2020-2021學年渭南市韓城市高一年級上冊期末數(shù)學試卷(含解析)

2020-2021學年渭南市韓城市高一上學期期末數(shù)學試卷

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.已知集合4={x&N\l<x<3],B={2,3,4,5},則4UB=()

A.{2}B.{2,3}C.[2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}

2.兩圓％2+y2—1=。與％2+y2+3%+9y+2=0的公共弦長為（）

A.眄B.里亞C.叵D,1

1055

3.若點P為兩條異面直線a、b外的任意一點，則下列說法一定正確的是（）

A.過點P有且僅有一條直線與a、b都平行

B.過點P有且僅有一條直線與a、b都垂直

C.過點P有且僅有一條直線與a、b都相交

D.過點P有且僅有一條直線與a、b都異面

4.設P（3,—6）,（2（-5,2）,R的縱坐標為—9,且P、Q、R三點共線，則R點的橫坐標為（）

A.—9B.—6C.9D.6

5.已知/O）=log3%,/（a）>/（2）,那么a的取值范圍是（）

-11

A.{a\a>2}B.{a|l<a<2}C.[a\a>-}D.{a|-<a<1}

6.設函數(shù)域聯(lián)=/-絳■曲再，舞4爐，則函數(shù)朋=箕礴的值域為（）

?曾ik璘一鼻黑■史.番￡城1：

畫

A.『三喇映"出噢B.|睥曲球：

4

c己,#噂D.冶網(wǎng)n略.

44

7.一個空間幾何體的三視圖如右圖所示，其中主視圖和側(cè)視圖都是

半徑為：1的圓，且這個幾何體是球體的一部分，則這個幾何體的表

面積為（）

A.37r

B.47r

C.67r

D.87r

8.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足/0)=?但2(4-x)，x'O，則/(3)的值為()

A.—1B.—2C.1D.2

9,關于x的方程(|尸=會有負實數(shù)根，貝1Ja的取值范圍是()

D1—Q

?9

A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)D.

10.已知函數(shù)f(x)=-刀2+bx+c的圖象的對稱軸為直線％=2,則()

A./(0)</(1)</⑶B./(3)</⑴</(0)

C.f(3)<f(1)=/(O)D./(O)</(l)=/(3)

11.在股票買賣過程中，經(jīng)常用到兩種曲線，一種是即時曲線y=/(x)(實線表示)；另一種是平均價

格曲線y=g(x)(虛線表示).(如/(2)=3是指開始買賣第二小時的即時價格為3元；g(2)=3表

示二個小時內(nèi)的平均價格為3元).下列給出的圖象中，可能正確的是()

12.規(guī)定國表示不超過黑的最大整數(shù)，非臧:」鏟TC聞醺,若方程的nil有且僅有四

I理-國國聿進減：

個實數(shù)根，則實數(shù)域的取值范圍是()

A.If。B.C.D.|[一沁

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知meR,函數(shù)門乃=[9：1,g(x)=/—2x+2m—1,下列敘述中正確的有

(10^211-LKX>1.

①函數(shù)y=/(/(%))有4個零點；

②若函數(shù)y=g(%)在(0,3)有零點，則一1Vm41；

③當血2一機寸，函數(shù)y=/(%)+g(%)有2個零點；

④若函數(shù)y=/(g。))一瓶有6個零點則實數(shù)m的取值范圍是(0,|).

14.在正三棱錐髓-菱激窗中，側(cè)面,懿命、側(cè)面,翻硼窗、側(cè)面,舟微窗兩兩垂直，且側(cè)棱

,嬲！=篝@，則正三棱錐麟-/嗡窗外接球的表面積為.

15.已知直線/的參數(shù)方程｛；：；+2t(t為參數(shù))，若以原點。為極點，％軸的正半軸為極軸，建立極

坐標系，圓C的極坐標方程為P=2/sin(6+》則直線/和圓C的位置關系為(填相交、相

切、相離).

16.給出下列結(jié)論：

①函數(shù).頻減=M需-孑在區(qū)間標城上有且只有一個零點；

②已知I是直線，極，肄是兩個不同的平面.若圖1,飄聲二據(jù)則4’1解；

③已知咻塞表示兩條不同直線，雄表示平面.若嬲_L繪郴_L明則制然儂；

④在感圓初中，已知幽=國吸攝=鱉“通=頷"，在求邊c的長時有兩解.

其中所有正確結(jié)論的序號是：.

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知直線4：久—y=0和直線公2x+y-3=0的交點為P,若直線/過點P且與直線x—y+2=

0垂直，求直線泊勺方程.

18.(I)AABC的三個頂點分別為4(—1,5),5(-2,-2),C(5,5),求其外接圓的方程.

(口)求經(jīng)過點(-5,2),焦點為(泥,0)的雙曲線方程.

19.如圖，三棱錐P—ABC中，PA=PC,底面ABC為正三角形.

(I)證明：AC1PB；

(H)若平面PAC_L平面ABC,AC=PC=2,求二面角2—PC—B的余

弦值.

20.已知幕函數(shù)g(x)=(m2-2)xm(meR)在(0,+8)為減函數(shù)，已知/(x)是對數(shù)函數(shù)且/(-m+

1

1)+/(-m-1)=-.

(1)求g(x),/(%)的解析式；

(2)若實數(shù)t滿足〃2t—1)<"5-t),求實數(shù)t的取值范圍.

21.如圖，已知正三角形P4D,正方形4BCD,平面PAD，平面ABCC,

E為PD的中點.

(1)求證：CD1AE-,

(2)求證：4E_L平面PCD；

(3)求直線4C與平面PCD所成的角的大小的正弦值.

22.已知二次函數(shù)/(X)滿足條件/(0)=0,和〃>+1)—/Q)=2%+3

(1)求/(乃；

(口)求/(%)在區(qū)間［-2,2］上的最大值與最小值。

參考答案及解析

1.答案：D

解析：解：集合4={xeN|lWx<3}={l,2,3},

B={2,3,4,5},

AB=[1,2,3,4,5).

故選：D.

利用并集定義直接求解.

本題考查并集的求法，考查并集定義、不等式性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

2.答案：B

解析：解：???圓G：x2+y2-l=。與圓C2：x2+y2+3x+9y+2=0的公共弦所在的直線方程為：

(x2+必+3x+9y+2)—(x2+y2-1)=3x+9y=3=0,即％+3y+1=0,

???圓G：x2+y2=1的圓心Cl(0,0)到公共弦x+3y+1=0的距離：

11

=而，圓Ci的半徑r=l,

???公共弦長|4B|=2Jl—,=噂.

故選8.

先求出圓G：/+/一1=o與圓。2：/+丫2+3%+9)/+2=0的公共弦所在的直線方程為％+

3y+1=0,再由點到直線的距離公式能求出兩圓的公共弦長.

本題考查兩圓的公共弦長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的求法.

3.答案：B

解析：解：①設過點P的直線為九，且{：器；.a〃b,這與a、b異面矛盾，.??選項A錯誤；

②???異面直線a、b有唯一的公垂線，.??過點P與公垂線平行的直線有且只有一條，，選項B正確；

③如圖所示的正方體中，設4。為直線a,AB'為直線b,若點P在匕點處，則無法作出直線與兩直線

都相交，

.??選項C錯誤；

④如上圖所示的正方體中，若P在「2點，則由圖中可知直線CC'及均與a、b異面，

.??選項D錯誤；

4通過反證法可以判定;B由異面直線公垂線的唯一性可以判定;C、D利用常見的圖形舉出反例即可.

本題考查了空間中的直線與直線的位置關系以及空間想象能力，解題時應借助于常見的空間圖形解

答，屬基礎題.

4.答案:D

解析:

設R點的橫坐標為》,由演。=kpR可得5=言，由此求得％的值.

y-8x—3

本題考查三點共線的性質(zhì)，斜率公式的應用，得到3=帶，是解題的關鍵.

-8x-3

解：設H點的橫坐標為％,由kpQ=kpR可得松=...%=6,

y—8x—3

故選D.

5.答案：A

解析：

本題考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題.

由題意，/(%)=log3X,函數(shù)單調(diào)遞增，即可得出結(jié)論.

解：由題意，f(x)=log3x,函數(shù)單調(diào)遞增，

???f(a)>f(2),

■■■a>2.

故選A.

6.答案：D

解析：試題分析：作出函數(shù)碘城=點-舞￡圖尊:及般=需的圖象，根據(jù)圖象確定區(qū)(就與富的大小,

從而可得.算微的解析式及圖象.

2"II#般:普騫唬和"：一工翳:*出i：

.襄城:的解析式為：，奠礴:=??*",作出圖象如圖所示.

端一黯富三期

考點：分段函數(shù)及函數(shù)的圖象、值域以及數(shù)形結(jié)合思想.

7.答案：B

解析：試題分析：此空間幾何體是球體切去四分之一的體積，表面積是四分之三的球表面積加上切

面面積，切面面積是兩個半圓面面積.故這個幾何體的表面積是史將指板f#既心土㈱懶:陋=械.

考點：1、幾何體的三視圖；2、球的表面積公式.

8.答案：B

解析：/(3)=/(2)-/(I)=/(I)-/(O)-/(I)=-/(0)=-log24=-2.

9.答案：B

解析：解：?.?久＜0時，（|尸＞1，

>1,

1-a

ae(0,1)；

故選：B.

化簡可得言＞1,從而解不等式即可.

本題考查了指數(shù)的運算及分式不等式的解法.

10.答案：D

解析：解：已知函數(shù)/'(x)=-/+6久+c的圖象的對稱軸為x=2

則：函數(shù)的圖象是開口方向向下的拋物線.

當久=1和％=3時距離對稱軸x=2的距離相等

所以函數(shù)值相等,即:f(l)=f(3)

當%=0時距離對稱軸的距離比％=1的距離遠

所以f(0)的值最小

故選：D

首先函數(shù)/'(x)=-/+6:+。的圖象的對稱軸為乂=2,從而確定函數(shù)的圖象是開口方向向下的拋物

線，進一步根據(jù)自變量離對稱軸的距離來確定函數(shù)值的大小.

本題考查的知識要點：二次函數(shù)的開口方向，對稱軸方程及二次函數(shù)的自變量函數(shù)值值與對稱軸的

關系.

11.答案：C

解析：

本題考查了函數(shù)的圖象的判斷與應用，其中根據(jù)實際情況，分析出函數(shù)y=/(x)與y=g(x)單調(diào)性

的關系，是解答本題的關鍵，屬于基礎題.

根據(jù)已知中，實線表示即時曲線y=f(x),虛線表示平均價格曲線y=g(久)，根據(jù)實際中當即時價

格高于平均價格時，平均價格升高，當即時價格低于平均價格時，平均價格減少的原則，對四個答

案進行分析即可得到結(jié)論.

解：???當即時價格高于平均價格時，平均價格升高，

當即時價格低于平均價格時，平均價格減少，

故A,8,。均錯誤，

故選C.

12.答案：B

解析:試題分析：當?&震［①帶嶗時，煲播是以偽周期的函數(shù)，且.翼磁=竄-L塞何僮強#?€:典:,

當嘉定(-碗U磅:時，,，舞礴是指數(shù)型函數(shù)，而般=螭：#：1為恒過定點:鯽毒斜率為愉的直線,圖像如下:

由圖可知，當直線介于圖中兩紅線之間時符合題意，兩直線的斜率分別為-:^-工，且-工能夠取

雪3鬟

到，一」不能取到，故實數(shù)摘的取值范圍為1-匕馬，選B.

考點：1.分段函數(shù)的圖像；2.根的存在性問題.

13.答案：①②④

解析：

本題考查了分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)、含絕對值函數(shù)的圖象、對數(shù)函數(shù)的圖象、函數(shù)圖象的交點的與

函數(shù)零點的關系，考查了推理能力與計算能力、數(shù)形結(jié)合的思想方法、推理能力與計算能力，屬于

難題.

對于①根據(jù)函數(shù)的零點定理求出x=0或％=—1.或％=3,或%=1+孝，故可判斷；對于②當g(x)在

(0,3)上有一個零點時，求出m的值.當g(x)在(0,3)上有兩個零點時，求出m的取值范圍，再取并集

即得所求.對于③，取爪=~1，利用數(shù)形結(jié)合的思想即可判斷.對于④由于函數(shù)/(久)，g(x)=%2-

2%+2m—1.可得當g(X)=(x-I)2+2m—2<1,-I)2<3-2nl時，y=/(g(x))=

|2g(x)+1|=|2(x—I)2+4m-3].當g(x)=(x—I)2+2m-2>1,即(x—I)2>3—2m時,則

2

y==log2[(x-l)+2m-3].再對ni分類討論，利用直線y=與函數(shù)y=/(g(x))圖象的

交點必須是6個即可得出本題考查了分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)、含絕對值函數(shù)的圖象、對數(shù)函數(shù)的圖象、

函數(shù)圖象的交點的與函數(shù)零點的關系，考查了推理能力與計算能力、數(shù)形結(jié)合的思想方法、推理能

力與計算能力，屬于難題.

解：對于①y=/(/Q))=0,

???log2(/(%)-1)=0,或12f(x)+1|=0,

1

?1-f(x)=2,或/Q)=-->

-1

|2x+1|=2,或log2。-1)=2或log2。-1)=-->

解得久=1或%=5.或%=3,或％=1+y,

故函數(shù)y=/(/(%))有4個零點，故正確；

對于②9(%)=--2%+2m—1，在(0,3)有零點，

當9(%)在(0,3)上有一個零點時

???g(0)g(3)<0,

?,*(2.171—1)(9—6+2??1—1)V0,

即一1V7H<$

或4=4—4(2m-1)=0,解得？n=1,

p=4-4(2m-1)>0

當g(%)在(0,3)上有兩個零點時，］0(0)>0

(9(3)>0

解得［＜m＜1,

當zn=5g(x)=%2-2%=0,解得％=2,

綜上所述：函數(shù)y=0(%)在(0,3)有零點，則-1＜血＜1,故②正確，

對于③，若瓶=一卷時，分別畫出y=/(%)與y=-9(%)的圖象，如圖所示,

由圖象可知，函數(shù)y=/(%)+g。)有3個零點，故③不正確.

對于④???函數(shù)f(%)=謂2；出：；>1，刎=產(chǎn)—2x+2m—1.

???當g(%)=(%—I)2+2m—2<1時，即(％—I)2<3—2m時,則y=f(g(%))=12g(%)+1|=

|2(x—l)2+4m-3|.

222

當g(x)=(%—l)+2m-2>1時，即(x—I)>3—27n時，則y==log2[(x—l)+2m—

3].

2

①當3-2mW0即mN|時，y=m只與y=/(g(x))=log2[(x-l)+2m-3]的圖象有兩個交點，

不滿足題意，應該舍去.

②當m<|時，y=zn與y=f(g(x))=log2?-I/+26一3]的圖象有兩個交點，需要直線y=m

與函數(shù)

y==[2g(x)+1|=|2(x-l)2+4m-3|的圖象有四個交點時才滿足題意?

0<m<3—4m,又m解得0Vm9

綜上可得：小的取值范圍是0<小<|.

故④正確，

故答案為①②④.

14.答案：密酮

解析：試題分析：???正三棱錐S-4BC中，側(cè)面S4B,側(cè)面S4C,側(cè)面SBC兩兩互相垂直

.■.ASAB.ASAC,△SBC是等腰直角三角形，所以48=BC=C4=展地=罷蠡，故該正三棱錐

髓-/瞬外接球可以轉(zhuǎn)換為正方體的外接球的表面積，根據(jù)邊長求求解得到半徑為乖，因此可知

球的表面積為身酶

考點：本試題考查了球的表面積。

點評：利用等價轉(zhuǎn)化的思想，借助于正方體的外接球的表面積來求解正三棱錐,霸-,感激窗外接球的表

面積，是解題的關鍵，屬于中檔題。

15.答案：相交

解析：解：直線I的參數(shù)方程聯(lián)二：+2件為參數(shù))，

消去參數(shù)3得直線Z的直角坐標方程為：2x-y+l=0,

圓C的極坐標方程為P=2V2sin(9+3).

???p=2V2(sm0cos^+cosdsin^)=2sin9+2cos9,

???p2=2pstn。+2pcos9,

%2+y2=2y+2x,

(x-l)2+(y—l)2=1.

?.?圓心C(l,l)到直線八2x-y+l=0的距離d=與星!=*<1=r,

V4+15

???直線/和圓C相交.

故答案為：相交.

求出直線I的直角坐標方程和圓C的直角坐標方程，求出圓心C(l,l)到直線I：2x-y+1=0的距離d,

由d小于圓半徑得到直線2和圓C相交.

本題考查直線和圓的位置關系的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意極坐標、直角坐標互化

公式、兩點間距離公式的合理運用.

16.答案:①④.

解析：試題分析：①???在(e,3)上大于0恒成立，二/(%)在(e,3)上單調(diào)遞增，

XXX

/(e)=l--<0,〃3)=ln3—l>0,.??/(X)在(e,3)上有且只有一個零點正確；

e

②根據(jù)兩個平面垂直的性質(zhì)定理可知，若/垂直于a與夕的交線時，l±fi,否則不垂直，故不一定正

確；

③F”表示兩條不同直線，a表示平面.若wi_1_2貝舊或nua,故不一定正確；

④根據(jù)正弦定理可求出S譏8的值，由B>4可知B可能為銳角也可能為銳角，???在求邊c時有兩解是正

確的；故正確的有①④.

考點：考查了命題真假的判斷.

點評：解本題的關鍵是掌握跟的存在性定理，空間直線與平面的位置關系，利用正弦定理解三角形.

17.答案：解：?.?直線x—y=0和直線=：2久+y—3=0的交點為尸，

聯(lián)立仁二；1°3=0,得"=L丫=L

???P(1，D，

直線/過點P且與直線x-y+2=0垂直，

設直線/的方程為x+y+c=0,

把P(l,l)代入,得c=—2,

二直線I的方程為x+y-2=0.

解析：聯(lián)立n，求出P(1，D，設直線，的方程為x+y+c=0,把P(l,l)代入，能求出直

(乙支ry-3—u

線/的方程.

本題考查直線方程的求法，考查直線與直線垂直的性質(zhì)、兩直線交點坐標等基礎知識，考查運算求

解能力，是基礎題.

18.答案：解：(I)法一：設所求圓的方程為/+y2+Dx+Ey+F=o,則由題意有

-D+5E+F+26=

—2D—2E+F+8=:解得仁=-2,F=-20.

5D+5E+F+50=

故所求圓的方程為一+于一4%-2y-20=0.

法二：由題意可求得線段4c的中垂線方程為x=2,線段的中垂線方程為x+y-3=0,.?.圓心是

兩中垂線的交點(2,1),半徑r=J(2+1尸+(1—5/=5.

故所求圓的方程為。-2)2+(y-I)2=25.

(口),?,焦點坐標為(VKo),焦點在x軸上，

22

???可設雙曲線方程為今―彳=l(a>0,b>0).

a2b2

???雙曲線過點(―5,2),?,潦=1,得。2=差.

f2_25匕2

聯(lián)立口一而解得。2=5,b2=1,

+ft2=c2=6

故所求雙曲線方程為J-y2=i.

解析：(I)法一：利用待定系數(shù)法；法二：求出圓心與半徑，即可求其外接圓的方程.

(U)設雙曲線方程為盤一箕=l(a〉0,b>0),利用經(jīng)過點(—5,2),焦點為(扃0),求出a,b,即可

求出雙曲線方程.

本題考查圓、雙曲線的方程，考查待定系數(shù)法的運用，屬于中檔題.

19.答案：(I)證明：如圖，

VPA=PC,PO1AC,

又???底面28C為正三角形，BOLAC,

■：POCOB=0,：-AC1平面POB,

又因為PBU平面P3B

則AC1PB；

(n)解：???平面PAC_L平面ABC,且平面PACC平面ABC=AC,

POA.AC,P。！平面ABC,

以。為原點，分別以04、OB、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系,

■■■AC=PC=2,

P(0,0,V3),B(0,V3,0),C(—1,0,0),PB=(0,V3,-V3)>

BC=(-l,-V3,0),

設平面P8C的一個法向量為元=(x,y,z),

n-PB=V3y—V3z=0

由取y=-l,得元=(百,一1,一1),

n-BC=—x—V3y=0

又麗=(0,百,0)是平面PAC的一個法向量,

cos<n,0B>=譽廣=V5

V5xV35

又,?,由圖觀察可知所求二面角為銳角,

???二面角a-PC-B的余弦值為個.

解析：本題考查線面垂直的判定和性質(zhì)，考查了空間想象能力和思維能力，訓練了利用空間向量求

解二面角的平面角，是中檔題.

(1)取4。中點0,連接PO,B0,由等腰三角形的性質(zhì)可得P。12C,BO1AC,再由線面垂直的判

定可得AC_L平面POB,則4CJ.P8；

(H)由平面PAC_L平面ABC,且平面PACC平面ABC=AC,可得P。1平面ABC,以。為原點，分另U

以02、OB、0P所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，然后分別求出平面PBC與平面P4C的一

個法向量，利用兩法向量所成角的余弦值求得二面角4-PC-B的余弦值.

20.答案：解：⑴諄函數(shù)g(x)=(m2-2)xm(meR)在(0,+口)上為減函數(shù)，

,Cm2—2=1

(m<0

解得Hl=—遮，

???g(%)=》―佟

又??,/(x)是對數(shù)函數(shù)，且/(-rn+1)+/(-rn-1)=I，

???設/(%)=loga%(。>0且aW1)，

loga(—m+1)+loga(-m-1)=-,

即loga(m2-1)=loga2=I，

解得a=4,

f(x)=10g4%；

(2)?.?實數(shù)t滿足f(2t-1)<((5-t),

且/'(X)=