最值模型-將軍飲馬-2023年中考數(shù)學(xué)常見(jiàn)幾何模型歸納（全國(guó)）

:值模型…將軍飲馬

最值問(wèn)題在中考數(shù)學(xué)常以壓軸題的形式考查，將軍飲馬問(wèn)題是由軸對(duì)稱(chēng)衍生而來(lái)，同時(shí)還需掌握平移型將

軍飲馬，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類(lèi)考試中都以中高檔題為主，中考說(shuō)明中曾多處涉及。

本專(zhuān)題就最值模型中的將軍飲馬問(wèn)題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

在解決幾何最值問(wèn)題主要依據(jù)是：①兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短：②垂線(xiàn)段最短，涉及的基本方法還有：利用軸

對(duì)稱(chēng)變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。

模型1.求兩條線(xiàn)段和的最小值（將軍飲馬模型）

【模型解讀】在一條直線(xiàn)，"上，求一點(diǎn)P,使"+P8最小;

（1）點(diǎn)/、5在直線(xiàn)，“兩側(cè)：（2）點(diǎn)4、5在直線(xiàn)同側(cè):

A

B

【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線(xiàn)段最短。上圖中/’是/關(guān)于直線(xiàn)切的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。

例1.（2022?湖南婁底?中考真題）菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,NABC=45。，點(diǎn)P、。分別是BC、BO上的動(dòng)

點(diǎn)，CQ+PQ的最小值為.

例2.（2022?四川眉山?中考真題）如圖，點(diǎn)尸為矩形A8CD的對(duì)角線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連

接PE,PB,若AB=4,BC=48,則PE+PB的最小值為

例3.（2022?貴州銅仁?中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，點(diǎn)E為月。的中點(diǎn)，將△CZ）E沿

CE翻折得點(diǎn)M落在四邊形ABCE內(nèi).點(diǎn)N為線(xiàn)段CE上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作NP〃EM交MC干點(diǎn)、P,

則MN+NP的最小值為.

例4.（2022?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè)）【模型介紹】

古希臘有一個(gè)著名的"將軍飲馬問(wèn)題"，大致內(nèi)容如下：古希臘一位將軍，每天都要巡查河岸同側(cè)的兩個(gè)軍營(yíng)

A.B.他總是先去A營(yíng)，再到河邊飲馬，之后，再巡查B營(yíng).如圖①，他時(shí)常想，怎么走才能使每天走的

路程之和最短呢？大數(shù)學(xué)家海倫曾用軸對(duì)稱(chēng)的方法巧妙地解決了這個(gè)問(wèn)題.如圖②，作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)/的對(duì)

稱(chēng)點(diǎn)連結(jié)AB'與直線(xiàn)/交于點(diǎn)P,連接依，則AP+B尸的和最小.請(qǐng)你在下列的閱讀、理解、應(yīng)用的過(guò)

程中，完成解答.理由：如圖③，在直線(xiàn)/上另取任一點(diǎn)P',連結(jié)AP，BP,8'P',?.?直線(xiàn)/是點(diǎn)3,ZT的

對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)P，P在/上，

B*

圖①

（1）:.PB=,P'B=,.-.AP+PB=AP+PB'=.在AAP'B'中，?:

AB'<AP'+P'B',AP+PB<AP'+P'B',即AP+8P最〃、.

【歸納總結(jié)】在解決上述問(wèn)題的過(guò)程中，我們利用軸對(duì)稱(chēng)變換，把點(diǎn)A,B在直線(xiàn)同側(cè)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在直線(xiàn)

的兩側(cè)，從而可利用"兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短"，即轉(zhuǎn)化為"三角形兩邊之和大于第三邊”的問(wèn)題加以解決（其中點(diǎn)

戶(hù)為A8'與/的交點(diǎn)，即A,P,三點(diǎn)共線(xiàn)）.由此，可拓展為“求定直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)與直線(xiàn)同側(cè)兩定點(diǎn)的距

離和的最小值”問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型.

【模型應(yīng)用】（2）如圖④，正方形A8CD的邊長(zhǎng)為4,E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC上一動(dòng)點(diǎn).求斯+所的

最小值.

解析：解決這個(gè)問(wèn)題，可借助上面的模型，由正方形對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)8與。關(guān)于直線(xiàn)AC對(duì)稱(chēng)，連結(jié)OE交

AC于點(diǎn)F,則EF+FB的最小值就是線(xiàn)段ED的長(zhǎng)度，則EF+FB的最小值是.

圖⑤

圖④圖⑥

（3）如圖⑤，圓柱形玻璃杯，高為14cm,底面周長(zhǎng)為16cm,在杯內(nèi)離杯底3cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)

一只螞蟻正好在外壁，離杯上沿4c切與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂的最短路程為cm.

（4）如圖⑥，在邊長(zhǎng)為2的菱形中，ZABC=60°,將A48。沿射線(xiàn)8D的方向平移，得到，

分別連接A'C,A'D,B'C,則A'C+B'C的最小值為.

模型2.平移型將軍飲馬（將軍過(guò)橋模型）

【模型解讀】已知，如圖1將軍在圖中點(diǎn)/處，現(xiàn)要過(guò)河去往8點(diǎn)的軍營(yíng)，橋必須垂直于河岸建造，問(wèn)：

橋建在何處能使路程最短？

考慮MN長(zhǎng)度恒定，只要求/A/+N8最小值即可.問(wèn)題在于//、N8彼此分離，所以首先通過(guò)平移，使/〃

與N8連在一起，將ZM向下平移使得M、N重合，此時(shí)/點(diǎn)落在4位置（圖2）.

問(wèn)題化為求才N+NB最小值，顯然，當(dāng)共線(xiàn)時(shí)，值最小，并得出橋應(yīng)建的位置（圖3）.

圖1圖2圖3

【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線(xiàn)段最短。

例L（2022?重慶中考模擬）如圖，已知直線(xiàn)/i〃/2,h./2之間的距離為8,點(diǎn)P到直線(xiàn)。的距離為6,點(diǎn)Q

到直線(xiàn)/2的距離為4,PQ=4而，在直線(xiàn)/1上有一動(dòng)點(diǎn)A,直線(xiàn)/2上有一動(dòng)點(diǎn)B,滿(mǎn)足A8_L/2,且%+AB+8Q

最小，此時(shí)PA+8Q=

O

例2.(2022?廣西?二模)已知，在河的兩岸有A,B兩個(gè)村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊的直線(xiàn)距離AB

=10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計(jì)劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，M

點(diǎn)為靠近A村莊的河岸上一點(diǎn)，則AM+BN的最小值為()

A.2713B.1+375C.3+737D.屈

模型3.修橋選址模型

【模型解讀】已知/、8是兩個(gè)定點(diǎn)，P、。是直線(xiàn)a上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在。的左側(cè)，且間長(zhǎng)度恒定，在

直線(xiàn)上要求尸、0兩點(diǎn)，使得知+P0+08的值最小。(原理用平移知識(shí)解)

(1)點(diǎn)力、8在直線(xiàn)〃?兩側(cè)：(2)點(diǎn)力、8在直線(xiàn)用同側(cè)：

AE

AC

A.\\

1*1A\\/；

—13一

pQPQ\P0\；

??m

BBPQ*B,

如圖1如圖2

(1)如圖1,過(guò)/點(diǎn)作4cllm，且/C長(zhǎng)等于長(zhǎng),連接8C,交直線(xiàn)m于Q,Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為尸點(diǎn)，

此時(shí)P、。即為所求的點(diǎn)。

(2)如圖2,過(guò)/點(diǎn)作4磯機(jī),且/E長(zhǎng)等于尸。長(zhǎng)作8關(guān)于"的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)夕,連接"瓦交直線(xiàn)"?于Q,Q向

左平移尸。長(zhǎng)，即為尸點(diǎn)，此時(shí)尸、。即為所求的點(diǎn)。

【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線(xiàn)段最短。

例1.(2022.山東青島九年級(jí)一模)如圖，已知A(3,1)與B(1,0),PQ是直線(xiàn)y=x上的一條動(dòng)線(xiàn)段且

PQ=W歷(。在P的下方)，當(dāng)AP+PQ+QB最小時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為()

1/

-------------漢

A?母導(dǎo)J嚕冬A(。,0)

D.(1,1)

例2.(2022?四川自貢?中考真題)如圖，矩形ABCO中，AB=4,BC=2,G是4。的中點(diǎn)，線(xiàn)段EF在邊A3

上左右滑動(dòng)；若EF=I,則GE+CF的最小值為.

例3.(2022?廣東?九年級(jí)期中)如圖，CD是直線(xiàn)x=l上長(zhǎng)度固定為1的一條動(dòng)線(xiàn)段.已知A(-1,0),B

(0,4),則四邊形A8CD周長(zhǎng)的最小值為

模型4.求多條線(xiàn)段和(周長(zhǎng))最小值

【模型解讀】在直線(xiàn),”、“上分別找兩點(diǎn)P、Q,使"+尸小。5最小。

(1)兩個(gè)點(diǎn)都在直線(xiàn)外側(cè):(2)一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè),一個(gè)點(diǎn)在外側(cè):

(3)兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè):

A'

m

（4）臺(tái)球兩次碰壁模型

1）已知點(diǎn)/、8位于直線(xiàn)機(jī),〃的內(nèi)側(cè)，在直線(xiàn)〃、〃?分別上求點(diǎn)。、E點(diǎn)，使得圍成的四邊形

/OE8周長(zhǎng)最短.

2）已知點(diǎn)N位于直線(xiàn)私”的內(nèi)側(cè)，在直線(xiàn)，"、〃分別上求點(diǎn)尸、。點(diǎn)為+P0+。/周長(zhǎng)最短.

【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線(xiàn)段最短。

例L（2022?江蘇九年級(jí)一模）如圖，RtZkABC中，/C=90。，AC=3,8c=4,D,E,F分別是A8,BC,AC邊

上的動(dòng)點(diǎn)，則aDEF的周長(zhǎng)的最小值是（）

A.2.5B.3.5C.4.8D.6

例2.（2022?湖北武漢市?九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)A在y軸上，G、B兩點(diǎn)在x軸上，且G（-3,0）,B（-2,

0）,HC與GB關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，NGAH=6CT,P、Q分別是AG、AH上的動(dòng)點(diǎn)，則BP+PQ+CQ的最小值是（）

A.6B.7C.8D.9

例3.（2022?湖北青山?八年級(jí)期中）如圖，在RtzMBC中，Z4CS=90°,Z4BC=30°,AC=2,以BC為邊向

左作等邊aBCE,點(diǎn)。為AB中點(diǎn)，連接CD,點(diǎn)P、Q分別為CE、CD上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求證：ZiADC為等邊三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值.

例4.（2022,山東泰安?中考真題）如圖，44。8=30。，點(diǎn)M、N分別在邊。4、OBE,且OM=3,ON=5,

點(diǎn)P、Q分別在邊08、Q4上，則MP+PQ+QN的最小值是（）

A.后B.735C.V34-2D.735-2

模型5.求兩條線(xiàn)段差最大值

【模型解讀】在一條直線(xiàn)m上，求一點(diǎn)P,使"與P8的差最大;

（1）點(diǎn)Z、B在直線(xiàn)m同側(cè)：

延長(zhǎng)交直線(xiàn)加于點(diǎn)P,根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P'A-P'BVAB,而此時(shí)最大,

因此點(diǎn)尸為所求的點(diǎn)。

（2）點(diǎn)N、3在直線(xiàn)，"異側(cè)：

A

過(guò)B作關(guān)于直線(xiàn)m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)夕，連接AB'交點(diǎn)直線(xiàn)m于P,此時(shí)尸8=尸8PA-PB最大值為AB,

【最值原理】三角形兩邊之差小于第三邊。

例1.（2022?四川成都?中考真題）如圖，在菱形ABCD中，過(guò)點(diǎn)。作DE_LCO交對(duì)角線(xiàn)AC于點(diǎn)E,連接3E,

點(diǎn)P是線(xiàn)段BE上一動(dòng)點(diǎn)，作P關(guān)于直線(xiàn)DE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P,點(diǎn)Q是AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PQ,。。.若AE=14,

CE=18,則。Q-P'。的最大值為

例2.（2022?河南南陽(yáng)?一模）如圖，已知△/8C為等腰直角三角形，/C=8C=6,488=15。，P為直線(xiàn)

CD上的動(dòng)點(diǎn)，則|我一尸8|的最大值為.

例3.（2022?江蘇?九年級(jí)月考）如圖，點(diǎn)A,B在直線(xiàn)MN的同側(cè)，A到MN的距離AC=8,B到MN的距

離BD=5,已知CD=4,P是直線(xiàn)MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記PA+PB的最小值為a,網(wǎng)的最大值為匕,

則標(biāo)-從的值為（）

A.160B.150C.140D.130

課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2022?山東泰安?二模）如圖，在矩形48C。中，AB=4,BC=8,點(diǎn)、E、F分別是邊BC、8上的動(dòng)點(diǎn),

且臣=4,點(diǎn)A/是瓦1的中點(diǎn)，點(diǎn)0是N8的中點(diǎn)，連接P。、PM,則尸。+PM的最小值為（）

A.10B.6A/3C.8D.85/2

2.（2022?廣東廣州?二模）如圖，在等腰直角三角形/8C中，乙18c=90。，AB=6,線(xiàn)段P。在斜邊ZC上運(yùn)

動(dòng)，且尸0=2.連接8P,BQ.則△BP。周長(zhǎng)的最小值是（）

A.6五+2B.2M+2C.8D.4>/5+2

3.（2022?安徽合肥?二模）如圖，在矩形/8CD中，點(diǎn)E、F、G、"分別是邊“8、BC、CD、上的動(dòng)點(diǎn)（不

與端點(diǎn)重合），若四點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中滿(mǎn)足4E=CG、BF=DH,且N8=10、BC=5,則四邊形EEG4周長(zhǎng)的最小值

等于（）

A.10逐B(yǎng).1073C.5行D.5G

4.（2022?湖北鄂州?中考真題）如圖，定直線(xiàn)MN〃尸。，點(diǎn)8、C分別為MN、P0上的動(dòng)點(diǎn),且8c=12,BC

在兩直線(xiàn)間運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終有4BC0=6O。.點(diǎn)/是MN上方一定點(diǎn)，點(diǎn)。是尸。下方一定點(diǎn)，且/E〃8C〃QF,

4E=4,DF=8,AD=24g,當(dāng)線(xiàn)段8c在平移過(guò)程中，/8+CA的最小值為（）

A.24713B.24715C.12mD.12715

5.（2022?山東濰坊?八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0,l）,8（4,2）,PQ是X軸上的一條動(dòng)

線(xiàn)段，且尸。=1,當(dāng)AP+PQ+Q8取最小值時(shí)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為.

6.（2022?江蘇南通?一模）平面直角坐標(biāo)系X。中，已知點(diǎn)尸（加，〃?+2）,點(diǎn)。（"，0）,點(diǎn)M（l,1）,

則P0+0M最小值為.

7.（2022?江蘇南通?一模）如圖，在△/8C中，AB=AC=W,8c=12,4D1BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E、尸分別是線(xiàn)

段/8、4D上的動(dòng)點(diǎn)，S.BE=AF,則8F+CE的最小值為.

8.（2022?浙江金華?八年級(jí)期末）在綜合實(shí)踐課上，小明把邊長(zhǎng)為2c加的正方形紙片沿著對(duì)角線(xiàn)/C剪開(kāi)，

如圖/所示.然后固定紙片A48C,把紙片△/IOC沿ZC的方向平移得到A47TC,連48,D'B,D'C,在平

移過(guò)程中：（1）四邊形48CO的形狀始終是_；（2）48+08的最小值為

9.（2022?貴州遵義?中考真題）如圖，在等腰直角三角形ABC中，N84c=90。，點(diǎn)用，N分別為BC,AC

上的動(dòng)點(diǎn)，且AN=CM,AB=0.當(dāng)+的值最小時(shí)，CM的長(zhǎng)為.

10.（2022?廣西賀州?中考真題）如圖，在矩形48CD中,AB=8,8c=6,E,尸分別是的中點(diǎn)，ZADC

的平分線(xiàn)交于點(diǎn)G,點(diǎn)P是線(xiàn)段OG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PEF的周長(zhǎng)最小值為.

11.（2022?黑龍江?中考真題）如圖，菱形/8CO中，對(duì)角線(xiàn)/C,8。相交于點(diǎn)O,ZBAD=60°,A￡>=3,

“，是NB4c的平分線(xiàn)，CEJ.AW于點(diǎn)E,點(diǎn)P是直線(xiàn)N8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則OP+PE的最小值是

12.（2022?安徽安慶?八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，ZBCD=50°,ZB=ZD=90°,在8C、CD±

分別取一點(diǎn)/W、N,使△AMN的周長(zhǎng)最小，則/MAN=

D

13.（2021?山東威海?八年級(jí)期中）【源模：模型建立】

白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河.一一《古從軍行》唐李欣

詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們稱(chēng)之為“將軍飲馬”問(wèn)題.關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱(chēng)變換，把直線(xiàn)同側(cè)兩點(diǎn)的

折線(xiàn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)兩側(cè)的線(xiàn)段問(wèn)題，從而解決距高和最短的一類(lèi)問(wèn)題."將軍飲馬”問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型如圖所

示：

定點(diǎn)

【新模1：模型應(yīng)用】

如圖1,正方形ABC。的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)￡在邊A8上，且BE=1,尸為對(duì)角線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)，欲使周

長(zhǎng)最小.

（1）在圖中確定點(diǎn)尸的位置（要有必要的畫(huà)圖痕跡，不用寫(xiě)畫(huà)法）；

（2）ABFE周長(zhǎng)的最小值為.

【新模2：模型變式】

⑶如圖2,在矩形的8中，AB=5,AD=4,在矩形ABC。內(nèi)部有一動(dòng)點(diǎn)P,滿(mǎn)足口）.=；S矩形的皿，

則點(diǎn)P到A,B兩點(diǎn)的距離和PA+PB的最小值為

【超模：模型拓廣】

(4)如圖3,ZABD=ZBDE=90°,AB=2,BD=DE=3.請(qǐng)構(gòu)造合理的數(shù)學(xué)模型，并借助模型求

J/+4+J(3-x)?+9(x>0)的最小值.

14.(2022?江蘇?南外雨花分校一模)閱讀并解答下列問(wèn)題：老師給出了以下思考題：如圖1，在平面直角坐

標(biāo)系x(方中，已知點(diǎn)4(0,3),B(5,1),C(a,0),D(a+2,0),連接/C、CD、DB,求4C+CQ+O8

的最小值.

【思考交流】

小明：如圖2,先將點(diǎn)/向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn)小，作點(diǎn)8關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)S，連接小8/交x軸于

點(diǎn)。，將點(diǎn)。向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)C,連接/C、BD.此時(shí)4C+C0+O8的最小值等于48/+CD

小穎：如圖3,先將點(diǎn)N向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn)小，作