2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列專題6.8 相似三角形的常見(jiàn)模型【八大題型】（舉一反三）（蘇科版）含解析

2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列專題6.8相似三角形的常見(jiàn)模型【八大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1A字型】 2【題型2“8”字形】 3【題型3AX字型】 4【題型4子母型】 6【題型5三角形內(nèi)接矩形型】 8【題型6雙垂直型】 9【題型7手拉手型】 11【題型8一線三角型】 13【基本模型】①如圖，在中，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，，則，．②模型拓展1：斜交A字型條件：，圖2結(jié)論：；③模型拓展2：如圖，∠ACD＝∠B?△ADC∽△ACB?．【題型1A字型】【例1】（2022·湖南·永州柳子中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，王華晚上由路燈下的處走到處時(shí)，測(cè)得影子的長(zhǎng)為1米，繼續(xù)往前走2米到達(dá)處時(shí)，測(cè)得影子的長(zhǎng)為2米，已知王華的身高是1.5米，那么路燈的高度等于_________．【變式1-1】（2022·江蘇·常州市金壇良常初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．（1）求t為何值時(shí)，△AMN的面積是△ABD面積的；（2）當(dāng)以點(diǎn)A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似時(shí)，求t值．【變式1-2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）有一塊直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一個(gè)面積盡可能大的正方形桌面．甲、乙兩位同學(xué)的加工方法分別如圖1、圖2所示．請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)說(shuō)明哪位同學(xué)的加工方法更好（加工損耗忽略不計(jì)）．【變式1-3】（2022·云南楚雄·九年級(jí)期末）直線l1∥l2∥l3，且l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，把一塊含有45°角的直角三角形如圖放置，頂點(diǎn)A，B，C恰好分別落在三條直線上，AC與直線l2交于點(diǎn)D，則線段BD的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【基本模型】①如圖1，AB∥CD?△AOB∽△COD?；②如圖2，∠A＝∠D?△AOB∽△DOC?．③模型拓展：如圖，∠A＝∠C?△AJB∽△CJD?．【題型2“8”字形】【例2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，連接AC，BE交于點(diǎn)F．若△AEF的面積為2，則△ABC的面積為()A．8 B．10 C．12 D．14【變式2-1】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，BC＝6，，動(dòng)點(diǎn)P在射線EF上，BP交CE于點(diǎn)D，∠CBP的平分線交CE于點(diǎn)Q，當(dāng)CQ＝CE時(shí)，EP+BP的值為（）A．9 B．12 C．18 D．24【變式2-2】（2022·吉林·長(zhǎng)春市赫行實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模）如圖，在中，，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，為上一點(diǎn)，于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【變式2-3】（2022·陜西渭南·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知D是BC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)．求的值．【基本模型】A字型及X字型兩者相結(jié)合，通過(guò)線段比進(jìn)行轉(zhuǎn)化.【題型3AX字型】【例3】（2022·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若AF＝2FD，則的值為（）A． B． C． D．【變式3-1】（2022·河北石家莊·九年級(jí)期末）已知中，，（如圖）．以線段為邊向外作等邊三角形，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）連接，交于點(diǎn)．①若，求的長(zhǎng)；②作，垂足為，求證：．【變式3-3】（2022·湖南株洲·九年級(jí)期末）如圖（1）所示：等邊△ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，過(guò)D點(diǎn)的直線B1C1⊥AC于C1交AB的延長(zhǎng)線于B1．（1）請(qǐng)你探究：，是否都成立？（2）請(qǐng)你繼續(xù)探究：若△ABC為任意三角形，線段AD為其內(nèi)角角平分線，請(qǐng)問(wèn)一定成立嗎？并證明你的判斷．（3）如圖（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90?，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，試求的值．【基本模型】如圖為斜“A”字型基本圖形．當(dāng)時(shí)，，則有．．如圖所示，當(dāng)E點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，為其常見(jiàn)的一個(gè)變形，即子母型．當(dāng)時(shí)，，則有．【題型4子母型】【例4】（2022·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期末）如圖，在中，，，，，，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【變式4-1】（2022·遼寧·阜新市第四中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知：如圖1，中，是的角平分線，．求證：與互為母子三角形．（3）如圖2，中，是中線，過(guò)射線上點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)，連結(jié)，射線與射線交于點(diǎn)，若與互為母子三角形．求的值．【變式4-2】（2022·遼寧鞍山·二模）在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．（1）如圖（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的長(zhǎng)；（2）如圖（2），過(guò)點(diǎn)A分別作AC，BD的垂線，分別交BC，BD于點(diǎn)E，F(xiàn)．①求證：∠ABC＝∠EAF；②求的值．【變式4-3】（2022·北京市第一五六中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，與點(diǎn)．（1）求證：；（2）求的大??；（3）若，求的面積．【基本模型】由之前的基本模型（A型或AX型）推導(dǎo)出來(lái)的。結(jié)論：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，【題型5三角形內(nèi)接矩形型】【例5】（2022秋?南崗區(qū)校級(jí)月考）如圖1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的頂點(diǎn)D、G分別在AB、AC上，EF在BC上．（1）求正方形DEFG的邊長(zhǎng)；（2）如圖2，在BC邊上放兩個(gè)小正方形DEFG、FGMN，則DE=．【變式5-1】（2022秋?道里區(qū)期末）如圖，正方形EFGH內(nèi)接于△ABC，AD⊥BC于點(diǎn)D，交EH于點(diǎn)M，BC＝10cm，AD＝20cm．求正方形EFGH的邊長(zhǎng)．【變式5-2】（2022秋?八步區(qū)期中）一塊直角三角形木板的面積為，一條直角邊為，怎樣才能把它加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面？甲、乙兩位木匠的加工方法如圖所示，請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)說(shuō)明哪位木匠的方法符合要求（加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可保留）．【變式5-3】（2022秋?渭濱區(qū)期末）（1）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D，E，Q分別在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點(diǎn)P，求證：；（2）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的邊上，連接AG，AF分別交DE于M，N兩點(diǎn)．①如圖2，若AB=AC=1，直接寫(xiě)出MN的長(zhǎng)；②如圖3，求證MN2=DM·EN．【基本模型】①如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常見(jiàn)的結(jié)論有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.②拓展：（1）正方形、長(zhǎng)方形中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)射影定理模型，如圖，在和內(nèi)均有射影定理模型．（2）如圖，在圓中也會(huì)出現(xiàn)射影定理模型．【題型6雙垂直型】【例6】（2022秋?青羊區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E為AB上一點(diǎn)，分別以ED、EC為折痕將兩個(gè)角(∠A、∠B)向內(nèi)折起，點(diǎn)A、B恰好落在CD邊的點(diǎn)F處，若AD＝3，BC＝5，則EF的長(zhǎng)是（）A.eq\r(15)B．2eq\r(15)C.eq\r(17)D．2eq\r(17)【變式6-1】（2022秋?杜爾伯特縣期末）如圖所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分別為D、E兩點(diǎn)，則圖中與△ABC相似的三角形有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【變式6-2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長(zhǎng)．【變式6-3】（2022秋?汝州市校級(jí)月考）中，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，且有，過(guò)F點(diǎn)作于點(diǎn)H．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，求的長(zhǎng)．【基本模型】①如圖，若△ABC∽△ADE，則△ABD∽△ACE.[來(lái)源:Zxxk.Com]②如圖所示，和都是等腰直角三角形，的延長(zhǎng)線與相交于點(diǎn)P，則，且相似比為，與的夾角為．總結(jié)：旋轉(zhuǎn)相似型中由公共旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)、一點(diǎn)及其旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的三角形與由公共旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)、另一點(diǎn)及其旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的三角形相似．③如圖所示，，則，，且．【題型7手拉手型】【例7】（2022春?江陰市期中）如圖，在△ABC與△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，連接BD、CE，若AC：BC＝3：4，則BD：CE為（）A．5：3 B．4：3 C．5：2 D．2：3【變式7-1】（2022秋?岳陽(yáng)縣期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)P為線段CA延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，將線段PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，得到線段PD，連接DB，DC．（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，求證：PA＝DC；（2）如圖2，當(dāng)α＝120°時(shí)，猜想PA和DC的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．（3）當(dāng)α＝120°時(shí)，若AB＝6，BP＝，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D到CP的距離．【變式7-2】（2022秋?炎陵縣期末）如圖，以的兩邊、分別向外作等邊和等邊，與交于點(diǎn)，已知，，．（1）求證：；（2）求的度數(shù)及的長(zhǎng)；（3）若點(diǎn)、分別是等邊和等邊的重心（三邊中線的交點(diǎn)），連接、、，作出圖象，求的長(zhǎng)．【變式7-3】（2022春?棲霞市期末）如圖，正方形ABCD，對(duì)角線AC，BD相交于O，Q為線段DB上的一點(diǎn)，，點(diǎn)M、N分別在直線BC、DC上．（1）如圖1，當(dāng)Q為線段OD的中點(diǎn)時(shí)，求證：；（2）如圖2，當(dāng)Q為線段OB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，則線段DN、BM、BC的數(shù)量關(guān)系為；（3）在（2）的條件下，連接MN，交AD、BD于點(diǎn)E、F，若，，求EF的長(zhǎng)．【基本模型】(1)“三垂直”模型：如圖1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.(2)“一線三等角”模型：如圖2，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.特別地，連接AE，若C為BD的中點(diǎn)，則△ACE∽△ABC∽△CDE.補(bǔ)充：其他常見(jiàn)的一線三等角圖形【題型8一線三角型】【例8】（2022秋?灌云縣期末）【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．若，，，求AP的長(zhǎng)．【拓展】如圖③，在中，，，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點(diǎn)E，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出AP的長(zhǎng)．【變式8-1】（2022?雨城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點(diǎn)，D為AC上一點(diǎn)，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．（1）求證△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的邊長(zhǎng)．【變式8-2】（2022秋?渝中區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，tan∠AEB，P是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿過(guò)點(diǎn)P的直線將矩形折疊，使點(diǎn)D落在AE上的點(diǎn)處，當(dāng)是直角三角形時(shí)，PD的值為（）A．或 B．或 C．或 D．或【變式8-3】（2022秋?椒江區(qū)校級(jí)月考）【推理】如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著B(niǎo)E折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連結(jié)BE，CF，延長(zhǎng)CF交AD于點(diǎn)G．（1）求證：．【運(yùn)用】（2）如圖2，在【推理】條件下，延長(zhǎng)BF交AD于點(diǎn)H．若，，求線段DE的長(zhǎng)．【拓展】（3）將正方形改成矩形，同樣沿著B(niǎo)E折疊，連結(jié)CF，延長(zhǎng)CF，BF交直線AD于G，兩點(diǎn)，若，，求的值（用含k的代數(shù)式表示）．專題6.8相似三角形的常見(jiàn)模型【八大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1A字型】 2【題型2“8”字形】 6【題型3AX字型】 12【題型4子母型】 19【題型5三角形內(nèi)接矩形型】 26【題型6雙垂直型】 31【題型7手拉手型】 35【題型8一線三角型】 44【基本模型】①如圖，在中，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，，則，．②模型拓展1：斜交A字型條件：，圖2結(jié)論：；③模型拓展2：如圖，∠ACD＝∠B?△ADC∽△ACB?．【題型1A字型】【例1】（2022·湖南·永州柳子中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，王華晚上由路燈下的處走到處時(shí)，測(cè)得影子的長(zhǎng)為1米，繼續(xù)往前走2米到達(dá)處時(shí)，測(cè)得影子的長(zhǎng)為2米，已知王華的身高是1.5米，那么路燈的高度等于_________．【答案】4.5【詳解】如圖，設(shè)之間的距離為x米，根據(jù)題意可得，，∴∴，，∴，，即，，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是所列方程的解，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是所列方程的解，故路燈的高為4.5米．故答案為：4.5．【變式1-1】（2022·江蘇·常州市金壇良常初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．（1）求t為何值時(shí)，△AMN的面積是△ABD面積的；（2）當(dāng)以點(diǎn)A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似時(shí)，求t值．【答案】（1），；（2）t＝3或【詳解】解：（1）由題意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，∴△AMN的面積＝AN?AM＝×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2，∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm∴△ABD的面積為AB?AD＝×6×12＝36，∵△AMN的面積是△ABD面積的，∴6t﹣t2＝，∴t2﹣6t+8＝0，解得t1＝4，t2＝2，答：經(jīng)過(guò)4秒或2秒，△AMN的面積是△ABD面積的；（2）由題意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，若△AMN∽△ABD，則有，即，解得t＝3，若△AMN∽△ADB，則有，即，解得t＝，答：當(dāng)t＝3或時(shí)，以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似．【變式1-2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）有一塊直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一個(gè)面積盡可能大的正方形桌面．甲、乙兩位同學(xué)的加工方法分別如圖1、圖2所示．請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)說(shuō)明哪位同學(xué)的加工方法更好（加工損耗忽略不計(jì)）．【答案】甲同學(xué)【詳解】解：如圖1所示，設(shè)甲同學(xué)加工的桌面邊長(zhǎng)為xm，∵DE∥AB∴△CDE∽△CBA∴即∴x＝圖2所示，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC，交AC于點(diǎn)H，交DE于點(diǎn)P．由勾股定理得：AC＝∵，∴設(shè)乙同學(xué)加工的桌面邊長(zhǎng)為ym，∵DE∥AC∴△BDE∽△BAC∴即∴y＝∵＞，即x＞y，x2＞y2∴甲同學(xué)的加工方法更好．【變式1-3】（2022·云南楚雄·九年級(jí)期末）直線l1∥l2∥l3，且l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，把一塊含有45°角的直角三角形如圖放置，頂點(diǎn)A，B，C恰好分別落在三條直線上，AC與直線l2交于點(diǎn)D，則線段BD的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】分別過(guò)點(diǎn)A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，垂足為F、E、G，∵l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，∴AF=4，BE=DG=3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∵∠EBC+∠BCE＝90°，∠BCE+∠FCA＝90°，∠FCA+∠CAF＝90°，∴∠EBC＝∠FCA，∠BCE＝∠CAF，在△BCE與△ACF中，，∴△BCE≌△CAF，∴CF=BE=3，∴AC==5，∵AF⊥l3，DG⊥l3，∴△CDG∽△CAF，∴，即，解得：CD=，∴BD==．故選：A．【基本模型】①如圖1，AB∥CD?△AOB∽△COD?；②如圖2，∠A＝∠D?△AOB∽△DOC?．③模型拓展：如圖，∠A＝∠C?△AJB∽△CJD?．【題型2“8”字形】【例2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，連接AC，BE交于點(diǎn)F．若△AEF的面積為2，則△ABC的面積為()A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【詳解】∵平行四邊形ABCD∴，AD=BC∵E為邊AD的中點(diǎn)∴BC=2AE∵∴∠EAC=∠BCA又∵∠EFA=∠BFC∴△AEF∽△CBF如圖，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，F(xiàn)G⊥BC于點(diǎn)G，則，∴，∵△AEF的面積為2∴故選C．【變式2-1】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，BC＝6，，動(dòng)點(diǎn)P在射線EF上，BP交CE于點(diǎn)D，∠CBP的平分線交CE于點(diǎn)Q，當(dāng)CQ＝CE時(shí)，EP+BP的值為（）A．9 B．12 C．18 D．24【答案】C【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)EF交BQ的延長(zhǎng)線于G．∵，∴EG∥BC，∴∠G＝∠GBC，∵∠GBC＝∠GBP，∴∠G＝∠PBG，∴PB＝PG，∴PE+PB＝PE+PG＝EG，∵CQ＝EC，∴EQ＝3CQ，∵EG∥BC，∴△EQG∽△CQB，∴＝＝3，∵BC＝6，∴EG＝18，∴EP+PB＝EG＝18，故選：C．【變式2-2】（2022·吉林·長(zhǎng)春市赫行實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模）如圖，在中，，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，為上一點(diǎn)，于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】【詳解】解：如解圖，補(bǔ)成矩形，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，，∴設(shè)，則，又∵在矩形中，，∴，∴，即，解得．∴．【變式2-3】（2022·陜西渭南·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知D是BC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)．求的值．【答案】【詳解】解法1：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線交BN于點(diǎn)H．因?yàn)椋?，所以．因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以．因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)镸為AD的中點(diǎn)，所以．所以，所以．解法2：如圖3，過(guò)點(diǎn)C作AD的平行線交BN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以．因?yàn)镸為AD的中點(diǎn)，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以．解?：如圖4，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交BN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)镸為AD的中點(diǎn)，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，且，所以．解法4：如圖5，過(guò)點(diǎn)D作BN的平行線交AC于點(diǎn)H．在中，因?yàn)镸為AD的中點(diǎn)，，所以N為AH的中點(diǎn)，即．在中，因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，，所以H為CN的中點(diǎn)，即，所以．所以．【基本模型】A字型及X字型兩者相結(jié)合，通過(guò)線段比進(jìn)行轉(zhuǎn)化.【題型3AX字型】【例3】（2022·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若AF＝2FD，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由AF＝2DF，可以假設(shè)DF＝k，則AF＝2k，AD＝3k，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴，故選：C．【變式3-1】（2022·河北石家莊·九年級(jí)期末）已知中，，（如圖）．以線段為邊向外作等邊三角形，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）連接，交于點(diǎn)．①若，求的長(zhǎng)；②作，垂足為，求證：．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①；②證明見(jiàn)解析．【詳解】（1）∵是等邊三角形∴，在中，∴∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)∴∴是等邊三角形∴，∴∴∴∴四邊形為平行四邊形；（2）①如圖，連接，交于點(diǎn)∵∴∴∵，∴∵∴；②如圖，作，垂足為∵，，∴∴，∴，∴∴．【變式3-2】（2022·河南·鶴壁市淇濱中學(xué)九年級(jí)期中）已知，平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，在直線上截取，連接，交于，則___________．【答案】；．【詳解】解：（1）點(diǎn)F在線段AD上時(shí)，設(shè)EF與CD的延長(zhǎng)線交于H，∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF,∴HD：AE=DF：AF=1:2，即HD=AE，∵AB//CD，∴△CHG∽△AEG，∴AG：CG=AE：CH，∵AB=CD=2AE，∴CH=CD+DH=2AE+AE=AE，∴AG：CG=2：5，∴AG：（AG+CG）=2：（2+5），即AG：AC=2：7；（2）點(diǎn)F在線段AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)EF與CD交于H，∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF，∴HD：AE=DF：AF=1：2，即HD=AE，∵AB//CD，∴AG：CG=AE：CH∵AB=CD=2AE，∴CH=CD-DH=2AE-AE=AE，∴AG：CG=2：3，∴AG：（AG+CG）=2：（2+3），即AG：AC=2：5．故答案為：或．【變式3-3】（2022·湖南株洲·九年級(jí)期末）如圖（1）所示：等邊△ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，過(guò)D點(diǎn)的直線B1C1⊥AC于C1交AB的延長(zhǎng)線于B1．（1）請(qǐng)你探究：，是否都成立？（2）請(qǐng)你繼續(xù)探究：若△ABC為任意三角形，線段AD為其內(nèi)角角平分線，請(qǐng)問(wèn)一定成立嗎？并證明你的判斷．（3）如圖（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90?，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，試求的值．【答案】（1）成立，理由見(jiàn)解析；（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）【詳解】解：（1）等邊△ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，因?yàn)锽1C1⊥AC于C1交AB的延長(zhǎng)線于B1，∠CAB＝60°，∠B1＝∠CAD＝∠BAD＝30°，AD＝B1D，綜上：這兩個(gè)等式都成立；（2）可以判斷結(jié)論仍然成立，證明如下：如圖所示，△ABC為任意三角形，過(guò)B點(diǎn)作BE∥AC交AD的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，線段AD為其內(nèi)角角平分線∠E＝∠CAD＝∠BAD，△EBD∽△ACD∴BE＝AB，又∵BE＝AB．∴，即對(duì)任意三角形結(jié)論仍然成立；（3）如圖（2）所示，因?yàn)镽t△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，，∵AD為△ABC的內(nèi)角角平分線，∴∵DE∥AC，∵DE∥AC，∴△DEF∽△ACF，∴【基本模型】如圖為斜“A”字型基本圖形．當(dāng)時(shí)，，則有．．如圖所示，當(dāng)E點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，為其常見(jiàn)的一個(gè)變形，即子母型．當(dāng)時(shí)，，則有．【題型4子母型】【例4】（2022·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期末）如圖，在中，，，，，，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】5【詳解】解：在CD上取點(diǎn)F，使，，，由，，，，且，，，∽，，，，又，，∽，，又，，或舍去，經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意，．故答案為：5．【變式4-1】（2022·遼寧·阜新市第四中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知：如圖1，中，是的角平分線，．求證：與互為母子三角形．（3）如圖2，中，是中線，過(guò)射線上點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)，連結(jié)，射線與射線交于點(diǎn)，若與互為母子三角形．求的值．【答案】（1）C；（2）見(jiàn)解析；（3）或3．【詳解】（1）∵與互為母子三角形，∴或2，故選：C（2）是的角平分線，，，．又，與互為母子三角形．

（3）如圖，當(dāng)分別在線段上時(shí)，與互為母子三角形，，，是中線，，又，．，，．如圖，當(dāng)分別在射線上時(shí)，與互為母子三角形，，，是中線，，又，．，，．綜上所述，或3【變式4-2】（2022·遼寧鞍山·二模）在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．（1）如圖（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的長(zhǎng)；（2）如圖（2），過(guò)點(diǎn)A分別作AC，BD的垂線，分別交BC，BD于點(diǎn)E，F(xiàn)．①求證：∠ABC＝∠EAF；②求的值．【答案】（1）AD＝；（2）①見(jiàn)解析；②．【詳解】（1）∵∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ACB.又∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB，∴，即，∴AD＝①證明：∵AE⊥AC，AF⊥BD，∴∠AFB＝∠EAC＝90°.又∵∠ABF＝∠C，∴△ABF∽△ECA，∴∠BAF＝∠CEA.∵∠BAF＝∠BAE＋∠EAF，∠AEC＝∠ABC＋∠BAE，∴∠ABC＝∠EAP.②如圖，取CE的中點(diǎn)M，連接AM.在Rt△ACE中，AM＝CE，∠AME＝2∠C.∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝∠AME，∴AM＝AB，∴．【變式4-3】（2022·北京市第一五六中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，與點(diǎn)．（1）求證：；（2）求的大??；（3）若，求的面積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）2．【詳解】（1），，在和中，，，，；，是等腰直角三角形，，由（1）可知，，，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，，，在和中，，，，又，，；（3）設(shè)，是等腰直角三角形，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，，在中，，，由（1）知，，，即，解得，在中，，，在和中，，，，即，解得，又，，解得，，則的面積為．【基本模型】由之前的基本模型（A型或AX型）推導(dǎo)出來(lái)的。結(jié)論：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，【題型5三角形內(nèi)接矩形型】【例5】（2022秋?南崗區(qū)校級(jí)月考）如圖1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的頂點(diǎn)D、G分別在AB、AC上，EF在BC上．（1）求正方形DEFG的邊長(zhǎng)；（2）如圖2，在BC邊上放兩個(gè)小正方形DEFG、FGMN，則DE=．【答案】（1）；（2）．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作AM⊥BC于點(diǎn)M，∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=BC=3，在Rt△ABM中，AM==4，∵四邊形DEFG是矩形，∴DG∥EF，DE⊥BC，∴AN⊥DG，四邊形EDMN是矩形，∴MN=DE，設(shè)MN=DE=x，∵DG∥EF，∴△ADG∽△ABC，∴DG：BC=AN：AM，∴，解得：DG=﹣x+6，∵四邊形DEFG為正方形，∴DE=DG，即x=﹣x+6，解得x=，∴正方形DEFG的邊長(zhǎng)為；（2）由題意得：DN=2DE，由（1）知：，∴DE=．故答案為．【變式5-1】（2022秋?道里區(qū)期末）如圖，正方形EFGH內(nèi)接于△ABC，AD⊥BC于點(diǎn)D，交EH于點(diǎn)M，BC＝10cm，AD＝20cm．求正方形EFGH的邊長(zhǎng)．【答案】【詳解】解：∵四邊形EFGH是正方形∴EH∥BC∴△AEH∽△ABC∴，即解得：EH=∴四邊形EFGH的邊長(zhǎng)為【變式5-2】（2022秋?八步區(qū)期中）一塊直角三角形木板的面積為，一條直角邊為，怎樣才能把它加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面？甲、乙兩位木匠的加工方法如圖所示，請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)說(shuō)明哪位木匠的方法符合要求（加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可保留）．【答案】乙木匠的加工方法符合要求．說(shuō)明見(jiàn)解析．【詳解】解：作BH⊥AC于H，交DE于M，如圖∵∴∵∴∴又∵DE∥AC∴∴，解得設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x米，如圖乙∵DE∥AB∴∴，解得∵∴乙木匠的加工方法符合要求．【變式5-3】（2022秋?渭濱區(qū)期末）（1）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D，E，Q分別在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點(diǎn)P，求證：；（2）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的邊上，連接AG，AF分別交DE于M，N兩點(diǎn)．①如圖2，若AB=AC=1，直接寫(xiě)出MN的長(zhǎng)；②如圖3，求證MN2=DM·EN．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①；②證明見(jiàn)解析．【詳解】解：（1）在△ABQ和△ADP中，∵DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴，同理在△ACQ和△APE中，，∴；（2）①作AQ⊥BC于點(diǎn)Q．∵BC邊上的高AQ=，∵DE=DG=GF=EF=BG=CF∴DE：BC=1：3又∵DE∥BC∴AD：AB=1：3，∴AD=，DE=，∵DE邊上的高為，MN：GF=：，∴MN：=：，∴MN=．故答案為：．②證明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，∴∠B=∠CEF，又∵∠BGD=∠EFC，∴△BGD∽△EFC，∴，∴DG?EF=CF?BG，又∵DG=GF=EF，∴GF2=CF?BG，由（1）得，∴，∴，∵GF2=CF?BG∴MN2=DM?EN．【基本模型】①如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常見(jiàn)的結(jié)論有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.②拓展：（1）正方形、長(zhǎng)方形中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)射影定理模型，如圖，在和內(nèi)均有射影定理模型．（2）如圖，在圓中也會(huì)出現(xiàn)射影定理模型．【題型6雙垂直型】【例6】（2022秋?青羊區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E為AB上一點(diǎn)，分別以ED、EC為折痕將兩個(gè)角(∠A、∠B)向內(nèi)折起，點(diǎn)A、B恰好落在CD邊的點(diǎn)F處，若AD＝3，BC＝5，則EF的長(zhǎng)是（）A.eq\r(15)B．2eq\r(15)C.eq\r(17)D．2eq\r(17)【解析】∵AD∥BC，∴∠ADF＋∠FCB＝180°.根據(jù)折疊前后的圖形全等得到DF＝DA＝3，∠ADE＝∠FDE，CF＝CB＝5，∠BCE＝∠FCE，∠EFC＝∠B＝90°，∴∠FDE＋∠FCE＝90°，∠FCE＋∠FEC＝90°，∠DFE＝∠EFC＝90°，∴∠FDE＝∠FEC，∴△DEF∽△ECF，∴eq\f(EF,CF)＝eq\f(DF,EF)，∴EF2＝DF·CF＝3×5＝15，∴EF＝eq\r(15).故選A.【變式6-1】（2022秋?杜爾伯特縣期末）如圖所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分別為D、E兩點(diǎn)，則圖中與△ABC相似的三角形有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【解析】∵在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，∴∠A＝∠EBD＝∠CDE，∴△ADB∽△BED∽△DEC∽△BDC∽△ABC，∴共有四個(gè)三角形與Rt△ABC相似．故選：A．【變式6-2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）∵，，∴；（2）∵，∴，，∴，∴，∴，即，∴．【變式6-3】（2022秋?汝州市校級(jí)月考）中，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，且有，過(guò)F點(diǎn)作于點(diǎn)H．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）4．【詳解】證明：（1），，，，在和中，，；（2）點(diǎn)為的中點(diǎn)，，由（1）已證：，，設(shè)，則，，，（等腰三角形的三線合一），，又，，即；（3）由（2）已證：，，，，，即，解得，，，，，在和中，，，，由（2）可知，設(shè)，則，，解得或（不符題意，舍去），，則在中，．【基本模型】①如圖，若△ABC∽△ADE，則△ABD∽△ACE.[來(lái)源:Zxxk.Com]②如圖所示，和都是等腰直角三角形，的延長(zhǎng)線與相交于點(diǎn)P，則，且相似比為，與的夾角為．總結(jié)：旋轉(zhuǎn)相似型中由公共旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)、一點(diǎn)及其旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的三角形與由公共旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)、另一點(diǎn)及其旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的三角形相似．③如圖所示，，則，，且．【題型7手拉手型】【例7】（2022春?江陰市期中）如圖，在△ABC與△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，連接BD、CE，若AC：BC＝3：4，則BD：CE為（）A．5：3 B．4：3 C．5：2 D．2：3【解答】∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，ACAB∵∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠BAD，∵ACAB=AEAD，∴△∴BDCE∵AC：BC＝3：4，∠ACB＝∠AED＝90°，∴AC：BC：AB＝3：4：5，∴BD：CE＝5：3，故選：A．【變式7-1】（2022秋?岳陽(yáng)縣期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)P為線段CA延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，將線段PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，得到線段PD，連接DB，DC．（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，求證：PA＝DC；（2）如圖2，當(dāng)α＝120°時(shí)，猜想PA和DC的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．（3）當(dāng)α＝120°時(shí)，若AB＝6，BP＝，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D到CP的距離．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）或【詳解】解：（1）當(dāng)α＝60°時(shí)，∵AB＝AC∴△ABC為等邊三角形，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∴△PBD為等邊三角形，∴，∴在和中，∴，∴（2）過(guò)點(diǎn)作，如下圖：∵當(dāng)α＝120°時(shí)，，∴，，∴由勾股定理得∴，∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∴，又∵，∴又∵，∴，∴，∴∴（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則點(diǎn)D到CP的距離就是的長(zhǎng)度當(dāng)在線段上時(shí)，如下圖：由題意可得：，∵α＝120°，∴在中，，∴，在中，，，∴∴，由（2）得由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：設(shè)，則由勾股定理可得：即，解得，則當(dāng)在線段延長(zhǎng)線上，如下圖：則，由（2）得，，設(shè)，則由勾股定理可得：即，解得，則綜上所述：點(diǎn)D到CP的距離為或【變式7-2】（2022秋?炎陵縣期末）如圖，以的兩邊、分別向外作等邊和等邊，與交于點(diǎn)，已知，，．（1）求證：；（2）求的度數(shù)及的長(zhǎng)；（3）若點(diǎn)、分別是等邊和等邊的重心（三邊中線的交點(diǎn)），連接、、，作出圖象，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）60°，12；（3）【詳解】解：（1）∵△ABD和△ACE都為等邊三角形，∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△ADC與△ABE中，，∴△ADC≌△ABE（SAS）；（2）∵△ADC≌△ABE；∴∠ADP=∠ABP，設(shè)AB，PD交于O，∵∠AOD=∠POB，∴∠DPB=∠DAB=60°；如圖①，在PE上取點(diǎn)F，使∠PCF=60°，同（1）可得△APC≌△EFC，∠EPC=∠EAC=60°，∴EF=AP=3，△CPF為等邊三角形，∴BE=PB+PF+FE=4+5+3=12；（3）如圖②，過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥AD于G，設(shè)QG=x，∵點(diǎn)Q、R分別是等邊△ABD和等邊△ACE的重心，∴AQ=2x，AG=x，AB=x，∵，∠QAR=∠QAB+∠BAC+∠RAC=30°+∠BAC+30°=60°+∠BAC，∴∠QAR=∠BAE，∴△ABE∽△AQR，∴QR：BE=AQ：AB，∴．【變式7-3】（2022春?棲霞市期末）如圖，正方形ABCD，對(duì)角線AC，BD相交于O，Q為線段DB上的一點(diǎn)，，點(diǎn)M、N分別在直線BC、DC上．（1）如圖1，當(dāng)Q為線段OD的中點(diǎn)時(shí)，求證：；（2）如圖2，當(dāng)Q為線段OB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，則線段DN、BM、BC的數(shù)量關(guān)系為；（3）在（2）的條件下，連接MN，交AD、BD于點(diǎn)E、F，若，，求EF的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）BM?DN=BC；（3）EF的長(zhǎng)為．【詳解】解：（1）如圖，過(guò)Q點(diǎn)作QP⊥BD交DC于P，∴∠PQB=90°．∵∠MQN=90°，∴∠NQP=∠MQB，∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠BDC=∠DBC=45°．DO=BO，∴∠DPQ=45°，DQ=PQ，∴∠DPQ=∠DBC=45°，∴△QPN∽△QBM，∴，∵Q是OD的中點(diǎn)，且PQ⊥BD，∴DO=2DQ，DP=DC，∴BQ=3DQ，DN+NP=DC=BC，∴BQ=3PQ，∴，∴NP=BM，∴DN+BM=BC；（2）如圖，過(guò)Q點(diǎn)作QH⊥BD交BC于H，∴∠BQH=∠DQH=90°，∴∠BHQ=45°，∵∠COB=90°，∴QH∥OC，∵Q是OB的中點(diǎn)，∴BH=CH=BC，∵∠NQM=90°，∴∠NQD=∠MQH，∵∠QND+∠NQD=45°，∠MQH+∠QMH=45°，∴∠QND=∠QMH，∴△QHM∽△QDN，∴，∴HM=ND，∵BM-HM=HB，∴BM?DN=BC．故答案為：BM?DN=BC；（3）MB：MC=3：1，設(shè)CM=x，∴MB=3x，∴CB=CD=4x，∴HB=2x，∴HM=x．∵HM=ND，∴ND=3x，∴CN=7x，∵四邊形ABCD是正方形，∴ED∥BC，∴△NDE∽△NCM，△DEF∽△BMF，∴，∴，∴DE=x，∴，∵NQ=9，∴QM=3，在Rt△MNQ中，由勾股定理得：，∴，∴，∴，設(shè)EF=a，則FM=7a，∴，∴．∴EF的長(zhǎng)為．【基本模型】(1)“三垂直”模型：如圖1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.(2)“一線三等角”模型：如圖2，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.特別地，連接AE，若C為BD的中點(diǎn)，則△ACE∽△ABC∽△CDE.補(bǔ)充：其他常見(jiàn)的一線三等角圖形【題型8一線三角型】【例8】（2022秋?灌云縣期末）【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．若，，，求AP的長(zhǎng)．【拓展】如圖③，在中，，，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點(diǎn)E，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出AP的長(zhǎng)．【答案】【探究】3；【拓展】4或．【詳解】探究：證明：∵是的外角，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，，，∴，解得：；拓展：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠CPB是△APC的外角，∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，∵∠A=∠CPE，∴∠ACP=∠BPE，∵∠A=∠B，∴△ACP∽△BPE，當(dāng)CP=CE時(shí)，∠CPE=∠CEP，∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，∴CP=CE不成立；當(dāng)PC=PE時(shí)，△ACP≌△BPE，則PB=AC=8，∴AP=AB-PB=128=4；當(dāng)EC=EP時(shí)，∠CPE=∠ECP，∵∠B=∠CPE，∴∠ECP=∠B，∴PC=PB，∵△ACP∽△BPE，∴，即，解得：，∴AP=ABPB=，綜上所述：△CPE是等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為4或．【變式8-1】（2022?雨城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點(diǎn)，D為AC上一點(diǎn)，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．（1）求證△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的邊長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）3．【詳解】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°，∴∠BPA＋∠DPC＝120°∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°，∴∠DPC＋∠PDC＝120°，∴∠BPA＝∠PDC，∴△ABP∽△PCD；∵2BP＝3CD，且BP＝1，∴，∵△ABP∽△PCD，設(shè)，則，∴經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，所以三角形的邊長(zhǎng)為：3．【變式8-2】（2022秋?渝中區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，tan∠AEB，P是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿過(guò)點(diǎn)P的直線將矩形折疊，使點(diǎn)D落在AE上的點(diǎn)處，當(dāng)是直角三角形時(shí)，PD的值為（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】B【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝90°，∵CD＝4，tan∠AEB，∴BE＝3，在Rt△ABE中，AE，∵E是BC的中點(diǎn)，∴AD＝6，由折疊可知，PD＝PD'，設(shè)PD＝x，則PD'＝x，AP＝6﹣x，當(dāng)△APD'是直角三角形時(shí)，①當(dāng)∠AD'P＝90°時(shí)，∴∠AD'P＝∠B＝90°，∵AD∥BC，∴∠PAD'＝∠AEB，∴△ABE∽△PD'A，∴，∴，∴x，∴PD；②當(dāng)∠APD'＝90°時(shí)，∴∠APD'＝∠B＝90°，∵∠PAE＝∠AEB，∴△APD'∽△EBA，∴，∴，∴x，∴PD；綜上所述：當(dāng)△APD'是直角三角形時(shí)，PD的值為或；故選：B．【變式8-3】（2022秋?椒江區(qū)校級(jí)月考）【推理】如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著B(niǎo)E折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連結(jié)BE，CF，延長(zhǎng)CF交AD于點(diǎn)G．（1）求證：．【運(yùn)用】（2）如圖2，在【推理】條件下，延長(zhǎng)BF交AD于點(diǎn)H．若，，求線段DE的長(zhǎng)．【拓展】（3）將正方形改成矩形，同樣沿著B(niǎo)E折疊，連結(jié)CF，延長(zhǎng)CF，BF交直線AD于G，兩點(diǎn)，若，，求的值（用含k的代數(shù)式表示）．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）或【詳解】（1）如圖，由折疊得到，，．又四邊形ABCD是正方形，，，，又正方形，．（2）如圖，連接，由（1）得，，由折疊得，，．四邊形是正方形，，，又，，．，，，．，，（舍去）．（3）如圖，連結(jié)HE，由已知可設(shè)，，可令，①當(dāng)點(diǎn)H在D點(diǎn)左邊時(shí)，如圖，同（2）可得，，，由折疊得，，又，，，又，，，，，，．，，，（舍去）．②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右邊時(shí)，如圖，同理得，，同理可得，可得，，，，（舍去）．．第6章圖形的相似章末題型過(guò)關(guān)卷【蘇科版】考試時(shí)間：60分鐘；滿分：100分姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________考卷信息：本卷試題共23題，單選10題，填空6題，解答7題，滿分100分，限時(shí)60分鐘，本卷題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本章內(nèi)容的具體情況！一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2022·湖北荊州·中考真題）如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個(gè)條件，不正確的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABCC．APAB=AB2．（3分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，以點(diǎn)O為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到△A'BA．△ABC～△A'B'C' B．點(diǎn)C．AO:AA'=1:23．（3分）（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)均在格點(diǎn)上，AC與BD相交于點(diǎn)E，連接AB,CD，則△ABE與△CDE的周長(zhǎng)比為（

）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：14．（3分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）P是線段AB上一點(diǎn)（AP>BP），則滿足APAB=BPAP，則稱點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)．大自然是美的設(shè)計(jì)師，即使是一片小小的樹(shù)葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割點(diǎn)”．如圖，一片樹(shù)葉的葉脈AB長(zhǎng)度為10cm，P為AB的黃金分割點(diǎn)（AP>BP），求葉柄BPA．10-x2=10x B．x2=1010-x 5．（3分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列每個(gè)矩形都是由五個(gè)同樣的小正方形拼合組成，其中△ABC和△CDE的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，則△ABC與△CDE一定相似的圖形是（

）A． B．C． D．6．（3分）（2022·黑龍江大慶·中考真題）已知兩個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，m和6，8，n，且這兩個(gè)直角三角形不相似，則m+n的值為（

）A．10+7或5+27 B．15 C．10+77．（3分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，D在AC邊上，AD:DC=1:2，O是BD的中點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交BC于E，若BE=1，則EC=（

）A．32 B．2 C．3 8．（3分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，中線AD，BE相交于點(diǎn)F．EG∥BC，交AD于點(diǎn)G．GF=1，則BCA．5 B．6 C．10 D．129．（3分）（2022·廣西·來(lái)賓城南初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC、BD交于點(diǎn)O，E為CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CD=DE，連接BE分別交AC，AD于點(diǎn)F、G，連結(jié)OG、AE．則下列結(jié)論：①OG=12AB；

②四邊形ABDE是菱形；③S四邊形ODGF=A．①② B．①③ C．②③ D．①②③10．（3分）（2022·四川綿陽(yáng)·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AB//DC，AC⊥BC，CD=AD=5，AC=6，將四邊形ABCD向左平移m個(gè)單位后，點(diǎn)B恰好和原點(diǎn)O重合，則m的值是（

）A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB∥CD∥EF，若AC＝2，CE＝5，BD＝3則DF＝___．12．（3分）（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，點(diǎn)D，E分別在△ABC的邊AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分別是DE，BC的中點(diǎn)，若AMAN＝12，則13．（3分）（2022·湖北·武漢二中廣雅中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）將圖1中的矩形和正方形紙片沿圖2中的虛線剪成5塊，再用這5塊拼接成如圖3所示矩形，其中陰影部分為空余部分，若AB=2AD，則ba14．（3分）（2022·湖南·寧遠(yuǎn)縣中和鎮(zhèn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形AOCB的兩邊OA，OC分別在x軸和y軸上，且OA＝2．OC＝1，則矩形AOCB的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是___；在第二象限內(nèi)，將矩形AOCB以原點(diǎn)O為位似中心放大為原來(lái)的32倍，得到矩形A1OC1B1，再將矩形A1OC1B1以原點(diǎn)O為位似中心放大32倍，得到矩形A2OC2B，…，按此規(guī)律，則矩形A4OC4B15．（3分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=9、BC=6，∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB交于AB點(diǎn)D，點(diǎn)M是AC一動(dòng)點(diǎn)（AM＜12AC），將△ADM沿DM折疊得到△EDM，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，ED與AC交于點(diǎn)F，則CD的長(zhǎng)度是__________；若ME//CD，則AM16．（3分）（2022·江西·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，菱形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)軸上，對(duì)角線AC，BD交于原點(diǎn)O，線段AD的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為-3,1，P是菱形ABCD邊上的點(diǎn)，若△PDE是等腰三角形，則點(diǎn)三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2022·福建·廈門(mén)市第五中學(xué)八年級(jí)期中）定義：若一個(gè)三角形最長(zhǎng)邊是最短邊的2倍，我們把這樣的三角形叫做“和諧三角形”．在△ABC中，點(diǎn)F在邊AC上，D是邊BC上的一點(diǎn)，AB＝BD，點(diǎn)A，D關(guān)于直線l對(duì)稱，且直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F．（1）如圖1，求作點(diǎn)F；（用直尺和圓規(guī)作圖保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2）如圖2，△ABC是“和諧三角形”，三邊長(zhǎng)BC，AC，AB分別a，b，c，且滿足下列兩個(gè)條件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．①求a，b之間的等量關(guān)系；②若AE是△ABD的中線．求證：△ACE是“和諧三角形”．18．（6分）（2022·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）已知：a:b:c=2:3:5.（1）求代數(shù)式3a-b+c2a+3b-c（2）如果3a-b+c=24，求a,b,c的值.19．（8分）（2022·浙江麗水·中考真題）如圖，在6×6的方格紙中，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，試按要求畫(huà)出相應(yīng)格點(diǎn)圖形．(1)如圖1，作一條線段，使它是AB向右平移一格后的圖形；(2)如圖2，作一個(gè)軸對(duì)稱圖形，使AB和AC是它的兩條邊；(3)如圖3，作一個(gè)與△ABC相似的三角形，相似比不等于1．20．（8分）（2022·安徽安慶·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE，交AC于點(diǎn)F．（1）如圖①，當(dāng)CEEB=1（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，求證：CG=12

21．（8分）（2022·山東·棗莊市臺(tái)兒莊區(qū)教育局教研室九年級(jí)期中）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．（1）以原點(diǎn)O為位似中心，在x軸的上方畫(huà)出△A1B1C1，使△A1B1C1與△ABC位似，且相似比為2；（2）△A1B1C1的面積是平方單位．（3）點(diǎn)P（a，b）為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則在△A1B1C1內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P’的坐標(biāo)為．22．（8分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1，將A4紙2次折疊，發(fā)現(xiàn)第一次的折痕與A4紙較長(zhǎng)的邊重合，如圖2，將1張A4紙對(duì)折，使其較長(zhǎng)的邊一分為二，沿折痕剪開(kāi)，可得2張A5紙．（1）A4紙較長(zhǎng)邊與較短邊的比為；（2）A4紙與A5紙是否為相似圖形？請(qǐng)說(shuō)明理由．23．（8分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，小明家窗外有一堵圍墻AB，由于圍墻的遮擋，清晨太陽(yáng)光恰好從窗戶的最高點(diǎn)C射進(jìn)房間的地板F處，中午太陽(yáng)光恰好能從窗戶的最低點(diǎn)D射進(jìn)房間的地板E處，小明測(cè)得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并測(cè)得OE＝1m，OF＝5m，求圍墻AB的高度．第6章圖形的相似章末題型過(guò)關(guān)卷【蘇科版】參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2022·湖北荊州·中考真題）如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個(gè)條件，不正確的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABCC．APAB=AB【答案】D【詳解】解：A．當(dāng)∠ABP=∠C時(shí)，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．當(dāng)∠APB=∠ABC時(shí)，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．當(dāng)APAB又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．無(wú)法得到△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)正確．故選：D．2．（3分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，以點(diǎn)O為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到△A'BA．△ABC～△A'B'C' B．點(diǎn)C．AO:AA'=1:2【答案】C【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可得．【詳解】解：∵以點(diǎn)O為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到△A∴△ABC～△A'B'C'、點(diǎn)∴AO:AA即選項(xiàng)A、B、D說(shuō)法正確，選項(xiàng)C說(shuō)法錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（3分）（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)均在格點(diǎn)上，AC與BD相交于點(diǎn)E，連接AB,CD，則△ABE與△CDE的周長(zhǎng)比為（

）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1【答案】D【分析】運(yùn)用網(wǎng)格圖中隱藏的條件證明四邊形DCBM為平行四邊形，接著證明△ABE∽△CDE，最后利相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比即可求出．【詳解】如圖：由題意可知，DM=3，BC=3，∴DM=BC，而DM∥∴四邊形DCBM為平行四邊形，∴AB∥∴∠BAE=∠DCE，∠ABE=∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴C△ABE故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并正確計(jì)算是解題關(guān)鍵．4．（3分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）P是線段AB上一點(diǎn)（AP>BP），則滿足APAB=BPAP，則稱點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)．大自然是美的設(shè)計(jì)師，即使是一片小小的樹(shù)葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割點(diǎn)”．如圖，一片樹(shù)葉的葉脈AB長(zhǎng)度為10cm，P為AB的黃金分割點(diǎn)（AP>BP），求葉柄BPA．10-x2=10x B．x2=1010-x 【答案】A【分析】根據(jù)黃金分割的特點(diǎn)即可求解．【詳解】∵AB=10，BP=x，∴AP=10-x，∵P點(diǎn)是黃金分割點(diǎn)，∴APAB∴AP∴(10-x)2故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)黃金分割點(diǎn)列一元二次方程的知識(shí)，依據(jù)APAB=BP5．（3分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列每個(gè)矩形都是由五個(gè)同樣的小正方形拼合組成，其中△ABC和△CDE的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，則△ABC與△CDE一定相似的圖形是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由已知根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)對(duì)每個(gè)選項(xiàng)分析論證得出正確選項(xiàng)．【詳解】解：已知每個(gè)矩形都是由五個(gè)同樣的小正方形拼合組成．A：∠ABC=90°+45°=135°，∠CDE=90°+45°=135°，∴∠ABC=∠CDE，BC=DC=2，∴ABBC=1∴△ABC∽△CDE；B：△ABC為等腰三角形，則△CDE不是等腰三角形，所以不相似；C：△ABC中∠ABC=90°+45°=135°，而△CDE中∠CDE=∠135°，對(duì)應(yīng)角不相等，所以不相似；D：CDCD=1，∴CDCD故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)對(duì)每個(gè)選項(xiàng)分析論證得出正確選項(xiàng)．6．（3分）（2022·黑龍江大慶·中考真題）已知兩個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，m和6，8，n，且這兩個(gè)直角三角形不相似，則m+n的值為（

）A．10+7或5+27 B．15 C．10+7【答案】A【分析】判斷未知邊m、n是直角三角形的直角邊還是斜邊，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出m、n的值，最后根據(jù)題目中兩個(gè)三角形不相似，對(duì)應(yīng)邊的比值不同進(jìn)行判斷．【詳解】解：在第一個(gè)直接三角形中，若m是直角邊，則m=4若m是斜邊，則m=4在第二個(gè)直接三角形中，若n是直角邊，則n=8若n是斜邊，則n=8又因?yàn)閮蓚€(gè)直角三角形不相似，故m=5和n=10，m=7和n=27即當(dāng)m=5，n=27，m+n=5+2當(dāng)m=7，n=10，m+n=10+故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理以及相似三角形的性質(zhì)，在直角三角形中對(duì)未知邊是直角邊還是斜邊進(jìn)行不同情況的討論是解題的關(guān)鍵．7．（3分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，D在AC邊上，AD:DC=1:2，O是BD的中點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交BC于E，若BE=1，則EC=（

）A．32 B．2 C．3 【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)D作DF∥AE交BC于F，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，BEEF=BOOD，EFFC=AD【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DF∥AE交BC于∵OE∥∴BEEF∵O是BD的中點(diǎn)，∴BO=OD，∴BE=EF，∵DF∥∴EFFC∴CF=2EF，∴BE:EC=BE:3BE=1:3，∵BE=1，∴EC=3，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．過(guò)分點(diǎn)作平行線構(gòu)建平行線分線段成比例定理的基本圖形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．8．（3分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，中線AD，BE相交于點(diǎn)F．EG∥BC，交AD于點(diǎn)G．GF=1，則BCA．5 B．6 C．10 D．12【答案】D【分析】首先根據(jù)GE∥CD得到△AGF∽△ADC、△FEG∽△FBD，求出AD=6，然后利用直角三角形斜邊的中線性質(zhì)得出結(jié)果．【詳解】解：∵GE∥CD，∴△AGE∽△ADC，△FEG∽△FBD，∴AGAD∴GEBD又∵BD=CD，∴GFDF∴DF=2GF=2，∴DG=DF+GF=3∴AD=2DG=6，在直角△ABC中，∠BAC=90°，∴BC=2AD=12，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)與判定以及直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)平行得到相似三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．9．（3分）（2022·廣西·來(lái)賓城南初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC、BD交于點(diǎn)O，E為CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CD=DE，連接BE分別交AC，AD于點(diǎn)F、G，連結(jié)OG、AE．則下列結(jié)論：①OG=12AB；

②四邊形ABDE是菱形；③S四邊形ODGF=A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】證明四邊形ABDE為平行四邊形可得OB=OD，由菱形ABCD可得AG=DG，根據(jù)三角形中位線定理可判斷①；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定可得△ABD為等邊三角形AB=BD，從而可判斷平行四邊形ABDE是菱形，由此判斷②；借助相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形中線有關(guān)的面積問(wèn)題可判斷③．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB=CD=AD，OA=OC，OB=OD，∵CD=DE，∴AB=DE．又∵AB∥DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴BG=EG，AB=DE，AG=DG，又∵OD=OB，∴OG是△BDA是中位線，∴OG=12故①正確；∵∠BAD=60°，AB=AD，∴△BAD是等邊三角形，∴BD=AB，∴?ABDE是菱形，故②正確；∵OB=OD，AG=DG，∴OG是△ABD的中位線，∴OG∥AB，OG=12∴△GOD∽△ABD（ASA），△ABF∽△OGF（ASA），∴△GOD的面積=14∴△AFG的面積=△OGF的面積的2倍，又∵△GOD的面積=△AOG的面積=△BOG的面積，∴S四邊形ODGF=S△ABF；故③正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．判斷①的關(guān)鍵是三角形中位線定理的運(yùn)用，②的關(guān)鍵是利用等邊三角形證明BD=AB；③的關(guān)鍵是通過(guò)相似得出面積之間的關(guān)系．10．（3分）（2022·四川綿陽(yáng)·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AB//DC，AC⊥BC，CD=AD=5，AC=6，將四邊形ABCD向左平移m個(gè)單位后，點(diǎn)B恰好和原點(diǎn)O重合，則m的值是（

）A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6【答案】A【分析】由題意可得，m的值就是線段OB的長(zhǎng)度，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OB，根據(jù)勾股定理求得DE的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角形相似求得BF，矩形的性質(zhì)得到OF，即可求解．【詳解】解：由題意可得，m的值就是線段OB的長(zhǎng)度，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OB，如下圖：∵CD=AD=5，DE⊥AC∴CE=12由勾股定理得DE=∵AB//DC∴∠DCE=∠BAC，∠ODC=∠BOD=90°又∵AC⊥BC∴∠ACB=∠CED=90°∴△DEC∽△BCA∴DEBC=解得BC=8，AB=10∵CF⊥OB∴∠ACB=∠BFC=90°∴△BCF∽△BAC∴BCAB=解得BF=6.4由題意可知四邊形OFCD為矩形，∴OF=CD=5OB=BF+OF=11.4故選A【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圖形的平移，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB∥CD∥EF，若AC＝2，CE＝5，BD＝3則DF＝___．【答案】7.5【分析】直接根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵直線AB∥CD∥EF，AC＝2，CE＝5，BD＝3，∴ACCE=BDDF，即故答案為：7.5．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，熟知三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例是解答此題的關(guān)鍵．12．（3分）（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，點(diǎn)D，E分別在△ABC的邊AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分別是DE，BC的中點(diǎn)，若AMAN＝12，則【答案】1【分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比求出DEBC【詳解】解：∵M(jìn)，N分別是DE，BC的中點(diǎn)，∴AM、AN分別為△ADE、△ABC的中線，∵△ADE∽△ABC，∴DEBC＝AMAN＝∴SΔADESΔABC＝(DEBC)故答案為：14【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方、相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比是解題的關(guān)鍵．13．（3分）（2022·湖北·武漢二中廣雅中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）將圖1中的矩形和正方形紙片沿圖2中的虛線剪成5塊，再用這5塊拼接成如圖3所示矩形，其中陰影部分為空余部分，若AB=2AD，則ba【答案】15-【分析】如圖，設(shè)FH=EJ=AK=x，則PF=5a+2b-x，AB=4a-2b，首先證明x=3b-2a，利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建關(guān)系式，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，設(shè)FH=EJ=AK=x，則PF=5a+2b-x，AB=4a-2b，∵JR=DQ=5a-x，AB=2CD，∴CD=2a-b，∵KQ=PF，∴x+2a-b+5a-x=5a+2b-x，∴x=3b-2a，∵∠EHF=∠P=∠EFT=90°，∴∠HFE+∠PFT=90°，∠PFT+∠FTP=90°，∴∠EFH=∠FTP，∴△EHF∽△FPT，∴EHFP∴4a5a+2b-(3b-2a)整理得，3b2-15ab+14a2=0，∴b=15±576∵4a-2b＞0，∴ba∴ba=15-故答案為：15-57【點(diǎn)睛】本題考查圖形拼剪，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．14．（3分）（2022·湖南·寧遠(yuǎn)縣中和鎮(zhèn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形AOCB的兩邊OA，OC分別在x軸和y軸上，且OA＝2．OC＝1，則矩形AOCB的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是___；在第二象限內(nèi)，將矩形AOCB以原點(diǎn)O為位似中心放大為原來(lái)的32倍，得到矩形A1OC1B1，再將矩形A1OC1B1以原點(diǎn)O為位似中心放大32倍，得到矩形A2OC2B，…，按此規(guī)律，則矩形A4OC4B【答案】

（﹣1，12），

（﹣8116，【分析】先利用矩形的性質(zhì)寫(xiě)出B點(diǎn)坐標(biāo)，則根據(jù)線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式可寫(xiě)出矩形AOCB的對(duì)稱中心的坐標(biāo)；再利用以原點(diǎn)為位似中心的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系分別寫(xiě)出B1、B2、B3、B4的坐標(biāo)，然后矩形A4OC4B4的對(duì)稱中心的坐標(biāo)．【詳解】解：∵OA=2．OC=1，∴B（-2，1），∴矩形AOCB的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（-1，12∵將矩形AOCB以原點(diǎn)O為位似中心放大為原來(lái)的32倍，得到矩形A1OC1B1∴B1（-3，32同理可得B2（-92，94），B3（-274，278），B4（-∴矩形A4OC4B4的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是（﹣8116，81故答案為（-1，12），（﹣8116，【點(diǎn)睛】本題考查作圖-位似變換：先確定位似中心；再分別連接并延長(zhǎng)位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；接著根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；然后順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形．15．（3分）（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=9、BC=6，∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB交于AB點(diǎn)D，點(diǎn)M是AC一動(dòng)點(diǎn)（AM＜12AC），將△ADM沿DM折疊得到△EDM，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，ED與AC交于點(diǎn)F，則CD的長(zhǎng)度是__________；若ME//CD，則AM【答案】

5

2.5【分析】（1）根據(jù)已知條件可得∠ACD=∠A=∠BCD，所以AD=CD，然后證明△ABC∽△CBD，進(jìn)而可以解決問(wèn)題；（2）由翻折可得AM=EM，∠CAD=∠E，，由ME∥CD，可得∠E=∠EDC，DF//BC，且DF=CF，進(jìn)而得到ΔADF∽ΔABC，求出DF、CF的長(zhǎng)，再由AF：CF=AD：BD求出AF及MF的長(zhǎng)，再證明ΔMEF∽ΔCDF，最后求得AM的長(zhǎng)．【詳解】（1）∵∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ACD=∠CAD，∵∠B=∠B，∴ΔBCD∽ΔBAC，∴BC：AB=BD：BC，即6：9=BD：6，BD=4，∴AD=CD=9-4=5；（2）∵△ADM沿DM折疊得到ΔEDM，∴AM=EM，∠CAD=∠E，∵M(jìn)E//CD，∴∠E=∠CDE，∵∠BCD=∠ACD=∠CAD，∴∠CDE=∠BCD=∠ACD，∴DF//BC，且DF=CF，∴ΔADF∽ΔABC，∴DF：BC=AD：AB，即DF：6=5：9，解得DF=103∴CF=103∵DF//BC，∴AF：CF=AD：BD，即AF：103解得：AF=256設(shè)AM=ME=x，則MF=256-x∵M(jìn)E//CD，∴ΔMEF∽ΔCDF，∴ME：CD=MF：CF，即x：5=（256-x）：10解得x=2.5；故答案：5；2.5；【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，翻折變換，解決本題的關(guān)鍵是得到CM=DE=5，然后由△ABC∽△CBD解決問(wèn)題．16．（3分）（2022·江西·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，菱形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)軸上，對(duì)角線AC，BD交于原點(diǎn)O，線段AD的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為-3,1，P是菱形ABCD邊上的點(diǎn)，若△PDE是等腰三角形，則點(diǎn)【答案】-3,-1或3【分析】根據(jù)線段AD的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為-3,1，易得OE=2，根據(jù)菱形的性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì)，可得菱形的邊長(zhǎng)4，∠ADO=60°，然后分別從①當(dāng)PE=DE時(shí)，②當(dāng)DP=DE時(shí)，③當(dāng)【詳解】解：①過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AC于M，延長(zhǎng)EM交AB于點(diǎn)P1，連接OE∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為-3∴在Rt△EMO中，EM=1，OM=3∴OE=E∴∠EOM=30°，

∵點(diǎn)E為菱形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，∴AC⊥BD，AD=2OE=4，AE=DE=2，∴EP1∥BD∴AP∴AM=OM，AP∴點(diǎn)M是線段AO的中點(diǎn)，點(diǎn)P1是線段AB∴BD=2DO=2×2EM=4，BO=DO=2，AO=2MO=23，AO=CO=2∴EP1∴EP∴P1-②過(guò)點(diǎn)E作EN⊥BD于N，延長(zhǎng)EN交CD于點(diǎn)P3∵點(diǎn)E為菱形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，AC⊥BD∴EP∴DP∴DN=ON，DP∴點(diǎn)N是線段DO的中點(diǎn)，點(diǎn)P3是線段CD由①知：CO=23，CD=4∴NP3=12∴DE=DP3∴P3③過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AD于G，延長(zhǎng)GO交BC于點(diǎn)P2，連接EP2由①知：EO=EA=ED，∠EOA=30°，AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∴∠E