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文檔簡介
第8章函數(shù)應用
8.1二分法與求方程近似解
函數(shù)的零點
教學設計
一、教學目標
1.理解函數(shù)零點的概念;
2.會求簡單函數(shù)的零點.
二、教學重難點
1.教學重點
函數(shù)零點的概念.
2.教學難點
會求簡單函數(shù)的零點.
三、教學過程
(-)新課導入
預習課本內(nèi)容,思考以下問題:
1.函數(shù)與方程有什么關(guān)系?
2.如何運用函數(shù)的知識研究方程的解?
(-)探索新知
使二次函數(shù)y=ox2+6x+c(a,6,ceR,。*。)的值為0的實數(shù)尤稱為二次函數(shù)
y=依2+&v+c的零點.因止匕二次函數(shù)y=依2+法+。的零點就是關(guān)于x的一元二次方程
以2+6x+c=0的實數(shù)解,也是二次函數(shù)>=依2+灰+。的圖象與無軸交點的橫坐標.
一般地,把使函數(shù)y=/(x)的值為0的實數(shù)x稱為函數(shù)y=/(x)的零點.
因此,函數(shù)y=/(x)的零點就是方程/Xx)=O的實數(shù)解.從圖象上看,函數(shù)y=/(x)的零
點,就是它的圖象與x軸交點的橫坐標.
對于函數(shù)/。)=尤2-2》-1在區(qū)間(2,3)上是否存在零點這個問題,可以通過解方程或
觀察函數(shù)圖象的方法來解決.
如圖,因為/(2)=-1<0,/(3)=2>0,而二次函數(shù)/(尤)=/-2主-1在區(qū)間[2,3]上的
圖象是不間斷的,這表明此函數(shù)圖象在區(qū)間(2,3)上一定穿過x軸,即函數(shù)在區(qū)間(2,3)上
存在零點.
一般地,若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間m,句上的圖象是一條不間斷的曲線,且/■(a)/S)<0,
則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點.
例1證明:函數(shù)〃x)=川+尤2+1在區(qū)間(_2,-1)上存在零點.
證明:因為八-2)=(-2)3+(-2)2+1=-3<0,
/(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1>0,
且函數(shù)/(x)在區(qū)間[-2,-1]上的圖象是不間斷的,所以函數(shù)/(尤)在區(qū)間(-2,-1)上存
在零點.
例2求證:函數(shù)八》=2'2元-3有零點.
證明:因為/(0)=2°+2x0-3=-2<0,
/(1)=21+2xl-3=l>0,
且函數(shù)/(x)在區(qū)間[0,1]上的圖象是不間斷的,所以函數(shù)十》=2工+2尤-3在區(qū)間(0,1)
上有零點,從而函數(shù)八》=2'2元-3有零點.
(三)課堂練習
1.函數(shù)y=Y+6尤+8的零點是()
A.2,4B.-2,-4C.(-2,0),?0)D.(-2,-4)
答案:B
解析:令y=f+6x+8=0,即(尤+2)(x+4)=0,
解得玉=—2,%2=—4,
故函數(shù)的零點為-2,-4,故選B.
2.方程logs尤+x=3的根所在的區(qū)間為()
A.(0,2)B.(l,2)C.(2,3)D.(3,4)
答案:C
2
解析:^/(x)=log3x+x-3,則/(2)=log32+2-3=log3§<0,/(3)=log33+3-3=l>0,
所以方程log3尤+元=3的根所在的區(qū)間為(2,3).故選C.
3.設/(x)是區(qū)間[-1,1]上的增函數(shù),且則方程/(尤)=0在區(qū)間[一1,1]內(nèi)
()
A.可能有3個實數(shù)根
B.可能有2個實數(shù)根
C.有唯一的實數(shù)根
D.沒有實數(shù)根
答案:C
解析:因為小)在區(qū)間[-I」上是增函數(shù),且/所以人》)在區(qū)間a
上有唯一的零點.所以方程/(%)=0在區(qū)間[-:1,1]內(nèi)有唯一的實數(shù)根.故選C.
4.求下列函數(shù)的零點:
(1)f(x)=—x2+2x+3;
,、(2x-4,x>0,
(2)f(x)=2
[2x2+5x+2,x<0.
答案:(1)令-爐+2*+3=0,得x=-l或x=3,因此函數(shù)的零點為-1,3.
(2)當xNO時,由2x—4=0得x=2;
當x<0時,由2x2+5x+2=0得彳=-2或尤=」.所以函數(shù)的零點為-2,,2.
22
5.求證:方程5--7》-1=0的一個根在區(qū)間(-1,0)上,另一個根在區(qū)間(1,2)上.
答案:由題意得方程5x2-7x-l=0的判別式A=69>0,故方程共有兩個不等實數(shù)根.
設f(x)=5尤2-7x-l,
則f(-l)=5+7_l=ll,/(0)=-1,/(1)=5-7-1=-3,/(2)=20-14-1=5.
?.-/(-1)-/(0)=-11<0,,⑴"⑵=一15<0,且/(X)=5/一7無一1的圖象在R上是連續(xù)不
斷的,
f(x)在(-1,0)和(1,2)上分別有零點,
即方程-7x-1=0的一個根在區(qū)間(-1,0)上,另一個根在區(qū)間(1,2)上.
(四)小結(jié)作業(yè)
小結(jié):函數(shù)零點的概念及求法.
作業(yè):
四、板書設計
8
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