三角形的中位線 分層作業(yè)(解析版)

人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)18.1.5三角形的中位線同步練習(xí)夯實(shí)基礎(chǔ)篇一、單選題：1．如圖，中，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則四邊形的周長(zhǎng)是（

）A．13 B．9.5 C．17 D．19【答案】D【分析】根據(jù)中位線的性質(zhì)求出的長(zhǎng)即可求得四邊形的周長(zhǎng)．【詳解】解：∵點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，∴是的中位線，是的中位線，∴，，∴四邊形的周長(zhǎng)為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的中位線定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的中位線定理．2．如圖，在中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為（

）A．12 B．15 C．20 D．25【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得出點(diǎn)O平分，則OE是三角形的中位線，則，繼而求出答案．【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，∵，∴．故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和三角形的中位線定理，屬于基礎(chǔ)題，比較容易解答．3．如圖，在中，D是AB上一點(diǎn)，AE平分，于點(diǎn)E，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，若，，則EF的長(zhǎng)為（

）．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的判定得到AC=AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CE=DE，再根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【詳解】解：∵AE平分，，∴∠AEC=∠AED=90°，∠CAE=∠DAE，∴∠ACE=∠ADE，∴AC=AD=6，∵∠CAE=∠DAE，∴CE=DE，∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，∴CF=BF，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)與判定，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．4．如圖，四邊形中，點(diǎn)、、、分別是線段、、、的中點(diǎn)，則四邊形的周長(zhǎng)（

）A．只與、的長(zhǎng)有關(guān) B．只與、的長(zhǎng)有關(guān)C．只與、的長(zhǎng)有關(guān) D．與四邊形各邊的長(zhǎng)都有關(guān).【答案】B【分析】利用三角形中位線的性質(zhì)，求解即可．【詳解】解：點(diǎn)、、、分別是線段、、、的中點(diǎn)，則線段分別為、、、的中位線，∴，四邊形的周長(zhǎng)，只與、的長(zhǎng)有關(guān)故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了三角形中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形中位線的關(guān)性質(zhì)．5．如圖所示，已知矩形，點(diǎn)E在邊上從點(diǎn)A向點(diǎn)D移動(dòng)，點(diǎn)F在邊上從點(diǎn)B向點(diǎn)A移動(dòng)，點(diǎn)G、H分別是、的中點(diǎn)，當(dāng)那么下列結(jié)論成立的是（

）A．線段的長(zhǎng)逐漸增大 B．線段的長(zhǎng)逐漸減少C．與的面積和逐漸變大 D．與的面積和不變【答案】A【分析】連接CF，利用中位線的性質(zhì)可證GH=，因?yàn)镃F逐漸增大，所以GH逐漸增大，可判斷A正確、B錯(cuò)誤；連接BE將四邊形EFBC分為和，因?yàn)楹途匦蜛BCE面積不變，與的面積和等于矩形ABCE面積-四邊形EFBC面積，所以通過判斷面積變化情況可判斷C、D．【詳解】連接CF，如圖：∵點(diǎn)F在邊上從點(diǎn)B向點(diǎn)A移動(dòng)，∴BF在逐漸增大，∵BC不變，，∴CF逐漸增大，∵點(diǎn)G、H分別是、的中點(diǎn)，∴GH是△EFC的中位線，∴，∴線段GH的長(zhǎng)逐漸增大，所以A正確，B錯(cuò)誤；連接EB，如圖:∵點(diǎn)E在邊上從點(diǎn)A向點(diǎn)D移動(dòng)，點(diǎn)F在邊上從點(diǎn)B向點(diǎn)A移動(dòng)，∴BF在逐漸增大，AE逐漸增大，∴，∴逐漸增大，∵在△EBC中，底BC和高都不變，∴S△EBC不變，∴S四邊形EFBC=+S△EBC逐漸增大，∵=S矩形ABCE-S四邊形EFBC，S矩形ABCE不變，∴逐漸減小，∴C、D錯(cuò)誤，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形，熟練掌握三角形中位線性質(zhì)和面積公式，靈活作輔助線對(duì)所求證目標(biāo)進(jìn)行巧妙轉(zhuǎn)換是解題關(guān)鍵．6．如圖，將△ABC沿著它的中位線DE對(duì)折，點(diǎn)A落在F處．若∠C＝120°，∠A＝20°，則∠FEB的度數(shù)是（）A．140° B．120° C．100° D．80°【答案】C【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理易求∠B的度數(shù)，由三角形的中位線定理可得DE∥BC，所以∠B+∠DEB=180°，進(jìn)而可求出∠FEB的度數(shù)．【詳解】解：∵∠C=120°，∠A=20°，∴∠B=40°，∵DE是△ABC中位線，∴DE∥BC，∴∠B+∠DEB=180°，∠B=∠AED=∠DEF=40°∴∠DEB=140°，∴∠FEB=∠DEB-∠DEF=100°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理的運(yùn)用、三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用以及平行線的性質(zhì)，題目的綜合性較強(qiáng)，難度一般．7．如圖，四邊形中.為的平分線，，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到，求得，如圖：連接并延長(zhǎng)交于G，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，求得，再根據(jù)三角形中位線定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵為的平分線，∴，∴，∴，如圖：連接并延長(zhǎng)交于G∵∴，∵F是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∵E是BD的中點(diǎn)，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．二、填空題：8．如圖，中，已知，，，是中位線，則的長(zhǎng)為______．【答案】3【分析】先根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形中位線定理即可得到答案．【詳解】解：∵在中，，，，∴，∵是中位線，∴，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線定理和含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．如圖在中，，分別是的中點(diǎn)，連接．如果，那么的周長(zhǎng)是_______________________．【答案】【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DC=BD，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴AC=2DE=5，AC∥DE，AC2+BC2=52+122=169，AB2=132=169，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∵AC∥DE，∴∠DEB=90°，又∵E是BC的中點(diǎn)，∴直線DE是線段BC的垂直平分線，∴DC=BD，∴△ACD的周長(zhǎng)=，故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在中，點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，平分于點(diǎn)，若，則__________．【答案】4【分析】先證明是的中位線，得到，再證明得到，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，故答案為；4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．11．如圖，在中，D，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，，則_____【答案】8【分析】由三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，得出，，進(jìn)而得出，，即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接，∵E是的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，∵F是的中點(diǎn)，∴，而，∴．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，掌握三角形中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形是解決本題的關(guān)鍵．12．如圖，在四邊形中，，E、F、G分別是的中點(diǎn)，若，則___．【答案】##30度【分析】根據(jù)三角形中位線定理和等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，E，F(xiàn)，G分別是的中點(diǎn)，∴是的中位線，是的中位線，,,又,,,,.故答案為：．【點(diǎn)睛】主要考查了中位線定理和等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，根據(jù)中位線定理證得是解決問題的關(guān)鍵．三、解答題：13．如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，P是BD的中點(diǎn)，M是DC的中點(diǎn)，N是AB的中點(diǎn)．請(qǐng)判斷△PMN的形狀，并說明理由．【答案】等腰三角形，理由見解析【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到PM＝BC，，PN＝AD，進(jìn)而得到PM＝PN，根據(jù)等腰三角形的定義得出結(jié)論．【詳解】解：△PMN是等腰三角形，理由如下：∵P是BD的中點(diǎn)，M是DC的中點(diǎn)，∴PM是△DBC的中位線，∴PM＝BC，同理，PN＝AD，∵AD＝BC，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線定理，等腰三角形的判定，熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．14．如圖，D、E分別是的邊AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接OB、OC，點(diǎn)G、F分別是OB、OC的中點(diǎn)，順次連接點(diǎn)D、G、F、E．求證：四邊形DGFE是平行四邊形．【答案】見解析【分析】根據(jù)三角形中位線性質(zhì)，可知且，且，由此可證得且，根據(jù)平行四邊形的判定：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可證得四邊形DGFE是平行四邊形．【詳解】證明：∵D、E分別是的邊AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G、F分別是OB、OC的中點(diǎn)，∴DE是的中位線，GF是的中位線，∴且，且，∴且，∴四邊形DGFE是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是平行四邊形的判定，此類題中需要注意，遇到中點(diǎn)，首先想到中位線的性質(zhì)．15．如圖，在中，AE平分于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)．若，求EF的長(zhǎng)．【答案】1【分析】根據(jù)角平分線的定義結(jié)合題意，即可利用“ASA”證明，即得出，，從而可得出，點(diǎn)E為BD中點(diǎn)，從而可判定EF為的中位線，進(jìn)而可求出EF的長(zhǎng)．【詳解】∵AE平分∴，．又∵AE=AE，∴(ASA)，∴，，∴，點(diǎn)E為BD中點(diǎn)．∵F是BC的中點(diǎn)，∴EF為的中位線，∴．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)等知識(shí)．掌握三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半是解題關(guān)鍵．16．如圖，，，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上，(1)求證：；(2)若，，求四邊形AEDF的周長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)16【分析】（1）D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，，因此AE=EB，等腰三角形兩底角相等，可證明，即可得到結(jié)果；（2）由（1）可得四邊形AFDE為平行四邊形，對(duì)邊相等，根據(jù)勾股定理可得AB的長(zhǎng)，因?yàn)橹悬c(diǎn)問題，可得到AD、AE、ED的長(zhǎng)，即可得到結(jié)果．（1）證明：∵D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，∴，∴,即，∵D是中點(diǎn)，,∴AE=EB，即,∵，∴∵點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上，∴，在和中，∴，∴；（2）解：由（1）得，∴四邊形AFDE為平行四邊形，∴AE=DF，∵，，∴,∵D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，∴，∴，即DE=AF=3，AE=DF=5，所以四邊形AEDF的周長(zhǎng)=5+3+5+3=16．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線的定理，全等三角形的證明及判定，平行四邊形的證明及判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵是找到角之間的關(guān)系和邊長(zhǎng)之間的關(guān)系．17．如圖，在中，，分別是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接與交于點(diǎn)．，求四邊形的面積．【答案】【分析】分別是的中點(diǎn)，可知是的中位線，可證四邊形是平行四邊形，在中，根據(jù)勾股定理，平行四邊形的面積公式即可求解．【詳解】解：∵分別是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，，∵，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，在中，，，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形與平行四邊形的綜合運(yùn)用，掌握中位線，勾股定，平行四邊形判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．能力提升篇一、單選題：1．已知：四邊形ABCD中，AB=4，CD=6，M、N分別是AD，BC的中點(diǎn)，則線段MN的取值范圍（）A． B． C． D．【答案】B【分析】當(dāng)時(shí)，MN最短，利用中位線定理可得MN的最長(zhǎng)值，作出輔助線，利用三角形中位線及三邊關(guān)系可得MN的其他取值范圍．【詳解】解：連接BD，過M作MGAB，連接NG．∵M(jìn)是邊AD的中點(diǎn)，AB=4，MGAB，∴MG是△ABD的中位線，BG=GD，MG=AB=×4=2；∵N是BC的中點(diǎn)，BG=GD，CD=6，∴NG是△BCD的中位線，NG=CD=×6=3，在△MNG中，由三角形三邊關(guān)系可知NG-MG＜MN＜MG+NG，即，∴，當(dāng)MN=MG+NG，即MN=時(shí)，四邊形ABCD是梯形，故線段MN長(zhǎng)的取值范圍是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線定理，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，利用三角形中位線定理及三角形三邊關(guān)系解答．2．如圖，平行四邊形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接、，若，下列結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，；③；④，其中正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由四邊形是平行四邊形，得到，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，推出是等邊三角形，證得，求出，故①正確；由，可求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出，故②正確；易證為的中位線，可得，又因?yàn)?，所以可得，故③正確；根據(jù)等底同高的三角形面積相等可得，再由③可知，進(jìn)而可得，故④錯(cuò)誤．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，故①正確；∵，∴，∴，∴，∴，∴，故②正確；∵O為中點(diǎn)，E為中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，∵，∴，故③正確；∵，∴，∵，∴，∵，∴，故④錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)以及中位線性質(zhì)定理的運(yùn)用．注意證得是等邊三角形，是的中位線是關(guān)鍵．3．如圖，△ABC的周長(zhǎng)為a，以它的各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作△A1B1C1，再以△AB1C1各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作△A2B2C2，再以△AB2C2各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作△A3B3C3，…如此下去，則△AnBnCn的周長(zhǎng)為（）A．a(chǎn) B．a(chǎn) C．a(chǎn) D．a(chǎn)【答案】A【分析】根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可知的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)，的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)，以此類推找出規(guī)律，寫出代數(shù)式，再整理即可選擇．【詳解】解：∵以△ABC的各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作，∴的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)．∵以各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作，∴的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)，…，∴的周長(zhǎng)故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形中位線的性質(zhì)，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)求出前2個(gè)三角形的面積總結(jié)出規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題：4．如圖，在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=10，點(diǎn)D，E都在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為Q，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為P，則PQ的長(zhǎng)______．【答案】1【分析】證明△ABQ≌△EBQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=AB=5，AQ=QE，根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可．【詳解】解：在△ABQ和△EBQ中，，∴△ABQ≌△EBQ（ASA），∴BE=AB=5，AQ=QE，同理CD=AC=7，AP=PD，∴DE=CD-CE=CD-（BC-BE）=2，∵AP=PD，AQ=QE，∴PQ=DE=1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則______．【答案】1【分析】取BE中點(diǎn)H，連接FH與CH，根據(jù)線段中點(diǎn)得出EH=，利用三角形中位線的性質(zhì)及平行線的判定得出四邊形CEFH為平行四邊形，再由平行四邊形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：取BE中點(diǎn)H，連接FH與CH，如圖所示：∴EH=，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，DC＝AB，∵F是AE的中點(diǎn)，H為BE中點(diǎn)，∴FH為?ABE的中位線，∴FH∥AB∥CD，F(xiàn)H=，∵E是CD中點(diǎn)，∴CE，∴CE=FH，∵FH∥CD∴四邊形CEFH為平行四邊形，∴EG=GH=，故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)定理等，熟練掌握運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．6．如圖，的周長(zhǎng)為a，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，、、分別為EF、EG、FG的中點(diǎn)，如果、、分別為第個(gè)、第個(gè)、第個(gè)三角形，按照上述方法繼續(xù)作三角形，那么第2022個(gè)三角形的周長(zhǎng)是______．【答案】【分析】根據(jù)三角形中位線定理分別求出第個(gè)三角形的周長(zhǎng)、第個(gè)三角形的周長(zhǎng)，總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．【詳解】解：、、分別為、、的中點(diǎn)，、、都是的中位線，，，，的周長(zhǎng)=，即第個(gè)三角形的周長(zhǎng)是，同理可得，第個(gè)三角形的周長(zhǎng)是