2.6 直角三角形（原卷版）

2.6直角三角形1.認(rèn)識(shí)直角三角形2.掌握直角三角形的兩個(gè)銳角互余的性質(zhì)定理3.掌握“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一直角三角形我們知道,有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形(righttriangle),直角三角形可以用符號(hào)“Rt△”表示,如圖所示的三角形可記為Rt△ABC知識(shí)點(diǎn)二直角三角形性質(zhì)定理直角三角形性質(zhì)定理1直角三角形的兩個(gè)銳角互余因?yàn)椤叭切稳齻€(gè)內(nèi)角的和等于180°”,直角三角形兩個(gè)銳角的和為180-90°=90°直角三角形性質(zhì)定理2直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半直角三角形性質(zhì)定理3（含30°角的直角三角形的性質(zhì)）在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即學(xué)即練1如圖，將直尺與含30°角的三角尺疊放在一起，∠1=62°，則∠2的大小是（

）

A．56° B．58° C．60° D．62°即學(xué)即練2（2022秋·浙江臺(tái)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=2，BC=5，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在BC邊上，且ED=EC，若AE=4，則BD的長(zhǎng)等于(

)

A．1 B．32 C．2 D．即學(xué)即練3（2023秋·浙江寧波·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連結(jié)DE，則△CDE的周長(zhǎng)為（）

A．12 B．14 C．16 D．18知識(shí)點(diǎn)三直角三角形的判定定理有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.事實(shí)上,根據(jù)“三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°”,當(dāng)一個(gè)三角形中有兩個(gè)角互余時(shí),它的第三個(gè)角就等于90°,所以這個(gè)三角形是直角三角形.即學(xué)即練1（2023秋·浙江紹興·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知線段AB的垂直平分線上有兩點(diǎn)E，F(xiàn)，直線EF交AB于點(diǎn)C，且∠AEC=70°，∠AFC=45°，則∠EAF=．即學(xué)即練2（2023春·重慶江津·八年級(jí)重慶市江津中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）最近，小明同學(xué)學(xué)習(xí)了定理：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，同時(shí)產(chǎn)生了一個(gè)猜想：“如果三角形一邊上的中線的長(zhǎng)度等于所在邊長(zhǎng)度的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．”請(qǐng)驗(yàn)證小明同學(xué)的猜想．已知：如圖，在△ABC中，CD是ΔABC邊AB上的中線，且CD=求證：△ABC為直角三角形．證明：用直尺和圓規(guī)，作線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D（保留作圖痕跡），連接CD，則點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)，CD是△ABC的中線∴①又∵CD=∴AD=BD=CD∵AD=CD∴②∵BD=CD∴③又∵∠DCA+∠A+∠DCB+∠B=180°∴∠A+④=90°∵∠A+∠ACB+∠B=180°∴⑤=90°∴△ABC為直角三角形題型一直角三角形的兩個(gè)銳角互余例1（2023秋·浙江杭州·八年級(jí)杭州市公益中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，已知ΔABC，∠C=90°，AC<BC

(1)用直尺和圓規(guī)作出∠BAC的角平分線交BC于點(diǎn)D，作出點(diǎn)D的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的基礎(chǔ)上，若∠B=36°，求∠CAD的度數(shù)．舉一反三1（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖是脊柱側(cè)彎的檢測(cè)示意圖，在體檢時(shí)為方便測(cè)出Cobb角∠O的大面小，需將∠O轉(zhuǎn)化為與它相等的角，則圖中與∠O相等的角是（

）

A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO舉一反三2（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）下列命題中，其逆命題是假命題的是（

）A．若a=b，則aB．若ab=1，則a與b互為倒數(shù)C．直角三角形兩個(gè)銳角互余D．角平分線上的一點(diǎn)到角的兩邊距離相等舉一反三3（2021秋·浙江湖州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，高線CE⊥AB于E，角平分線CD平分∠ACB，∠ACE=34∠B，且∠ECD=10°，則

題型二含30度角的直角三角形例2（2022秋·浙江臺(tái)州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，∠AOB=60°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，并且OP=4，點(diǎn)M、N分別是射線OA，OB上異于點(diǎn)O的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，點(diǎn)O到線段

A．1 B．2 C．3 D．4舉一反三1（2023秋·浙江臺(tái)州·八年級(jí)臺(tái)州市書生中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=4，CD平分∠ACB，交邊AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)．點(diǎn)P為邊CB

(1)∠ACD=°，AE=；(2)若△CPD是等腰三角形，求∠CPD的度數(shù)；(3)若點(diǎn)M在線段CD上，連接MP、ME，則MP+ME的值最小時(shí)CP=．舉一反三2（2022秋·浙江臺(tái)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=2，BC=5，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在BC邊上，且ED=EC，若AE=4，則BD的長(zhǎng)等于(

)

A．1 B．32 C．2 D．舉一反三3（2022秋·浙江臺(tái)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知：如圖所示，△ABC是邊長(zhǎng)6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在AB、BC邊上勻速移動(dòng)，它們的速度分別為VP=2cm/s，VQ=1.5cm/s，當(dāng)點(diǎn)

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為等邊三角形？(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為直角三角形？題型三斜邊的中線等于斜邊的一半例3．（2023春·浙江·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，BE⊥AC，D是AB的中點(diǎn)，且DE=BE，則∠C的度數(shù)（）

A．65° B．70° C．75° D．80°舉一反三1．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖所示，在△ABC中，AC=CB，∠ACB=90°．延長(zhǎng)AB到D，使得CD=AB，則∠BCD=°．

舉一反三2（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=6，則∠B的度數(shù)為（

A．30° B．45° C．60° D．75°舉一反三3（2022秋·浙江麗水·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，

(1)求∠AEB的度數(shù)；(2)求線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．單選題1.（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，將△BCD沿CD折疊，B點(diǎn)恰好落在AB的中點(diǎn)E處，則∠AA．25° B．30° C．45° D．60°2．（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠ABC=25°，O為斜邊中點(diǎn)，將線段OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a0°<α<A．80° B．65° C．50°3．（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)．若∠C=70°，則∠BAD的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．35° D．40°4．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D是一張長(zhǎng)方形紙片ABCD，點(diǎn)M是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，把△DCE沿直線DE折疊，使點(diǎn)C落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處，連接DF，EF．若MF=CD，則∠DAF的度數(shù)為（

）A．15° B．16° C．18° D．20°5．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AC=BC，∠B=30°，D為AB的中點(diǎn)，P為CD上一點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PA=PE．有下列結(jié)論：①∠PAD+∠PEC=30°；②△PAE為等邊三角形：③PD=CE-CP；④S四邊形AECP=A．①②④ B．①③ C．②④ D．①②③④6．（2022秋·浙江麗水·九年級(jí)校聯(lián)考期中）在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，那么這個(gè)三角形的外接圓直徑是（

A．5 B．10 C．5或4 D．10或87．（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．連接CD，若CD+AB=7.5，則CD的長(zhǎng)度是（

）A．1.5 B．2 C．2.5 D．5二、填空題1.（2021秋·浙江臺(tái)州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D為BC中點(diǎn)，E為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，以DE為邊并在DE的右側(cè)作等邊△DEF，連接BF，則BF的最小值為．

2．（2021秋·浙江臺(tái)州·八年級(jí)校考期中）如圖，將長(zhǎng)方形紙片ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)C落在AD邊的中點(diǎn)C'處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，其中∠C'

3．（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)校考期中）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使得點(diǎn)A落在四邊形BCDE的外部A'的位置，且A'與點(diǎn)C在直線AB的異側(cè)，折痕為DE，已知∠C=90°，若A'E∥BC，當(dāng)∠A=30°時(shí)，則∠ADE的度數(shù)；當(dāng)∠A=α?xí)r，則∠ADE的度數(shù)為（用

4．（2022秋·浙江麗水·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)E是Rt△ABC、Rt△BCD的斜邊BC的中點(diǎn)，且AB=AC，∠BCD=20°，分別連接AD，AE，則∠DAE的度數(shù)是

5．（2022秋·浙江紹興·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠B=30°，以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作弧，交直線AB于點(diǎn)D，連接DC，則∠DCB的度數(shù)是

三、解答題1.（2022秋·浙江金華·八年級(jí)義烏市繡湖中學(xué)教育集團(tuán)?？计谥校┤鐖D，已知在△ABC中，AB=AC，過AB邊上一點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)ED，與CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．

(1)求證：AF=AD．(2)若D是AB的中點(diǎn)，DE=4，求DF的長(zhǎng)