專題09 直線與圓的方程及解三角形（解析版）

專題09直線與圓的方程及解三角形題型一直線與圓的方程1．（2024?江蘇一模）萊莫恩定理指出：過的三個頂點，，作它的外接圓的切線，分別和，，所在直線交于點，，，則，，三點在同一條直線上，這條直線被稱為三角形的線．在平面直角坐標(biāo)系中，若三角形的三個頂點坐標(biāo)分別為，，，則該三角形的線的方程為A． B． C． D．【答案】【詳解】設(shè)，，，則，，可得，所以．因此，的外接圓是以為直徑的圓，圓心為的中點，半徑．所以的外接圓方程為，求得直線，與過點的切線交于點，，直線，與過點的切線交于點，直線的方程為，即．故選：．2．（2024?姜堰區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，則平面圖形內(nèi)的點滿足條件：，且，則的面積為A． B．3 C． D．1【答案】【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，若，則有，變形可得，設(shè)，則其對應(yīng)的區(qū)域為圓的內(nèi)部，若，則有，則有或，故區(qū)域為如圖所示的陰影區(qū)域：其面積為；故選：．3．（2024?張家港市模擬）過點作直線交圓于點，，若，則點的橫坐標(biāo)是A． B． C． D．【答案】【詳解】設(shè)，由，可得，所以①，又②，聯(lián)立①②解得．故選：．4．（2024?蘇州模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，若直線上存在一點，圓上存在一點，滿足，則實數(shù)的最大值為A．0 B．3 C． D．【答案】【詳解】設(shè)，，，；則①，②；由，得，即，代入②得；此方程表示的圓心到直線的距離為；即，解得．實數(shù)的最大值為0．故選：．5．（2024?鹽城一模）設(shè)為坐標(biāo)原點，圓與軸切于點，直線交圓于，兩點，其中在第二象限，則A． B． C． D．【答案】【詳解】由題意得：圓的圓心為，半徑為2，因為圓于軸切于點，所以，因為直線交圓于，兩點，所以圓心到直線的距離，，的傾斜角為，，則．故選：．（多選）6．（2024?南通模擬）已知點在圓上，點，，則A．存在點，使得 B． C．存在點，使得 D．【答案】【詳解】圓即，圓心，半徑，又，所以，因為點在圓上，所以，所以存在點，使得，故對；因為，所以點在圓外，又，點在圓內(nèi)，所以當(dāng)與圓相切時，取最大值，此時，所以，故對；對于，設(shè)，若，，又點在圓上，一定成立，故對，錯．故選：．（多選）7．（2024?連云港模擬）已知圓，圓，，分別是圓與圓上的動點，則A．若圓與圓無公共點，則 B．當(dāng)時，兩圓公共弦所在直線方程為 C．當(dāng)時，的取值范圍為， D．當(dāng)時，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，則不可能等于【答案】【詳解】根據(jù)題意，圓，其圓心為，半徑為，圓，其圓心為，半徑為，圓心距，依次分析選項：對于，若圓與圓無公共點，則或，或，解可得或，錯誤；對于，若，則兩圓公共弦的方程為，變形可得，正確；對于，當(dāng)時，，兩圓外離，則有，即，正確；對于，當(dāng)時，若，四邊形為正方形，則，又由，則，，而，存在滿足，錯誤．故選：．8．（2024?揚州模擬）已知點是直線和，，的交點，點是圓上的動點，則的最大值是．【答案】【詳解】因為直線，即，令，解得，可知直線過定點，同理可知：直線過定點，又因為，可知，所以直線與直線的交點的軌跡是以的中點，半徑的圓，因為圓的圓心，半徑，所以的最大值是．故答案為：．題型二解三角形1．（2024?揚州模擬）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，的外接圓半徑為，則面積的最大值為A． B． C． D．【答案】【詳解】的外接圓半徑為，由正弦定理，可得，，代入已知等式得，即，，由此可得，結(jié)合，得．，（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號），面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時，的面積的最大值為．故選：．2．（2024?泰州模擬）在中，角，，的對邊分別為，，，若，，則A． B． C． D．【答案】【詳解】由題意得，，所以，即，則，所以，所以．故選：．3．（2024?江蘇模擬）在中，，，為的中點，，則．【答案】【詳解】設(shè)，，則，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，因為，所以，即，所以，①在中，由余弦定理，得，即，②由①②可得：，解得或（舍去），即．故答案為：．4．（2024?相城區(qū)校級一模）某同學(xué)在學(xué)習(xí)和探索三角形相關(guān)知識時，發(fā)現(xiàn)了一個有趣的性質(zhì)：將銳角三角形三條邊所對的外接圓的三條圓弧（劣?。┭刂切蔚倪呥M(jìn)行翻折，則三條圓弧交于該三角形內(nèi)部一點，且此交點為該三角形的垂心（即三角形三條高線的交點）．如圖，已知銳角外接圓的半徑為2，且三條圓弧沿三邊翻折后交于點．若，則；若，則的值為．【答案】；【詳解】設(shè)外接圓半徑為，則，由正弦定理，可知，即，又由題意可知，，所以，所以；設(shè)，，，則，易知，由題意可得，所以，同理可得，所以．故答案為：；．5．（2024?連云港模擬）在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，，，分別在邊和上，且把的面積分成相等的兩部分，則的最小值為．【答案】【詳解】由題意，，，，由余弦定理，，，則有，解得，因此，又，則，因為，所以，所以，在中，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．故答案為：．6．（2024?蘇州模擬）如圖，某小區(qū)中央廣場由兩部分組成，一部分是邊長為的正方形，另一部分是以為直徑的半圓，其圓心為．規(guī)劃修建的3條直道，，將廣場分割為6個區(qū)域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ為綠化區(qū)域（圖中陰影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ為休閑區(qū)域，其中點在半圓弧上，分別與，相交于點，．（道路寬度忽略不計）設(shè)，．當(dāng)為時，綠化區(qū)域面積之和最大．【答案】【詳解】區(qū)域Ⅳ、Ⅵ的面積之和為，區(qū)域Ⅱ的面積為，所以，設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時“”成立．所以，當(dāng)時，綠化區(qū)域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面積之和最大．故答案為：．7．（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）已知在中，三邊，，所對的角分別為，，，已知．（1）求；（2）若，外接圓的直徑為4，求的面積．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）因為，由正弦定理得，，因為，，所以，因為，所以，又，則，因為，所以；（2）由正弦定理，，則，由余弦定理，，解得或（舍去），故的面積．8．（2024?武進(jìn)區(qū)校級一模）如圖，在梯形中，，，．（1）若，求的長；（2）若，求．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）在中，，，，由正弦定理得，則；（2）因為，所以，在中，，，由余弦定理得：，解得，所以．9．（2024?南通模擬）在中，角，，的對邊分別為，，．已知，，．（1）求和；（2）若點在邊上，且，求．【答案】（1），；（2）2【詳解】（1），，，在中，可得，，由正弦定理可得，即，，，，因為，所以；即，；（2）設(shè)，則，在中，由余弦定理可得，，，即，而，所以，整理可得，解得或2，當(dāng)時，，所以，即．10．（2024?姜堰區(qū)校級模擬）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知．（1）求角；（2）若，點為的重心，且，求的面積．【答案】（1）；（2）【詳解】（1），由正弦定理可得，整理得，由余弦定理可得．又，．（2）設(shè)的延長線交于點，因為點為的重心，所以點為中點，又，．在中，由余弦定理，和，可得．在和中，有，，，由余弦定理可得，，的面積為．11．（2024?鹽城一模）在中，．（1）求的大?。唬?）延長至點，使得，若，求的大小．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）在中，，，由題意可得，而，可得，，解得；（2）設(shè)，，則，由（1）得：，又，則在中，，在中，由正弦定理，即，①，在中，由正弦定理得：，即，②，故得：，所以，故，整理得．12．（2024?揚州模擬）在中，已知角，，的對邊分別為，，，且，，是公差為1的等差數(shù)列．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使為鈍角三角形？若存在，求的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）6；（2）見解析【詳解】（1）由，，是公差為1的等差數(shù)列，則，，又，由正弦定理得：，則，解得，，，故，所以為直角三角形，；（2）為鈍角三角形，即，由，，是公差為1的等差數(shù)列，得，顯然，，，不能構(gòu)成三角形，當(dāng)，，可構(gòu)成三角形，此時．13．（2024?清江浦區(qū)模擬）在中，角，，所對的邊分別為，，，．（1）求的值；（2）若，的面積為，求的值．【答案】（1）；（2）1或3【詳解】（1），又，則；（2）由于，則，又的面積為，則，則，由余弦定理可得，，則，則，故，或，，綜上，的值為1或3．14．（2024?蘇州模擬）在中，角、、所對的邊分別是、、，且，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）在中，根據(jù)余弦定理及得，，又因為，，所以，在中，由正弦定理得得，，因為，所以，即得，又，所以；（2）在中，，所以．15．（2024?鹽城模擬）在中，角，，所對的邊分別是，，，且．（1）求角的大?。唬?）若點在邊上，平分，，求長的最大值．【答案】（1）；（2）3【詳解】（1）因為，由正弦定理得：，由，得，所以，即，因為，所以，又，所以．因為，所以；（2）由△，得，所以，在中