考研數(shù)學(xué)二(解答題)模擬試卷219(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)二（解答題）模擬試卷219(題后含答案及解析)題型有：1.1．設(shè)y=x2ln(1+2x)，求y(6)．正確答案：y(5)=C50x2[ln(1+2x)](5)+C512x[ln(1+2x)](4)+C522[ln(1+2x)](3)，涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)2．設(shè)f(x)=g(a+bx)-g(a-bx)，其中g(shù)’(a)存在，求f’(0)．正確答案：涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)部分3．設(shè)z=z(x，y)是由f(y-x，yz)=0確定的，其中f對(duì)各個(gè)變量有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求正確答案：f(y—x，yz)=0兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)得涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)4．設(shè)F(χ)＝，求F〞(χ)正確答案：涉及知識(shí)點(diǎn)：一元函數(shù)微分學(xué)5．設(shè)α＝(a1，a2，…，an)T是Rn中的非零向量，方陣A＝ααT．(1)證明：對(duì)正整數(shù)m，存在常數(shù)t，使Am＝tm-1A，并求出t；(2)求一個(gè)可逆矩陣P，使P-1AP＝∧為對(duì)角矩陣．正確答案：(1)Am＝(ααT)(ααT)…(ααT)＝α(αTα)m-1αT＝(αTα)m-1(ααT)＝A＝rm-1A，其中t＝ai2(2)A≠O，1≤秩(A)＝秩(ααT)≤秩(α)＝1，秩(A)＝1，因?qū)崒?duì)稱矩陣A的非零特征值的個(gè)數(shù)等于它的秩，故A只有一個(gè)非零特征值，而有n－1重特征值λ1＝λ2…＝λn-1＝0．設(shè)a1≠0，由0E－A→A＝得屬于特征值0的特征值可取為：由特征值之和等于A的主對(duì)角線元素之和，即0＋0＋…＋0＋λn＝ai2，得λn＝ai2＝αTα，由Aα＝(ααT)α＝α(αTα)＝αλn＝λnα及α≠0，得與λn對(duì)應(yīng)特征向量為α，令P＝[ξ1ξ2…ξn-1α]，則有P-1AP＝diag(0，0，…，0，ai2)為對(duì)角陣．涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣的特征值和特征向量6．求正確答案：因?yàn)樯婕爸R(shí)點(diǎn)：函數(shù)、極限、連續(xù)7．設(shè)f(x)在[0，1]上可微，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，x＜f(x)＜1，f’(x)≠1，試證在(0，1)內(nèi)有且僅有一個(gè)x，使f(x)=z．正確答案：考慮F(x)=f(x)一x．涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)8．設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=1，試證存在ξ∈(a，b)和η∈(a，b)，使eη一ξ[f’(η)+f(η)]=1．正確答案：對(duì)F(x)=exf(x)和g(x)=ex分別在[a，b]上用拉格朗日中值定理．涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)9．計(jì)算正確答案：令由A(1＋χ2)＋(2χ＋1)(Bχ＋c)＝3＋3χ－χ2得解得A＝1，B＝－1，C＝2．涉及知識(shí)點(diǎn)：不定積分10．正確答案：涉及知識(shí)點(diǎn)：二重積分11．設(shè)f(x)=ex-(x-t)f(t)dt，其中f(x)連續(xù)，求f(x)．正確答案：由f(x)=ex-，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得f’(x)=ex-，兩邊再對(duì)x求導(dǎo)得f’’(x)+f(x)=ex，其通解為f(x)=C1cosx+C2sinx+(x-t)f(t)dt中，令x=0得f(0)=1，在f’(x)=ex-中，令x=0得f’(0)=1，于是有C1=涉及知識(shí)點(diǎn)：常微分方程12．設(shè)y(x)是方程y(4)一y”=0的解，且當(dāng)x→0時(shí)，y(x)是x的3階無(wú)窮小，求y(x)．正確答案：由泰勒公式當(dāng)x→0時(shí)，y(x)與x3同階→y(0)=0，y’(0)=0，y”(0)=0，y”‘(0)=C，其中C為非零常數(shù)．由這些初值條件，現(xiàn)將方程y(4)一y”=0兩邊積分得∫0xy(4)(t)dt一∫0xy”(t)dt=0，即y”‘(x)一C—y’(x)=0，兩邊再積分得y”(x)一y(x)=Cx．易知，它有特解y*=一Cx，因此它的通解是y=C1ex+C2e-x一Cx．由初值y(0)=0，y’(0)=0得C1+C2=0，C1一C2=C因此最后得其中C為任意非零常數(shù)．涉及知識(shí)點(diǎn)：微分方程設(shè)L是一條平面曲線，其上任意一點(diǎn)P(x，y)(x＞0)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離恒等于該點(diǎn)處的切線在y軸上的截距，且L經(jīng)過點(diǎn)13．試求曲線L的方程；正確答案：設(shè)曲線L過點(diǎn)P(x，y)的切線方程為Y—y=y’(X—x)．令X=0，則該切線在y軸上的截距為y—xy’．由題設(shè)知令則此方程可化為解之得由L經(jīng)過點(diǎn)于是L方程為涉及知識(shí)點(diǎn)：微分方程14．求L位于第一象限部分的一條切線，使該切線與L以及兩坐標(biāo)軸所圍圖形的面積最?。_答案：設(shè)第一象限內(nèi)曲線在點(diǎn)P(x，y)處的切線方程為即它與x軸及y軸的交點(diǎn)分別為則所求面積為上式對(duì)x求導(dǎo)，得令S’(x)=0，解得當(dāng)時(shí)，S’(x)＜0；當(dāng)時(shí)，S’(x)＞0，因而是S(x)在內(nèi)的唯一極小值點(diǎn)，即最小值點(diǎn)，于是所求切線為即涉及知識(shí)點(diǎn)：微分方程15．設(shè)B=2A一E，證明：B2=E的充分必要條件是A2=A．正確答案：B=一2A一E，B2=(2A—E)(2A—E)=4A2一4A+E．4A2…4A+E=一E←→4A2一4A=O←→A2=A涉及知識(shí)點(diǎn)：線性代數(shù)16．曲線的極坐標(biāo)方程為r=a(1+cosθ)，求該曲線上對(duì)應(yīng)于處的切線的直角坐標(biāo)方程．正確答案：由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系，有x=a(1+cosθ)cosθ，y=a(1+cosθ)sinθ，所以涉及知識(shí)點(diǎn)：一元函數(shù)微分學(xué)17．設(shè)α是一個(gè)n維非零實(shí)列向量．構(gòu)造n階實(shí)對(duì)稱矩陣A，使得它的秩=1，并且α是A的特征向量，特征值為非零實(shí)數(shù)A．正確答案：ααT是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，秩為1，并且α是ααT的特征向量，特征值為αTα=(α，α)．和題目要求只差在α的特征值上．于是記c=λ／(α，α)，設(shè)A=cααT，則A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，秩=1，并且Aα=cααTα=c(α，α)α=λα．涉及知識(shí)點(diǎn)：特征向量與特征值，相似，對(duì)角化18．設(shè)A是一個(gè)n階正定矩陣，B是一個(gè)n階實(shí)的反對(duì)稱矩陣，證明A+B可逆．正確答案：證明(A+B)X=0沒有非零解．設(shè)n維實(shí)列向量α滿足(A+B)α=0，要證明α=0．注意B是反對(duì)稱矩陣，αTBα=0(因?yàn)棣罷Bα=(αTBα)T=-αTBα．)αTAα=αTAα+αTBα=αT(A+B)α=0由A的正定性得到α=0．涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型19．設(shè)A為，2階正定矩陣．證明：對(duì)任意的可逆矩陣P，PTAP為正定矩陣．正確答案：首先AT=A，因?yàn)?PTAP)T=PTAT(PT)T=PTAP，所以PTAP為對(duì)稱矩陣，對(duì)任意的X≠0，XT(PTAP)X=(PX)TA(PX)，令PX=α，因?yàn)镻可逆且X≠