+k)[(x[+x2)-4X[X2]=

【定義法】

22

由題意可知橢圓方程為二+工1,設(shè)1A耳|=加，忸［=〃,則.閭=12-加，怛?=12r.

369

在中，|4閭2=w周2+比閭2_2區(qū)￡歸居|cosg,

即（12-/〃）2=加+36-3—2?加《右」；

2

所以加=/萬.同理在48百工中，用余弦定理得”=三方，所以|4目=加+〃=^|

【解題反思】多考慮題目中未知參量所滿足的等量關(guān)系，進行求解.不要局限于一題一解。

類型三：拋物線中的弦長問題

【例3-1］（2015浙江）如圖，設(shè)拋物線丁=4x的焦點為F,不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點A&C，其

中點在拋物線上，點C在y軸上，則ABCF與AACF的面積之比是（）

陽T|fiF|2+l

B.

西-1網(wǎng)2T\AF[+I

xB_BF

解析：如圖,丁”7

【解題反思】拋物線中，焦半徑的長度受橫坐標影響。解題時，首先想定義。

【例3-2](2017新課標1)已知F為拋物線C：V=4x的焦點，過/作兩條互相垂直的直線,直線《與C交

于A3,直線乙與C交于。、E,則|AB|+Q用最小值為()

A.16B.14C.12D.10

解析：【方法一】由已知4垂直于X軸是不符合題意，所以4的斜率存在設(shè)為匕，4的斜率為42,由題意有

k2=-l,設(shè)A(x”％),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4)

此時直線4方程為y=K(x—1),

F=4x

取方程4y,得將尤2-2Z：x-4x+好=0,

）=占（％-1）

.-2k；-42號+4日工..2M+4

,?%1+%2------------j同理得色+/=2

由拋物線定義可知IA3|+|DE|=X|+x2+x3+x4+2p

26+42代+4444。-]16。山

—+—+4=r+-+822/^+8=16

r72

k；k；k,~k；\k「k￡

當且僅當《=-&=1(或一1)時，取得等號.

【方法二】設(shè)反傾斜角為。.作垂直準線，A/J垂直不軸，

|AF|-cos?+|G尸|=|AKj（幾何關(guān)系）

易知《|AK||=|AF|（拋物線特性），...|AF|-cos，+P=|AF|,

=P

P.|,雨-2P--2P

同理網(wǎng)=，?/|-l-cos2^-sin2^

1+cos0

7T

又DE與A3垂直，即DE的傾斜角為彳+夕，

2

2P_2P

$畝2(工+。]cos2e'而y2=4x,即p=2.

.?.UB|+|DE\=2P(-4-+―=4sm2,+版6>=_,4,=]

(sirrOcos_0)sin2^cos26sin-^cos-0—sin-2^

=—七216,當且僅當。=：取等號，即|A3|+|DE|最小值為16,故選A；

sin"204

9P?P7p

【方法三】依題意知：\DE\=—占一=,由柯西不等式知:

11sin/11.，強cos2^

sin篇+0±

|AB|+|M=2P(—4^+—2P?Y±^7=8P=16,當且僅當*:取等號.

(sin。cos0)snrO+cos。4

【解題反思】拋物線中研究弦長，可采取正設(shè)直線、反設(shè)直線、定義轉(zhuǎn)化、角度參數(shù)、巧記結(jié)論等方法.

3

【例3-3】已知拋物線C9=3/的焦點為凡斜率為士的直線/與C的交點為A,B,

2

與x軸的交點為P.

(1)若|4尸|+忸丹=4,求/的方程;

(2)若AP=3P3,求|AB|.

3

解析：設(shè)直線/:y=]X+f,A(X],y),B(X2，y2)?

(1)由題設(shè)得尸(；,0),故|4/|+|3/|=%+馬+^|,由題設(shè)可得%+龍2=|?

,_3

由<)-2*+',可得9f+12(/—l)x+4/=0,則玉+工2=-2”--.

/=3x-9

u而12(r-l)57

從而---------=—,得f=—.

928

37

所以/的方程為y=；x—g.

-3

(2)由AP=3PB可得必=—3%.由72，可得V—2y+2f=0.

|V=3x

所以y+%=2.從而-3%+>2=2，故%=-1，乂=3.

代入C的方程得玉=3,尤2=（.故|48|=上乎.

類型四：圓中的面積最值問題

【例4-1]（2018全國卷HI）直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于4,8兩點，點P在圓（x-2）2+/=2±,

則D4tp面積的取值范圍是（）

A.[2,6]B.[4,8]C.f72,372]D.[2幾30\

|2+0+2|

解析:圓心（2,0）到直線的距離d==2垃,

所以點p到直線的距離4w[75,3正].

據(jù)直線的方程可知A,B兩點的坐標分別為4（一2,0）,5（0,-2）,

所以|A8|=20,所以A4BP的面積S=L|AB|4=扃「

2

因為亞],所以Se[2,6],即△ABP面積的取值范圍是[2,6].故選A.

【例4-2]（2014江西）在平面直角坐標系中，4,8分別是x軸和y軸上的動點，若以他為直徑的圓C與直線

2x+y-4=0相切，則圓C面積的最小值為

A.-7tB.-71C.（6一26）萬D.—7t

544

解析：由題意可知以線段鉆為直徑的圓C過原點O,要使圓C的面積最小，只需圓C的半徑或直徑最小.又

圓C與直線2x+y?4=0相切，所以由平面幾何知識，知圓的直徑的最小值為點O到直線2犬+廣4=0的距

49A

離，此時2r二不，得〃=石圓C的面積的最小值為S=兀戶=-7T.

5

類型五：橢圓和雙曲線中的面積最值問題

【例5-1】以橢圓土+匕=1的頂點為焦點，焦點為頂點的雙曲線C,其左右焦點分別為耳，居，已知點M的

95

坐標為（2,1），雙曲線。上點。（面,%）（%>0,%>0）滿足

PF.MF,_FF-MF

2tt則SPMF]_SPMF2等于()

A.2B.4C.1D.-1

解析：可先利用橢圓確定雙曲線方程及其焦點坐標，的頂點為（―3,0）,（3,0）,即為耳，工的坐標,

橢圓的焦點為（—2,0）,（2,0）,所以雙曲線中a=2,c=3,進而b=

ppMFFFMF

觀察|j-=j「J可聯(lián)想到投影，即町在p￡的投影與M耳在匿耳的投影

相等，由幾何關(guān)系可得為N/V譙的角平分線。由“（2,1）,工（3,0）可得%=-1,即F2M平分NP6月，

從而M為PF\F2的內(nèi)心，且內(nèi)切圓半徑r=yM=\。從而

s.—SpM.2=gPK|"—gPF2|"=5（|P￡|—|PE|）=2

22

【例5-2]已知點P為雙曲線二一二=1（。＞0乃＞0）右支上一點，耳居分別是雙曲線的左右焦點，且

a"b"

方2

內(nèi)圖=1,/為三角形P/誠的內(nèi)心，若S呼=S吵+/LS仍成立，則X的值為（）

A.1+-B,2>/3-1C.A/2+1D.V2-1

解析：由三角形內(nèi)心的性質(zhì)可得/到三邊的距離相等，所以m耳，/「乙，/月工的高均為「，從而

1

\FF\Ch

s=s昨+xs"通=|「制=|桃|+丸忻閭，即石向：祐=（，所以只需利用優(yōu)用=了確定

a,c的關(guān)系即可。

解析：/為三角形尸與鳥的內(nèi)心

'S陽=（|「周",S]PF[=%周?T,S/尸26小周"

S.IPR=S嗎+&6|=|尸瑪|+川耳瑪|

?,.川耳閭=「娟-儼周P在雙曲線上，且耳，耳是焦點

??.I尸耳IT尸閭=2d明=2c4=￡即；I為離心率

〃h2

由忻用二一可得：2。=一=2。。=。2一。2,兩邊同時除以。2得:

aa

.2±272

e~—2e—1=0,解得e=-----------e—V2+1即4=V2+1

22

【例5-3】已知橢圓€：：1+2=1（〃＞。＞0）的左、右焦點分別為6、F,,P為橢圓

a0

上一點，且「片1_尸8，若鳥的面積為9,則6=.

解析：方法一：根據(jù)橢圓定義|Pf；|+|P閭=2a,S.F演=今尸用|尸周=9,則歸不歸周=18,又根據(jù)勾股定

理：閥「+|尸乙「=4，，有（歸用+仍6『一2冏||P段=4/—36=402,則〃=9/=3.

方法二：由橢圓的焦點三角形面積公式知：APFj/s=Z?2tan^=9,故b=3

22

【例5-4】雙曲線C：?一]=1的右焦點為尸，點p在C的一條漸近線上，。為坐標原點，若歸。=歸同，

則APF。的面積為（）

A.述B.逑C.2夜D.3夜

42

1

解析：由a=2,Z?=夜,c=[a+/=^6,,\PO\-\PF\,xp

又P在C的一條漸近線上，不妨設(shè)為在y=2x上，則yp=2.Xp=YZx45=走，

。a222

???5APro=||OF|-|^|=|xV6x^=^,故選A.

【例5-5】（2014新課標1）已知點A（O,—2）,橢圓E：=■+/=1（。＞。＞0）的離心率為且，尸是橢圓E的

erb2

右焦點，直線A/的斜率為2y5,。為坐標原點.

3

（1）求E的方程；

（2）設(shè)過點A的動直線/與E相交于尸，。兩點，當AOPQ的面積最大時，求/的方程.

解析：⑴設(shè)網(wǎng)c,0）,由條件知2=氈，得。=百，又￡=正，所以a=2,

c3a2

2

/?2=/一02=1,故后的方程工+3/2=1

4

（2）依題意當Ux軸不合題意，故設(shè)直線1：y=kx-2,設(shè)P&,乂）,。（乙,乃）

2

將丁=依-2代入3+V=l,得（1+4嚴卜2-16"+12=0,

、1/A1右/472o\r\oni23.8k±2y14k~—3

當△=16（4公一3）＞0,即《＞一時，尤2=---------；----,

4'-21+必2

從而IP0="?+1|王一々|=4"：1，

2痂01,|pn|414k2-3

又點O到直線PQ的距離d=.,故SAOPQ=2。儼。|=下而一

設(shè)14k2-3=r,則r>0,s&OPQ=-^-^=-^<\,

當且僅當f=2,左=±1等號成立，且滿足△>(),

2

所以當AOP。的面積最大時，/的方程為：y=^-x-2或y=_*x-2.

【例5-6](2015山東)平面直角坐標系x0y中，已知橢圓C：=+3=1(。>?！?)的

a-b~

離心率為坐，左、右焦點分別是大、F2.以耳為圓心以3為半徑的圓與以K為圓心以1

為半徑的圓相交，且交點在橢圓C上.

(1)求橢圓c的方程；

22

(2)設(shè)橢圓E：二+*=1,P為橢圓C上任意一點，過點P的直線y=履+/〃交橢圓￡于AB兩點,

4a~4/r

射線PO交橢圓E于點。.

(i)求的值；

IOPI

(ii)求面積的最大值.

解析：(1)由題意知2a=4,則a=2,又邑=立,a2-*4c2^b2,

ci2

r2

可得b=1,所以橢圓C的方程為二+y2=i.

4

22

(2)由(I)知橢圓E的方程為工+工=1.

164

(i)設(shè)P(x。，%)，等J=2，由題意知。(一幾%,-辦0)，

因為芋+為2=1,又，E+沖三=1,即4(與+必)=1,

416444

所以;1=2,即應(yīng)0=2.

IOPI

（ii）設(shè)A（X],y）,8（々,%），將丫=腐+，”代入橢圓￡的方程，

可得（1+4%2）尤2+可做+4帆2-16=0,

由△>(),可得/〃2<4+16女2,

Skm4/n2-16

則有X]+工2=-

l+4k2

4J16表2+4-/

所以|西一々|=

1+4公

因為直線y=Zx+m與y軸交點的坐標為（0,加），

「「，、，,八,chrc1,,2-J16A：2+4-m2\m

所以AOAB的面積S=一|加||X|-x,|=----------------

2-1+4產(chǎn)

_2y](16k2+4-m2)m2_~

,174p1TTZF,TTZF

9

ni~

令」~^=t,將y=《x+m代入橢圓。的方程，

1+4公

可得(1+4A:2)x2+Skinx+4m2-4=0,

由△＞（）,可得加41+4公，

由①②可知0＜fWl,因此S=2d（4一=2J-/+47,

故SW26,

當且僅當，=1時，即，〃2=1+4公時取得最大值2百，

由（i）知，A48。面積為3S,

所以A48。面積的最大值為6行.

【5-7]已知橢圓。：/+6=1（。＞人＞0）的離心率為5,過右焦點廠的直線/與C相交于4,B兩點，當/的

斜率為1時，坐標原點。到/的距離為二一

2

（1）求橢圓C的方程

(2)若P,Q,M,N是橢圓C上的四點，已知尸尸與FQ共線，M尸與FN共線，且=求四邊形

PMQN面積的最小值

Q\

解：（1）e=—=一,設(shè)尸（c,0）,則/:y=x-c

a2

,,_|c|_V2

..i=-7==----c

gV22

a=2,b2=a2-c2=3

22

/.----p—=1

43

(2)由(1)可得：F(1,O),因為"?九件=

：.SPMQN=^\MN\-\PQ\

設(shè)尸（冷y），Q（^，%）,PQ：y=%（x—1），

3f+4y2=12

聯(lián)立方程可得：,、，消去x可得:

y=Q_l）

3x2+4公（%—I,=12整理后可得：（4公+3）f一85x+4公-12=0

J144V+144_12（6+1）

燈芯

.■.\PQ\=Jl+-X2|=Jl+/.①

4k2+34r+3

設(shè)MN:y=_：(x-l),以一』替換①中的女可得:

+1

12（F）

12公+12

|MN|=一

33k2+4

1,一?112例+1）⑵2+12

.-.SPMQN=-\MN\]PQ\=-.^>

3k2+4

F+2

rck4+2k2+\”

—72-----T-------：------=72?

12/+25公+1212k+撲25

設(shè)〃=公+(，可得〃目2收)：另372.￡展

16

2c288

，"=2時，Smin=-

【5-9](2019全國卷2理)已知點A(-2,0),BQ,0),動點例(x,y)滿足直線A例與的斜率之積為--.記

2

M的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程，并說明C是什么曲線;

(2)過坐標原點的直線交C于尸，Q兩點，點P在第一象限，軸，垂足為E,連結(jié)QE并延長交C

于點G.

(i)證明：△PQG是直角三角形;

(ii)求△PQG面積的最大值.

12V2

解析：(1)由題設(shè)得?！?化簡得\%+、=1(|幻工2),所以C為中心在坐標原點，焦點

x+2x—2

在x軸上的橢圓，不含左右頂點.

(2)(i)設(shè)直線P。的斜率為我,則其方程為y="/>0).

y=Ax2

由，《+匚1得1而落

[42

2

t己〃=/,,貝I」尸(",uk),Q(-u,-uk),E(u,0).

VI+2k2

于是直線QG的斜率為:，方程為y=g(x—“).

k,、

y^-(x-u),

由，22得(2+/口2一2誡2彳+左2“2一8=0.①

—+—=1

I42

3

設(shè)G(%,%)，則一〃和XG是方程①的解，故％=以，：])，由此得先uk

乙十K2+k2,

-----2~ulc1

從而直線PG的斜率為釜、-=所以PQLPG,即△PQG是直角三角形.

u(3k+2)k

--------------z--------U

2+k2

(ii)由⑴得|PQ=2"J1+爐,'PG],；｝,所以APQG的面積

8(：+人)

S=^\PQ\\PG\=8%(1+公)K

(1+2公)(2+公)1+2(：+女)2

設(shè)/=%+/,則由fc>0得侖2,當且僅當仁1時取等號.

父,1A

因為S=-二在［2,+8）單調(diào)遞減，所以當U2,即&=1時，S取得最大值，最大值為一.因此，△PQG

1+2/9

面積的最大值為竺.

【例5-10】直角坐標系中，直線/的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），以坐標原點。為極點，x軸

正半軸為極軸建立極坐標系，桶圓。的極坐標方程為夕2cos2。+302$山26=48,其左焦點F在直線/上.

⑴若直線/與橢圓。交于AB兩點，求|E4|+|EB|的值；

（2）求橢圓C的內(nèi)接矩形面積的最大值.

X=0COS0X2V2

解析：（1）將4代入p2cos2。+3"2$m2。=48,得即---F—=1,因為/=48—16=

y=psinff.4816

32,所以F的坐標為（-4夜，0）,

又因為F在直線/上，所以機=-4夜.

》=-4尬+^^，

2

把直線/的參數(shù)方程《代入/+3^=48,

化簡得4f—8=0,所以h+包=4,介介=—8,

所以|E4|+忻卸=總一胃=&|+y_如=716+4x8=473.

（2）由橢圓C的方程土+匕=1,

4816

7T

可設(shè)橢圓C上在第一象限內(nèi)的任意一點M的坐標為（4&COS。，4sinJ）(0<^<-),

2

所以內(nèi)接矩形的面積S=8Gcos6-8sine=32百sin20,

當。='時，面積S取得最大值320.

4

類型六：拋物線中的面積最值問題

【例6-1】（2014新課標2）設(shè)尸為拋物線C：y2=3x的焦點，過尸且傾斜角為30。的

直線交C于A3兩點，。為坐標原點，則△。鉆的面積為（）

3百273639

A.BcD

~T~8324

解析：易知拋物線中p=g,焦點/0,0）,直線AB的斜率上=乎，故直線AB的

方程為y=q.（x—》,代人拋物線方程y2=3x,整理得％2一弓了+2=0

21

設(shè)4m,必）,8（工2，%），則%+%=萬，由物線的定義可得弦長

\AB\=Xi+x2+p=\2,結(jié)合圖像可得。到直線AB的距離d="sin30=±,

28

—19

所以AQ43的面積=

【例6-2】拋物線＞2=4x的焦點為產(chǎn)，準線為/,經(jīng)過尸且斜率為6的直線與拋物線在x軸上方的部分相交

于點A,AK±l,垂足為K,則_AEK的面積是（）

A.4B.3百C,473D.8

TTTT

解析：【幾何法】由題，直線傾斜角為上，從而得NKAF=上

33

由于SAKF=1|A/T|.|AF|sin|,其中\(zhòng)AK\=\AF\,

而％=|OF|+忻+|AF|=%+1,故/=|。河+3（4+1）=4=3,

2

從而目=4+1=4,所以5.=（|4可25皿?=46

【解析法】由拋物線方程可得：F（l,0）,設(shè)/:y=G（x—1）,聯(lián)立方程：

[y2=4x,、2,1

?L=3（九-1）一=4%，整理可得：3X2-10X+3=0.?.X=3或X=—

U=風(fēng)-1）I）3

1

=

x=3x-

廠或<30（舍）x.=3,|4丹=4+1=4,

y=2\J3>=一§"

故5^=三4/|\泊?=46

【例6-31設(shè)拋物線y2=2x的焦點為F,過點M（百,0）的直線與拋物線相交于AB兩點，與拋物線的準線

q

相交于C,忸丹=2,貝UBCF與ACF的面積之比uBCF)

q

°ACF

4241

A.一B.-c.一D.一

537