2024年重慶市高三數(shù)學(xué)4月模擬調(diào)研試卷附答案解析

年重慶市高三數(shù)學(xué)4月模擬調(diào)研試卷2024.4數(shù)學(xué)測(cè)試卷共4頁，滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名填寫在答題卡上．考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答．若在試題卷上作答，答案無效．3．考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回．─、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．等差數(shù)列滿足，，則（

）A．4 B．5 C．6 D．72．已知集合，，若，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．2023年10月4日，在杭州亞運(yùn)會(huì)跳水男子10米臺(tái)決賽中，中國(guó)選手楊昊奪得金牌．中國(guó)跳水隊(duì)包攬杭州亞運(yùn)會(huì)跳水項(xiàng)目全部10枚金牌．跳水比賽的評(píng)分規(guī)則如下，7位裁判同時(shí)給分，去掉兩個(gè)最高分，去掉兩個(gè)最低分，剩下的3個(gè)分?jǐn)?shù)求和再乘以難度系數(shù)，就是該選手本輪的得分，下表就是楊昊比賽中的第一輪得分表，則（

）1號(hào)裁判2號(hào)裁判3號(hào)裁判4號(hào)裁判5號(hào)裁判6號(hào)裁判7號(hào)裁判難度系數(shù)本輪得分a9.59.010.09.510.010.03.292.80A．這7個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)只能是10.0B．這7個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)只能是9.0C．a(chǎn)可能是10.0D．a(chǎn)可能是9.54．已知雙曲線的方程為，則不因m的變化而變化的是（

）A．頂點(diǎn)坐標(biāo) B．漸近線方程 C．焦距 D．離心率5．已知角θ滿足，則（

）A． B． C． D．6．已知球O的半徑為2cm，平面α截球O產(chǎn)生半徑為1cm的圓面，A，B，C，D均在圓面的圓周上，且為正四棱錐，則該棱錐的體積為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，其中是銳角的兩個(gè)內(nèi)角，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．8．設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分．9．已知z為復(fù)數(shù)，，則（

）A． B．C． D．10．已知定義在R上的奇函數(shù)滿足：，則（

）A． B．C． D．11．記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若存在，使得恒成立，則必存在，使得恒成立B．若存在，使得恒成立，則必存在，使得恒成立C．若對(duì)任意，恒成立，則對(duì)任意，恒成立D．若對(duì)任意，恒成立，則對(duì)任意，恒成立三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知向量，，若，且，則．13．重慶位于中國(guó)西南部、長(zhǎng)江上游地區(qū)，地跨青藏高原與長(zhǎng)江中下游平原的過渡地帶．東鄰湖北、湖南，南靠貴州，西接四川，北連陜西．現(xiàn)用4種顏色標(biāo)注6個(gè)省份的地圖區(qū)域，相鄰省份地圖顏色不相同，則共有種涂色方式．14．已知函數(shù)，且函數(shù)的相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的直線距離為，若，，則．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．(1)求角A的大?。?2)若，且，求AP的最小值．16．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：．17．在如圖所示的四棱錐PABCD中，已知，，，是正三角形，點(diǎn)M在側(cè)棱PB上且使得平面．(1)證明：；(2)若側(cè)面底面，與底面所成角的正切值為，求二面角的余弦值．18．如圖，已知橢圓C：的離心率為，直線l：恒過右焦點(diǎn)F，交橢圓于，兩點(diǎn)，且．(1)求橢圓C的方程；(2)求的最小值．19．在二維空間即平面上點(diǎn)的坐標(biāo)可用兩個(gè)有序數(shù)組表示，在三維空間中點(diǎn)的坐標(biāo)可用三個(gè)有序數(shù)組表示，一般地在維空間中點(diǎn)A的坐標(biāo)可用n個(gè)有序數(shù)組表示，并定義n維空間中兩點(diǎn)，間的“距離”．(1)若，，求；(2)設(shè)集合．元素個(gè)數(shù)為2的集合M為的子集，且滿足對(duì)于任意，都存在唯一的使得，則稱M為“的優(yōu)集”．證明：“的優(yōu)集”M存在，且M中兩不同點(diǎn)的“距離”是7．1．B【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意，列出方程組，求得的值，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，可得，解得，所?故選：B.2．A【分析】根據(jù)不等式的解法，求得或，分類討論求得集合，結(jié)合，利用集合的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由不等式，解得或，所以或，又由不等式，當(dāng)時(shí)，不等式解集為空集，不滿足，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，解得，即，此時(shí)不滿足，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，解得，即，要使得，則滿足，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.3．D【分析】根據(jù)評(píng)分規(guī)則，結(jié)合眾數(shù)、中位數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，由題意可知：，符合題意，此時(shí)眾數(shù)為10或（此時(shí)），中位數(shù)為9.5，因此選項(xiàng)AB不正確，D正確；當(dāng)時(shí)，由題意可知：，舍去，因此選項(xiàng)C不正確，故選：D4．B【分析】根據(jù)題意，分與討論，結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程代入計(jì)算，即可判斷.【詳解】將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)式可得，當(dāng)時(shí)，雙曲線表示焦點(diǎn)在軸的雙曲線，且，此時(shí)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為，焦距，離心率；當(dāng)時(shí)，雙曲線表示焦點(diǎn)在軸的雙曲線，且，此時(shí)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為，焦距，離心率；綜上可得，不因m的變化而變化的是漸近線方程.故選：B5．B【分析】切化弦，得到，利用正弦二倍角公式求出答案.【詳解】，故，則.故選：B6．B【分析】畫出圖形根據(jù)球的半徑和截面圓的半徑即可求出，根據(jù)四棱錐的體積公式求出體積?！驹斀狻拷猓喝鐖D，連接，，，則平面α，,，所以正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，所以棱錐的體積為。故選：B7．D【分析】求得，令，求得在上單調(diào)遞增，根據(jù)的大小不確定，可判定A、B不正確；由是銳角的兩個(gè)內(nèi)角，得到，可得判定C錯(cuò)誤；再由，可判定D正確.【詳解】由函數(shù)，所以，令，則當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，可得，即，所以在上單調(diào)遞增；因?yàn)榈拇笮〔淮_定，故與，與的大小關(guān)系均不確定，所以與，與的大小關(guān)系也均不確定，所以A、B不能判斷．因?yàn)槭卿J角的兩個(gè)內(nèi)角，所以，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，所以，所以C錯(cuò)誤；因?yàn)槭卿J角的兩個(gè)內(nèi)角，所以，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，故，所以D正確.故選：D.8．C【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到最大，再利用作差法，結(jié)合基本不等式得到，從而得解.【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，，，所以，，；當(dāng)時(shí)，，所以，取，則，所以，即，綜上，.故選：C.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對(duì)數(shù)比大小常用結(jié)論：.9．BC【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，則，所以，解之得或，則或.故選：BC10．AB【分析】對(duì)A：令，結(jié)合函數(shù)是奇函數(shù)，即可求得結(jié)果；對(duì)B：令，結(jié)合函數(shù)是奇函數(shù)，即可判斷；對(duì)C：根據(jù)B中所求，即可判斷；對(duì)D：取滿足題意的特殊函數(shù)，即可判斷.【詳解】對(duì)A：對(duì)，令，可得，又在R上是奇函數(shù)，故，解得，故A正確；對(duì)B：對(duì)，令，可得，又在R上是奇函數(shù)，故，即，由A可知，，故，故B正確；對(duì)C：因?yàn)?，則即，則，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：由C可知，為周期為的奇函數(shù)，不妨畫出滿足題意的一個(gè)的圖象如下所示：顯然，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11．BCD【分析】由兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值小于等于兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值之和結(jié)合已知可得A正確；舉反例令，可判斷BD錯(cuò)誤；舉反例令可得C錯(cuò)誤（注意題目中讓選錯(cuò)誤的）.【詳解】對(duì)A：若恒成立，則，，故A正確；對(duì)B、D：反例為，，故B、D錯(cuò)誤；對(duì)C：反例為，故C錯(cuò)誤．故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于抽象數(shù)列題，可用排除法快速選擇，較為簡(jiǎn)便快捷.12．2【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)計(jì)算，以及模長(zhǎng)范圍，即可求得.【詳解】因?yàn)?，故，故，；又，則，解得（舍）或.故答案為：.13．【分析】根據(jù)題意，得到這4中顏色全部都用上，其中必有兩個(gè)不相鄰的地區(qū)涂同一中顏色，利用窮舉法，結(jié)合排列數(shù)公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，用4種顏色標(biāo)注6個(gè)省份的地圖區(qū)域，相鄰省份地圖顏色不相同，則這4中顏色全部都用上，其中必有兩個(gè)不相鄰的地區(qū)涂同一中顏色，共有：{“四川和湖南”且“貴州和湖北”}、{“四川和湖南”且“貴州和陜西”}、{“四川和湖北”且“貴州和陜西”、{“四川和湖北”且“湖南和陜西”、{“貴州和湖北”且“湖南和陜西”，共有5種情況，所以不同的涂色共有種.故答案為：.14．2【分析】由題意知，即求出，然后求出，進(jìn)而求出的最大值，最后求出.【詳解】解：由可知，，函數(shù)相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的直線距離為，即有，解得．所以，．對(duì)，，則在處取最大值，即有，即，，．故答案為：215．(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理代入計(jì)算，結(jié)合三角恒等變換公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律代入計(jì)算，結(jié)合基本不等式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）在中，由正弦定理，可得又由知，即，得，得，得，所以；又因?yàn)?，所以．?）由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故AP的最小值為．16．(1)(2)證明見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得方程有兩個(gè)根，則問題轉(zhuǎn)化為的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)性，即可得到的極值與函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可得解；（2）由（1）可得，即可得到，結(jié)合及二次函數(shù)的性質(zhì)即可證明.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，又，函?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)相當(dāng)于方程有兩個(gè)根，顯然當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以問題轉(zhuǎn)化為的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，由，，得，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，且，作出的大致圖像如圖所示：則由圖可知，當(dāng)時(shí)，圖像與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）因?yàn)?，所以，又由?）知，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，所以.17．(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）連接BD與AC交于點(diǎn)E，連接EM，由已知得，由線面平行的性質(zhì)得，根據(jù)三角形相似可得，即（2）設(shè)AB的中點(diǎn)O，首先由已知得底面ABCD，在中過點(diǎn)M作交AB于點(diǎn)F，得底面ABCD，則為CM與底面ABCD所成角，在底面ABCD上過點(diǎn)O作于點(diǎn)G，則是二面角的平面角，根據(jù)條件求解即可【詳解】（1）證明：連接BD與AC交于點(diǎn)E，連接EM，在與中，∵，∴，由，得，又∵平面AMC，而平面平面，平面PBD，∴，∴在中，，∴；（2）設(shè)AB的中點(diǎn)O，在正中，，而側(cè)面底面，側(cè)面底面，且平面，∴底面ABCD，在中過點(diǎn)M作交AB于點(diǎn)F，∴底面ABCD，∴為CM與底面ABCD所成角，∴，設(shè)，則，∴，，則在直角梯形ABCD中，，而，則，在底面ABCD上過點(diǎn)O作于點(diǎn)G，則是二面角的平面角，易得，，在梯形ABCD中，由，得，在中，，∴．18．(1)；(2).【詳解】解：（1）因?yàn)橹本€l：恒過即為右焦點(diǎn)F∴c1，又因?yàn)殡x心率為，所以所以橢圓C的方程為因?yàn)椋?dāng)，顯然，當(dāng)時(shí)有，整理（2）法一：設(shè)直線l的傾斜角為θ，M，N到右準(zhǔn)線的距離分別為，．因?yàn)?，，?dāng)或，顯然，當(dāng)時(shí)有，整理得當(dāng)時(shí)，，整理得兩式相除，均有，即當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，即，根據(jù)得，此時(shí)取得最小值法二：聯(lián)立有，則有，又，所以，將帶入有，令，則有，所以在是增函數(shù)，是減函數(shù)，則有，所以，當(dāng)時(shí)，取最小值19．(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題，得到，結(jié)合裂項(xiàng)法求和，即可求解；（2）根據(jù)新定義得到，，構(gòu)造有2個(gè)元素，由為整數(shù)，得到存在為“的優(yōu)集”，設(shè)，，推得，，顯然矛盾，即可得證.【詳解】（1）解：因?yàn)?，，，則，所以.（2）證明：定義：對(duì)任意，規(guī)定，對(duì)任意，，由于，，，容易得，所以，得結(jié)論：，，構(gòu)造有2個(gè)元素，由為整數(shù)，當(dāng)時(shí)，則滿足M為“的優(yōu)集”的定義，當(dāng)時(shí)，則，滿足M為“的優(yōu)集”的定義，所以存在為“的優(yōu)集”，若M中的兩個(gè)點(diǎn)，有一個(gè)位置相同，不妨設(shè)為第一個(gè)