《隨機(jī)過程》教程

《隨機(jī)過程》教程第3講隨機(jī)變量、隨機(jī)向量及其概率函數(shù)東南大學(xué)移動(dòng)通信國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室陳明制作/incoming/document/隨機(jī)過程4/24/20241隨機(jī)對(duì)象映射方法：將具體的樣本空間映射到數(shù)集或者函數(shù)集〔傳統(tǒng)的方法；概率論中常用〕直接方法：直接指定樣本空間為數(shù)集或函數(shù)集當(dāng)樣本空間為一維實(shí)數(shù)集合時(shí)，那么稱該一維實(shí)變量為隨機(jī)變量當(dāng)樣本空間為一維復(fù)數(shù)集合時(shí)，那么稱該一維復(fù)數(shù)變量為復(fù)隨機(jī)變量當(dāng)樣本空間為高維實(shí)數(shù)空間時(shí)，那么稱該高維實(shí)數(shù)空間為隨機(jī)向量當(dāng)樣本空間為定義于某個(gè)數(shù)集上的函數(shù)組成，那么稱該函數(shù)集合為隨機(jī)過程4/24/20242隨機(jī)變量隨機(jī)變量的兩要素變量特征概率特征〔統(tǒng)計(jì)特征〕話費(fèi)〔元〕月使用時(shí)間〔分鐘〕4/24/20243樣本空間的統(tǒng)一問題當(dāng)隨機(jī)變量〔隨機(jī)向量〕的樣本空間只是實(shí)數(shù)集合的一局部時(shí)，仍用整個(gè)實(shí)數(shù)集合作為樣本空間。這樣將樣本空間統(tǒng)一之后，可以用概率密度函數(shù)，概率分布函數(shù)統(tǒng)一描述隨機(jī)變量的概率特性；被擴(kuò)充的樣本點(diǎn)處的概率密度被定義為零；對(duì)于離散型隨機(jī)變量〔隨機(jī)向量〕，有時(shí)候?yàn)榱吮硎龅姆奖?，也用離散變量表示，而不進(jìn)行擴(kuò)充，此時(shí)概率特性用概率質(zhì)量函數(shù)表示4/24/20244概率質(zhì)量函數(shù)

(pmf:probabilitymassfunction)任何一種離散型隨機(jī)變量都可以統(tǒng)一地用概率質(zhì)量函數(shù)表示其他事件的概率通過概率質(zhì)量函數(shù)計(jì)算得到連續(xù)型隨機(jī)變量不可以用概率質(zhì)量函數(shù)表示4/24/20245概率分布函數(shù)

(cdf:cumulativedistributionfunction)4/24/20246概率密度函數(shù)

(pdf:probabilitydensityfunction)概率分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概率在直線上的密度4/24/20247補(bǔ)充：廣義導(dǎo)數(shù)的概念4/24/20248函數(shù)的支集直觀上的意義就是函數(shù)在這個(gè)集合上不為零，這個(gè)集合“支撐”了這個(gè)函數(shù)的非零值，所以被稱為“支撐集合”，簡稱支集〔supportset〕4/24/20249廣義導(dǎo)數(shù)定義的來源將導(dǎo)數(shù)和原函數(shù)之間所滿足的積分恒等式用來定義廣義導(dǎo)數(shù)4/24/202410Delta函數(shù)和Heavyside函數(shù)4/24/202411Delta函數(shù)的性質(zhì)提供了描述“質(zhì)點(diǎn)”概率的數(shù)學(xué)工具4/24/202412cdf和pdf的性質(zhì)練習(xí)一：試證明P.28的性質(zhì)2.2練習(xí)二：試證明P.29的性質(zhì)2.34/24/202413一個(gè)很有用的比喻將“概率”比喻成“質(zhì)量”在一條直線上分布總質(zhì)量為1的物質(zhì)概率質(zhì)量函數(shù)總質(zhì)量為1的可數(shù)個(gè)質(zhì)點(diǎn)分布在直線上概率分布函數(shù)分布在x左邊的總質(zhì)量概率密度函數(shù)在x處的概率的密度4/24/202414隨機(jī)變量的分類離散型隨機(jī)變量除了cdf和pdf，還可以用pmf描述連續(xù)型隨機(jī)變量只能用cdf和pdf描述，不能用pmf描述混合型隨機(jī)變量只能用cdf和pdf描述，不能用pmf描述4/24/202415隨機(jī)向量樣本空間標(biāo)準(zhǔn)化為高維歐氏空間總概率1分布在n維歐氏空間內(nèi)分布的方式和一維類似離散型隨機(jī)向量連續(xù)型隨機(jī)向量混合型隨機(jī)向量4/24/202416聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)4/24/202417聯(lián)合概率分布函數(shù)4/24/202418聯(lián)合概率密度函數(shù)廣義導(dǎo)數(shù)由〔2.19〕定義4/24/202419邊界概率函數(shù)分類邊界概率質(zhì)量函數(shù)邊界概率分布函數(shù)邊界概率密度函數(shù)定義低維隨機(jī)變量的概率函數(shù)被稱為邊界概率函數(shù)可以由高維隨機(jī)變量的概率函數(shù)得到pmf：對(duì)其他維數(shù)的隨機(jī)變量求和cdf：令其他維數(shù)的隨機(jī)指數(shù)為無窮大pdf：對(duì)其他維數(shù)的隨機(jī)變量積分4/24/202420課堂練習(xí)：證明性質(zhì)2.44/24/202421隨機(jī)向量和隨機(jī)變量的關(guān)系隨機(jī)向量包含了單個(gè)分量隨機(jī)變量的完全信息隨機(jī)向量還包含單個(gè)分量隨機(jī)變量之間的相關(guān)信息4/24/202422隨機(jī)變量間的關(guān)系獨(dú)立性定義條件概率分布函數(shù)條件概率密度函數(shù)4/24/2