2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 14.1 合情推理與演繹推理教案 理 新人

第第頁(yè)2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)14.1合情推理與演繹推理教案理新人2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)14.1合情推理與演繹推理教案理新人教A

版

高考導(dǎo)航

考試要求重難點(diǎn)擊命題展望

1.了解合情推理的含義.

2.能利用歸納與類比等進(jìn)行簡(jiǎn)約的推理.

3.體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)覺(jué)中的作用.

4.了解演繹推理的重要性.

5.掌控演繹推理的基本模式：“三段論”.

6.能運(yùn)用演繹推理進(jìn)行簡(jiǎn)約的推理.

7.了解演繹推理、合情推理的聯(lián)系與區(qū)分.

8.了解徑直證明的兩種基本方法：分析法與綜合法.

9.了解分析法與綜合法的思維過(guò)程、特點(diǎn).

10.了解反證法是間接證明的一種基本方法及反證法的思維過(guò)程、特點(diǎn).

11.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.

12.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)約的與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題.

本章重點(diǎn)：1.利用歸納

與類比進(jìn)行推理；2.利用

“三段論”進(jìn)行推理與證

明；3.運(yùn)用徑直證明(分析

法、綜合法)與間接證明(反

證法)的方法證明一些簡(jiǎn)約

的命題；4.數(shù)學(xué)歸納法的基

本思想與證明步驟；運(yùn)用數(shù)

學(xué)歸納法證明與自然數(shù)

n(n∈N*)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題.

本章難點(diǎn)：1.利用歸納與類

比的推理來(lái)發(fā)覺(jué)結(jié)論并形

成猜想命題；2.依據(jù)綜合

法、分析法及反證法的思維

過(guò)程與特點(diǎn)選取適當(dāng)?shù)淖C

明方法證明命題；3.理解數(shù)

學(xué)歸納法的思維實(shí)質(zhì)，特別

是在第二個(gè)步驟要依據(jù)歸

納假設(shè)進(jìn)行推理與證明.

“推理與證明”是數(shù)學(xué)

的基本思維過(guò)程，也是人們學(xué)

習(xí)和生活中常常運(yùn)用的思維

方式.本章要求考生通過(guò)對(duì)已

有知識(shí)的回顧與總結(jié)，進(jìn)一步

體會(huì)直觀感知、觀測(cè)發(fā)覺(jué)、歸

納類比、空間想象、抽象概括、

符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處

理、演繹證明、反思與建構(gòu)等

數(shù)學(xué)思維過(guò)程以及合情推理、

演繹推理之間的聯(lián)系與差異，

體會(huì)數(shù)學(xué)證明的特點(diǎn)，了解數(shù)

學(xué)證明的基本方法.

本章是新課程考綱中新增的

內(nèi)容，考查的范圍寬，內(nèi)容多，

涉及數(shù)學(xué)知識(shí)的方方面面，與

舊考綱相比，增加了合情推理

等知識(shí)點(diǎn)，這為創(chuàng)新性試題的

命制提供了空間.

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

有用文檔

有用文檔

14.1合情推理與演繹推理

典例精析

題型一運(yùn)用歸納推理發(fā)覺(jué)一般性結(jié)論

【例1】通過(guò)觀測(cè)以下等式，猜想出一個(gè)一般性的結(jié)論，并證明結(jié)論的真假.

sin215°＋sin275°＋sin2135°＝32

；sin230°＋sin290°＋sin2150°＝32

；sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝32

；sin260°＋sin2120°＋sin2180°＝32

.【解析】猜想：sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝32

.左邊＝(sinαcos60°－cosαsin60°)2＋sin2α＋(sinαcos60°＋cosαsin60°)2＝32(sin2α＋cos2α)＝32

＝右邊.【點(diǎn)撥】先猜后證是一種常見(jiàn)題型；歸納推理的一些常見(jiàn)形式：一是“具有共同特征型”，二是“遞推型”，三是“循環(huán)型”(周期性).

【變式訓(xùn)練1】設(shè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，斜邊上的高為h，那么有a＋b＜c＋h成立，某同學(xué)通過(guò)類比得到如下四個(gè)結(jié)論：

①a2＋b2＞c2＋h2；②a3＋b3＜c3＋h3；③a4＋b4＜c4＋h4；④a5＋b5＞c5＋h5.其中正確結(jié)論的序號(hào)是；

進(jìn)一步類比得到的一般結(jié)論是.

【解析】②③；an＋bn＜cn＋hn(n∈N*).

題型二運(yùn)用類比推理拓展新知識(shí)

【例2】請(qǐng)用類比推理完成下表：

①平面中的三角形與空間中的三棱錐是類比對(duì)象；②三角形各邊的邊長(zhǎng)與三棱錐各面的面積是類比對(duì)象；③三角形邊上的高與三棱錐面上的高是類比對(duì)象；④三角形的面積與三棱錐的體積是類比對(duì)象；⑤三角形的面積公式中的“二分之一”與三棱錐的體積公式中的“三分之一”是類比對(duì)象.

由以上分析可知：

有用文檔

故第三行空格應(yīng)填：三棱錐的體積等于其內(nèi)切球半徑與三棱錐表面積的乘積的三分之一.此題結(jié)論可以用等體積法，將三棱錐分割成四個(gè)小的三棱錐去證明，此處從略.

【點(diǎn)撥】類比推理的關(guān)鍵是找到合適的類比對(duì)象.平面幾何中的一些定理、公式、結(jié)論等，可以類比到立體幾何中，得到類似的結(jié)論.一般平面中的一些元素與空間中的一些元素的類比列表如下：

平面空間點(diǎn)線線面圓球三角形三棱錐角二面角面積體積周長(zhǎng)表面積…

…

【變式訓(xùn)練2】面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長(zhǎng)記為ai(i＝1,2,3,4)，此四邊形內(nèi)任一點(diǎn)P到第i條邊的距離為hi(i＝1,2,3,4)，(1)假設(shè)a11＝a22＝a33＝a44＝k，那么＝；

(2)類比以上性質(zhì)，體積為V的三棱錐的第i個(gè)面的面積記為Si(i＝1,2,3,4)，此三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)Q到第i個(gè)面的距離記為Hi(i＝1,2,3,4)，假設(shè)S11＝S22＝S33＝S4

4

＝K，那么＝.【解析】2Sk；3V

K

.

題型三運(yùn)用“三段論”進(jìn)行演繹推理【例3】已知函數(shù)f(*)＝lna*－*－a

*(a≠0).

(1)求此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值；

(2)求證：對(duì)于任意正整數(shù)n，均有1＋12＋13＋…＋1n≥lnen

n！.

【解析】(1)由題意f′(*)＝*－a

*2

.

當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f(*)的定義域?yàn)?0，＋∞)，

此時(shí)函數(shù)在(0，a)上是減函數(shù)，在(a，＋∞)上是增函數(shù)，fmin(*)＝f(a)＝lna2，無(wú)最大值.

當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f(*)的定義域?yàn)?－∞，0)，

此時(shí)函數(shù)在(－∞，a)上是減函數(shù)，在(a,0)上是增函數(shù)，fmin(*)＝f(a)＝lna2，無(wú)最大值.

(2)取a＝1，由(1)知，f(*)＝ln*－*－1

*≥f(1)＝0，

故1*≥1－ln*＝lne*

，

有用文檔取*＝1,2,3，…，n，那么1＋12＋13＋…＋1n≥lne＋lne2＋…＋lnen＝lnenn！

.【點(diǎn)撥】演繹推理是推理證明的主要途徑，而“三段論”是演繹推理的一種重要的推理形式，在高考中以證明題涌現(xiàn)的頻率較大.

【變式訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(*)＝eg(*)，g(*)＝k*－1*＋1

(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，(1)假設(shè)對(duì)任意的*＞0，都有f(*)＜*＋1，求滿意條件的最大整數(shù)k的值；

(2)求證：ln(1＋1×2)＋ln(1＋2×3)＋…＋ln[1＋n(n＋1)]＞2n－3(n∈N*).

【解析】(1)由條件得到f(1)＜2?＜2?k＜2ln2＋1＜3，猜想最大整數(shù)k＝2，現(xiàn)在證明＜*＋1對(duì)任意*＞0恒成立：

＜*＋1等價(jià)于2－3*＋1＜ln(*＋1)?ln(*＋1)＋3*＋1

＞2，設(shè)h(*)＝ln(*＋1)＋3*＋1，那么h′(*)＝1*＋1－3(*＋1)2＝*－2(*＋1)2

.故*∈(0,2)時(shí)，h′(*)＜0，當(dāng)*∈(2，＋∞)時(shí)，h′(*)＞0.

所以對(duì)任意的*＞0都有h(*)≥h(2)＝ln3＋1＞2，即＜*＋1對(duì)任意*＞0恒成立，所以整數(shù)k的最大值為2.

(2)由(1)得到不等式2－3*＋1

＜ln(*＋1)，所以ln[1＋k(k＋1)]＞2－3k(k＋1)＋1＞2－3k(k＋1)

，ln(1＋1×2)＋ln(1＋2×3)＋…＋ln[1＋n(n＋1)]＞(2－

31×2)＋(2－32×3)＋…＋[2－3n(n＋1)]＝2n－3[11×2＋12×3＋…＋1n(n＋1)]＝2n－3＋3n＋1

＞2n－3，所以原不等式成立.

總結(jié)提高

合情推理與演繹推理是兩種基本的思維推理方式.盡管合情推理(歸納、類比)得到的結(jié)論未必正確，但歸納推理與類比推理具有猜想和發(fā)覺(jué)新結(jié)論、探究和提供證明的新思路的重要作用，特別在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們可以由熟識(shí)的、已知的知識(shí)領(lǐng)域運(yùn)用歸納、類比思維獵取發(fā)覺(jué)和制造的靈感去探究生疏的、未知的知識(shí)領(lǐng)域.演繹推理是數(shù)學(xué)規(guī)律思維的主要形式，擔(dān)負(fù)著判斷命題真假的重要使命.假如說(shuō)合情推理是以感性思維為主，只需有感而發(fā)；那么演繹推理那么是以理性思維為主，要求言必有據(jù).在近幾年高考中一道合情推理的試題往往會(huì)成為一套高考試題的特色與亮點(diǎn)，以彰顯數(shù)學(xué)思維的魅力.其中數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式的歸納、等差數(shù)列與等比數(shù)列、平面與空間、圓錐曲線與圓、楊輝三角等的類比的考查頻率較大.而演繹推理的考查那么可以滲透到每一道試題中.

2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)14.1合情推理與演繹推理教案理新人教A

版

高考導(dǎo)航

考試要求重難點(diǎn)擊命題展望

1.了解合情推理的含義.

2.能利用歸納與類比等進(jìn)行簡(jiǎn)約的推理.

3.體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)覺(jué)中的作用.

4.了解演繹推理的重要性.

5.掌控演繹推理的基本模式：“三段論”.

6.能運(yùn)用演繹推理進(jìn)行簡(jiǎn)約的推理.

7.了解演繹推理、合情推理的聯(lián)系與區(qū)分.

8.了解徑直證明的兩種基本方法：分析法與綜合法.

9.了解分析法與綜合法的思維過(guò)程、特點(diǎn).

10.了解反證法是間接證明的一種基本方法及反證法的思維過(guò)程、特點(diǎn).

11.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.

12.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)約的與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題.

本章重點(diǎn)：1.利用歸納

與類比進(jìn)行推理；2.利用

“三段論”進(jìn)行推理與證

明；3.運(yùn)用徑直證明(分析

法、綜合法)與間接證明(反

證法)的方法證明一些簡(jiǎn)約

的命題；4.數(shù)學(xué)歸納法的基

本思想與證明步驟；運(yùn)用數(shù)

學(xué)歸納法證明與自然數(shù)

n(n∈N*)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題.

本章難點(diǎn)：1.利用歸納與類

比的推理來(lái)發(fā)覺(jué)結(jié)論并形

成猜想命題；2.依據(jù)綜合

法、分析法及反證法的思維

過(guò)程與特點(diǎn)選取適當(dāng)?shù)淖C

明方法證明命題；3.理解數(shù)

學(xué)歸納法的思維實(shí)質(zhì)，特別

是在第二個(gè)步驟要依據(jù)歸

納假設(shè)進(jìn)行推理與證明.

“推理與證明”是數(shù)學(xué)

的基本思維過(guò)程，也是人們學(xué)

習(xí)和生活中常常運(yùn)用的思維

方式.本章要求考生通過(guò)對(duì)已

有知識(shí)的回顧與總結(jié)，進(jìn)一步

體會(huì)直觀感知、觀測(cè)發(fā)覺(jué)、歸

納類比、空間想象、抽象概括、

符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處

理、演繹證明、反思與建構(gòu)等

數(shù)學(xué)思維過(guò)程以及合情推理、

演繹推理之間的聯(lián)系與差異，

體會(huì)數(shù)學(xué)證明的特點(diǎn)，了解數(shù)

學(xué)證明的基本方法.

本章是新課程考綱中新增的

內(nèi)容，考查的范圍寬，內(nèi)容多，

涉及數(shù)學(xué)知識(shí)的方方面面，與

舊考綱相比，增加了合情推理

等知識(shí)點(diǎn)，這為創(chuàng)新性試題的

命制提供了空間.

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

有用文檔

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14.1合情推理與演繹推理

典例精析

題型一運(yùn)用歸納推理發(fā)覺(jué)一般性結(jié)論

【例1】通過(guò)觀測(cè)以下等式，猜想出一個(gè)一般性的結(jié)論，并證明結(jié)論的真假.

sin215°＋sin275°＋sin2135°＝32

；sin230°＋sin290°＋sin2150°＝32

；sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝32

；sin260°＋sin2120°＋sin2180°＝32

.【解析】猜想：sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝32

.左邊＝(sinαcos60°－cosαsin60°)2＋sin2α＋(sinαcos60°＋cosαsin60°)2＝32(sin2α＋cos2α)＝32

＝右邊.【點(diǎn)撥】先猜后證是一種常見(jiàn)題型；歸納推理的一些常見(jiàn)形式：一是“具有共同特征型”，二是“遞推型”，三是“循環(huán)型”(周期性).

【變式訓(xùn)練1】設(shè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，斜邊上的高為h，那么有a＋b＜c＋h成立，某同學(xué)通過(guò)類比得到如下四個(gè)結(jié)論：

①a2＋b2＞c2＋h2；②a3＋b3＜c3＋h3；③a4＋b4＜c4＋h4；④a5＋b5＞c5＋h5.其中正確結(jié)論的序號(hào)是；

進(jìn)一步類比得到的一般結(jié)論是.

【解析】②③；an＋bn＜cn＋hn(n∈N*).

題型二運(yùn)用類比推理拓展新知識(shí)

【例2】請(qǐng)用類比推理完成下表：

①平面中的三角形與空間中的三棱錐是類比對(duì)象；②三角形各邊的邊長(zhǎng)與三棱錐各面的面積是類比對(duì)象；③三角形邊上的高與三棱錐面上的高是類比對(duì)象；④三角形的面積與三棱錐的體積是類比對(duì)象；⑤三角形的面積公式中的“二分之一”與三棱錐的體積公式中的“三分之一”是類比對(duì)象.

由以上分析可知：

有用文檔

故第三行空格應(yīng)填：三棱錐的體積等于其內(nèi)切球半徑與三棱錐表面積的乘積的三分之一.此題結(jié)論可以用等體積法，將三棱錐分割成四個(gè)小的三棱錐去證明，此處從略.

【點(diǎn)撥】類比推理的關(guān)鍵是找到合適的類比對(duì)象.平面幾何中的一些定理、公式、結(jié)論等，可以類比到立體幾何中，得到類似的結(jié)論.一般平面中的一些元素與空間中的一些元素的類比列表如下：

平面空間點(diǎn)線線面圓球三角形三棱錐角二面角面積體積周長(zhǎng)表面積…

…

【變式訓(xùn)練2】面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長(zhǎng)記為ai(i＝1,2,3,4)，此四邊形內(nèi)任一點(diǎn)P到第i條邊的距離為hi(i＝1,2,3,4)，(1)假設(shè)a11＝a22＝a33＝a44＝k，那么＝；

(2)類比以上性質(zhì)，體積為V的三棱錐的第i個(gè)面的面積記為Si(i＝1,2,3,4)，此三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)Q到第i個(gè)面的距離記為Hi(i＝1,2,3,4)，假設(shè)S11＝S22＝S33＝S4

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＝K