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文檔簡介
2015-2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編
專題61平面幾何第一講
1.【2021年吉林預(yù)賽】如圖,。。的直徑AB與弦CD交于點P,CP=^,PD=5,AP=1,則NDCB=_
2.【2019年北京預(yù)賽】在△4BC的邊AB和BC上分別取點K和M,使得AK:KB==4:5,在線段KM
上取點0,使得KO:OM=3:1,N是射線8。與4c的交點/C=a,由點。到邊4C的距離OD=以則^KMN的面積
等于.
3.[2019年貴州預(yù)賽】在AABC中,AB=30,AC=20,SAABC=210,D,E分別為邊AB,AC的中點,NBAC的平分線
分別與DE,BC交于點F,G.則四邊形BGFD的面積為.
4.【2018年貴州預(yù)賽】順次連結(jié)圓/+尸=9與雙曲線孫=3的交點,得到一個凸四邊形,則此凸四邊形的面
積為.
5.【2018年北京預(yù)賽】一個三角形的一邊長為8,面積為12,則這個三角形的周長的最小值=.
6.【2018年貴州預(yù)賽】若邊長為6的正aABC的三個頂點到平面a的距離分別為1,2,3,則4ABC的
重心G到平面a的距離為.
7.【2018年貴州預(yù)賽】順次連結(jié)圓9+產(chǎn)=9與雙曲線xy=3的交點,得到一個凸四邊形,則此凸四邊形的面
積為.
8.【2018年天津預(yù)賽】凸六邊形ABCDEF的6條邊長相等,內(nèi)角A、B、C分別為134。、106。、134。.則
內(nèi)角E是(用度數(shù)作答).
9.[2018年河北預(yù)賽】設(shè)點O為三角形ABC內(nèi)一點,且滿足關(guān)系式:組也弩2£空3=___.
ShABC
10.[2018年河北預(yù)賽】過動點M作圓:(x-2)2+(y-2)2=l的切線MN,其中N為切點,若
\MN\=\MO\(。為坐標原點),則的最小值是.
11.【2016年天津預(yù)賽】已知凸n邊形n個內(nèi)角的度數(shù)均為整數(shù)并且互不相等,最大內(nèi)角的度數(shù)為最小內(nèi)角
的度數(shù)的3倍.則n可以取到的最大值為.
12.【2016年吉林預(yù)賽】給定平面上四點0、A、B、C,滿足。A=4,OB=3,OC=2,而?^=3^IJSAABC
的最大值為.
13.[2016年江西預(yù)賽】如圖,在四面體ABCD中,AABC為正三角形,AD=BD=2,AD_LBD,AD_LCD.則點D
到面ABC的距離為.
A
14.【2016年北京預(yù)賽】如圖,。。與正方形ABC。的邊48、4。分別切于點L、K,與邊BC交于點M、P,BM=
8厘米,MC=17厘米.則。。的面積為平方厘米
15.【2016年北京預(yù)賽】如圖,P4與。。切于點4PC與。。交于點8、C,P。與。。交于點D,AE1PO
于點E.聯(lián)結(jié)BE并延長,與。。交于點F,聯(lián)結(jié)OC、OF、AD.4F.若NBCO=30°,Z.BFO=20°,則NZMF的
度數(shù)為.
A
A
16.(2015年北京預(yù)賽】在銳角44BC內(nèi)取點P,使得4PAe=60。,APCA=^PBA=30°,M、N分別為邊
AC.BC的中點.則"NM的度數(shù)為.
17.[2019年北京預(yù)賽】如圖,已知半徑分別等于3厘米和5厘米的。8,0C外切于點4兩圓的一條外公切線切
。B于點D,切。C于點E,過4作DE的垂線與BC的中垂線交于點F,H是BC的中點.則△的面積等于
222D呼
18.[2018年北京預(yù)賽】O0的直徑48=8,C為上一點,NCOA=60。.延長AB至IJ點P,使=
連CP交半圓于點D,過點P作4P的垂線交4D的延長線于H,則PH的長度為
V3y/3廠273cpy
AA.—.nB.l.C.—.D.V3.
323
19.[2021年江西預(yù)賽】如圖,銳角△ABC中,以高AD為直徑的圓0,交AC,AB于E,F,過點E,F分別作圓。的
切線,若兩切線相交于點P.證明:直線AP重合于△ABC的一條中線.
20.【2021年廣西預(yù)賽】如圖,設(shè)點。、E分別為圓。的內(nèi)接三角形AZBC的邊AB、AC上的點,且=
AE.線段BD、CE的垂直平分線分別交圓。的劣販腦,/tt于點F、G,點P為劣弧死的中點.求證:4P_L
FG.
21.【2021年新疆預(yù)賽】如圖,AC=BC,AABC外接圓在A,C的切線交于D點,BD交圓于E,射線AE
交CD于F證明:F是CD的中點.
22.【2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷二試】如圖所示,在△ABC中,M是邊AC的中點,D,E是△4BC的
外接圓在點4處的切線上的兩點,滿足且4是線段DE的中點,過4三點的圓與邊4c相交于另一點
P,過三點的圓與DM的延長線相交于點Q.證明ZBCQ=/.BAC.
23.[2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷二試】如圖所示,/是△ABC的內(nèi)心,點P,Q分別為/在邊4B,4C上的投
影.直線PQ與AABC的外接圓相交于點X,Y(P在X,Q之間).已知四點共圓,證明:C,/,Q,Y四點共圓.
24.【2020高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷(第02試)】如圖,在等腰A/IBC中,AB=BC,/為內(nèi)心,M為以的中點,P
為邊AC上一點,滿足AP=3PC,PI延長線上一點H滿足MHLPH,Q為AABC的外接圓上劣弧AB的中點.證
明:B”_LQ4.
25.[2020高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷(第02試)】如圖,A,B,CQ,E是圓Q上順次的五點,滿足ABC=BCD=CDE點
P,Q分別在線段AD,BE上,且P在線段CQ上.證明:/以Q=NPEQ.
26.【2020年福建預(yù)賽】如圖所示,在△ABC中,的內(nèi)切圓0/與邊BC、CA分別切于點D、
E,聯(lián)結(jié)A1并延長,與△4BC的外接圓。。交于點N,聯(lián)結(jié)ND、NO并延長,分別與。。交于點G、M,聯(lián)結(jié)
GE并延長,與。。交于點F.
證明(1)AN/G?ZiND/;(2)MF//AC.
27.【2020年廣西預(yù)賽】如圖1,設(shè)H為△ABC內(nèi)一點,D、E、F分別為AH、BH、CH的延長線與BC、
CA、AB的交點,G為FE的延長線與BC的延長線的交點,0為DG的中點,以。為圓心、OD為半徑作圓交
線段FE于點P.
/八BG
(1)---=—;
DCGC
28.【2019年全國】如圖,在銳角△ABC中,M是BC邊的中點.點P在△A8C內(nèi),使得AP平分NBAC.直
線MP與△A8P,△ACP的外接圓分別相交于不同于點P的兩點£>,E.
證明:若DE=MP,則BC=28P.
2015-2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編
專題61平面幾何第一講
7
1.【2021年吉林預(yù)賽】如圖,OO的直徑AB與弦CD交于點P,CP=g,PD=5,4P=1
貝I]NDCB=.
O
【答案】45
【解析】由相交弦定理得4P-BP-CP-DP,所以BP=7
直徑4B=8,連接DO.
由PO=5,PO=4—1=3,。。=4,知001AB.
所以/"OCB=Z.DAB=45°.
2.[2019年北京預(yù)賽】在△4BC的邊48和BC上分別取點K和M.使得4K:KB=
1:4BM:MC=4:5,在線段KM上取點O,使得KO:OM=3:1,N是射線B0與4c的交
點4c=a,由點。到邊4c的距離0。=d,MAKMN的面積等于.
B
【答案】學(xué)
【解析】過點M作BN的平行線,交NC于點M',過點K作8N的平行線,交4N于點K',連接
OMOK'
則:SANOM-S^ONM',S&NOK-S^ONK',相加得S^KMN=SxOMK
注意到淺=盥=2,設(shè)NM'=4u,M'C=5u
由K'N:NM'=KO.OM=3:1,得K'N=12u
由AK':KN=AK.KB=1:4,得4K'=3u.
于是K'M'=12u+4u=16u,AC=3u+12u+4u+5u=24u.
因此K'M':AC=16u:24u=2:3,得KM=1AC=1a
所以SAKMN=^hOM,K'=專K'M'xOD=:xjd,d=竽
3.[2019年貴州預(yù)賽】在4ABC中,AB=30,AC=20,SAABC=210,D,E分別為邊AB,AC的中點,NBAC的平分線
分別與DE,BC交于點F,G.則四邊形BGFD的面積為.
B
【答案】學(xué)
【解析】如圖,在AABC中,由AG平分NBAC可得:
CG—4C_2SAABC—BG—3
BG~AB~3^S^BC7~BC~5
又SZ\ABC=210,則S44BC=ABC=[*210=126.
由D、E分別為邊AB、AC的中點知OEIIBC,且OE=『BC,所以△ADF£ABG.
由"^=*=^AADF=:故=126一粵二等.
4.【2018年貴州預(yù)賽】順次連結(jié)圓/+9=9與雙曲線孫=3的交點,得到一個凸四邊形,則此凸四邊形的面
積為.
【答案】6V5
【解析】
設(shè)A(m,")5>0,〃>0)為兩曲線在第一象限的一個交點.由兩曲線既關(guān)于原點對稱.又關(guān)于直線產(chǎn)x對稱,
得另外三個交點坐標為8(”,,〃),C(~m,—〃),£)(一〃,—in).則四邊形A8C£>為矩形,其面積
S=\AB\'\CD\=yj2(m—n)2-y/2(m+n)2
=2y/^m-+n2—2mn)(7n2+n2+2mn)=2,(9-6)(9+6)=6炳.
故答案為:6V5
5.【2018年北京預(yù)賽】一個三角形的一邊長為8,面積為12,則這個三角形的周長的最小值=.
【答案】18
【解析】
在中,設(shè)8c=8,8c邊上的高為九,則S4ABe=(x8xh=12,解得h=3.
在2C的一側(cè)作直線1IIBC且與BC的距離為3,以/為對稱軸作出點C的對稱點C',連接與/交于A,AA'BC
的周長是最小的.
這是因為4B+AC=AB+AC>BC=BA'+A'C=BA'+AC,此時A'B=A'C,
又因為片爐=BD2+A'D2=42+32=25,所以Z'C=A'B=5.
因此44BC周長的最小值為5+5+8=18.
6.【2018年貴州預(yù)賽】若邊長為6的正AABC的三個頂點到平面a的距離分別為1,2,3,則AABC的
重心G到平面a的距離為.
【答案】{0,9/2)
【解析】
(1)當AABC的三個頂點在平面a的同側(cè)時,由公式d=瞥也求得重心G到平面a的距離為2.
(2)當AABC的三個頂點中,其中一點與另兩點分別在平面a的異側(cè)時,求得重心G到平面a的距離分
別為0,|>土
故答案為:{o,p2)
7.【2018年貴州預(yù)賽】順次連結(jié)圓/+9=9與雙曲線孫=3的交點,得到一個凸四邊形,則此凸四邊形的面
積為.
【答案】6V5
【解析】
設(shè)4〃],〃)(,">0,〃>0)為兩曲線在第一象限的一個交點.由兩曲線既關(guān)于原點對稱.又關(guān)于直線了=、對
稱,得另外三個交點坐標為8(〃,⑼,C(-m,—“),D(-n,-m).則四邊形ABC£)為矩形,其面積
S=|/1B|-\CD\=—n)2?^2(jn+n)2
=2yJ(m2+n2—2mn)(m2+n2+2mn)=2J(9-6)(9+6)=6>/5.
故答案為:6>/5
8.【2018年天津預(yù)賽】凸六邊形ABCDEF的6條邊長相等,內(nèi)角A、B、C分別為134。、106。、134。.則
內(nèi)角E是(用度數(shù)作答).
【答案】134°
【解析】
不妨設(shè)邊長為1,設(shè)AC、DF的中點分別為M、N,且A在DF上的射影為K,貝IJzBAM=37。,/.MAF=
97°,Z.AFK=83°,即FK=cos83°,KN=AM=cos37°.
又設(shè)4EFN=x,則FN=cosx,利用FN=FK+KN,
我們有cosx=cos830+cos370=2cos600cos230=cos23°.
因此x=23。,即等腰ADEF的底角為23。,可見其頂角E為134。.
故答案為:134。
9.[2018年河北預(yù)賽】設(shè)點O為三角形ABC內(nèi)一點,且滿足關(guān)系式:s“°B+2y℃+3sAe。*=____.
'△ABC
【答案】1
【解析】
將加+2OB+3OC=3AB+2BC+示化為3而+OB+2OC=0,(OA+OB)+2(OA+OC)=0.
設(shè)M、N分別是AB、AC的中點,則。而=一2箱.
設(shè)4ABC的面積為S,由幾何關(guān)系知,Boc=;S,5△40H==S,SAA0C=;S,
236
所以S“OB+2SA8OC+3sAecM_
S^ABC6
10.(2018年河北預(yù)賽】過動點M作圓:(x—2『+(y—2)2=1的切線MN,其中N為切點,若
\MN\^\M0\(。為坐標原點),貝U|MV|的最小值是.
【答案】苧
【解析】解答:由圓的方程可得圓心C的坐標為(2,2),半徑等于1.
由力),則|M/Vp=(a-2)2+(62)2-12=a2+fr2-4a-4/>4-7,
\MO\2=a2+b2.
由得〃2+按一4〃-4。+7=a2+。2.
整理得:4a+4b—7=0.
:.a9。滿足的關(guān)系為:4〃+4A7=0.
求|MM的最小值,就是求|MO|的最小值。
在直線4〃+467=0上取一點到原點距離最小,
由“垂線段最短”得,直線OM垂直直線4a+467=0,
7
由點到直線的距離公式得:的最小值為:-I'=-V2.
72+428
11.【2016年天津預(yù)賽】已知凸n邊形n個內(nèi)角的度數(shù)均為整數(shù)并且互不相等,最大內(nèi)角的度數(shù)為最小內(nèi)角
的度數(shù)的3倍.則n可以取到的最大值為.
【答案】20
【解析】
設(shè)n個內(nèi)角的度數(shù)按從大到小的次序為:%>%>?">%,
則EH=180(n-2).
由n個內(nèi)角的度數(shù)均為整數(shù)知
180>%=36>n=%S177,0n<59.
再由n個內(nèi)角的度數(shù)均為整數(shù)且互不相等知.
ek<178-k(k=l,2,...,n-1).
故180(n-2)=<59+£仁;(178-fc)=59+178(n-1)-1(n-l)n,
=>n2+3n-482<0,
--3+V9+4X482
=>n<---------,
結(jié)合n為正整數(shù),知nW20.
因為當n=20時,
59+£仁;(178-k)=3251,
180(n-2)=3240,
所以m個內(nèi)角的度數(shù)為177,176,...,160,148,59滿足要求.
綜上,n可取到的最大值為20.
12.【2016年吉林預(yù)賽】給定平面上四點0、A、B、C,滿足。4=4,OB=3,OC=2,而?^=3^IJSAABC
的最大值為.
【答案】2五+手
【解析】
試題分析:
由已知加OC=3=3x2xcoszBOC,得乙BOC=60°,由余弦定理可得BC=V7,從而ZOBC中邊BC邊上
的高為哭,由。A=4知點4在以。為圓心,4為半徑的圓上,4到直線8c的距離最大值為4+掾,.."ABC面
積的最大值為:X(4+翠)xV7=2^7+苧.
考點:向量的數(shù)量積,三角形面積最大值.
13.[2016年江西預(yù)賽】如圖,在四面體ABCD中,ZkABC為正三角形,AD=BD=2,AD_LBD,AD_LCD.則點D到
面ABC的距離為.
【答案】管
【解析】
據(jù)題意得
AB=TAD?+BD2=2V2.
則BC=CA=AB=2V2,
CD=>JAC2-AD2=2.
又Be?=BD2+CD2=>BD1CD.
從而,以D為頂點的三面角均為直角.
設(shè)點D到面ABC的距離為h
故"四面體4BCD=?SA48c=三4c.ShBCD
2V342V3
=>——/i=-=>h=——
333
14.【2016年北京預(yù)賽】如圖,。。與正方形/BCD的邊AB、4。分別切于點L、K,與邊BC交于點M、P,BM二
8厘米,MC=17厘米.則。。的面積為平方厘米
【答案】1697r
【解析】
如圖,聯(lián)結(jié)。。的半徑OK、OL、0M,記半徑為r,作MNJL0L于點N.
又BC=BM+MC=25,故MB=BL=25-r.
在RtAONM中,由勾股定理得
r2=(25—r)2+(r-8)2
n=13,r2=53(不合題意).
故。。的面積為1697r平方厘米.
15.【2016年北京預(yù)賽】如圖,PA與O0切于點4PC與。0交于點8、C,P。與O0交于點D,AE1PO
于點E.聯(lián)結(jié)BE并延長,與。。交于點F,聯(lián)結(jié)。C、OF.AD,4".若zBC。=30°,ABFO=20°,貝iJ/ZMF的
度數(shù)為.
【答案】115°
【解析】
聯(lián)結(jié)04、CD、CF.
因為P4與。。切于點4所以。41P4
由4E±P。=>PA2=PE-P0.
又「爐=PB?PC
=C、B、E、。四點共圓
n乙FEO=4BCO=30°.
又乙BFO=20。,故
乙EOF=130°=?Z.FCD=65°
=4DAF=180°-乙FCD=115°.
16.[2015年北京預(yù)賽】在銳角Z4BC內(nèi)取點P,使得/P4C=60。,APCA=^PBA=30°,M、N分別為邊
AC.BC的中點.則ZPNM的度數(shù)為.
【答案】90°
【解析】
由條件易知N4PC=90°.
如圖4,延長CP到點D,使得PD=CP,聯(lián)結(jié)4。、DB
貝必PO=90。,AD=AC,
ZJWP=AACP=30°=4PB4
于是,A、D、B、P四點共圓.
因此,4DBA=/.APD=90°.
又M、N分別為邊的4C、BC中點,P為CD的中點,故MNII4B,PN||DB.
因此,NPNM=乙DBA=90°.
17.[2019年北京預(yù)賽】如圖,已知半徑分別等于3厘米和5厘米的OB,OC外切于點4兩圓的一條外
公切線切OB于點。,切oC于點E,過4作。E的垂線與3c的中垂線交于點尸,H是BC的中點.則
△4H尸的面積等于
【答案】C
【解析】如圖,連接BD,CE,過B作CE的垂線,垂足為M,因為OE1是兩圓的公切線,D,E是切點,
所以B。1DE.CE1DE,于是四邊形BDEM為矩形,有BM||DE.BD=EM.
2
CM=CE—BD=2,易知,△尸?△BMC,所以=(空).
bACMB
乂4“BH-BA=匕匕-B4=4-3=1
2
在R2△BCM中,根據(jù)勾股定理,有BM=V82-22=2V15.
所以S/kCMB=2x2J15x2=2'15,進而有544“尸=x?。?
18.(2018年北京預(yù)賽】。。的直徑4B=8,C為0。上一點,"04=60。.延長4B到點P,使BP=[BO,
連CP交半圓于點0,過點P作4P的垂線交4。的延長線于H,貝UP”的長度為
A.—.B.—.C.—.D.V3.
323
【答案】C
【解析】
連結(jié)
???AB是直徑,/.ADB=90°,因此,乙BDH=90°.
HP14P于點P,?-?4BPH=90°.
即/BDH+/BPH=180°,所以8、D、H、P四點共圓,
???乙PBH=乙PDH.
???/.COA=60°,A/.ADC=30°,因止匕4PDH=Z.ADC=30°,故NPBH=30°.
???AB=8,BP=IBO,.-.BP=2,;,PH=2-tan30°=#.選C.
19.(2021年江西預(yù)賽】如圖,銳角△ABC中,以高AD為直徑的圓0,交AC,AB于E,F,過點E,F分別作圓
O的切線,若兩切線相交于點P.證明:直線AP重合于△4BC的一條中線.
【答案】證明見解析
【解析】證明:設(shè)M為BC中點,過點E,F的切線尸分別交BC于N,K,
設(shè)ENAAM=P,FKnAM=P',只要證點尸,P'重合;
LABM,LACM分別被直線產(chǎn)K,EN所截,
如*后曰h甘廣生工田MKBFAP_1MNCEAP_\
據(jù)梅尼歷斯定理‘W.兩’而一1,何.麗?兩彳一1,
yAP'_AR
為證麗—PM
只要幽.紅=”.在(1)
八安址KBFANCEA
設(shè)圓心為O,連DE,DF,ONQK,因為K。,K尸為。0的切線,
所以O(shè)K是DF的中垂線,又4尸1DF,
貝l」OK〃AB,即OK是ADAB的中位線,K是BD的中點,
同理N是CD的中點,所以KN=*BC=MB=MC,
MK_ND_CDMN_DK_BD
因此MK=CN=ND,于是
~KB~^K~BD,~NC~ND~TD(2).
又在直角三角形4ADB,AADC中,
FD\2CE_CE
由于DE
。尸「8,?!辍?胃=案⑶,
AD)'EA~DEEA
據(jù)②③可知①式成立,因此結(jié)論得證.
20.【2021年廣西預(yù)賽】如圖,設(shè)點。、E分別為圓O的內(nèi)接三角形△4BC的邊AB、AC上的點,
且4。=AE.線段BD、CE的垂直平分線分別交圓O的劣販于點尸、G,點P為劣
弧的C的中點.求證:4尸JLFG.
【答案】證明見解析
【解析】證明:如圖,作OL、OM分別垂直AB、AC交圓O于點J、K,連接JK,則點J、K分別為劣弧
和劣弧AC弧的中點.
因為+4P3/=今,所以4P_L/K.
下面證明尸G///K.
取BD、CE的中點尸1,G1,易知尸尸1、GG1分別垂直AB、AC,故尸尸1,GG1分別平行于OJ、
OK.
因為尸#=^AB-BD)=\AD,G±M=^(4C-CE)=\AE,
所以尸—Gj
FF1到過圓心。的線段OJ的距離與GGi到過圓心。的線段OK的距離相等,
故F/等于GK,從而尸G///K.
于是由4P1JK,FG//JK可得4P1FG.
21.【2021年新疆預(yù)賽】如圖,AC=BC,AABC外接圓在A,C的切線交于D點,BD交圓于E,射線AE
交CD于F證明:F是CD的中點.
【答案】證明見解析
【解析】證明:延長AF至G,使得AG=BD.連接CG,DG.
因為AC=BC,ZDBC=ZGAC,AG=BD,
所以△4CGB/8CD①
因此CG=CD=AD.②
設(shè)NCAB=N1,ZABC=Z2,NACB=N3,ZGCD=Z4,ZDCA=Z5,ZDAC=Z6,NADC=N7,
由弦切角定理得:Z5=Z2=Z1,Z5=Z6=Z1,因此/3=N7,
由①知:ZGCA=ZDCB,所以/3=/4,
因此N4=N7,AD〃CG.③
由②③知:四邊形ACGD是平行四邊形,
故F是CD的中點
22.【2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷二試】如圖所示,在AABC中,M是邊AC的中點,D,E是A/IBC的
外接圓在點4處的切線上的兩點,滿足MD〃AB,且4是線段DE的中點,過4B,E三點的圓與邊4C相交于另一點
P,過三點的圓與DM的延長線相交于點Q.證明:NBCQ=/.BAC.
【答案】證明見解析
【解析】取8c邊的中點N,則。,M,Q,N共線,且MN〃AB.
由弦切角定理可知4fMM=ACBA=乙CNM.又4AMD=乙NMCQAMD-△NMC.
因此冷笨①
由己知條件,42P,Q四點共圓,故乙4PQ=Z.ADQ=乙4DM=乙4c8,因此PQ〃8c.
于是㈣=生②
NMCM
結(jié)合①、②以及可得裁=黑?翳=器喘=黑=?
即磴吟③
由弦切角定理可知4B4E=Z.BCA=48cp.又4,P,B,E四點共圓,故NBEA=NBPC.因此△BAE-△BCP.于是
興=善結(jié)合③可得器=含
又MN"AB,故M1NQ=N4BC.所以^CNQ-t^ABC.
從而NNCQ="AC,即NBCQ=Z.BAC.
23.[2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷二試】如圖所示,/是△力BC的內(nèi)心,點P,Q分別為/在邊ABMC上的
投影.直線PQ與△ABC的外接圓相交于點X,y(P在X,Q之間).已知四點共圓,證明:C,/,Q,y四點共
圓.
【答案】證明見解析
【解析】記△48C的外接圓為3.
因為N4P/=Z.AQ1=90°,故A,P,/,Q四點共圓.
因此NBPQ=乙BP1+乙IPQ=90°+Z.IAQ=90°+^BAC=4B1C.
又由B,/,P,X四點共圓可知Z8PX=乙BIX,
故ZB/X4-ZB/C=4BPX+乙BPQ=180°.
因此c,/,x三點共線.
由B,/,P,X共圓可知Z_BX/=/.BPI=90°,故BX1/X,即BX1CX.
因此NBAC=乙BXC=900.
于是四邊形4P/Q是正方形,PQ垂直平分線段4/.
設(shè)F是AC的中點,則由內(nèi)心熟知的結(jié)論可知丫工=丫'/,因此X是4/的中垂線PQ與圓3的交點.
又直線PQ與圓3相交于X,y兩點,且F顯然不同于x,故1與y重合.因此y是女的中點.
于是B,/,y三點共線.因此N/YC=乙BYC=ABAC=90°=N/QC,進而C,/,Q,Y四點共圓.
24.12020高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷(第02試)】如圖,在等腰△4BC中,4B=BC,/為內(nèi)心,M為8/
的中點,P為邊AC上一點,滿足AP^PC,PI延長線上一點H滿足MHLPH,Q為AABC的外接圓上劣弧AB
的中點.證明:
【答案】證明見解析
【解析】取AC的中點N.由AP=3PC,可知P為NC的中點.易知BJ,N共線,NINC=90。.
由/為//8C的內(nèi)心,可知C7經(jīng)過點Q,且NQ!B=NIBC+NICB=NAB/+NACQ=NABI+NAB%NQBI,
又M為BI的中點,所以QM_LB/.進而QMHCN.
考慮AHMQ與/H/8.由于MHLPH,故NHMQ=900-NHMi=NHIB.
14MNP
又NIHM=NINP=90°,故詈=箭,
工且HM_JVP_1NC_1MQ_MQ
i7C~HT~m~2~NT~2~m~~iB
所以△HMQHB,f#ZHQM=ZHBI.
從而四點共圓.于是有NB”Q=/8MQ=90。,即BHLQH.
25.12020高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷(第02試)】如圖A8,C,Z),E是圓0上順次的五點,滿足ABC=2C£>=CZ)E,點
P,Q分別在線段AD,BE上,且P在線段CQ上.證明:NB4Q=/PE。.
【答案】證明見解析
【解析】記S為A。與BE的交點,7為CQ延長線與圓Q的交點.
注意到ABC=BCD=C£>E,可設(shè)AB,CD所對的圓周角均為a,BC、D
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