2024屆重慶市沙坪壩區(qū)第一中學高三最后一模數(shù)學試題含解析

2024屆重慶市沙坪壩區(qū)第一中學高三最后一模數(shù)學試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列的前n項和為，，且對于任意，滿足，則（）A． B． C． D．2．雙曲線的左右焦點為，一條漸近線方程為，過點且與垂直的直線分別交雙曲線的左支及右支于，滿足，則該雙曲線的離心率為（）A． B．3 C． D．23．函數(shù)的部分圖像如圖所示，若，點的坐標為，若將函數(shù)向右平移個單位后函數(shù)圖像關于軸對稱，則的最小值為（）A． B． C． D．4．設，隨機變量的分布列是01則當在內增大時，（）A．減小，減小 B．減小，增大C．增大，減小 D．增大，增大5．已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，且，則（）A． B．或 C． D．6．用數(shù)學歸納法證明1+2+3+?+n2=n4A．k2+1C．k2+17．向量，，且，則（）A． B． C． D．8．已知冪函數(shù)的圖象過點，且，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．9．關于的不等式的解集是，則關于的不等式的解集是（）A． B．C． D．10．已知函數(shù)（）的最小值為0，則（）A． B． C． D．11．設遞增的等比數(shù)列的前n項和為，已知，，則（）A．9 B．27 C．81 D．12．設全集，集合，.則集合等于（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的二項展開式中，所有項的系數(shù)之和為1024，則展開式常數(shù)項的值等于_______．14．若函數(shù)，則使得不等式成立的的取值范圍為_________.15．已知等差數(shù)列的各項均為正數(shù)，，且，若，則________.16．設直線過雙曲線的一個焦點，且與的一條對稱軸垂直，與交于兩點，為的實軸長的2倍，則雙曲線的離心率為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）的內角的對邊分別為，已知.（1）求的大小；（2）若，求面積的最大值.18．（12分）某企業(yè)為了了解該企業(yè)工人組裝某產(chǎn)品所用時間，對每個工人組裝一個該產(chǎn)品的用時作了記錄，得到大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)．從這些統(tǒng)計數(shù)據(jù)中隨機抽取了個數(shù)據(jù)作為樣本，得到如圖所示的莖葉圖（單位：分鐘）．若用時不超過（分鐘），則稱這個工人為優(yōu)秀員工．（1）求這個樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)；（2）以這個樣本數(shù)據(jù)中優(yōu)秀員工的頻率作為概率，任意調查名工人，求被調查的名工人中優(yōu)秀員工的數(shù)量分布列和數(shù)學期望．19．（12分）設函數(shù)，.（1）解不等式；（2）若對任意的實數(shù)恒成立，求的取值范圍.20．（12分）設數(shù)列是等比數(shù)列，，已知,(1)求數(shù)列的首項和公比；（2）求數(shù)列的通項公式．21．（12分）在中，角、、所對的邊分別為、、，且.（1）求角的大小；（2）若，的面積為，求及的值.22．（10分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b（a2+c2﹣b2）＝a2ccosC+ac2cosA．（1）求角B的大??；（2）若△ABC外接圓的半徑為，求△ABC面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

利用數(shù)列的遞推關系式判斷求解數(shù)列的通項公式，然后求解數(shù)列的和，判斷選項的正誤即可．【詳解】當時，．所以數(shù)列從第2項起為等差數(shù)列，，所以，，．，，．故選：．【點睛】本題考查數(shù)列的遞推關系式的應用、數(shù)列求和以及數(shù)列的通項公式的求法，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題．2、A【解析】

設，直線的方程為，聯(lián)立方程得到，，根據(jù)向量關系化簡到，得到離心率.【詳解】設，直線的方程為.聯(lián)立整理得，則.因為，所以為線段的中點，所以，，整理得，故該雙曲線的離心率.故選：.【點睛】本題考查了雙曲線的離心率，意在考查學生的計算能力和轉化能力.3、B【解析】

根據(jù)圖象以及題中所給的條件，求出和，即可求得的解析式，再通過平移變換函數(shù)圖象關于軸對稱，求得的最小值.【詳解】由于，函數(shù)最高點與最低點的高度差為，所以函數(shù)的半個周期，所以，又，，則有，可得，所以，將函數(shù)向右平移個單位后函數(shù)圖像關于軸對稱，即平移后為偶函數(shù)，所以的最小值為1，故選：B.【點睛】該題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質，根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式是解決該題的關鍵，要求熟練掌握函數(shù)圖象之間的變換關系，屬于簡單題目.4、C【解析】

，，判斷其在內的單調性即可．【詳解】解：根據(jù)題意在內遞增，，是以為對稱軸，開口向下的拋物線，所以在上單調遞減，故選：C．【點睛】本題考查了利用隨機變量的分布列求隨機變量的期望與方差，屬于中檔題．5、A【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質可得，通分化簡即可.【詳解】由題意，數(shù)列為等比數(shù)列，則，又，即，所以，，.故選：A.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的性質，考查了推理能力與運算能力，屬于基礎題.6、C【解析】

首先分析題目求用數(shù)學歸納法證明1+1+3+…+n1=n4【詳解】當n=k時，等式左端=1+1+…+k1，當n=k+1時，等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+（k+1）1，增加了項（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+…+（k+1）1．故選：C．【點睛】本題主要考查數(shù)學歸納法，屬于中檔題./7、D【解析】

根據(jù)向量平行的坐標運算以及誘導公式，即可得出答案.【詳解】故選：D【點睛】本題主要考查了由向量平行求參數(shù)以及誘導公式的應用，屬于中檔題.8、A【解析】

根據(jù)題意求得參數(shù)，根據(jù)對數(shù)的運算性質，以及對數(shù)函數(shù)的單調性即可判斷.【詳解】依題意，得，故，故，，，則.故選：A.【點睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性比較大小，考查推理論證能力，屬基礎題.9、A【解析】

由的解集，可知及，進而可求出方程的解，從而可求出的解集.【詳解】由的解集為，可知且，令，解得，，因為，所以的解集為，故選：A.【點睛】本題考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查學生的計算求解能力與推理能力，屬于基礎題.10、C【解析】

設，計算可得，再結合圖像即可求出答案.【詳解】設，則，則，由于函數(shù)的最小值為0，作出函數(shù)的大致圖像，結合圖像，，得，所以.故選：C【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的圖像與性質，考查轉化思想，考查數(shù)形結合思想，屬于中檔題.11、A【解析】

根據(jù)兩個已知條件求出數(shù)列的公比和首項，即得的值.【詳解】設等比數(shù)列的公比為q.由，得，解得或.因為.且數(shù)列遞增，所以.又，解得，故.故選：A【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項和求和公式，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.12、A【解析】

先算出集合，再與集合B求交集即可.【詳解】因為或.所以，又因為.所以.故選：A.【點睛】本題考查集合間的基本運算，涉及到解一元二次不等式、指數(shù)不等式，是一道容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用展開式所有項系數(shù)的和得n=5,再利用二項式展開式的通項公式，求得展開式中的常數(shù)項.【詳解】因為的二項展開式中，所有項的系數(shù)之和為4n=1024,n=5,故的展開式的通項公式為Tr+1=C·35-r,令,解得r=4,可得常數(shù)項為T5=C·3=15,故填15.【點睛】本題主要考查了二項式定理的應用、二項式系數(shù)的性質，二項式展開式的通項公式，屬于中檔題.14、【解析】

分，兩種情況代入討論即可求解.【詳解】，當時，，符合；當時，，不滿足.故答案為：【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的計算，考查了分類討論的思想.15、【解析】

設等差數(shù)列的公差為，根據(jù)，且，可得，解得，進而得出結論.【詳解】設公差為，因為，所以，所以，所以故答案為：【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式、需熟記公式，屬于基礎題.16、【解析】

不妨設雙曲線，焦點，令，由的長為實軸的二倍能夠推導出的離心率.【詳解】不妨設雙曲線，焦點，對稱軸，由題設知，因為的長為實軸的二倍，，，，故答案為.【點睛】本題主要考查利用雙曲線的簡單性質求雙曲線的離心率，屬于中檔題.求解與雙曲線性質有關的問題時要結合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當涉及頂點、焦點、實軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時，要理清它們之間的關系，挖掘出它們之間的內在聯(lián)系.求離心率問題應先將用有關的一些量表示出來，再利用其中的一些關系構造出關于的等式，從而求出的值.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理將邊化角，結合誘導公式可化簡邊角關系式，求得，根據(jù)可求得結果；（2）利用余弦定理可得，利用基本不等式可求得，代入三角形面積公式可求得結果.【詳解】（1）由正弦定理得：，又，即由得：（2）由余弦定理得：又（當且僅當時取等號）即三角形面積的最大值為：【點睛】本題考查解三角形的相關知識，涉及到正弦定理化簡邊角關系式、余弦定理解三角形、三角形面積公式應用、基本不等式求積的最大值、誘導公式的應用等知識，屬于?？碱}型.18、（1）43，47；（2）分布列見解析，.【解析】

（1）根據(jù)莖葉圖即可得到中位數(shù)和眾數(shù)；（2）根據(jù)數(shù)據(jù)可得任取一名優(yōu)秀員工的概率為，故，寫出分布列即可得解.【詳解】（1）中位數(shù)為，眾數(shù)為．（2）被調查的名工人中優(yōu)秀員工的數(shù)量，任取一名優(yōu)秀員工的概率為，故，，，的分布列如下：故【點睛】此題考查根據(jù)莖葉圖求眾數(shù)和中位數(shù)，求離散型隨機變量分布列，根據(jù)分布列求解期望，關鍵在于準確求解概率，若能準確識別二項分布對于解題能夠起到事半功倍的作用.19、(1)；(2)【解析】試題分析：（1）將絕對值不等式兩邊平方，化為二次不等式求解．（2）將問題化為分段函數(shù)問題，通過分類討論并根據(jù)恒成立問題的解法求解即可．試題解析：整理得解得①②解得③,且無限趨近于4，綜上的取值范圍是20、(1)（2）【解析】

本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式的求解，數(shù)列求和的錯位相減求和是數(shù)列求和中的重點與難點，要注意掌握．（1）設等比數(shù)列{an}的公比為q，則q+q2=6，解方程可求q（2）由（1）可求an=a1?qn-1=2n-1，結合數(shù)列的特點，考慮利用錯位相減可求數(shù)列的和解：（1）（2），兩式相減：21、（1）（2）；【解析】

（1）由代入中計算即可；（2）由余弦定理可得，所以，由，變形即可得到答案.【詳解】（1）因為，可得：，∴，或（舍），∵，∴.（2）由余弦定理，得所以，故，又，所以，所以.【點睛】本題考查二倍角公式以及正余弦定理解三角形，考查學生的運算求解能力，是一道容易題.22、（1）B（2）【解析】

（1）由已知結合余弦定理，正弦定理及和兩角和的正弦公式進行化簡可求cosB，進而可求B；（2）由已知結合正弦定理，余弦定理及基本不等式即可求解ac的范圍，然后結合三角形的面積公式即可求解.【詳解】（1）因為b（a2+c2﹣b2）＝ca2cosC+ac2cosA，∴