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文檔簡介
江蘇省蘇州市南環(huán)中學(xué)2024年十校聯(lián)考最后數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分)1.賓館有50間房供游客居住,當(dāng)每間房每天定價為180元時,賓館會住滿;當(dāng)每間房每天的定價每增加10元時,就會空閑一間房.如果有游客居住,賓館需對居住的每間房每天支出20元的費(fèi)用.當(dāng)房價定為多少元時,賓館當(dāng)天的利潤為10890元?設(shè)房價比定價180元增加x元,則有()A.(x﹣20)(50﹣)=10890 B.x(50﹣)﹣50×20=10890C.(180+x﹣20)(50﹣)=10890 D.(x+180)(50﹣)﹣50×20=108902.下列計算正確的是()A.(a2)3=a6 B.a(chǎn)2?a3=a6 C.a(chǎn)3+a4=a7 D.(ab)3=ab33.如圖,點(diǎn)A,B為定點(diǎn),定直線l//AB,P是l上一動點(diǎn).點(diǎn)M,N分別為PA,PB的中點(diǎn),對于下列各值:①線段MN的長;②△PAB的周長;③△PMN的面積;④直線MN,AB之間的距離;⑤∠APB的大?。渲袝S點(diǎn)P的移動而變化的是()A.②③ B.②⑤ C.①③④ D.④⑤4.如圖,在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的兩邊OC、OA分別在x軸、y軸的正半軸上,反比例函數(shù)(x>0)與AB相交于點(diǎn)D,與BC相交于點(diǎn)E,若BD=3AD,且△ODE的面積是9,則k的值是()A. B. C. D.125.如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=1.若DE是△ABC的中位線,延長DE交△ABC的外角∠ACM的平分線于點(diǎn)F,則線段DF的長為()A.7 B.8 C.9 D.106.不等式2x﹣1<1的解集在數(shù)軸上表示正確的是()A. B.C. D.7.有理數(shù)a,b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示,則下面式子中正確的是()①b<0<a;②|b|<|a|;③ab>0;④a﹣b>a+b.A.①② B.①④ C.②③ D.③④8.已知,如圖,AB//CD,∠DCF=100°,則∠AEF的度數(shù)為()A.120° B.110° C.100° D.80°9.為了盡早適應(yīng)中考體育項目,小麗同學(xué)加強(qiáng)跳繩訓(xùn)練,并把某周的練習(xí)情況做了如下記錄:周一個,周二個,周三個,周四個,周五個則小麗這周跳繩個數(shù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是A.180個,160個 B.170個,160個C.170個,180個 D.160個,200個10.正三角形繞其中心旋轉(zhuǎn)一定角度后,與自身重合,旋轉(zhuǎn)角至少為()A.30° B.60° C.120° D.180°二、填空題(本大題共6個小題,每小題3分,共18分)11.已知圖中的兩個三角形全等,則∠1等于____________.12.如圖,一艘輪船自西向東航行,航行到A處測得小島C位于北偏東60°方向上,繼續(xù)向東航行10海里到達(dá)點(diǎn)B處,測得小島C在輪船的北偏東15°方向上,此時輪船與小島C的距離為_________海里.(結(jié)果保留根號)13.等腰中,是BC邊上的高,且,則等腰底角的度數(shù)為__________.14.如圖,長方體的底面邊長分別為1cm和3cm,高為6cm.如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B,那么所用細(xì)線最短需要_____cm.15.在某一時刻,測得一根長為1.5m的標(biāo)桿的影長為3m,同時測得一根旗桿的影長為26m,那么這根旗桿的高度為_____m.16.已知二次函數(shù)f(x)=x2-3x+1,那么f(2)=_________.三、解答題(共8題,共72分)17.(8分)計算:(1)(2)2﹣|﹣4|+3﹣1×6+20;(2).18.(8分)(5分)計算:(119.(8分)觀察下列等式:22﹣2×1=12+1①32﹣2×2=22+1②42﹣2×3=32+1③…第④個等式為;根據(jù)上面等式的規(guī)律,猜想第n個等式(用含n的式子表示,n是正整數(shù)),并說明你猜想的等式正確性.20.(8分)已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2(k﹣1)x+k(k+2)=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.求k的取值范圍;寫出一個滿足條件的k的值,并求此時方程的根.21.(8分)如圖1,已知△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).作正方形DEFG,使點(diǎn)A、C分別在DG和DE上,連接AE,BG.試猜想線段BG和AE的數(shù)量關(guān)系是_____;將正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時針方向旋轉(zhuǎn)α(0°<α≤360°),①判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請利用圖2證明你的結(jié)論;②若BC=DE=4,當(dāng)AE取最大值時,求AF的值.22.(10分)我國南水北調(diào)中線工程的起點(diǎn)是丹江口水庫,按照工程計劃,需對原水庫大壩進(jìn)行混凝土培厚加高,使壩高由原來的162米增加到176.6米,以抬高蓄水位,如圖是某一段壩體加高工程的截面示意圖,其中原壩體的高為BE,背水坡坡角∠BAE=68°,新壩體的高為DE,背水坡坡角∠DCE=60°.求工程完工后背水坡底端水平方向增加的寬度AC.(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):sin68°≈0.93,cos68°≈0.37,tan68°≈2.5,≈1.73)23.(12分)如圖,已知,.求證.24.如圖1,拋物線y=ax2+bx+4過A(2,0)、B(4,0)兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作x軸的平行線與拋物線上的另一個交點(diǎn)為D,連接AC、BC.點(diǎn)P是該拋物線上一動點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m(m>4).(1)求該拋物線的表達(dá)式和∠ACB的正切值;(2)如圖2,若∠ACP=45°,求m的值;(3)如圖3,過點(diǎn)A、P的直線與y軸于點(diǎn)N,過點(diǎn)P作PM⊥CD,垂足為M,直線MN與x軸交于點(diǎn)Q,試判斷四邊形ADMQ的形狀,并說明理由.
參考答案一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分)1、C【解析】
設(shè)房價比定價180元増加x元,根據(jù)利潤=房價的凈利潤×入住的房同數(shù)可得.【詳解】解:設(shè)房價比定價180元增加x元,根據(jù)題意,得(180+x﹣20)(50﹣)=1.故選:C.【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程的應(yīng)用問題,主要在于找到等量關(guān)系求解.2、A【解析】分析:根據(jù)冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法、積的乘方公式即可得出答案.詳解:A、冪的乘方法則,底數(shù)不變,指數(shù)相乘,原式計算正確;B、同底數(shù)冪的乘法,底數(shù)不變,指數(shù)相加,原式=,故錯誤;C、不是同類項,無法進(jìn)行加法計算;D、積的乘方等于乘方的積,原式=,計算錯誤;故選A.點(diǎn)睛:本題主要考查的是冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法、積的乘方計算法則,屬于基礎(chǔ)題型.理解各種計算法則是解題的關(guān)鍵.3、B【解析】試題分析:①、MN=AB,所以MN的長度不變;②、周長C△PAB=(AB+PA+PB),變化;③、面積S△PMN=S△PAB=×AB·h,其中h為直線l與AB之間的距離,不變;④、直線NM與AB之間的距離等于直線l與AB之間的距離的一半,所以不變;⑤、畫出幾個具體位置,觀察圖形,可知∠APB的大小在變化.故選B考點(diǎn):動點(diǎn)問題,平行線間的距離處處相等,三角形的中位線4、C【解析】
設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b),由BD=3AD,得D(,b),根據(jù)反比例函數(shù)定義求出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)S△ODE=S矩形OCBA-S△AOD-S△OCE-S△BDE=9求出k.【詳解】∵四邊形OCBA是矩形,∴AB=OC,OA=BC,設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b),∵BD=3AD,∴D(,b),∵點(diǎn)D,E在反比例函數(shù)的圖象上,∴=k,∴E(a,
),∵S△ODE=S矩形OCBA-S△AOD-S△OCE-S△BDE=ab-?-?-??(b-)=9,∴k=,故選:C【點(diǎn)睛】考核知識點(diǎn):反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.結(jié)合圖形,分析圖形面積關(guān)系是關(guān)鍵.5、B【解析】
根據(jù)三角形中位線定理求出DE,得到DF∥BM,再證明EC=EF=AC,由此即可解決問題.【詳解】在RT△ABC中,∵∠ABC=90°,AB=2,BC=1,∴AC===10,∵DE是△ABC的中位線,∴DF∥BM,DE=BC=3,∴∠EFC=∠FCM,∵∠FCE=∠FCM,∴∠EFC=∠ECF,∴EC=EF=AC=5,∴DF=DE+EF=3+5=2.故選B.6、D【解析】
先求出不等式的解集,再在數(shù)軸上表示出來即可.【詳解】移項得,2x<1+1,合并同類項得,2x<2,x的系數(shù)化為1得,x<1.在數(shù)軸上表示為:.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式,熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.7、B【解析】分析:本題是考察數(shù)軸上的點(diǎn)的大小的關(guān)系.解析:由圖知,b<0<a,故①正確,因?yàn)閎點(diǎn)到原點(diǎn)的距離遠(yuǎn),所以|b|>|a|,故②錯誤,因?yàn)閎<0<a,所以ab<0,故③錯誤,由①知a-b>a+b,所以④正確.故選B.8、D【解析】
先利用鄰補(bǔ)角得到∠DCE=80°,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求解.【詳解】∵∠DCF=100°,∴∠DCE=80°,∵AB∥CD,∴∠AEF=∠DCE=80°.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì):兩直線平行,同位角相等;兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ);兩直線平行,內(nèi)錯角相等.9、B【解析】
根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義分別進(jìn)行解答即可.【詳解】解:把這些數(shù)從小到大排列為160,160,170,180,200,最中間的數(shù)是170,則中位數(shù)是170;160出現(xiàn)了2次,出現(xiàn)的次數(shù)最多,則眾數(shù)是160;故選B.【點(diǎn)睛】此題考查了中位數(shù)和眾數(shù),掌握中位數(shù)和眾數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵;中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大(或從大到小)重新排列后,最中間的那個數(shù)(最中間兩個數(shù)的平均數(shù)),叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).10、C【解析】
求出正三角形的中心角即可得解【詳解】正三角形繞其中心旋轉(zhuǎn)一定角度后,與自身重合,旋轉(zhuǎn)角至少為120°,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念:把一個圖形繞著一個定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個角度后,與初始圖形重合,這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形,這個定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心,旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角,掌握正多邊形的中心角的求解是解題的關(guān)鍵二、填空題(本大題共6個小題,每小題3分,共18分)11、58°【解析】如圖,∠2=180°?50°?72°=58°,∵兩個三角形全等,∴∠1=∠2=58°.故答案為58°.12、5【解析】
如圖,作BH⊥AC于H.在Rt△ABH中,求出BH,再在Rt△BCH中,利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出BC即可.【詳解】如圖,作BH⊥AC于H.
在Rt△ABH中,∵AB=10海里,∠BAH=30°,
∴∠ABH=60°,BH=AB=5(海里),
在Rt△BCH中,∵∠CBH=∠C=45°,BH=5(海里),
∴BH=CH=5海里,
∴CB=5(海里).
故答案為:5.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題,解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線,構(gòu)造特殊三角形解決問題.13、,,【解析】
分三種情況:①點(diǎn)A是頂角頂點(diǎn)時,②點(diǎn)A是底角頂點(diǎn),且AD在△ABC外部時,③點(diǎn)A是底角頂點(diǎn),且AD在△ABC內(nèi)部時,再結(jié)合直角三角形中,30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半即可求解.【詳解】①如圖,若點(diǎn)A是頂角頂點(diǎn)時,∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD,∵,∴AD=BD=CD,在Rt△ABD中,∠B=∠BAD=;②如圖,若點(diǎn)A是底角頂點(diǎn),且AD在△ABC外部時,∵,AC=BC,∴,∴∠ACD=30°,∴∠BAC=∠ABC=×30°=15°;③如圖,若點(diǎn)A是底角頂點(diǎn),且AD在△ABC內(nèi)部時,∵,AC=BC,∴,∴∠C=30°,∴∠BAC=∠ABC=(180°-30°)=75°;綜上所述,△ABC底角的度數(shù)為45°或15°或75°;故答案為,,.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形中30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是要分情況討論.14、1【解析】
要求所用細(xì)線的最短距離,需將長方體的側(cè)面展開,進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果.【詳解】解:將長方體展開,連接A、B′,∵AA′=1+3+1+3=8(cm),A′B′=6cm,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,AB′==1cm.故答案為1.考點(diǎn):平面展開-最短路徑問題.15、13【解析】
根據(jù)同時同地物高與影長成比列式計算即可得解.【詳解】解:設(shè)旗桿高度為x米,由題意得,,解得x=13.故答案為13.【點(diǎn)睛】本題考查投影,解題的關(guān)鍵是應(yīng)用相似三角形.16、-1【解析】
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)將x=2代入二次函數(shù)解析式中即可.【詳解】f(x)=x2-3x+1f(2)=22-32+1=-1.故答案為-1.【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練的掌握二次函數(shù)的性質(zhì).三、解答題(共8題,共72分)17、(1)1;(2).【解析】
(1)先計算乘方、絕對值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪,再計算乘法,最后計算加減運(yùn)算可得;(2)先將分子、分母因式分解,再計算乘法,最后計算減法即可得.【詳解】(1)原式=8-4+×6+1=8-4+2+1=1.(2)原式===.【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)和分式的混合運(yùn)算,解題的關(guān)鍵是掌握絕對值性質(zhì)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪及分式混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則.18、8+23【解析】試題分析:利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪,零指數(shù)冪、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值的定義解答.試題解析:原式=9+1-(2-3)+2×3考點(diǎn):1.實(shí)數(shù)的運(yùn)算;2.零指數(shù)冪;3.負(fù)整數(shù)指數(shù)冪;4.特殊角的三角函數(shù)值.19、(1)52﹣2×4=42+1;(2)(n+1)2﹣2n=n2+1,證明詳見解析.【解析】
(1)根據(jù)①②③的規(guī)律即可得出第④個等式;(2)第n個等式為(n+1)2﹣2n=n2+1,把等式左邊的完全平方公式展開后再合并同類項即可得出右邊.【詳解】(1)∵22﹣2×1=12+1①32﹣2×2=22+1②42﹣2×3=32+1③∴第④個等式為52﹣2×4=42+1,故答案為:52﹣2×4=42+1,(2)第n個等式為(n+1)2﹣2n=n2+1.(n+1)2﹣2n=n2+2n+1﹣2n=n2+1.【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的運(yùn)算,熟練掌握完全平方公式是解答本題的關(guān)鍵.20、方程的根【解析】
(1)根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式,即可得出關(guān)于k的一元一次不等式,解之即可得出k的取值范圍;(1)取k=0,再利用分解因式法解一元二次方程,即可求出方程的根.【詳解】(1)∵關(guān)于x的一元二次方程x1﹣1(k﹣a)x+k(k+1)=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,∴△=[﹣1(k﹣1)]1﹣4k(k﹣1)=﹣16k+4>0,解得:k<.(1)當(dāng)k=0時,原方程為x1+1x=x(x+1)=0,解得:x1=0,x1=﹣1.∴當(dāng)k=0時,方程的根為0和﹣1.【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式以及因式分解法解一元二次方程,解題的關(guān)鍵是:(1)牢記“當(dāng)△>0時,方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根”;(1)取k=0,再利用分解因式法解方程.21、(1)BG=AE.(2)①成立BG=AE.證明見解析.②AF=.【解析】
(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出結(jié)論;
(2)①如圖2,連接AD,由等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出結(jié)論;
②由①可知BG=AE,當(dāng)BG取得最大值時,AE取得最大值,由勾股定理就可以得出結(jié)論.【詳解】(1)BG=AE.理由:如圖1,∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),∴AD⊥BC,BD=CD,∴∠ADB=∠ADC=90°.∵四邊形DEFG是正方形,∴DE=DG.在△BDG和△ADE中,BD=AD,∠BDG=∠ADE,GD=ED,∴△ADE≌△BDG(SAS),∴BG=AE.故答案為BG=AE;(2)①成立BG=AE.理由:如圖2,連接AD,∵在Rt△BAC中,D為斜邊BC中點(diǎn),∴AD=BD,AD⊥BC,∴∠ADG+∠GDB=90°.
∵四邊形EFGD為正方形,∴DE=DG,且∠GDE=90°,∴∠ADG+∠ADE=90°,∴∠BDG=∠ADE.在△BDG和△ADE中,BD=AD,∠BDG=∠ADE,GD=ED,∴△BDG≌△ADE(SAS),∴BG=AE;
②∵BG=AE,∴當(dāng)BG取得最大值時,AE取得最大值.如圖3,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為270°時,BG=AE.∵BC=DE=4,∴BG=2+4=6.∴AE=6.在Rt△AEF中,由勾股定理,得AF==,∴AF=2.【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是全等三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理及正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形,解題的關(guān)鍵是熟練的掌握全等三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理以及正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形.22、工程完工后背水坡底端水平方向增加的寬度AC約為37.3米.【解析】解:在Rt△BAE中,∠BAE=680,BE=162米,∴(米).在Rt△DEC中,∠DGE=600,DE=176.6米,∴(米).∴(米).∴工程完工后背水坡底端水平方向增加的寬度AC約為37.3米.在Rt△BAE和Rt△DEC中,應(yīng)用正切函數(shù)分別求出AE和CE的長即可求得AC的長.23、見解析【解析】
根據(jù)∠ABD=∠DCA,∠ACB=∠DBC,求證∠ABC=∠DCB,然后利用AAS可證明△ABC≌△DCB,即可證明結(jié)論.【詳解】證明:∵∠ABD=∠DCA,∠DBC=∠ACB
∴∠ABD+∠DBC=∠DCA+∠ACB
即∠ABC=∠DCB
在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB(ASA)
∴AB=DC【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生對全等三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握,證明此題的關(guān)鍵是求證△ABC≌△DCB.難度不大,屬于基礎(chǔ)題.24、(1)y=x2﹣3x+1;tan∠ACB=;(2)m=;(3)四邊形ADMQ是平行四邊形;理由見解析.【解析】
(1)由點(diǎn)A、B坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求解可得拋物線解析式為y=x2-3x+1,作BG⊥CA,交CA的延長線于點(diǎn)G,證△GAB∽△OAC得=,據(jù)此知BG=2AG.在Rt△ABG中根據(jù)BG2+AG2=AB2,可求得AG=.繼而可得BG=,CG=AC+AG=,根據(jù)正切函數(shù)定義可得答案;(2)作BH⊥CD于點(diǎn)H,交CP于點(diǎn)K,連接AK,易得四邊形OBHC是正方形,應(yīng)用“全角夾半角”可得AK=OA+HK,設(shè)K(1,h),則BK=h,HK=HB-KB=1-h,AK=OA+HK=2+(1-h)=6-h.在Rt△ABK中,由勾股定理求得h=,據(jù)此求得點(diǎn)K(1,).待定系數(shù)法求出直線CK的解析式為y=-x+1.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)知x是方程x2-3x+1=-x+1的一個解.解之求得x的值即可得出答案;(3)先求出點(diǎn)D坐標(biāo)為(6,1),設(shè)P(m,m2-3m+1)知M(m,1),H(m,0).及PH=m2-3m+1),OH=m,AH=m-2,MH=1.①當(dāng)1<m<6時,由△OAN∽△HAP知=.據(jù)此得ON=m-1.再證△ONQ∽△HMQ得=.據(jù)此求得OQ=m-1.從而得出AQ=DM=6-m.結(jié)合AQ∥DM可得答案.②當(dāng)m>6時,同理可得.【詳解】解:(1)將點(diǎn)A(2,0)和點(diǎn)B(1,0)分別代入y=ax2+bx+1,得,解得:;∴該拋物線的解析式為y=x
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