2015-2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編 61平面幾何第一講（學(xué)生版+解析版）

2015-2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編

專題61平面幾何第一講

1.【2021年吉林預(yù)賽】如圖，。。的直徑AB與弦CD交于點P,CP=^,PD=5,AP=1,則NDCB=_

2.【2019年北京預(yù)賽】在△4BC的邊AB和BC上分別取點K和M,使得AK:KB==4:5,在線段KM

上取點0,使得KO:OM=3:1,N是射線8。與4c的交點/C=a,由點。到邊4C的距離OD=以則^KMN的面積

等于.

3.[2019年貴州預(yù)賽】在AABC中,AB=30,AC=20,SAABC=210,D,E分別為邊AB,AC的中點,NBAC的平分線

分別與DE,BC交于點F,G.則四邊形BGFD的面積為.

4.【2018年貴州預(yù)賽】順次連結(jié)圓/+尸=9與雙曲線孫=3的交點，得到一個凸四邊形，則此凸四邊形的面

積為.

5.【2018年北京預(yù)賽】一個三角形的一邊長為8,面積為12,則這個三角形的周長的最小值=.

6.【2018年貴州預(yù)賽】若邊長為6的正aABC的三個頂點到平面a的距離分別為1,2,3,則4ABC的

重心G到平面a的距離為.

7.【2018年貴州預(yù)賽】順次連結(jié)圓9+產(chǎn)=9與雙曲線xy=3的交點，得到一個凸四邊形，則此凸四邊形的面

積為.

8.【2018年天津預(yù)賽】凸六邊形ABCDEF的6條邊長相等，內(nèi)角A、B、C分別為134。、106。、134。.則

內(nèi)角E是(用度數(shù)作答).

9.[2018年河北預(yù)賽】設(shè)點O為三角形ABC內(nèi)一點，且滿足關(guān)系式：組也弩2￡空3=___.

ShABC

10.[2018年河北預(yù)賽】過動點M作圓：(x-2)2+(y-2)2=l的切線MN,其中N為切點，若

\MN\=\MO\(。為坐標原點)，則的最小值是.

11.【2016年天津預(yù)賽】已知凸n邊形n個內(nèi)角的度數(shù)均為整數(shù)并且互不相等,最大內(nèi)角的度數(shù)為最小內(nèi)角

的度數(shù)的3倍.則n可以取到的最大值為.

12.【2016年吉林預(yù)賽】給定平面上四點0、A、B、C,滿足。A=4,OB=3,OC=2,而?^=3^IJSAABC

的最大值為.

13.[2016年江西預(yù)賽】如圖，在四面體ABCD中,AABC為正三角形,AD=BD=2,AD_LBD,AD_LCD.則點D

到面ABC的距離為.

A

14.【2016年北京預(yù)賽】如圖，。。與正方形ABC。的邊48、4。分別切于點L、K,與邊BC交于點M、P,BM=

8厘米，MC=17厘米.則。。的面積為平方厘米

15.【2016年北京預(yù)賽】如圖，P4與。。切于點4PC與。。交于點8、C,P。與。。交于點D,AE1PO

于點E.聯(lián)結(jié)BE并延長，與。。交于點F,聯(lián)結(jié)OC、OF、AD.4F.若NBCO=30°,Z.BFO=20°,則NZMF的

度數(shù)為.

A

A

16.(2015年北京預(yù)賽】在銳角44BC內(nèi)取點P,使得4PAe=60。，APCA=^PBA=30°,M、N分別為邊

AC.BC的中點.則"NM的度數(shù)為.

17.[2019年北京預(yù)賽】如圖，已知半徑分別等于3厘米和5厘米的。8,0C外切于點4兩圓的一條外公切線切

。B于點D,切。C于點E,過4作DE的垂線與BC的中垂線交于點F,H是BC的中點.則△的面積等于

222D呼

18.[2018年北京預(yù)賽】O0的直徑48=8,C為上一點，NCOA=60。.延長AB至IJ點P,使=

連CP交半圓于點D,過點P作4P的垂線交4D的延長線于H,則PH的長度為

V3y/3廠273cpy

AA.—.nB.l.C.—.D.V3.

323

19.[2021年江西預(yù)賽】如圖，銳角△ABC中，以高AD為直徑的圓0,交AC,AB于E,F,過點E,F分別作圓。的

切線，若兩切線相交于點P.證明:直線AP重合于△ABC的一條中線.

20.【2021年廣西預(yù)賽】如圖，設(shè)點。、E分別為圓。的內(nèi)接三角形AZBC的邊AB、AC上的點，且=

AE.線段BD、CE的垂直平分線分別交圓。的劣販腦,/tt于點F、G，點P為劣弧死的中點.求證:4P_L

FG.

21.【2021年新疆預(yù)賽】如圖，AC=BC,AABC外接圓在A,C的切線交于D點，BD交圓于E,射線AE

交CD于F證明：F是CD的中點.

22.【2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷二試】如圖所示，在△ABC中，M是邊AC的中點，D,E是△4BC的

外接圓在點4處的切線上的兩點，滿足且4是線段DE的中點，過4三點的圓與邊4c相交于另一點

P,過三點的圓與DM的延長線相交于點Q.證明ZBCQ=/.BAC.

23.[2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷二試】如圖所示，/是△ABC的內(nèi)心，點P,Q分別為/在邊4B,4C上的投

影.直線PQ與AABC的外接圓相交于點X,Y（P在X,Q之間）.已知四點共圓,證明:C,/,Q,Y四點共圓.

24.【2020高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷（第02試）】如圖,在等腰A/IBC中，AB=BC,/為內(nèi)心，M為以的中點,P

為邊AC上一點，滿足AP=3PC,PI延長線上一點H滿足MHLPH,Q為AABC的外接圓上劣弧AB的中點.證

明:B”_LQ4.

25.[2020高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷（第02試）】如圖,A,B,CQ,E是圓Q上順次的五點，滿足ABC=BCD=CDE點

P,Q分別在線段AD,BE上，且P在線段CQ上.證明:/以Q=NPEQ.

26.【2020年福建預(yù)賽】如圖所示，在△ABC中,的內(nèi)切圓0/與邊BC、CA分別切于點D、

E,聯(lián)結(jié)A1并延長，與△4BC的外接圓。。交于點N，聯(lián)結(jié)ND、NO并延長，分別與。。交于點G、M,聯(lián)結(jié)

GE并延長，與。。交于點F.

證明(1)AN/G?ZiND/；(2)MF//AC.

27.【2020年廣西預(yù)賽】如圖1,設(shè)H為△ABC內(nèi)一點,D、E、F分別為AH、BH、CH的延長線與BC、

CA、AB的交點,G為FE的延長線與BC的延長線的交點,0為DG的中點，以。為圓心、OD為半徑作圓交

線段FE于點P.

/八BG

(1)---=—；

DCGC

28.【2019年全國】如圖，在銳角△ABC中，M是BC邊的中點.點P在△A8C內(nèi)，使得AP平分NBAC.直

線MP與△A8P,△ACP的外接圓分別相交于不同于點P的兩點￡>,E.

證明：若DE=MP,則BC=28P.

2015-2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編

專題61平面幾何第一講

7

1.【2021年吉林預(yù)賽】如圖，OO的直徑AB與弦CD交于點P,CP=g,PD=5,4P=1

貝I]NDCB=.

O

【答案】45

【解析】由相交弦定理得4P-BP-CP-DP，所以BP=7

直徑4B=8，連接DO.

由PO=5,PO=4—1=3,。。=4，知001AB.

所以/"OCB=Z.DAB=45°.

2.[2019年北京預(yù)賽】在△4BC的邊48和BC上分別取點K和M.使得4K:KB=

1:4BM:MC=4:5,在線段KM上取點O,使得KO:OM=3:1,N是射線B0與4c的交

點4c=a,由點。到邊4c的距離0。=d,MAKMN的面積等于.

B

【答案】學(xué)

【解析】過點M作BN的平行線，交NC于點M',過點K作8N的平行線，交4N于點K',連接

OMOK'

則：SANOM-S^ONM'，S&NOK-S^ONK'，相加得S^KMN=SxOMK

注意到淺=盥=2，設(shè)NM'=4u,M'C=5u

由K'N:NM'=KO.OM=3:1,得K'N=12u

由AK':KN=AK.KB=1:4,得4K'=3u.

于是K'M'=12u+4u=16u,AC=3u+12u+4u+5u=24u.

因此K'M':AC=16u:24u=2:3,得KM=1AC=1a

所以SAKMN=^hOM,K'=專K'M'xOD=：xjd,d=竽

3.[2019年貴州預(yù)賽】在4ABC中,AB=30,AC=20,SAABC=210,D,E分別為邊AB,AC的中點,NBAC的平分線

分別與DE,BC交于點F,G.則四邊形BGFD的面積為.

B

【答案】學(xué)

【解析】如圖，在AABC中，由AG平分NBAC可得:

CG—4C_2SAABC—BG—3

BG~AB~3^S^BC7~BC~5

又SZ\ABC=210,則S44BC=ABC=[*210=126.

由D、E分別為邊AB、AC的中點知OEIIBC,且OE=『BC,所以△ADF￡ABG.

由"^=*=^AADF=:故=126一粵二等.

4.【2018年貴州預(yù)賽】順次連結(jié)圓/+9=9與雙曲線孫=3的交點，得到一個凸四邊形，則此凸四邊形的面

積為.

【答案】6V5

【解析】

設(shè)A(m,")5>0,〃>0)為兩曲線在第一象限的一個交點.由兩曲線既關(guān)于原點對稱.又關(guān)于直線產(chǎn)x對稱,

得另外三個交點坐標為8(”，，〃)，C(~m,—〃)，￡)(一〃，—in).則四邊形A8C￡>為矩形，其面積

S=\AB\'\CD\=yj2(m—n)2-y/2(m+n)2

=2y/^m-+n2—2mn)(7n2+n2+2mn)=2,(9-6)(9+6)=6炳.

故答案為：6V5

5.【2018年北京預(yù)賽】一個三角形的一邊長為8,面積為12,則這個三角形的周長的最小值=.

【答案】18

【解析】

在中，設(shè)8c=8,8c邊上的高為九，則S4ABe=(x8xh=12,解得h=3.

在2C的一側(cè)作直線1IIBC且與BC的距離為3,以/為對稱軸作出點C的對稱點C',連接與/交于A,AA'BC

的周長是最小的.

這是因為4B+AC=AB+AC>BC=BA'+A'C=BA'+AC,此時A'B=A'C,

又因為片爐=BD2+A'D2=42+32=25,所以Z'C=A'B=5.

因此44BC周長的最小值為5+5+8=18.

6.【2018年貴州預(yù)賽】若邊長為6的正AABC的三個頂點到平面a的距離分別為1,2,3,則AABC的

重心G到平面a的距離為.

【答案】｛0,9/2)

【解析】

(1)當AABC的三個頂點在平面a的同側(cè)時，由公式d=瞥也求得重心G到平面a的距離為2.

(2)當AABC的三個頂點中，其中一點與另兩點分別在平面a的異側(cè)時，求得重心G到平面a的距離分

別為0，|>土

故答案為：｛o,p2)

7.【2018年貴州預(yù)賽】順次連結(jié)圓/+9=9與雙曲線孫=3的交點，得到一個凸四邊形，則此凸四邊形的面

積為.

【答案】6V5

【解析】

設(shè)4〃],〃)(,">0,〃>0)為兩曲線在第一象限的一個交點.由兩曲線既關(guān)于原點對稱.又關(guān)于直線了=、對

稱，得另外三個交點坐標為8(〃，⑼，C(-m,—“)，D(-n,-m).則四邊形ABC￡)為矩形，其面積

S=|/1B|-\CD\=—n)2?^2(jn+n)2

=2yJ(m2+n2—2mn)(m2+n2+2mn)=2J(9-6)(9+6)=6>/5.

故答案為：6>/5

8.【2018年天津預(yù)賽】凸六邊形ABCDEF的6條邊長相等，內(nèi)角A、B、C分別為134。、106。、134。.則

內(nèi)角E是(用度數(shù)作答).

【答案】134°

【解析】

不妨設(shè)邊長為1,設(shè)AC、DF的中點分別為M、N,且A在DF上的射影為K,貝IJzBAM=37。，/.MAF=

97°,Z.AFK=83°,即FK=cos83°,KN=AM=cos37°.

又設(shè)4EFN=x,則FN=cosx,利用FN=FK+KN,

我們有cosx=cos830+cos370=2cos600cos230=cos23°.

因此x=23。，即等腰ADEF的底角為23。,可見其頂角E為134。.

故答案為：134。

9.[2018年河北預(yù)賽】設(shè)點O為三角形ABC內(nèi)一點，且滿足關(guān)系式：s“°B+2y℃+3sAe。*=____.

'△ABC

【答案】1

【解析】

將加+2OB+3OC=3AB+2BC+示化為3而+OB+2OC=0,(OA+OB)+2(OA+OC)=0.

設(shè)M、N分別是AB、AC的中點，則。而=一2箱.

設(shè)4ABC的面積為S,由幾何關(guān)系知，Boc=；S,5△40H==S,SAA0C=；S,

236

所以S“OB+2SA8OC+3sAecM_

S^ABC6

10.(2018年河北預(yù)賽】過動點M作圓：(x—2『+(y—2)2=1的切線MN,其中N為切點，若

\MN\^\M0\(。為坐標原點)，貝U|MV|的最小值是.

【答案】苧

【解析】解答：由圓的方程可得圓心C的坐標為(2,2),半徑等于1.

由力),則|M/Vp=(a-2)2+(62)2-12=a2+fr2-4a-4/>4-7,

\MO\2=a2+b2.

由得〃2+按一4〃-4。+7=a2+。2.

整理得：4a+4b—7=0.

：.a9。滿足的關(guān)系為：4〃+4A7=0.

求|MM的最小值，就是求|MO|的最小值。

在直線4〃+467=0上取一點到原點距離最小，

由“垂線段最短”得，直線OM垂直直線4a+467=0,

7

由點到直線的距離公式得：的最小值為：-I'=-V2.

72+428

11.【2016年天津預(yù)賽】已知凸n邊形n個內(nèi)角的度數(shù)均為整數(shù)并且互不相等,最大內(nèi)角的度數(shù)為最小內(nèi)角

的度數(shù)的3倍.則n可以取到的最大值為.

【答案】20

【解析】

設(shè)n個內(nèi)角的度數(shù)按從大到小的次序為：%>%>?">%，

則EH=180(n-2).

由n個內(nèi)角的度數(shù)均為整數(shù)知

180>%=36>n=%S177,0n<59.

再由n個內(nèi)角的度數(shù)均為整數(shù)且互不相等知.

ek<178-k(k=l,2,...,n-1).

故180(n-2)=<59+￡仁；(178-fc)=59+178(n-1)-1(n-l)n,

=>n2+3n-482<0,

--3+V9+4X482

=>n<---------，

結(jié)合n為正整數(shù)，知nW20.

因為當n=20時，

59+￡仁;(178-k)=3251,

180(n-2)=3240,

所以m個內(nèi)角的度數(shù)為177,176,...,160,148,59滿足要求.

綜上,n可取到的最大值為20.

12.【2016年吉林預(yù)賽】給定平面上四點0、A、B、C,滿足。4=4,OB=3,OC=2,而?^=3^IJSAABC

的最大值為.

【答案】2五+手

【解析】

試題分析:

由已知加OC=3=3x2xcoszBOC,得乙BOC=60°,由余弦定理可得BC=V7,從而ZOBC中邊BC邊上

的高為哭，由。A=4知點4在以。為圓心，4為半徑的圓上，4到直線8c的距離最大值為4+掾，.."ABC面

積的最大值為：X（4+翠）xV7=2^7+苧.

考點：向量的數(shù)量積，三角形面積最大值.

13.[2016年江西預(yù)賽】如圖，在四面體ABCD中,ZkABC為正三角形,AD=BD=2,AD_LBD,AD_LCD.則點D到

面ABC的距離為.

【答案】管

【解析】

據(jù)題意得

AB=TAD?+BD2=2V2.

則BC=CA=AB=2V2,

CD=>JAC2-AD2=2.

又Be?=BD2+CD2=>BD1CD.

從而，以D為頂點的三面角均為直角.

設(shè)點D到面ABC的距離為h

故"四面體4BCD=?SA48c=三4c.ShBCD

2V342V3

=>——/i=-=>h=——

333

14.【2016年北京預(yù)賽】如圖，。。與正方形/BCD的邊AB、4。分別切于點L、K,與邊BC交于點M、P,BM二

8厘米，MC=17厘米.則。。的面積為平方厘米

【答案】1697r

【解析】

如圖，聯(lián)結(jié)。。的半徑OK、OL、0M,記半徑為r,作MNJL0L于點N.

又BC=BM+MC=25,故MB=BL=25-r.

在RtAONM中，由勾股定理得

r2=(25—r)2+(r-8)2

n=13,r2=53(不合題意).

故。。的面積為1697r平方厘米.

15.【2016年北京預(yù)賽】如圖，PA與O0切于點4PC與。0交于點8、C,P。與O0交于點D,AE1PO

于點E.聯(lián)結(jié)BE并延長，與。。交于點F,聯(lián)結(jié)。C、OF.AD,4".若zBC。=30°,ABFO=20°,貝iJ/ZMF的

度數(shù)為.

【答案】115°

【解析】

聯(lián)結(jié)04、CD、CF.

因為P4與。。切于點4所以。41P4

由4E±P。=>PA2=PE-P0.

又「爐=PB?PC

=C、B、E、。四點共圓

n乙FEO=4BCO=30°.

又乙BFO=20。，故

乙EOF=130°=?Z.FCD=65°

=4DAF=180°-乙FCD=115°.

16.[2015年北京預(yù)賽】在銳角Z4BC內(nèi)取點P,使得/P4C=60。，APCA=^PBA=30°,M、N分別為邊

AC.BC的中點.則ZPNM的度數(shù)為.

【答案】90°

【解析】

由條件易知N4PC=90°.

如圖4,延長CP到點D,使得PD=CP,聯(lián)結(jié)4。、DB

貝必PO=90。，AD=AC,

ZJWP=AACP=30°=4PB4

于是，A、D、B、P四點共圓.

因此，4DBA=/.APD=90°.

又M、N分別為邊的4C、BC中點，P為CD的中點，故MNII4B,PN||DB.

因此，NPNM=乙DBA=90°.

17.[2019年北京預(yù)賽】如圖，已知半徑分別等于3厘米和5厘米的OB,OC外切于點4兩圓的一條外

公切線切OB于點。，切oC于點E,過4作。E的垂線與3c的中垂線交于點尸,H是BC的中點.則

△4H尸的面積等于

【答案】C

【解析】如圖，連接BD,CE,過B作CE的垂線，垂足為M,因為OE1是兩圓的公切線,D,E是切點,

所以B。1DE.CE1DE,于是四邊形BDEM為矩形，有BM||DE.BD=EM.

2

CM=CE—BD=2,易知,△尸?△BMC,所以=（空）.

bACMB

乂4“BH-BA=匕匕-B4=4-3=1

2

在R2△BCM中,根據(jù)勾股定理，有BM=V82-22=2V15.

所以S/kCMB=2x2J15x2=2'15,進而有544“尸=x?。?

18.（2018年北京預(yù)賽】。。的直徑4B=8,C為0。上一點，"04=60。.延長4B到點P,使BP=[BO,

連CP交半圓于點0,過點P作4P的垂線交4。的延長線于H,貝UP”的長度為

A.—.B.—.C.—.D.V3.

323

【答案】C

【解析】

連結(jié)

???AB是直徑，/.ADB=90°,因此，乙BDH=90°.

HP14P于點P,?-?4BPH=90°.

即/BDH+/BPH=180°,所以8、D、H、P四點共圓,

???乙PBH=乙PDH.

???/.COA=60°,A/.ADC=30°,因止匕4PDH=Z.ADC=30°,故NPBH=30°.

???AB=8,BP=IBO,.-.BP=2,；,PH=2-tan30°=#.選C.

19.(2021年江西預(yù)賽】如圖，銳角△ABC中，以高AD為直徑的圓0,交AC,AB于E,F,過點E,F分別作圓

O的切線，若兩切線相交于點P.證明:直線AP重合于△4BC的一條中線.

【答案】證明見解析

【解析】證明：設(shè)M為BC中點，過點E,F的切線尸分別交BC于N,K,

設(shè)ENAAM=P,FKnAM=P',只要證點尸，P'重合；

LABM,LACM分別被直線產(chǎn)K,EN所截,

如*后曰h甘廣生工田MKBFAP_1MNCEAP_\

據(jù)梅尼歷斯定理‘W.兩’而一1,何.麗?兩彳一1，

yAP'_AR

為證麗—PM

只要幽.紅=”.在（1）

八安址KBFANCEA

設(shè)圓心為O,連DE,DF,ONQK,因為K。，K尸為。0的切線,

所以O(shè)K是DF的中垂線，又4尸1DF,

貝l」OK〃AB,即OK是ADAB的中位線，K是BD的中點,

同理N是CD的中點，所以KN=*BC=MB=MC,

MK_ND_CDMN_DK_BD

因此MK=CN=ND,于是

~KB~^K~BD,~NC~ND~TD(2).

又在直角三角形4ADB,AADC中,

FD\2CE_CE

由于DE

。尸「8,?！辍?胃=案⑶，

AD)'EA~DEEA

據(jù)②③可知①式成立，因此結(jié)論得證.

20.【2021年廣西預(yù)賽】如圖，設(shè)點。、E分別為圓O的內(nèi)接三角形△4BC的邊AB、AC上的點,

且4。=AE.線段BD、CE的垂直平分線分別交圓O的劣販于點尸、G，點P為劣

弧的C的中點.求證：4尸JLFG.

【答案】證明見解析

【解析】證明:如圖，作OL、OM分別垂直AB、AC交圓O于點J、K,連接JK,則點J、K分別為劣弧

和劣弧AC弧的中點.

因為+4P3/=今，所以4P_L/K.

下面證明尸G///K.

取BD、CE的中點尸1，G1,易知尸尸1、GG1分別垂直AB、AC,故尸尸1，GG1分別平行于OJ、

OK.

因為尸#=^AB-BD)=\AD,G±M=^(4C-CE)=\AE,

所以尸—Gj

FF1到過圓心。的線段OJ的距離與GGi到過圓心。的線段OK的距離相等，

故F/等于GK，從而尸G///K.

于是由4P1JK,FG//JK可得4P1FG.

21.【2021年新疆預(yù)賽】如圖，AC=BC,AABC外接圓在A,C的切線交于D點，BD交圓于E,射線AE

交CD于F證明：F是CD的中點.

【答案】證明見解析

【解析】證明：延長AF至G,使得AG=BD.連接CG,DG.

因為AC=BC,ZDBC=ZGAC,AG=BD,

所以△4CGB/8CD①

因此CG=CD=AD.②

設(shè)NCAB=N1,ZABC=Z2,NACB=N3,ZGCD=Z4,ZDCA=Z5,ZDAC=Z6,NADC=N7,

由弦切角定理得：Z5=Z2=Z1,Z5=Z6=Z1,因此/3=N7,

由①知：ZGCA=ZDCB,所以/3=/4,

因此N4=N7,AD〃CG.③

由②③知：四邊形ACGD是平行四邊形,

故F是CD的中點

22.【2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷二試】如圖所示，在AABC中，M是邊AC的中點，D,E是A/IBC的

外接圓在點4處的切線上的兩點，滿足MD〃AB,且4是線段DE的中點，過4B,E三點的圓與邊4C相交于另一點

P,過三點的圓與DM的延長線相交于點Q.證明:NBCQ=/.BAC.

【答案】證明見解析

【解析】取8c邊的中點N,則。,M,Q,N共線，且MN〃AB.

由弦切角定理可知4fMM=ACBA=乙CNM.又4AMD=乙NMCQAMD-△NMC.

因此冷笨①

由己知條件,42P,Q四點共圓，故乙4PQ=Z.ADQ=乙4DM=乙4c8,因此PQ〃8c.

于是㈣=生②

NMCM

結(jié)合①、②以及可得裁=黑?翳=器喘=黑=?

即磴吟③

由弦切角定理可知4B4E=Z.BCA=48cp.又4,P,B,E四點共圓，故NBEA=NBPC.因此△BAE-△BCP.于是

興=善結(jié)合③可得器=含

又MN"AB,故M1NQ=N4BC.所以^CNQ-t^ABC.

從而NNCQ="AC,即NBCQ=Z.BAC.

23.[2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷二試】如圖所示，/是△力BC的內(nèi)心，點P,Q分別為/在邊ABMC上的

投影.直線PQ與△ABC的外接圓相交于點X,y（P在X,Q之間）.已知四點共圓,證明:C,/,Q,y四點共

圓.

【答案】證明見解析

【解析】記△48C的外接圓為3.

因為N4P/=Z.AQ1=90°,故A,P,/,Q四點共圓.

因此NBPQ=乙BP1+乙IPQ=90°+Z.IAQ=90°+^BAC=4B1C.

又由B,/,P,X四點共圓可知Z8PX=乙BIX,

故ZB/X4-ZB/C=4BPX+乙BPQ=180°.

因此c,/,x三點共線.

由B,/,P,X共圓可知Z_BX/=/.BPI=90°,故BX1/X,即BX1CX.

因此NBAC=乙BXC=900.

于是四邊形4P/Q是正方形，PQ垂直平分線段4/.

設(shè)F是AC的中點，則由內(nèi)心熟知的結(jié)論可知丫工=丫'/,因此X是4/的中垂線PQ與圓3的交點.

又直線PQ與圓3相交于X,y兩點，且F顯然不同于x,故1與y重合.因此y是女的中點.

于是B,/,y三點共線.因此N/YC=乙BYC=ABAC=90°=N/QC,進而C,/,Q,Y四點共圓.

24.12020高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷（第02試）】如圖,在等腰△4BC中，4B=BC,/為內(nèi)心，M為8/

的中點,P為邊AC上一點，滿足AP^PC,PI延長線上一點H滿足MHLPH,Q為AABC的外接圓上劣弧AB

的中點.證明:

【答案】證明見解析

【解析】取AC的中點N.由AP=3PC,可知P為NC的中點.易知BJ,N共線,NINC=90。.

由/為//8C的內(nèi)心，可知C7經(jīng)過點Q,且NQ!B=NIBC+NICB=NAB/+NACQ=NABI+NAB%NQBI,

又M為BI的中點，所以QM_LB/.進而QMHCN.

考慮AHMQ與/H/8.由于MHLPH,故NHMQ=900-NHMi=NHIB.

14MNP

又NIHM=NINP=90°，故詈=箭，

工且HM_JVP_1NC_1MQ_MQ

i7C~HT~m~2~NT~2~m~~iB

所以△HMQHB,f#ZHQM=ZHBI.

從而四點共圓.于是有NB”Q=/8MQ=90。,即BHLQH.

25.12020高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷(第02試)】如圖A8,C,Z),E是圓0上順次的五點，滿足ABC=2C￡>=CZ)E,點

P,Q分別在線段AD,BE上，且P在線段CQ上.證明:NB4Q=/PE。.

【答案】證明見解析

【解析】記S為A。與BE的交點,7為CQ延長線與圓Q的交點.

注意到ABC=BCD=C￡>E,可設(shè)AB,CD所對的圓周角均為a,BC、D