2012高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)階段性測試題(10)：統(tǒng)計與概率1

PAGE1-階段性測試題十(統(tǒng)計與概率)本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。滿分150分。考試時間120分鐘。第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符號題目要求的。)1．(2011·淄博一中期末)某校數(shù)學(xué)教研組為了解學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情況，采用分層抽樣的方法從高一600人、高二680人、高三720人中，抽取50人進(jìn)行問卷調(diào)查，則高一、高二、高三抽取的人數(shù)分別是()A．15,16,19 B．15,17,18C．14,17,19 D．14,16,20[答案]B[解析]eq\f(50,600＋680＋720)＝eq\f(1,40)，600×eq\f(1,40)＝15,680×eq\f(1,40)＝17,720×eq\f(1,40)＝18，故選B.2．(文)(2011·山東實驗中學(xué)期末)完成下列兩項調(diào)查：①從某社區(qū)125戶高收入家庭、280戶中等收入家庭、95戶低收入家庭中選出100戶，調(diào)查社會購買能力的某項指標(biāo)；②從某中學(xué)的15名藝術(shù)特長生中選出3名調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況，宜采用的抽樣方法依次是()A．①簡單隨機(jī)抽樣，②系統(tǒng)抽樣 B．①分層抽樣，②簡單隨機(jī)抽樣C．①系統(tǒng)抽樣，②分層抽樣 D．①②都用分層抽樣[答案]B[解析]①總體中高收入、中等收入、低收入家庭有明顯差異，故用分層抽樣；②總體容量與樣本容量都較小，故采用簡單隨機(jī)抽樣．(理)(2011·黃岡期末)某市進(jìn)行一次高三數(shù)學(xué)質(zhì)量抽樣檢測，考試后統(tǒng)計所有考生的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，已知數(shù)學(xué)成績平均分為90分，60分以下的人數(shù)占5%，則數(shù)學(xué)成績在90分至120分之間的考生人數(shù)所占百分比約為()A．10% B．15%C．30% D．45%[答案]D[解析]∵正態(tài)曲線對稱軸為μ＝90，P(x<60)＝0.05，∴P(90<x<120)＝eq\f(1,2)(1－2P(x<60))＝0.45，故選D.3．(文)(2011·四川資陽市模擬)對總數(shù)為m的一批零件抽取一個容量為25的樣本，若每個零件被抽取的概率都為eq\f(1,4)，則m的值為()A．200 B．150C．120 D．100[答案]D[解析]∵eq\f(25,m)＝eq\f(1,4)，∴m＝100.(理)(2011·黃岡期末)某農(nóng)科院在3×3的9塊試驗田中選出3塊種植某品種水稻進(jìn)行試驗，則每行每列都有一塊試驗田種植水稻的概率為()A.eq\f(1,56) B.eq\f(1,7)C.eq\f(1,14) D.eq\f(3,14)[答案]C[解析]從9塊試驗田中選3塊有Ceq\o\al(3,9)種選法，其中每行每列都有一塊試驗田種植水稻的選法有6種，∴p＝eq\f(6,C\o\al(3,9))＝eq\f(1,14).4．(文)連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，向量a＝(m，n)和向量b＝(1，－1)的夾角為θ，則θ為銳角的概率是()A.eq\f(5,6) B.eq\f(1,6)C.eq\f(7,12) D.eq\f(5,12)[答案]D[解析]∵夾角θ為銳角，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·b>0,a∥\b))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－n>0,m≠－n))，又∵m，n∈{1,2,3,4,5,6}，∴滿足條件的結(jié)果數(shù)為15.而連擲兩次骰子得到的結(jié)果數(shù)為36，∴滿足條件的概率是P＝eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).(理)(2011·福州市期末)如圖所示，正方形的四個頂點(diǎn)分別為O(0,0)、A(1,0)、B(1,1)、C(0,1)，曲線y＝x2經(jīng)過點(diǎn)B，現(xiàn)將一個質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入正方形中，則質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,5)[答案]C[解析]陰影部分的面積S＝eq\i\in(0,1,)x2dx＝eq\f(1,3)x3|eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,3)，正方形面積為1，∴p＝eq\f(1,3)，故選C.5．(文)(2011·福州市期末)如圖是歌手大獎賽中，七位評委為甲、乙兩名選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖(其中m為數(shù)字0～9中的一個)，去掉一個最高分和一個最低分后，甲、乙兩名選手得分的平均數(shù)分別為a1，a2，則一定有()A．a(chǎn)1>a2 B．a(chǎn)2>a1C．a(chǎn)1＝a2 D．a(chǎn)1、a2的大小不確定[答案]B[解析]∵甲、乙分?jǐn)?shù)在70、80、90各分?jǐn)?shù)段的打分評委人數(shù)一樣多，故只須看個位數(shù)的和，乙的個位數(shù)總和37，甲的個位數(shù)字和為20＋m<37，∴a2>a1，故選B.(理)(2011·巢湖質(zhì)檢)在如圖所示的莖葉圖中，若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別為λ1，λ2，平均數(shù)分別為μ1，μ2，則下列判斷正確的是()A.λ1>λ2，μ1<μ2 B．λ1>λ2，μ1>μ2C．λ1<λ2，μ1<μ2 D．λ1<λ2，μ1>μ2[答案]B[解析]由莖葉圖知λ1＝20.5，λ2＝18.5，μ1＝19.9，μ2＝18.9，∴λ1>λ2，μ1>μ2，故選B.6．(文)(2011·溫州八校期末)已知α，β，γ是不重合平面，a，b是不重合的直線，下列說法正確的是()A．“若a∥b，a⊥α，則b⊥α”是隨機(jī)事件B．“若a∥b，a?α，則b∥α”是必然事件C．“若α⊥γ，β⊥γ，則α⊥β”是必然事件D．“若a⊥α，a∩b＝P，則b⊥α”是不可能事件[答案]D[解析]eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥α))?b⊥α，故A錯；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a?α))?b∥α或b?α，故B錯；當(dāng)α⊥γ，β⊥γ時，α與β可能平行，也可能相交(包括垂直)，故C錯；如果兩條直線垂直于同一個平面，則此二直線必平行，故D為真命題．(理)(2011·豐臺區(qū)期末)有5名同學(xué)被安排在周一至周五值日，已知同學(xué)甲只能值周一或周二，那么5名同學(xué)值日順序的編排方案共有()A．24種 B．48種C．96種 D．120種[答案]B[解析]先安排甲有2種方法，其余4名同學(xué)可安排余下4天的任意一天值日，∴共有2Aeq\o\al(4,4)＝48種不同安排方法．7．(文)已知函數(shù)f(x)＝sineq\f(aπ,3)x，a等于拋擲一顆骰子得到的點(diǎn)數(shù)，則y＝f(x)在[0,4]上至少有5個零點(diǎn)的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)[答案]C[解析]拋擲一顆骰子共有6種情況．當(dāng)a＝1,2時，y＝f(x)在[0,4]上的零點(diǎn)少于5個；當(dāng)a＝3,4,5,6時，y＝f(x)在[0,4]上的零點(diǎn)至少有5個，故P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，選C.(理)(2011·蚌埠二中質(zhì)檢)(eq\r(3,y)＋eq\r(x))5展開式的第三項為10，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象的大致形狀為()[答案]D[解析]T3＝Ceq\o\al(2,5)(eq\r(3,y))5－2(eq\r(x))2＝10xy＝10，∴y＝eq\f(1,x)(x>0)，故選D.8．(2011·咸陽模擬)樣本容量為100的頻率分布直方圖如圖所示，根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計，樣本數(shù)據(jù)落在[2,10)內(nèi)的頻率為a，則a的值為()A．0.1 B．0.2C．0.3 D．0.4[答案]D[解析]樣本數(shù)據(jù)落在[2,10)內(nèi)的頻率為a＝(0.02＋0.08)×4＝0.4.9．將一顆骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為a，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為b，設(shè)兩條直線l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的概率為P1，相交的概率為P2，則復(fù)數(shù)P1＋P2i所對應(yīng)的點(diǎn)P與直線l2：x＋2y＝2的位置關(guān)系是()A．點(diǎn)P在直線l2的右下方 B．點(diǎn)P在直線l2的右上方C．點(diǎn)P在直線l2上 D．點(diǎn)P在直線l2的左下方[答案]D[解析]易知當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(a,b)≠eq\f(1,2)時，兩條直線只有一個交點(diǎn)，而eq\f(a,b)＝eq\f(1,2)時有三種情況：a＝1，b＝2(此時兩直線重合)；a＝2，b＝4(此時兩直線平行)；a＝3，b＝6(此時兩直線平行)．而投擲一顆骰子兩次的所有情況有6×6＝36種，所以兩條直線相交的概率P2＝1－eq\f(3,36)＝eq\f(11,12)；兩條直線平行的概率為P1＝eq\f(2,36)＝eq\f(1,18)，P1＋P2i所對應(yīng)的點(diǎn)為P(eq\f(1,18)，eq\f(11,12))，易判斷點(diǎn)P(eq\f(1,18)，eq\f(11,12))在直線l2：x＋2y＝2的左下方，選D.10．(2011·河北冀州期末)某人5次上班途中所花的時間(單位：分鐘)分別為x，y,10,11,9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則|x－y|的值為()A．1 B．2C．3 D．4[答案]D[解析]由條件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋10＋11＋9＝50,x－102＋y－102＋1＋1＝10))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝12,y＝8))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝8,y＝12))，∴|x－y|＝4.11．(2011·北京學(xué)普教育中心聯(lián)考版)在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為()A.eq\f(π,12) B．1－eq\f(π,12)C.eq\f(π,6) D．1－eq\f(π,6)[答案]B[解析]以點(diǎn)O為圓心，半徑為1的半球的體積為V＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(2π,3)，正方體的體積為23＝8，由幾何概型知：點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為P(A)＝1－eq\f(\f(2,3)π,8)＝1－eq\f(π,12)，故選B.12．(2011·江西吉安質(zhì)檢)下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后在生產(chǎn)A產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)品x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸)的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程為y＝0.7x＋0.35，那么表中t的值為()X3456y25t445A.4.5 B．3.5C．3.15 D．3[答案]D[解析]線性回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，∵eq\o(x,\s\up6(－))＝4.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(11＋t,4)，∴eq\f(11＋t,4)＝0.7×4.5＋0.35，∴t＝3，故選D.第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)13．(2011·浙江寧波八校聯(lián)考)已知某商場新進(jìn)3000袋奶粉，為檢查其三聚氰胺是否超標(biāo)，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取150袋檢查，若第一組抽出的號碼是11，則第六十一組抽出的號碼為________．[答案]1211[解析]抽樣比1503000＝120，第1組抽出號碼為11，故第61組抽出號碼為11＋20×(61－1)＝1211.14．(文)設(shè)集合A＝{x|x2－3x－10<0，x∈Z}，從集合A中任取兩個元素a，b且a·b≠0，則方程eq\f(x2,a)＋eq\f(y2,b)＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的概率為________．[答案]eq\f(3,10)[解析]A＝{x|－2<x<5，x∈Z}＝{－1,0,1,2,3,4}，由條件知，(a，b)的所有可能取法有：(－1,1)，(－1,2)，(－1,3)，(－1,4)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)，(4，－1)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)，共20種，方程eq\f(x2,a)＋eq\f(y2,b)＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，應(yīng)有a>b>0，∴有(2,1，)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)共6種，∴所求概率P＝eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).(理)如圖是一個正方體紙盒的展開圖，若把1,2,3,4,5,6分別填入小正方形后，按虛線折成正方體，則所得到的正方體相對面上的兩個數(shù)的和都相等的概率是________．[答案]eq\f(1,15)[解析]6個數(shù)任意填入6個小正方形中有6?。?20種方法；將6個數(shù)分三組(1,6)，(2,5)，(3,4)，每組中的兩個數(shù)填入一對面中，共有不同填法6×2×2×2＝48種，故所求概率P＝eq\f(48,720)＝eq\f(1,15).15．(文)(2011·浙江寧波八校聯(lián)考)已知k∈Z，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(k,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,4)，若|eq\o(AB,\s\up6(→))|≤4，則△ABC是直角三角形的概率是________．[答案]eq\f(3,7)[解析]∵|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(k2＋1)≤4，∴－eq\r(15)≤k≤eq\r(15)，∵k∈Z，∴k＝－3，－2，－1,0,1,2,3，當(dāng)△ABC為直角三角形時，應(yīng)有AB⊥AC，或AB⊥BC，或AC⊥BC，由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0得2k＋4＝0，∴k＝－2，∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2－k,3)，由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0得k(2－k)＋3＝0，∴k＝－1或3，由eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0得2(2－k)＋12＝0，∴k＝8(舍去)，故使△ABC為直角三角形的k值為－2，－1或3，∴所求概率p＝eq\f(3,7).(理)(2011·豫南九校聯(lián)考)(1－ax)2(1＋x)6的展開式中，x3項的系數(shù)為－16，則實數(shù)a的值為________．[答案]2或3[解析]展開式中x3的系數(shù)為1×Ceq\o\al(3,6)－2aCeq\o\al(4,6)＋a2Ceq\o\al(5,6)＝－16，∴a2－5a＋6＝0，∴a＝2或3.16．(文)(2011·山西太原調(diào)研)在圓O上有一定點(diǎn)A，則從這個圓上任意取一點(diǎn)B，使得∠AOB≤30°的概率是________．[答案]eq\f(1,6)[解析]如圖∠AOE＝∠AOF＝30°，當(dāng)點(diǎn)B落在eq\x\to(EAF)上時，∠AOB≤30°，∵∠EOF＝60°，∴所求概率p＝eq\f(60°,360°)＝eq\f(1,6).(理)(2011·河北冀州期末)從集合{－1，－2，－3,0,1,2,3,4}中，隨機(jī)選出4個數(shù)組成子集，使得這4個數(shù)中的任何兩個數(shù)之和不等于1，則取出這樣的子集的概率為________．[答案]eq\f(8,35)[解析]從8個數(shù)中任取4個共有Ceq\o\al(4,8)＝70種取法，兩數(shù)之和為1的取法有：－1＋2，－2＋3，－3＋4,0＋1共4種，要使取出的四個數(shù)中任何兩數(shù)之和不等于1，則每組中的兩個數(shù)只能取1個，故共有24種取法，故所求概率p＝eq\f(16,70)＝eq\f(8,35).三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分12分)(2011·山西太原調(diào)研)甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機(jī)抽取8次，記錄如下：甲：8281797895889384乙：9295807583809085(1)用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)，并寫出乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；(2)經(jīng)過計算知甲、乙兩人預(yù)賽的平均成績分別為eq\o(x,\s\up6(－))甲＝85，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝85，甲的方差為Seq\o\al(2,甲)＝35.3，Seq\o\al(2,乙)＝41.現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽，你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加較合適？請說明理由．(3)若將預(yù)賽成績中的頻率視為概率，記“甲在考試中的成績不低于80分”為事件A，其概率為P(A)；記“乙在考試中的成績不低于80分”為事件B，其概率為P(B)．則P(A)＋P(B)＝P(A＋B)成立嗎？請說明理由．[解析](1)作出如圖所示莖葉圖，易得乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為84.(2)派甲參賽比較合適，理由如下：∵eq\o(x,\s\up6(－))甲＝85，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝85，Seq\o\al(2,甲)＝35.5，Seq\o\al(2,乙)＝41，∴eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，Seq\o\al(2,甲)<Seq\o\al(2,乙)，∴甲的成績較穩(wěn)定，派甲參賽比較合適．(3)不成立．由已知可得P(A)＝eq\f(6,8)，P(B)＝eq\f(7,8)，P(A)＋P(B)＝eq\f(13,8).而0<P(A＋B)<1.所以P(A)＋P(B)＝P(A＋B)不成立．[點(diǎn)評]P(A＋B)＝P(A)＋P(B)成立的條件是A和B互斥，而此問題中的A和B是不互斥的，故P(A)＋P(B)＝P(A＋B)不成立．18．(本小題滿分12分)某校高三數(shù)學(xué)競賽初賽考試后，對90分以上(含90分)的成績進(jìn)行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示，若130～140分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為2人．(1)估計這所學(xué)校成績在90～140分之間學(xué)生的參賽人數(shù)；(2)估計參賽學(xué)生成績的中位數(shù)；(3)現(xiàn)根據(jù)初賽成績從第一組和第五組(從低分段到高分段依次為第一組、第二組、…、第五組)中任意選出兩人，形成幫扶學(xué)習(xí)小組，若選出的兩人成績之差大于20，則稱這兩人為“黃金搭檔組”，試求出的兩人為“黃金搭檔組”的概率．[解析](1)設(shè)90～140分之間的人數(shù)是n，由130～140分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為2人，可知0.005×10×n＝2，得n＝40.(2)設(shè)中位數(shù)為x，則0．35＋(x－110)×0.045＝0.2＋(120－x)×0.045，解得x＝eq\f(340,3)≈113，即中位數(shù)約為113分．(3)依題意，第一組共有40×0.01×10＝4人，記作A1、A2、A3、A4；第五組共有2人，記作B1、B2從第一組和第五組中任意選出兩人共有下列15種選法：{A1，A2}、{A1，A3}、{A1，A4}、{A2，A3}、{A2，A4}、{A3，A4}；{A1，B1}、{A2，B1}、{A3，B1}、{A4，B1}；{A1，B2}、{A2，B2}、{A3，B2}、{A4，B2}；{B1，B2}設(shè)事件A：選出的兩人為“黃金搭檔組”，若兩人成績之差大于20，則兩人分別來自于第一組和第五組，共有8種選法，故P(A)＝eq\f(8,15).19．(本小題滿分12分)(文)(2011·湖南長沙一中期末)某班高一某班的一次數(shù)學(xué)測試成績的莖葉圖和頻率分布圖都受到不同程度的破壞，但可見部分如下，據(jù)此解答如下問題：(1)求分?jǐn)?shù)在[50,60)的頻率及全班人數(shù)；(2)求分?jǐn)?shù)在[80,90)之間的頻數(shù)，并計算頻率分布直方圖中[80,90)間的矩形的高；(3)若要從分?jǐn)?shù)在[80,100]之間的試卷中任取兩份分析學(xué)生失分情況，在抽取的試卷中，求至少有一份分?jǐn)?shù)在[90,100]之間的概率．[解析](1)分?jǐn)?shù)在[50,60)的頻率為0.008×10＝0.08，由莖葉圖知：分?jǐn)?shù)在[50,60)之間的頻數(shù)為2，所以全班人數(shù)為eq\f(2,0.08)＝25.(2)分?jǐn)?shù)在[80,90)之間的頻數(shù)為25－2－7－10－2＝4，頻率分布直方圖中[80,90)間的矩形的高為eq\f(4,25)÷10＝0.016.(3)將[80,90)之間的4個分?jǐn)?shù)編號為1,2,3,4，[90,100]之間的2個分?jǐn)?shù)編號為5,6，在[80,100]之間的試卷中任取兩份的基本事件為：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15個，其中，至少有一個在[90,100]之間的基本事件有9個，故至少有一份分?jǐn)?shù)在[90,100]之間的概率是eq\f(9,15)＝0.6.(理)某運(yùn)動項目設(shè)置了難度不同的甲、乙兩個系列，每個系列都有K和D兩個動作．比賽時每位運(yùn)動員自選一個系列完成，兩個動作得分之和為該運(yùn)動員的成績．假設(shè)每個運(yùn)動員完成每個系列中的兩個動作的得分是相互獨(dú)立的．根據(jù)賽前訓(xùn)練統(tǒng)計數(shù)據(jù)，某運(yùn)動員完成甲系列和乙系列的情況如下表：表1：甲系列表2：乙系列動作K動作D動作得分100804010概率eq\f(3,4)eq\f(1,4)eq\f(3,4)eq\f(1,4)動作K動作D動作得分9050200概率eq\f(9,10)eq\f(1,10)eq\f(9,10)eq\f(1,10)現(xiàn)該運(yùn)動員最后一個出場，之前其他運(yùn)動員的最高得分為115分．(1)若該運(yùn)動員希望獲得該項目的第一名，應(yīng)選擇哪個系列？說明理由，并求其獲得第一名的概率；(2)若該運(yùn)動員選擇乙系列，求其成績ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望E(ξ)．[解析](1)若該運(yùn)動員希望獲得該項目的第一名，應(yīng)選擇甲系列理由如下：選擇甲系列最高得分為100＋40＝140>115可能獲得第一名而選擇乙系列最高得分為90＋20＝110<115，不可能獲得第一名記“該運(yùn)動員完成K動作得100分”為事件A“該運(yùn)動員完成D動作得40分”為事件B則P(A)＝eq\f(3,4)，P(B)＝eq\f(3,4)記“該運(yùn)動員獲得第一名”為事件C依題意得P(C)＝P(AB)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝eq\f(3,4)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,4).∴運(yùn)動員獲得第一名的概率為eq\f(3,4).(2)若該運(yùn)動員選擇乙系列，ξ的可能取值是50,70,90,110，則P(ξ＝50)＝eq\f(1,10)×eq\f(1,10)＝eq\f(1,100)，P(ξ＝70)＝eq\f(1,10)×eq\f(9,10)＝eq\f(9,100)，P(ξ＝90)＝eq\f(9,10)×eq\f(1,10)＝eq\f(9,100)；P(ξ＝110)＝eq\f(9,10)×eq\f(9,10)＝eq\f(81,100)ξ的分布列為ξ507090110Peq\f(1,100)eq\f(9,100)eq\f(9,100)eq\f(81,100)∴E(ξ)＝50×eq\f(1,100)＋70×eq\f(9,100)＋90×eq\f(9,100)＋110×eq\f(81,100)＝104.20．(本小題滿分12分)(文)(2011·廣東佛山市質(zhì)檢)某班同學(xué)利用國慶節(jié)進(jìn)行社會實踐，對[25,55]歲的人群隨機(jī)抽樣進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖：組數(shù)分組低碳族的人數(shù)占本組的頻率第一組[25,30)1200.6第二組[30,35)195p第三組[35,40)1000.5第四組[40,45)x0.4第五組[45,50)300.3第六組[50,55]150.3(1)補(bǔ)全頻率分布直方圖，并求p、x的值；(2)從年齡段在[40,50)的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗活動，其中選取2人作為領(lǐng)隊，求選到的領(lǐng)隊中恰有1人年齡在[40,45)歲的概率．[解析](1)第二組的頻率為1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以高為eq\f(0.3,5)＝0.06，頻率直方圖如下：第一組的人數(shù)為eq\f(120,0.6)＝200，頻率為0.04×5＝0.2，所以n＝eq\f(200,0.2)＝1000.由上可知，第二組的頻率為0.3，所以第二組的人數(shù)為1000×0.3＝300，所以p＝eq\f(195,300)＝0.65.第四組的頻率為0.03×5＝0.15，所以第四組的人數(shù)為1000×0.15＝150，所以x＝150×0.4＝60.(2)因為[40,45)歲年齡段的“低碳族”與[45,50)歲年齡段的“低碳族”的比值為6030＝21，所以采用分層抽樣法抽取6人，[40,45)歲中抽取4人，[45,50)歲中抽取2人．設(shè)[40,45)歲中的4人為a、b、c、d，[45,50)歲中的2人為m、n，則選取2人作為領(lǐng)隊的有(a，b)、(a，c)、(a，d)、(a，m)、(a，n)、(b，c)、(b，d)、(b，m)、(b，n)、(c，d)、(c，m)、(c，n)、(d，m)、(d，n)、(m，n)，共15種；其中恰有1人年齡在[40,45)歲的有(a，m)、(a，n)、(b，m)、(b，n)、(c，m)、(c，n)、(d，m)、(d，n)，共8種．所以選取的2名領(lǐng)隊中恰有1人年齡在[40,45)歲的概率為P＝eq\f(8,15).(理)(2011·河北冀州期末)甲、乙、丙、丁4名同學(xué)被隨機(jī)地分到A、B、C三個社區(qū)參加社會實踐，要求每個社區(qū)至少有一名同學(xué)．(1)求甲、乙兩人都被分到A社區(qū)的概率；(2)求甲、乙兩人不在同一個社區(qū)的概率；(3)設(shè)隨機(jī)變量ξ為四名同學(xué)中到A社區(qū)的人數(shù)，求ξ的分布列和期望E(ξ)的值．[解析](1)設(shè)甲、乙兩人同時到A社區(qū)為事件EA，則P(EA)＝eq\f(A\o\al(2,2),C\o\al(2,4)A\o\al(3,3))＝eq\f(1,18)，即甲、乙兩人同時到A社區(qū)的概率是eq\f(1,18).(2)設(shè)甲、乙兩人在同一社區(qū)為事件E，那么P(E)＝eq\f(3A\o\al(2,2),C\o\al(2,4)A\o\al(3,3))＝eq\f(1,6)，所以，甲、乙兩人不在同一社區(qū)的概率是P(eq\o(E,\s\up6(－)))＝1－P(E)＝eq\f(5,6).(3)隨機(jī)變量ξ可能取的值為1,2，事件“ξ＝i(i＝1,2)”是指有i個同學(xué)到A社區(qū)，則P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)A\o\al(2,2),C\o\al(2,4)A\o\al(3,3))＝eq\f(1,3).所以P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝2)＝eq\f(2,3)，ξ的分布列是ξ12Peq\f(2,3)eq\f(1,3)∴E(ξ)＝1×eq\f(2,3)＋2×eq\f(1,3)＝eq\f(4,3).21．(本小題滿分12分)(文)(2011·巢湖市質(zhì)檢)《中華人民共和國道路交通安全法》規(guī)定：車輛駕駛員血液酒精濃度在20～80mg/100ml(不含80)之間，屬于酒后駕車；在80mg/100ml(含80)以上時，屬醉酒駕車，對于酒后駕車和醉酒駕車的駕駛員公安機(jī)關(guān)將給予不同程度的處罰．據(jù)《法制晚報》報道，2010年8月1日至8月28日，某市交管部門共抽查了1000輛車，查出酒后駕車和醉酒駕車的駕駛員80人，下圖是對這80人血液中酒精含量進(jìn)行檢查所得結(jié)果的頻率分布直方圖．(1)根據(jù)頻率分布直方圖完成下表：酒精含量(單位：mg/100ml)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)人數(shù)酒精含量(單位：mg/100ml)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人數(shù)(2)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求此次抽查的1000人中屬于醉酒駕車的概率；(3)若用分層抽樣的方法從血液酒精濃度在[70,90)范圍內(nèi)的駕駛員中抽取一個容量為5的樣本，并將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求恰有1人屬于醉酒駕車的概率．[解析](1)酒精含量(單位：mg/100ml)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)人數(shù)1216164酒精含量(單位：mg/100ml)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人數(shù)81284(2)P＝(8＋4)÷1000＝0.012.(3)因為血液酒精濃度在[70,80)范圍內(nèi)有12人，[80,90)范圍內(nèi)有8人，要抽取一個容量為5的樣本，[70,80)內(nèi)范圍內(nèi)應(yīng)抽3人，記為a，b，c，[80,90)范圍內(nèi)應(yīng)抽2人，記為d，e，則從總體中任取2人的所有情況為(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，恰有一人的血液酒精濃度在[80,90)范圍內(nèi)的情況有(a，d)，(a，e)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，共6種，設(shè)“恰有1人屬于醉酒駕車”為事件A，則P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(理)(2011·黃岡市期末)為預(yù)防“甲型H1N1流感”的擴(kuò)散，某兩個大國的研究所A、B均對其進(jìn)行了研究．若獨(dú)立地研究“甲型H1N1流感”疫苗，研究成功的概率分別為eq\f(1,3)和eq\f(1,4)；若資源共享，則提高了效率，即他們合作研究成功的概率比獨(dú)立研究時至少有一個研制成功的概率提高了50%.又疫苗研制成功獲得經(jīng)濟(jì)效益a萬元，而資源共享時所得的經(jīng)濟(jì)效益只能兩個研究所平均分配．請你給A研究所參謀：是否應(yīng)該采取與B研究所合作的方式來研制疫苗，并說明理由．[解析]若A研究所獨(dú)立地研究“甲型H1N1流感”疫苗，則其經(jīng)濟(jì)效益的期望為0×eq\f(2,3)＋a×eq\f(1,3)＝eq\f(a,3)萬元．而兩個研究所獨(dú)立地研究時至少有一個研制成功的概率為1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,2)所以兩個研究所合作研究成功的概率為eq\f(1,2)×(1＋50%)＝eq\f(3,4)于是A研究所采用與B研究所合作的方式來研制疫苗，所獲得的經(jīng)濟(jì)效益的期望為0×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)a×eq\f(3,4)＝eq\f(3,8)a萬元，而eq\f(3,8)a>eq\f(1,3)a，故應(yīng)該建議A研究所采用與B研究所合作的方式來研制疫苗．22．(本小題滿分12分)(2011·遼寧鐵嶺六校聯(lián)考)某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝