函數(shù)y=Asin(ωx+φ)高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版(2019)必修第一冊

5.6函數(shù)y=Asin(ωx+φ)第五章

三角函數(shù)一二三學(xué)習(xí)目標(biāo)經(jīng)歷勻速圓周運動數(shù)學(xué)建模的過程，了解正弦型函數(shù)的現(xiàn)實背景，體會三角函數(shù)與現(xiàn)實世界的緊密聯(lián)系.掌握勻速圓周運動的數(shù)學(xué)模型，會用其解決相關(guān)的實際建模問題，進一步鞏固三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).掌握三個參數(shù)對函數(shù)圖象的影響并能靈活運用學(xué)習(xí)目標(biāo)情景引入單位圓上的勻速圓周運動單位圓上的動點P,以(1,0)為起點,以單位速度1rad/s按逆時針方向運動了t

秒,其運動規(guī)律具有______性,點P的縱坐標(biāo)y與時間t的關(guān)系是_________,即可用______函數(shù)模型刻畫．y=sinttPA(1,0)Ox三角PA(1,0)O周期情景引入情景

筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌輸工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用.明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理。問題1假設(shè)水流量穩(wěn)定，筒車上的每個盛水筒（視為質(zhì)點）都做勻速圓周運動。你會用什么函數(shù)模型刻畫盛水筒距離水面的相對高度H與時間t的關(guān)系?因筒車上盛水筒的運動具有周期性，可考慮用三角函數(shù)模型刻畫其運動規(guī)律．新知探究ωt問題2盛水筒距離水面的高度H與哪些量有關(guān)？P0P筒輪中心O到水面的距離h筒車半徑r以初始位置OP0為終邊的角φOrh筒車轉(zhuǎn)動的角速度ωωφ筒車ts內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為ωt

如圖，將筒車抽象為一個幾何圖形，設(shè)經(jīng)過ts后，盛水筒M(視為質(zhì)點)從點P0運動到點P．問題3

那么點P距離水面的高度H與t

、h、r、φ、ω這些量有什么樣的相互關(guān)系？

該如何建立盛水筒M運動的數(shù)學(xué)模型？假設(shè)水流量穩(wěn)定，筒車上的每個盛水筒都做勻速圓周運動.設(shè)經(jīng)過t

s，盛水筒M(視為質(zhì)點)從點P0逆時針運動到點P，此時點P距離水面的高度為H.筒車中心O到水面的距離為h

m，半徑為rm，以初始位置OP0為終邊的角φ，角速度為ω

rad/s.新知探究追問1

如何刻畫動點P的位置？以O(shè)為原點，以與水平面平行的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點P(x,y)．xy追問2如何刻畫點P的縱坐標(biāo)y與上述那些量的關(guān)系？y=r·sin(ωt+φ)由三角函數(shù)的定義得，追問3點P的距離水面的高度H與y,h有什么關(guān)系？H=y+h=r·sin(ωt+φ)+h形數(shù)點坐標(biāo)建系y>0時,H=y+hy<0時,H=h-|y|=h+yy新知探究假設(shè)水流量穩(wěn)定，筒車上的每個盛水筒都做勻速圓周運動.設(shè)經(jīng)過t

s，盛水筒M(視為質(zhì)點)從點P0逆時針運動到點P，此時點P距離水面的高度為H.筒車中心O到水面的距離為h

m，半徑為rm，以初始位置OP0為終邊的角φ，角速度為ω

rad/s.新知探究y=r·sin(ωt+φ)①H=r·sin(ωt+φ)+h②

函數(shù)②就是要建立的數(shù)學(xué)模型，只要將它的性質(zhì)研究清楚，就能把握盛水筒的運動規(guī)律．由于h是常量，我們可以只研究函數(shù)①的性質(zhì)．

新知探究

當(dāng)起點位于時，，可得函數(shù)的圖象P---11-M取A=1,數(shù)學(xué)實驗1.探索φ對y=A·sin(ωx+φ)圖象的影響

觀察圖象上點的坐標(biāo)關(guān)系新知探究1.探索φ對y=A·sin(ωx+φ)圖象的影響

新知探究1.探索φ對y=A·sin(ωx+φ)圖象的影響

當(dāng)起點位于時，，可得函數(shù)的圖象P---11-取A=1,

追問(1)如果取

，

，對應(yīng)的函數(shù)圖象如何變化呢？(2)根據(jù)上面的研究，歸納出對函數(shù)圖象影響的一般化結(jié)論.

φ對y=A·sin(ωx+φ)圖象的影響

歸納小結(jié)為了得到函數(shù)

的圖象，只要把

的圖象上所有的點（）【跟蹤訓(xùn)練1】（B）向左平行移動個單位長度（C）向右平行移動個單位長度（D）向左平行移動個單位長度（A）向右平行移動個單位長度A①把正弦曲線上的所有點向左(當(dāng)φ>0時)或向右(當(dāng)φ<0時)平移|φ|個單位長度，就得到函數(shù)

y=sin(x+φ)的圖象；②φ的變化只改變圖象的左右變化，形狀、大小完全不變；③這種變化引起的是初始位置的變換，一般稱為相位變換.取A=1，

，當(dāng)

時，得到

的圖象P

當(dāng)時，得到的圖象1、作圖2.探索ω對y=A·sin(ωx+φ)圖象的影響

新知探究PP2、探究2.探索ω對y=A·sin(ωx+φ)圖象的影響

新知探究2.探索ω對y=A·sin(ωx+φ)圖象的影響

新知探究追問(1)如果對應(yīng)的函數(shù)圖象如何變化呢？(2)根據(jù)上面的研究，歸納出對函數(shù)圖象影響的一般化結(jié)論.

歸納小結(jié)ω(ω>0)

對y=A·sin(ωx+φ)圖象的影響

【跟蹤訓(xùn)練2】說一說由的圖象經(jīng)過怎樣變化得到的圖象？

圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/p>

倍，縱坐標(biāo)不變3.探索A對y=A·sin(ωx+φ)圖象的影響

新知探究當(dāng)參數(shù)A變化時，對函數(shù)y=A·sin(ωx+φ)圖象有什么影響？

A(A>0)

對y=A·sin(ωx+φ)圖象的影響

歸納小結(jié)①A的作用：引起值域的改變，這種變換叫做縱向伸縮；②A的變化引起的縱向伸縮，會導(dǎo)致圖象形狀改變（被縱向拉長或縮短）；③若A>0，則函數(shù)y=Asin(ωx+φ)

的值域為[–A，A]；若A<0，則函數(shù)y=Asin(ωx+φ)

的值域為[A，–A]；【跟蹤訓(xùn)練3】為了得到函數(shù)

的圖象，只要把

圖象上所有的點（）（A）橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變

（C）縱坐標(biāo)伸長到原來的4倍，橫坐標(biāo)不變

C歸納總結(jié)（沿x軸平行移動）y=sin(x+

)（沿x軸伸縮）y=sin(

x+

)yxOy=Asin(

x+

)xOy（沿y軸伸縮）步驟1y=sinx步驟2步驟3步驟4例題

如何由變換得的圖象？函數(shù)y=sinx

y=sin(x+)的圖象③

橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍y=sin(2x+)的圖象縱坐標(biāo)不變②橫坐標(biāo)縮短到原來的倍①向左平移y=3sin(2x+)的圖象方法一：先平移再伸縮典例解析1-１2-2oxy3-32

y=sin(2x+

)

y=3sin(2x+

)

y=sin(x+

)

y=sinx

例題

如何由變換得的圖象？典例解析方法一：先平移再伸縮③橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍y=3sin(2x+)的圖象y=sin(2x+)的圖象①橫坐標(biāo)縮短到原來的倍縱坐標(biāo)不變②

向左平移函數(shù)y=sinx

y=sin2x的圖象方法二：先伸縮再平移例題

如何由變換得的圖象？典例解析1-１2-2oxy3-32

y=sin(2x+

)

y=sinx

y=sin2x

y=3sin(2x+

)

例題

如何由變換得的圖象？典例解析方法二：先伸縮再平移鞏固練習(xí)課本P239描點畫圖：描點畫圖：鞏固練習(xí)課本P239描點畫圖：鞏固練習(xí)課本P239描點畫圖：鞏固練習(xí)課本P239（B）向左平行移動個單位長度（C）向右平行移動個單位長度（D）向左平行移動個單位長度（A）向右平行移動個單位長度C2(1).為了得到函數(shù)的圖象，只要把

的圖象上所有的點（）鞏固練習(xí)課本P239（A）橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，縱坐標(biāo)不變（B）橫坐標(biāo)縮短到原來的

倍，縱坐標(biāo)不變（C）縱坐標(biāo)伸長到原來的倍，橫坐標(biāo)不變（D）縱坐標(biāo)縮短到原來的

倍，橫坐標(biāo)不變2.(2)為了得到函數(shù)的圖象，只要把

的圖象上所有的點（）B鞏固練習(xí)課本P2392(3).為了得到函數(shù)的圖象，只要把

圖象上所有的點（）（A）橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，縱坐標(biāo)不變（B）橫坐標(biāo)縮短到原來的

倍，縱坐標(biāo)不變（C）縱坐標(biāo)伸長到原來的倍，橫坐標(biāo)不變（D）縱坐標(biāo)縮短到原來的

倍，