2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊 第十章　概率與其他知識的綜合問題 課件（66張）

三維提升課概率與其他知識的綜合問題題型突破·析典例01知能演練·扣課標02目錄CONTENTS01題型突破·析典例?

?題型一概率與函數(shù)、方程的綜合問題【例1】

（1）已知A＝{1，2，3}，B＝{x∈R｜x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，則A∩B＝B的概率是（

）D.1解析

（1）因為a∈A，b∈A，所以可用列表法得到樣本點的總個數(shù)為9（如下表所示）.

ba

1231（1，1）（1，2）（1，3）2（2，1）（2，2）（2，3）3（3，1）（3，2）（3，3）

（2）從2，3，8，9中任取兩個不同的數(shù)字，分別記為a，b，則logab為整數(shù)的概率是

?.

通性通法

對于涉及方程、函數(shù)的概率問題，解題的關(guān)鍵是求出所求事件包含的樣本點的個數(shù).解決此類問題只需表示出方程（組）的解，利用函數(shù)知識找出滿足條件的情況，從而確定樣本點的個數(shù)，再利用古典概型的概率計算公式求解即可.?

?有一道關(guān)于“冰糖葫蘆”的題：一個小攤上擺滿了五彩繽紛的冰糖葫蘆，冰糖葫蘆有兩種，一種是5個山楂；另一種是2個山楂、3個小桔子.若小攤上山楂共640個，小桔子共360個，現(xiàn)從小攤上隨機選取一個冰糖葫蘆，則這個冰糖葫蘆是5個山楂的概率為（

）A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6

題型二概率與統(tǒng)計的綜合問題角度一：古典概型與統(tǒng)計的綜合問題【例2】

某高校為了“制定培養(yǎng)學(xué)生閱讀習(xí)慣，指導(dǎo)學(xué)生提高閱讀能力”的方案，需了解全校學(xué)生的閱讀情況，現(xiàn)隨機調(diào)查了200名學(xué)生每周閱讀時間X（單位：時）并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求這200名學(xué)生每周閱讀時間的中位數(shù)a（精確到0.01）；

（2）為查找影響學(xué)生閱讀時間的因素，學(xué)校團委決定從每周閱讀時間在[6.5，7.5），[7.5，8.5）內(nèi)的學(xué)生中抽取6名參加座談會.①你認為6個名額應(yīng)該怎么分配？并說明理由；②從這6名學(xué)生中隨機抽取2人，求至多有1人每周閱讀時間在[7.5，8.5）內(nèi)的概率.解

（2）①應(yīng)從每周閱讀時間在[6.5，7.5）內(nèi)的學(xué)生中抽取2名，從每周閱讀時間在[7.5，8.5）內(nèi)的學(xué)生中抽取4名.理由：每周閱讀時間在[6.5，7.5）內(nèi)與每周閱讀時間在[7.5，8.5）內(nèi)是差異明顯且不重疊的兩層，為保持樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高樣本的代表性，宜采用分層隨機抽樣的方法抽取樣本，∵兩者頻率分別為0.1，0.2，∴應(yīng)按照1∶2的比例進行名額分配.

角度二：相互獨立事件的概率與統(tǒng)計的綜合問題【例3】

某校為舉辦甲、乙兩項不同活動，分別設(shè)計了相應(yīng)的活動方案：方案一、方案二.為了解該校學(xué)生對活動方案是否支持，對學(xué)生進行簡單隨機抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設(shè)所有學(xué)生對活動方案是否支持相互獨立.（1）分別估計該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；

（2）從該校全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取1人，估計這3人中恰有2人支持方案一的概率；

（3）將該校學(xué)生支持方案二的概率估計值記為p0，假設(shè)該校一年級有500名男生和300名女生，除一年級外其他年級學(xué)生支持方案二的概率估計值記為p1，試比較p0與p1的大小.（結(jié)論不要求證明）解

（3）p0＞p1.通性通法解決概率與統(tǒng)計綜合問題的一般步驟?

?為了治理空氣污染，某市設(shè)9個監(jiān)測站用于監(jiān)測空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI），其中在輕度污染區(qū)、中度污染區(qū)、重度污染區(qū)分別設(shè)有2，4，3個監(jiān)測站，并以9個監(jiān)測站測得的AQI的平均值為依據(jù)播報該市的空氣質(zhì)量.（1）若某日播報的AQI為119，已知輕度污染區(qū)AQI平均值為70，中度污染區(qū)AQI平均值為115，求重度污染區(qū)AQI平均值；解：（1）設(shè)重度污染區(qū)AQI平均值為x，根據(jù)題意得119×9＝70×2＋115×4＋3x，解得x＝157.故重度污染區(qū)AQI平均值為157.（2）如圖是2023年6月份30天的AQI的頻率分布直方圖，6月份僅有1天AQI在[140，150）內(nèi).①某校參照官方公布的AQI，如果周日AQI小于150就組織學(xué)生參加戶外活動，以統(tǒng)計數(shù)據(jù)中的頻率作為概率，求該校學(xué)生周日能參加戶外活動的概率；②環(huán)衛(wèi)部門從6月份AQI不小于170的數(shù)據(jù)中抽取兩天的數(shù)據(jù)進行研究，求抽取的這兩天中AQI在[170，200）內(nèi)的概率.

02知能演練·扣課標?

?1.一個集合中含有4個元素，從該集合的子集中任取一個，則所取子集中含有3個元素的概率為（

）

2.某商場對某一商品搞活動，已知該商品每個的進價為3元，售價為8元，每天銷售的第20個及之后的商品按半價出售，該商場統(tǒng)計了近10天這種商品的銷售量，如圖所示.從日利潤不少于96元的幾天里任選2天，則選出的這2天日利潤都是97元的概率為（

）

3.人耳的聽力情況可以用電子測聽器檢測，正常人聽力的等級為0～25dB（分貝），并規(guī)定測試值在區(qū)間（0，5]為非常優(yōu)秀，測試值在區(qū)間（5，10]為優(yōu)秀.對500人進行了聽力測試，從中隨機抽取了50人的測試值作為樣本，制成如圖頻率分布直方圖，從總體的500人中隨機抽取1人，估計其測試值在區(qū)間（0，10]內(nèi)的概率為（

）A.0.2B.0.8C.0.02D.0.08解析：根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中測試值在區(qū)間（0，10]內(nèi)的頻率為：1－（0.06＋0.08＋0.02）×5＝1－0.8＝0.2，以頻率估計概率，故從總體的500名學(xué)生中隨機抽取1人，估計其測試值在區(qū)間（0，10]內(nèi)的概率為0.2，故選A.4.在1，2，3，4中任取2個不同的數(shù)，作為a，b的值，使方程ax2＋2bx＋1＝0有2個不相等的實數(shù)根的概率為（

）

5.全球智能手機市場銷量持續(xù)增長乏力已經(jīng)是不爭的事實，但折疊屏手機卻走出逆勢，成為行業(yè)唯一增長的高端機品類.如圖是某數(shù)據(jù)公司統(tǒng)計的2023年第一季度中國折疊屏手機市場份額.現(xiàn)有2023年第一季度中國折疊屏手機市場份額超過5%的品牌折疊屏手機各一部，從中任取2部手機，則其中有A品牌折疊屏手機的概率為（

）

6.二進制是以2為基數(shù)代表系統(tǒng)的二進位制，通常用0和1表示.二進制數(shù)011（2）化為十進制的計算公式如下：011（2）＝0×22＋1×21＋1×20＝3.若從二進制數(shù)11（2），00（2），10（2），01（2）中任選一個數(shù)字，則二進制數(shù)所對應(yīng)的十進制數(shù)大于2的概率為（

）

7.四張卡片的正面分別寫上y＝｜cosx｜，y＝tanx＋2sinx，y＝｜sinx｜＋sin｜x｜，y＝sinx＋cosx＋｜sinx－cosx｜，現(xiàn)將這四張卡片反過來，小明從中任意抽取兩張，則所抽到的兩張卡片所書寫函數(shù)周期相同的概率為（

）

8.班級舉行知識競猜闖關(guān)活動，設(shè)置了A，B，C三個問題.答題者可自行決定答三題順序.甲有60%的可能答對問題A，80%的可能答對問題B，50%的可能答對問題C.記答題者連續(xù)答對兩題的概率為p，要使得p最大，他應(yīng)該先回答（

）A.問題AB.問題BC.問題A，B和C都可以D.問題C解析：①若先回答問題A，則答題順序可能為A，B，C和A，C，B，當(dāng)答題順序為A，B，C且連對兩題時，p＝0.6×0.8×（1－0.5）＋（1－0.6）×0.8×0.5＝0.4；當(dāng)答題順序為A，C，B且連對兩題時，p＝0.6×0.5×（1－0.8）＋（1－0.6）×0.5×0.8＝0.22.∴先回答問題A，連對兩題的概率為0.4＋0.22＝0.62；②若先回答問題B，則答題順序可能為B，A，C和B，C，A，當(dāng)答題順序為B，A，C且連對兩題時，p＝0.8×0.6×（1－0.5）＋（1－0.8）×0.6×0.5＝0.3；當(dāng)答題順序為B，C，A且連對兩題時，p＝0.8×0.5×（1－0.6）＋（1－0.8）×0.5×0.6＝0.22.∴先回答問題B，連對兩題的概率為0.3＋0.22＝0.52；③若先回答問題C，則答題順序可能為C，A，B和C，B，A，當(dāng)答題順序為C，A，B且連對兩題時，p＝0.5×0.6×（1－0.8）＋（1－0.5）×0.6×0.8＝0.3；當(dāng)答題順序為C，B，A且連對兩題時，p＝0.5×0.8×（1－0.6）＋（1－0.5）×0.8×0.6＝0.4.∴先回答問題C，連對兩題的概率為0.3＋0.4＝0.7.∵0.7＞0.62＞0.52，∴要使p最大，應(yīng)先回答問題C.故選D.9.（多選）某超市隨機選取1000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成下面的統(tǒng)計表，其中“√”表示購買，“×”表示未購買.顧客人數(shù)甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××A.顧客購買乙商品的概率最大B.顧客同時購買乙和丙的概率約為0.2C.顧客在甲、乙、丙、丁4種商品中同時購買3種商品的概率約為0.3D.顧客僅購買1種商品的概率不大于0.2根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的有（

）

10.（多選）第七屆世界智能大會于2023年5月在天津舉辦，志愿者的服務(wù)工作是此屆世界智能大會成功舉辦的重要保障.某高校承辦了天津志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組，得到如下表格.已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同.則（

）組號分組頻率/組距第一組[45，55）a第二組[55，65）b第三組[65，75）0.045第四組[75，85）0.020第五組[85，95]aA.a＝0.005B.b＝0.025C.若本次志愿者選拔錄取率為19%，則錄取分數(shù)線為80解析：由題意可知10a＋（0.045＋0.02）×10＝0.7，（2a＋b＋0.045＋0.02）×10＝1，解得a＝0.005，b＝0.025，A、B選項正確；由題表得成績在[75，85）和[85，95]的頻率分別為0.020×10＝0.2和0.005×10＝0.05，若本次志愿者選拔錄取率為19%，則錄取分數(shù)線應(yīng)落在第四組，設(shè)錄取分數(shù)線為x，則0.02×（85－x）＋0.05＝0.19，解得x＝78，C選項錯誤；

11.（多選）某學(xué)校為了了解高中生的藝術(shù)素養(yǎng)，從學(xué)校隨機選取男、女同學(xué)各50人進行研究，對這100名學(xué)生在音樂、美術(shù)、戲劇、舞蹈等多個藝術(shù)項目進行多方位的素質(zhì)測評，并把測評結(jié)果轉(zhuǎn)化為個人的素養(yǎng)指標x和y（如圖），其中“*”表示男同學(xué)，“＋”表示女同學(xué).若0＜x＜0.6，則認定該同學(xué)為“初級水平”；若0.6≤x≤0.8，則認定該同學(xué)為“中級水平”；若0.8＜x≤1，則認定該同學(xué)為“高級水平”.若y≥100，則認定該同學(xué)為“具備一定藝術(shù)發(fā)展?jié)撡|(zhì)”；否則為“不具備明顯藝術(shù)發(fā)展?jié)撡|(zhì)”.下列說法中，正確的有（

）A.50名參加測試的女同學(xué)中，指標0＜x＜0.6的有20人C.50名參加測試的男同學(xué)中，“具備一定藝術(shù)發(fā)展?jié)撡|(zhì)且為中級或高級水平”的有24人

C.事件“X1＝6”與“X＝0”互斥D.事件“X2＝1”與“X＝0”對立

13.已知a，b∈{－2，－1，1，2}，若向量m＝（a，b），n＝（1，1），則向量m與n所成的角為銳角的概率是

?.

14.用紅、黃、藍三種不同顏色給如圖中的3個矩形隨機涂色，每個矩形只涂一種顏色，則3個矩形顏色都相同的概率是

?，3個矩形顏色都不同的概率是

?.

解析：所有可能的樣本點共有27（個），如圖所示：

15.連接正方體每個面的中心構(gòu)成一個正八面體，在正八面體的六個頂點中任取三個構(gòu)成三角形，則這三個點能構(gòu)成等腰直角三角形的概率是

?.

16.我們通常所說的ABO血型系統(tǒng)是由A，B，O三個等位基因決定的，每個人的基因型由這三個等位基因中的任意兩個組合在一起構(gòu)成，且兩個等位基因分別來自父親和母親，其中AA，AO為A型血，BB，BO為B型血，AB為AB型血，OO為O型血.比如：父親和母親的基因型分別為AO，AB，則孩子的基因型等可能的出現(xiàn)AA，AB，AO，BO四種結(jié)果.已知小明的爺爺、奶奶和母親的血型均為AB型，不考慮基因突變，則小明是A型血的概率為

?.

17.為培養(yǎng)青少年的閱讀興趣、養(yǎng)成閱讀習(xí)慣、提高閱讀能力，不斷增強思想道德素質(zhì)和科學(xué)文化素質(zhì)，某市中小學(xué)（幼兒園）實施“大閱讀工程”.某學(xué)校有小學(xué)生600人，初中生400人，為了解全校學(xué)生的課外閱讀時間，學(xué)校采用分層隨機抽樣的方法，抽取了100名學(xué)生的閱讀登記冊，對11月和12月（按60天計算）的課外閱讀時間進行統(tǒng)計調(diào)查，并將樣本中的小學(xué)生和初中生按學(xué)生的課外閱讀時間（單位：小時）各分為5組：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，得其頻率分布直方圖如圖所示.（1）活動規(guī)定：小學(xué)生平均每人每天課外閱讀時間不少于半個小時，若該校小學(xué)生課外閱讀的平均時間低于規(guī)定時間，則學(xué)校應(yīng)適當(dāng)增設(shè)閱讀課.根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)判斷該校是否需要在小學(xué)部增設(shè)閱讀課（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；解：（1）由題圖得小學(xué)生的課外閱讀時間在[30，40）內(nèi)的頻率為1－0.05－0.3－0.4－