平面的基本性質(zhì)與推論

關(guān)于平面的基本性質(zhì)與推論平面圖形與立體圖形比較平面圖形直線是向兩方無限延伸直線用線段加想象表示平面幾何研究平面圖形最簡單、最基本的圖形是：點(diǎn)、直線立體圖形平面是向四周無限延伸，無比平整的平面用封閉平面圖形加以想象表示立體幾何研究空間圖形最簡單、最基本的圖形是：點(diǎn)、直線、平面第2頁,共27頁，2024年2月25日，星期天點(diǎn)、線、面的表示1.字母表示：點(diǎn)（元素）：大寫字母A、B、C、D……直線（點(diǎn)的集合）：小寫英文字母平面（點(diǎn)的集合）：用希臘字母或用平行四邊形ABCD相對兩字母表示，即AC2.點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系表示用集合中的關(guān)系符號元素與集合關(guān)系：集合與集合關(guān)系：第3頁,共27頁，2024年2月25日，星期天平面的特征：(2)無限延展性(3)沒有厚度(1)平展性平面的畫法：通常用平行四邊形來表示平面。平面的表示：通常用希臘字母α、β、γ等表示平面，或用表示平面的多邊形的頂點(diǎn)字母來表示，如平面ABC。第4頁,共27頁，2024年2月25日，星期天三種語言轉(zhuǎn)換圖形語言文字語言符號語言

點(diǎn)P在直線AB上點(diǎn)Q不在直線AB上點(diǎn)M在平面AC內(nèi)點(diǎn)A1不在平面AC內(nèi)直線AB與直線BC交于點(diǎn)B直線l和平面α交于A平面α和平面β交于直線l直線AB在平面AC內(nèi)直線AA1不在平面AC內(nèi)第5頁,共27頁，2024年2月25日，星期天正方體的各頂點(diǎn)如圖所示，正方體的三個(gè)面所在平面，分別記作，試用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨?/p>

練一練（6）平面A1C1CA∩平面D1B1BD=A1B1C1D1O1ABCDOoo1第6頁,共27頁，2024年2月25日，星期天平面基本性質(zhì)公理1：1.文字語言：若一條直線上的兩點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)，則這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。3.圖形語言：α．A．B第7頁,共27頁，2024年2月25日，星期天平面的基本性質(zhì)基本性質(zhì)2過一點(diǎn)可以做幾條直線？兩點(diǎn)呢？過平面內(nèi)一點(diǎn)可以做幾個(gè)平面？兩點(diǎn)呢？三點(diǎn)呢？第8頁,共27頁，2024年2月25日，星期天平面基本性質(zhì)基本性質(zhì)2：1.文字語言：經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。3.圖形語言：第9頁,共27頁，2024年2月25日，星期天第10頁,共27頁，2024年2月25日，星期天平面基本性質(zhì)基本性質(zhì)3：1.文字語言：如果不重合的兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過這個(gè)點(diǎn)的公共直線。3.圖形語言：第11頁,共27頁，2024年2月25日，星期天兩個(gè)相交平面的畫法：第12頁,共27頁，2024年2月25日，星期天第13頁,共27頁，2024年2月25日，星期天推論2

經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.推論3

經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.baαabα推論1

經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.ABCa二、平面的基本性質(zhì)的推論第14頁,共27頁，2024年2月25日，星期天課本練習(xí)A思考與討論： 已知兩條直線相交，過其中任意一條直線上的一點(diǎn)作另一條直線的平行線，這些平行線是否都共面？為什么？第15頁,共27頁，2024年2月25日，星期天例題講解第16頁,共27頁，2024年2月25日，星期天例題講解第17頁,共27頁，2024年2月25日，星期天1．下面是一些命題的敘述語（A、B表示點(diǎn)，

a表示直線，α、β表示平面）A．∵A∈α，B∈α，∴AB∈α．B．∵a∈α，a∈β，∴α∩β=a．其中命題和敘述方法都正確的是[

]練習(xí)：D第18頁,共27頁，2024年2月25日，星期天2．下列推斷中，錯(cuò)誤的是[

]D．A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共C第19頁,共27頁，2024年2月25日，星期天例題講解例3

兩兩相交且不同點(diǎn)的三條直線必在同一個(gè)平面內(nèi)ABC已知：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C求證：直線AB，BC，AC共面.證法一：因?yàn)锳B∩AB=A所以直線AB，AC確定一個(gè)平面

.（推論2）因?yàn)锽∈AB，C∈AC，所以B∈，C∈，故BC.（公理1）因此直線AB，BC，CA共面.第20頁,共27頁，2024年2月25日，星期天ABC證法二：因?yàn)锳

直線BC上，所以過點(diǎn)A和直線BC確定平面.（推論1）因?yàn)锳∈，

B∈BC，所以B∈.故AB

，同理AC

，所以AB，AC，BC共面.第21頁,共27頁，2024年2月25日，星期天ABC證法三：因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不在一條直線上，所以過A，B，C三點(diǎn)可以確定平面

.（公理3）因?yàn)锳∈，B∈，所以AB

.（公理1）同理BC

，AC

，所以AB，BC，CA三直線共面.要證各線共面，先確定一個(gè)平面，再證明其他直線也在這個(gè)平面內(nèi)第22頁,共27頁，2024年2月25日，星期天例4已知三角形ABC的三條邊AB、BC、AC與平面α分別交于P、Q、R求證：P、Q、R共線BAQRCP證明：同理Q、R也為公共點(diǎn)所以P、Q、R共線要證明各點(diǎn)共線，只要證明他們是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)第23頁,共27頁，2024年2月25日，星期天小結(jié)：掌握利用平面的基本性質(zhì)證明諸點(diǎn)共面、諸線共面、三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)問題的一般方法．1．證明若干點(diǎn)或直線共面通常有兩種思路（1）先由部分元素確定若干平面，再證明這些平面重合；（2）先由部分元素確定一個(gè)平面，再證明其余元素在這平面內(nèi)．2．證明三點(diǎn)共線，通常先確定經(jīng)過兩點(diǎn)的直線是某兩個(gè)平面的交線，再證明第三點(diǎn)是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，即該點(diǎn)分別在這兩個(gè)平面內(nèi)．3．證明三線共點(diǎn)，通常先證其中的兩條直線相交于一點(diǎn)，然后再證第三條直線經(jīng)過這一點(diǎn)．第24頁,共27頁，2024年2月25日，星期天（×）（×）（×）（√）（×）當(dāng)堂檢測第25頁,共