2024年雅禮中學高三數(shù)學4月模擬考試卷附答案解析

年雅禮中學高三數(shù)學4月模擬考試卷試題滿分150分，考試時間120分鐘2024.04一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．定義差集且，已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為2，方差為，則另一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)、標準差分別為（

）A．2， B．2，1 C．4， D．4，3．設復數(shù)滿足，在復平面內(nèi)對應的點為，則（

）A．B．C． D．4．向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的四分之一，即如圖所示，，我們稱為極化恒等式.已知在中，是中點，，，則（

）A． B．16 C． D．85．南丁格爾玫瑰圖是由近代護理學和護士教育創(chuàng)始人南丁格爾設計的，圖中每個扇形圓心角都是相等的，半徑長短表示數(shù)量大?。硻C構(gòu)統(tǒng)計了近幾年中國知識付費用戶數(shù)量（單位：億人次），并繪制成南丁格爾玫瑰圖（如圖所示），根據(jù)此圖，以下說法錯誤的是（

）A．2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加B．2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加量2018年最多C．2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量的逐年增加量逐年遞增D．2022年知識付費用戶數(shù)量超過2015年知識付費用戶數(shù)量的10倍6．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，則（

）A．直線是函數(shù)圖象的對稱軸B．在區(qū)間上有兩個極值點C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．函數(shù)的圖象可由向左平移個單位長度得到7．已知點為坐標原點，橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，設線段的中點為，且，則的面積為（

）A． B． C． D．8．中國古建筑聞名于世，源遠流長．如圖甲所示的五脊殿是中國傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖如圖乙所示，在結(jié)構(gòu)示意圖中，已知四邊形為矩形，,,與都是邊長為2的等邊三角形，若點，，，，都在球的球面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知直線與圓：，則下述正確的是（

）A．對，直線恒過一定點B．，使得直線與圓相切C．對，直線與圓一定相交D．直線與圓相交且直線被圓所截得的最短弦長為10．已知滿足，且的面積，則下列命題正確的是（

）A．的周長為B．的三個內(nèi)角，，滿足關(guān)系C．的外接圓半徑為D．的中線的長為11．已知，.若存在，，使得成立，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)在處的切線與函數(shù)在處的切線重合B．當時，C．當時，D．若恒成立，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．的展開式中的系數(shù)為.13．若，則.14．已知數(shù)列的通項公式為，是數(shù)列的前項和，則.四、解答題：本題共5小題，共77分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知函數(shù).(1)當時，求在處的切線方程；(2)討論在區(qū)間上的最小值.16．汽車尾氣排放超標是全球變暖、海平面上升的重要因素.我國近幾年著重強調(diào)可持續(xù)發(fā)展，加大在新能源項目的支持力度，積極推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展，某汽車制造企業(yè)對某地區(qū)新能源汽車的銷售情況進行調(diào)查，得到下面的統(tǒng)計表：年份20172018201920202021年份代碼12345銷量/萬輛1012172026(1)統(tǒng)計表明銷量與年份代碼有較強的線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程，并預測該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在哪一年能突破50萬輛；(2)某新能源汽車品牌銷售商為了促銷，采取“摸球定價格”的優(yōu)惠方式，其規(guī)則為：盒子內(nèi)裝有編號為1，2，3的三個相同的小球，有放回地摸三次，三次摸到相同編號的享受七折優(yōu)惠，三次中僅有兩次摸到相同編號的享受八折優(yōu)惠，其余情況均享受九折優(yōu)惠.已知此款新能源汽車一臺標價為100000元，設小李購買此款新能源汽車的價格為，求的分布列與均值.附：為經(jīng)驗回歸方程，，.17．如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點，四棱錐的體積為.(1)若為棱的中點，求證：平面；(2)在棱上是否存在點，使得平面與平面所成夾角的余弦值為？若存在，求出線段的長度；若不存在，請說明理由.18．已知雙曲線的右頂點，它的一條漸近線的傾斜角為.(1)求雙曲線的方程；(2)過點作直線交雙曲線于，兩點（不與點重合），求證：；(3)若過雙曲線上一點作直線與兩條漸近線相交，交點為，，且分別在第一象限和第四象限，若，，求面積的取值范圍.19．已知數(shù)列為有窮正整數(shù)數(shù)列.若數(shù)列A滿足如下兩個性質(zhì)，則稱數(shù)列A為m的k減數(shù)列：①；②對于，使得的正整數(shù)對有k個.(1)寫出所有4的1減數(shù)列；(2)若存在m的6減數(shù)列，證明：；(3)若存在2024的k減數(shù)列，求k的最大值.1．B【分析】根據(jù)差集的定義直接求解即可.【詳解】因為，，所以，所以．故選：B2．C【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差的性質(zhì)計算可得.【詳解】因為一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為2，方差為，所以另一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為，方差為,即平均數(shù)、標準差分別為．故選：C．3．D【分析】依據(jù)題意得到對應復數(shù)，依據(jù)復數(shù)模的幾何意義化簡求解即可.【詳解】設，故，可得，化簡得，故D正確.故選：D4．A【分析】可以把三角形補形為平行四邊形，,利用已知條件求解即可.【詳解】由題設，可以補形為平行四邊形，由已知得．故選：A．5．C【分析】利用題中所給的南丁格爾玫瑰圖逐一考查所給選項，即可得解.【詳解】對于A，由圖可知，2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加，故A說法正確；對于B和C，知識付費用戶數(shù)量的逐年增加量分別為：2016年，；2017年，；2018年，；2019年，；2020年，；2021年，；2022年，；則知識付費用戶數(shù)量逐年增加量2018年最多，知識付費用戶數(shù)量的逐年增加量不是逐年遞增，故B說法正確，C說法錯誤；對于D，由，則2022年知識付費用戶數(shù)量超過2015年知識付費用戶數(shù)量的10倍，故D說法正確.綜上，說法錯誤的選項為C.故選：C6．C【分析】利用整體代入法判斷A，利用整體換元法判斷B，利用三角函數(shù)的單調(diào)性判斷C，利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)判斷D即可.【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，所以，可得，結(jié)合，得，所以．對于A，，所以直線不是函數(shù)圖象的對稱軸，故A不正確；對于B，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上只有一個極值點，故B不正確；對于C，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確；對于D，左移個單位長度后得到，故D錯誤．故選：C．7．A【分析】根據(jù)橢圓的定義及三角形中位線的性質(zhì)求出、，再由余弦定理求出，即可求出，最后由面積公式計算可得.【詳解】由題意可得．如圖，因為分別是和的中點，所以，根據(jù)橢圓定義，可得，又因為，所以，所以，故的面積為．故選：A．8．A【分析】如圖，根據(jù)球的性質(zhì)可得平面，根據(jù)中位線的性質(zhì)和勾股定理可得且，分類討論當在線段上和在線段的延長線上時，由球的性質(zhì)可得球半徑的平方為，再用球的表面積公式計算即可.【詳解】如圖，連接，，設，因為四邊形為矩形，所以為矩形外接圓的圓心．連接，則平面，分別取，，的中點，，，根據(jù)幾何體的對稱性可知，直線交于點．連接PQ，則，且為的中點，因為，所以，連接，，在與，易知，所以梯形為等腰梯形，所以，且．設，球的半徑為，連接，，當在線段上時，由球的性質(zhì)可知，易得，則，此時無解．當在線段的延長線上時，由球的性質(zhì)可知，，解得，所以，所以球的表面積.故選：A．9．ACD【分析】由直線方程確定其所過的定點坐標，判斷該定點與圓的位置關(guān)系即可判斷A、B、C；根據(jù)直線與圓相交弦長最短，只需定點與圓心的連線與已知直線垂直，幾何法求最短弦長判斷D.【詳解】由題設，令，所以直線恒過定點，A對；又的標準式為，顯然，所以點在圓內(nèi)，故直線與圓必相交，B錯，C對；要使直線與圓相交弦長最短，只需定點與圓心的連線與已知直線垂直，此時定點與直線距離為，又圓的半徑為2，則最短相交弦長為，D對.故選：ACD10．BC【分析】根據(jù)已知結(jié)合正、余弦定理和面積公式可以求得，，進而可以得到選項ABC是否正確，選項D，弦利用正弦定理和三角變換求出，再借助余弦定理解三角形，可得解.【詳解】因為滿足，所以，設，利用余弦定理得，，由于，所以．因為，所以，解得．所以，

對于A，的周長為，故A不正確；對于B，因為，所以，故，故B正確；對于C，由正弦定理得外接圓半徑為，故C正確；對于D，如圖所示，在中，利用正弦定理，解得，又，所以，在中，利用余弦定理，解得，故D不正確．故選：BC．11．ABC【分析】求出在切點處的導數(shù)和函數(shù)值，即可得切線方程，可判斷A；對變形為，利用導數(shù)判斷的單調(diào)性，由單調(diào)性可得，然后可判斷B；利用B中結(jié)論，結(jié)合的最值可判斷C；令，利用導數(shù)求最小值，由可判斷D.【詳解】選項A，由，得，又驗證知，切線方程都為，故A正確；選項B，，則，且，由，得，當時，，則在上遞增，所以當時，有唯一解，故，，故B正確；選項C，由B正確，得，設，則，令，解得，易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，故C正確；選項D，由恒成立，即恒成立，令，則，由在上遞增，又，存在，使，在上遞減，在上遞增（其中滿足，即）．，要使恒成立，，存在滿足題意，故D錯誤．故選：ABC．【點睛】關(guān)鍵點睛：對于B選項，關(guān)鍵在于同構(gòu)函數(shù)，利用單調(diào)性求解；對于C選項，對不等式適當變形，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；對于D選項，關(guān)鍵在于利用隱零點方程化簡函數(shù)最值，然后結(jié)合基本不等式即可求解.12．【分析】寫出展開式的通項，利用通項計算可得.【詳解】二項式展開式的通項為（），所以展開式中含的項為，即展開式中的系數(shù)為.故答案為：13．##【分析】利用和差公式求出，然后弦化切可得.【詳解】依題意，，解得，故故答案為：14．【分析】設，根據(jù)所給通項求出，則，利用分組求和法計算可得.【詳解】因為，設，所以.故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，即可得到切線的斜率，再利用斜截式得到切線方程；（2）求出函數(shù)的導函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，再分、、三種情況討論，分別求出函數(shù)的最小值.【詳解】（1）當時，，則，所以，則在處的切線方程為，即，所以當時，函數(shù)在處的切線方程為．（2）函數(shù)，則，當時，，此時單調(diào)遞增；當時，，此時單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)的最小值；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)的最小值；當時，函數(shù)的最小值．綜上可得.16．(1)，2028；(2)分布列見詳解，.【分析】（1）利用公式直接求解得，然后由求出即可的回歸方程，然后解不等式可解；（2）先確定的取值，求出相應概率即可的分布列，然后由期望公式可得.【詳解】（1）由題意得：，．所以所以關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，令，得，所以最小的整數(shù)為，所以該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在2028年能突破50萬輛．（2）有放回地摸球，每次摸到某個編號的概率為，則三次摸到相同編號的概率為；三次中僅有兩次摸到相同編號的概率為；三次編號都不相同的概率為.得分布列：700008000090000故．17．(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）合理構(gòu)造圖形，利用線線平行證明線面平行即可.（2）建立空間直角坐標系，利用面面角的向量求法處理即可.【詳解】（1）取中點，連接分別為的中點，，底面四邊形是矩形，為棱的中點，，故四邊形是平行四邊形，，又平面平面，//平面.（2）假設在棱上存在點滿足題意，如圖：連接，，，在等邊中，為的中點，所以，又平面平面，平面平面平面，平面，則是四棱錐的高，設，則，∴，所以，以點為原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，故，設，．設平面的一個法向量為，則所以可取.易知平面的一個法向量為，，，故存在點滿足題意.18．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）首先得到，由漸近線的傾斜角得到斜率，從而求出；（2）分直線的斜率不存在與存在且不為兩種情況討論，設線、點，聯(lián)立消元、列出韋達定理，通過計算證明；（3）設直線方程為，，由向量共線的坐標表示得到，再由點在雙曲線上推導出，再聯(lián)立直線與得到、、的關(guān)系，最后由面積公式及對勾函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】（1）易知，又雙曲線的漸近線為，，，故雙曲線的方程為．（2）由已知可得直線的斜率不為，當直線的斜率不存在時由，解得或，不妨令，，所以，，則，即，所以，當直線的斜率存在且不為時，設直線的方程為，，，聯(lián)立，整理得，其中，且時，則，所以，所以，，即，．（3）由題意可知，若直線有斜率則斜率不為0，故設直線方程為，設，點在雙曲線上，，，③，又，④，聯(lián)立，由，所以，所以⑤，⑥，分別在第一象限和第四象限，，由④式得：，⑦將⑤⑥代入⑦得：，，令，則，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達定理求解.19．(1)數(shù)列和數(shù)列3，1(2)證明見解析(3)的最大值為512072【分析】（1）根據(jù)k減數(shù)列的定義，即可寫出答案；（2）根據(jù)存在的6減數(shù)列，可得，即，繼而分類討論n的取值，說明每種情況下都有，即可證明結(jié)論；（3）分類討論數(shù)列中的項的情況，結(jié)合題意確