七年級數(shù)學(xué)下冊 6 實數(shù)教案 新人教版

第六章實數(shù)

本/章/整/體/說/課

G教學(xué)目標(biāo)

知識與技能

1.理解算術(shù)平方根、平方根、立方根等概念及其有關(guān)概念的意義，并會用根號表示它

們.

2.會求平方根、算術(shù)平方根和立方根.

3.理解有理數(shù)、無理數(shù)以及實數(shù)的概念,知道這些數(shù)和數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系.

4.會進(jìn)行實數(shù)的運算.

*過程寫方法1

1.抓住新舊知識的聯(lián)系，靈活運用乘方、開方、有理數(shù)的知識，實現(xiàn)知識的遷移，并使

新舊知識融會貫通.

2.深刻理解并掌握類比的方法,并針對所學(xué)的知識啟發(fā)學(xué)生深入思考,交流、探討,將

知識學(xué)深、學(xué)透、學(xué)活.

3.重視對數(shù)學(xué)思想方法的掌握與運用，達(dá)到優(yōu)化解題思路、簡化解題過程的目的.

F熊虢寫（希頸

培養(yǎng)認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣，培養(yǎng)從生活中發(fā)現(xiàn)、解決數(shù)學(xué)問題的意識.

&教材分析

本章教材在初中數(shù)學(xué)中具有重要的地位,本章知識是有理數(shù)到實數(shù)的擴(kuò)展,是進(jìn)行其他

學(xué)習(xí)的理論基礎(chǔ)和運算基礎(chǔ)（如一元二次方程、解三角形、函數(shù)、分式等），幾乎貫穿了整

本章3要學(xué)習(xí)了算術(shù)平方根、平方根、立方根的概念，無理數(shù)和實數(shù)的概念及實數(shù)的

運算.教材從典型的實際問題入手,首先介紹算術(shù)平方根,給出算術(shù)平方根的概念和符號表

示.在學(xué)習(xí)算術(shù)平方根的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)平方根,利用乘方與開方互為逆運算的特點探討數(shù)的平

方根的特征.類比平方根學(xué)習(xí)立方根,探討立方根的特征,最后學(xué)習(xí)無理數(shù)及實數(shù)的運算.

0教學(xué)重難點

【重點】

1.算術(shù)平方根、平方根、立方根、實數(shù)的概念.

2.會求某些非負(fù)數(shù)的平方根及某些數(shù)的立方根.

3.知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng),并能進(jìn)行實數(shù)的運算.

【難點】求非負(fù)數(shù)的平方根、算術(shù)平方根及算術(shù)平方根與平方根的區(qū)別與聯(lián)系.

e教學(xué)建議

1.關(guān)于平方根與算術(shù)平方根的學(xué)習(xí).

（D通過讓學(xué)生計算兩個不為零的互為相反數(shù)的數(shù)的平方是同一個正數(shù),總結(jié)出“一個

正數(shù)有兩個平方根,它們互為相反數(shù)”的性質(zhì),加深感性認(rèn)識.

(2)幫助學(xué)生正確認(rèn)識算術(shù)平方根的兩個非負(fù)性:一是被開方數(shù)的非負(fù)性,即只有非負(fù)

數(shù)才有算術(shù)平方根(在中a20);二是算術(shù)平方根本身的非負(fù)性，即一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方

根是一個非負(fù)數(shù)(20,a20).

2.關(guān)于立方根的學(xué)習(xí).

(1)引導(dǎo)學(xué)生運用類比平方根的方法來學(xué)習(xí)立方根的概念、性質(zhì)、求法,并啟發(fā)學(xué)生與

平方根的相應(yīng)結(jié)論進(jìn)行聯(lián)系、比較,弄清兩者的區(qū)別與聯(lián)系，并適當(dāng)分析結(jié)論不同的原因.

(2)要引導(dǎo)學(xué)生注意轉(zhuǎn)化思想,將求負(fù)數(shù)的立方根問題轉(zhuǎn)化為求正數(shù)的立方根問題.

3.關(guān)于無理數(shù)與實數(shù)的學(xué)習(xí).

(1)引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)有關(guān)有理數(shù)的知識，讓學(xué)生了解有理數(shù)包括有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù),

為學(xué)習(xí)無理數(shù)做好準(zhǔn)備.引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)軸上的點來表示有理數(shù)、無理數(shù)，將所學(xué)知識聯(lián)系起

來，使學(xué)生了解無理數(shù)的存在性.

(2)引導(dǎo)學(xué)生分清“無限不循環(huán)小數(shù)”與“無限循環(huán)小數(shù)”的區(qū)別，理解無限循環(huán)小數(shù)

可化成分?jǐn)?shù),它是有理數(shù);而無限不循環(huán)小數(shù)不能化成分?jǐn)?shù),它是無理數(shù),從而啟發(fā)學(xué)生總結(jié)

有理數(shù)和無理數(shù)的區(qū)別在于是否能夠分?jǐn)?shù)化,真正分清有理數(shù)和無理數(shù).

(3)要引導(dǎo)學(xué)生明確有理數(shù)的運算法則、運算律同樣適用于無理數(shù)和實數(shù)，使學(xué)生能夠

按照有理數(shù)的運算法則、運算律進(jìn)行無理數(shù)和實數(shù)的運算.

工課時劃分

時

方根

課

6平3m

1K

時

6根

2立1H

.方K

時

數(shù)

&3實31S

現(xiàn)1I

誄

時

理

隔

)兀H

串1K

課/時/教/學(xué)/詳/案

6.1平方根

(。教學(xué)目標(biāo)

知識與技能.|

1.理解算術(shù)平方根的概念，領(lǐng)會乘方與開方的關(guān)系.

2.會用計算器求一個數(shù)的算術(shù)平方根,理解被開方數(shù)與算術(shù)平方根大小的關(guān)系.

3.會用“夾值法”求一個數(shù)算術(shù)平方根的近似值.

4.掌握平方根的概念,明確平方根和算術(shù)平方根之間的區(qū)別和聯(lián)系.

噎程寫壽

1.通過平方根的學(xué)習(xí)，建立初步的數(shù)感和符號感,為學(xué)習(xí)實數(shù)做準(zhǔn)備.

2.通過求算術(shù)平方根的近似值，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神.

1.通過探索活動培養(yǎng)學(xué)生克服困難的精神.

2.通過解決生活中的實際問題，幫助學(xué)生體驗數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系.

3.培養(yǎng)學(xué)生從多方面、多角度分析問題、解決問題的思想意識，養(yǎng)成綜合分析問題的

習(xí)慣.

Q教學(xué)重難點

【重點】

i.平分根的概念和算術(shù)平方根.

2.夾值法估計一個（無理）數(shù)的大小.

【難點】

1.用莢值法估計一個（無理）數(shù)的大小.

2.平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別和聯(lián)系.

用整體設(shè)計

（0教學(xué)目標(biāo)

知識與技能

1.了解算術(shù)平方根的概念,會用根號表示正數(shù)的算術(shù)平方根,并了解算術(shù)平方根的非負(fù)

2.了解開方與乘方互為逆運算,會用平方運算求某些非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根.

喳程寫芳卻

通過學(xué)習(xí)算術(shù)平方根,建立初步的數(shù)感和符號感,發(fā)展抽象思維.

F情巧度就

1.通過解決實際生活中的問題,讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)與生活實際是緊密聯(lián)系著的.

2.通過探究活動培養(yǎng)學(xué)生動手能力,鍛煉學(xué)生克服困難的意志,建立自信心,提高學(xué)習(xí)

熱情.

Q教學(xué)重難點

【重點】算術(shù)平方根的概念.

【難點】根據(jù)算術(shù)平方根的概念正確求出非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根.

（，）教學(xué)準(zhǔn)備

【教師準(zhǔn)備】教材章前圖的投影圖片.

【學(xué)生準(zhǔn)備】復(fù)習(xí)平方的概念.

舊教學(xué)過程

E新課導(dǎo)入

導(dǎo)入一:

同學(xué)們，你們知道宇宙飛船離開地球進(jìn)入軌道正常運行的速度在什么范圍內(nèi)嗎?這時它

的速度要大于第一宇宙速度0(米鄧)而小于第二宇宙速度。(米/秒).的大小滿足

=gR,=2gR.其中，g是物理中的一個常量,不是地球的半徑.

怎樣求匕，吸呢？即使給出g,4的對應(yīng)值,利用我們已學(xué)過的知識,也很難求出.這就要

用到平方根的概念,也就是本章的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容.

「設(shè)計噫圖借助于教材章前圖的內(nèi)容，使學(xué)生認(rèn)識到生活中的一些問題需要用新的

知識去解決,進(jìn)而增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望和進(jìn)取精神.

導(dǎo)入二：

學(xué)校要舉行美術(shù)作品比賽，小鷗想裁出一塊面積為25dm?的正方形畫布,畫上自己的得

意之作參加比賽,這塊正方形畫布的邊長應(yīng)取多少？

你一定會算出邊長應(yīng)取5dm.說一說你是怎樣算出來的.因為夕25dm?,所以這個正方

形畫布的邊長應(yīng)取5dm.

上面的計算過程,就是求一個數(shù)是由什么數(shù)的平方得來的.本課時我們就要學(xué)習(xí)相關(guān)的

內(nèi)容.

［設(shè)計意圖］用教材的問題作為導(dǎo)入材料,能夠和學(xué)生的課前預(yù)習(xí)活動對接,可以提高

學(xué)生的預(yù)習(xí)效果.

導(dǎo)入三：

麗麗家新購的一套住房,客廳是長與寬之比為5：2的長方形,面積為40m2,求這間客

廳的長與寬各為多少.

要求客廳的長與寬,依題意可設(shè)客廳的長與寬分別是5xm,2xm,可得2x-5A=40,即

f=4,那么怎樣才能由f=4求x呢？

L設(shè)計意圖從學(xué)生能夠理解的生活事例入手,幫助學(xué)生感受引入平方根概念的必要

性.

陷新知構(gòu)建

［過渡語］(針對導(dǎo)入二)如果小鷗想要裁出的正方形畫布面積分別是下表中的數(shù)字，

怎樣求這個正方形的邊長呢？

1.算術(shù)平方根.

思路一

填寫表格后回答問題.

正方形的面積191636

正方形的邊長/6m1346

(1)寫出表格中正方形邊長的計算過程.

(2)上述過程可以概括成怎樣的問題？

(3)怎樣用數(shù)學(xué)語言描述這個運算過程？(這個運算過程是什么呢?)

問題提示：(1)1=1,3=9,42=16,6=36,=.

(2)已知一個正數(shù)的平方,求這個正數(shù)的問題.

(3)例如，已知一個正數(shù)的平方為a,求這個正數(shù)x問題.(可以用不同的字母表示)

［設(shè)計意圖］第(1)問意在復(fù)習(xí)平方的知識,為學(xué)習(xí)平方根知識做準(zhǔn)備.第(2)問是從平

方根的角度幫助學(xué)生思考.第(3)問是進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生通過抽象思維去理解平方根.

歸納總結(jié):一般地,如果一個正數(shù)x的平方等于a,即f=a,那么這個正數(shù)x叫做a的算

術(shù)平方根.a的算術(shù)平方根記為,讀作“根號a”，a叫做被開方數(shù).

規(guī)定:0的算術(shù)平方根是0.

思路二

學(xué)生閱讀教材第40頁例1前的內(nèi)容,回答問題.

(1)什么是算術(shù)平方根？

一般地,如果一個正數(shù)x的平方等于a,即V=a,那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根.

(2)算術(shù)平方根怎么表示？

a的算術(shù)平方根記為,讀作“根號a”，a叫做被開方數(shù).

(3)0的算術(shù)平方根是多少？

。的算術(shù)平方根是0.

處理方式:學(xué)生閱讀教材后交流;老師指定部分學(xué)生總結(jié)問題;總結(jié)平方根相關(guān)概念.

強(qiáng)調(diào):書寫時根號一定要把被開方數(shù)蓋住.

討論:為什么0的算術(shù)平方根是0?

2.例題講解.

例1

(1)100;(2);(3)0.0001.

(解析)本題三個數(shù)的共同特點是都是正數(shù),符合算術(shù)平方根的前提條件.無論是正

整數(shù)、正分?jǐn)?shù)還是正小數(shù),都有自己的算術(shù)平方根.求算術(shù)平方根不僅要明確算術(shù)平方根的

含義,更要習(xí)慣用數(shù)學(xué)方式表達(dá)算術(shù)平方根的求解過程.

解：⑴因為102=100,

所以100的算術(shù)平方根是10,即=10.

(2)因為=,

所以的算術(shù)平方根是，

即=.

(3)因為0.01M.0001,所以0.0001的算術(shù)平方根是0.01,即=0.01.

追問：從上面的例題中,你發(fā)現(xiàn)被開方數(shù)和算術(shù)平方根之間有什么關(guān)系？

提示:被開方數(shù)越大,對應(yīng)的算術(shù)平方根越大,這個結(jié)論對所有的正數(shù)都成立.

［過渡語］根據(jù)例1中的被開方數(shù),我們都能猜到這個數(shù)是哪個數(shù)的平方,那么怎么求

類似7,8,9這些數(shù)的算術(shù)平方根呢？

例2

(1)36;(2)0.09;(3);(4)(-4)1(5)0;(6)10.

(解析)算術(shù)平方根的求法:一個正數(shù)的算術(shù)平方根就是要找一個正數(shù)，使它的平方

等于這個數(shù).

解：⑴因為是36,

所以36的算術(shù)平方根是6,即=6.

(2)因為0.3=0.09,

所以0.09的算術(shù)平方根是0.3,

即=0.3.

(3)因為=,

所以的算術(shù)平方根是，

即=.

(4)因為4?=(-4)2=16,

所以(-4尸的算術(shù)平方根是4,

即=4.

(5)0的算術(shù)平方根是0,=0.

(6)10的算術(shù)平方根是.

［知識拓展］求一個數(shù)的算術(shù)平方根與求一個正數(shù)的平方恰好是互逆的過程,因此,求

一個數(shù)的算術(shù)平方根實際上可以轉(zhuǎn)化為求一個數(shù)的平方的逆運算，只不過只有正數(shù)和0才

有算術(shù)平方根,負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根.

降課堂小結(jié)

1.一般地如果一個正數(shù)x的平方等于a,即那么這個正數(shù)X叫做a的算術(shù)平方

根.

2.a的算術(shù)平方根記為,讀作“根號a”，a叫做被開方數(shù).

3.規(guī)定:0的算術(shù)平方根是0.

區(qū)檢測反饋

1.9的算術(shù)平方根為（）

A.3B.±3C.-3D.81

解析:因為3<9,所以9的算術(shù)平方根為3.故選A.

2.下列說法正確的是（）

A.5是25的算術(shù)平方根

B.±4是16的算術(shù)平方根

C.-6是（-6）2的算術(shù)平方根

D.0.01是0.1的算術(shù)平方根

解析:如果V=a（x>0）,則這個正數(shù)x是a的算術(shù)平方根，由此判斷各選項.A.=5,故選項

正確;B.=4,所以16的算術(shù)平方根是4,故選項錯誤;C.=6,故選項錯誤;D.=0.1,故選項錯誤.

故選A.

3.一個數(shù)的算術(shù)平方根是它本身，這個數(shù)是（）

A.1B.-1C.0D.1或0

解析:根據(jù)算術(shù)平方根的定義:一個正數(shù)x的平方等于a,即V=a,那么這個正數(shù)x叫做

a的算術(shù)平方根.若一個數(shù)的算術(shù)平方根是它本身,可以知道這個數(shù)是0或1.故選D.

4.100的算術(shù)平方根是,0.36的算術(shù)平方根是.

解析:本題求100和0.36的算術(shù)平方根,就是求哪個正數(shù)的平方等于100或0.36,由

此即可解決問題.因為102=100,所以100的算術(shù)平方根為10,因為0.6J0.36,所以0.36的

算術(shù)平方根為0.6.

答案：100.6

叵板書設(shè)計

第1課時

1.算術(shù)平方根

定義

符號表示

0的算術(shù)平方根

2.例題講解

例1

例2

叵布置作業(yè)

一、教材作業(yè)

【必做題】

教材第41頁練習(xí)第1,2題.

【選做題】

教材第47頁習(xí)題6.1第1題.

二、課后作業(yè)

【基礎(chǔ)鞏固】

L一個數(shù)只要存在算術(shù)平方根，那么這個數(shù)()

A.只有一個并且是正數(shù)

B.一定小于這個數(shù)的算術(shù)平方根

C.必是一個非負(fù)數(shù)

D.不可能等于這個數(shù)的算術(shù)平方根

2.49的算術(shù)平方根的相反數(shù)是()

A.7B.-7C.±7D.±

3.下列命題中正確的有()

①1的算術(shù)平方根是1；②(-1廠的算術(shù)平方根是T；③-4沒有算術(shù)平方根;④一個數(shù)的算術(shù)

平方根是它本身,這個數(shù)只能是零.

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.求下列各數(shù)的算術(shù)平方根.

(1)0.49;(2);(3).

5.求下列各式的值.

(1)-;(2);(3).

【能力提升】

6.下列說法：

①任何數(shù)都有算術(shù)平方根;②一個數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù);③a?的算術(shù)平方根是

a;@(Ji_4＞的算術(shù)平方根是n-4;⑤算術(shù)平方根不可能是負(fù)數(shù).其中不正確的有

()

A.5個B.4個C.3個D.2個

7.一個數(shù)的算術(shù)平方根為劣則比這個數(shù)大5的數(shù)是()

A.a+5B.a-5C.a'+5D.a'-5

8.下列運算正確的是()

A.=9B.|-3|=-3

C.-=-3D.-3=9

9.(±4)2的算術(shù)平方根是,的算術(shù)平方根是.

10.已知+(加2尸=0,那么才6的值為.

11.計算.

(1)；

(2)-:

(3)++-.

【拓展探究】

12.已知2zl的算術(shù)平方根是3,3a+Zrl的算術(shù)平方根是4,求求2b的算術(shù)平方根.

13.計算下列題目：

=,=,=,=,=,=,=■根據(jù)計

算結(jié)果回答下列問題.

(1)一定等于a嗎?你發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律了嗎?請你用自己的語言描述出來.

（2）利用你總結(jié)的規(guī)律,計算=.

【答案與解析】

1.C（解析:因為任何數(shù)的平方都不可能為負(fù)，都是非負(fù)數(shù)，所以負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，只有正

數(shù)或0才有算術(shù)平方根,所以本題應(yīng)選C.）

2.B（解析:49的算術(shù)平方根是7,其相反數(shù)是-7.故選B.）

3.B（解析:根據(jù)算術(shù)平方根的定義可知:一般地,如果一個正數(shù)x的平方等于a,即—那

么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根,結(jié)合命題與定理的定義可得答案.①1的算術(shù)平方根是

1,故此項正確;②（-IF』，1的算術(shù)平方根是1,故此項錯誤;③因為-4<0,所以-4沒有算術(shù)

平方根,故此項正確;④一個數(shù)的算術(shù)平方根是它本身,這個數(shù)是0或1,故此項錯誤.所以

正確的有2個.故選B.）

4.解：（1）=0.7.（2）=.（3）=.

5.解：⑴-=-0.1.（2）=5.（3）=103.

6.B（解析:根據(jù)算術(shù)平方根的定義依次分析各小題即可.①負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根;②。的算

術(shù)平方根是0；③當(dāng)a〈0時,3的算術(shù)平方根是-a;④（"-4）2的算術(shù)平方根是4-n，故錯

誤;⑤算術(shù)平方根不可能是負(fù)數(shù),正確.故選B.）

7.C（解析:首先根據(jù)算術(shù)平方根的定義求出這個數(shù)，然后利用已知條件即可求解.因為一個

數(shù)的算術(shù)平方根為a,所以這個數(shù)為a?,所以比這個數(shù)大5的數(shù)是3+5.故選C.）

8.C（解析:A.是求9的算術(shù)平方根,所以是3.故選項錯誤;B.負(fù)數(shù)的絕對值是正數(shù),結(jié)果是3,

故選項錯誤;C.-=-3,故選項正確;D.-3J-9,故選項錯誤.故選C.）

9.4（解析:因為（±4產(chǎn)=16,4'16,所以（土4尸的算術(shù)平方根是4.因為62=36,所以=6,所以

的算術(shù)平方根是.）

10.0（解析:根據(jù)非負(fù)數(shù)的意義:如果兩個非負(fù)數(shù)的和等于0,那么這兩個數(shù)都為0可知才

2=0,Zz^2=0,a=2,b=~2,則a+￡<=2-2=0.）

11.解：（1）===5.（2）-=-=-9.（3）++-=++-=l+=.

12.解：因為2bl的算術(shù)平方根是3,3a+Z^l的算術(shù)平方根是4,所以2wl=9,3K61=16,解

得a=5,6=2,所以a+2左9,所以a+26的算術(shù)平方根是3.

13.解:30.760.280（1）不一定等于a,=|a|=（2）n-3.14

舊教學(xué)反思

G成功之處

借助于平方知識,通過逆向思維的類比方式,學(xué)生比較好地理解了算術(shù)平方根的定義，

同時注重強(qiáng)調(diào)了對0的算術(shù)平方根的理解.

不足之處

學(xué)生根據(jù)先前的平方知識,會意識到一個正數(shù)的平方根會有兩個.這就需要特別強(qiáng)調(diào)算

術(shù)平方根定義當(dāng)中的“一個正數(shù)”的限制.在課時的教學(xué)過程中，對這點沒有做出特別的強(qiáng)

調(diào).

①）再教設(shè)計

課前做好平方知識的復(fù)習(xí)，為學(xué)習(xí)平方根做準(zhǔn)備.引入算術(shù)平方根的知識,要借助具體

的生活情境,這樣才能加深對引入平方根知識必要性的認(rèn)識.注意引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)被開方數(shù)與

對應(yīng)的算術(shù)平方根之間的關(guān)系.

S教材習(xí)題解答

練習(xí)（教材第41頁）

1.提示：（1）0.05.（2）9.（3）3.

2.提示：⑴1.（2）.⑶2.

目備課資源

（，）經(jīng)典例題

臉求下列各式的值.

（1）；（2）;

（3）;（4）.

（解析）（1）就是求484的算術(shù)平方根.（2）就是求12的算術(shù)平方根.（3）就是求

20.25的算術(shù)平方根.（4）8X9X10X11+1=7921,就是求7921的算術(shù)平方根.

解：（1）因為22?=484,所以=22.

（2）因為=12,

所以=.

（3）因為4.5=20.25,所以=4.5.

（4）因為8X9X10X0+1=7921,89=7921,

所以二89.

0—整體設(shè)計

￥教學(xué)目標(biāo)

知識與技能

i.會用計算器求一個數(shù)的算術(shù)平方根.

2.理解被開方數(shù)擴(kuò)大（或縮小）與它的算術(shù)平方根擴(kuò)大（或縮?。┑囊?guī)律.

3.能用夾值法求一個數(shù)的算術(shù)平方根的近似值.

啜程筋舒

通過求一個數(shù)的算術(shù)平方根的近似值,初步了解數(shù)的無限不循環(huán)性,理解用近似值表示

無限不循環(huán)小數(shù)的實際意義.

F情鰥度目.劍

通過計算近似值，比較兩個算術(shù)平方根的大小,培養(yǎng)學(xué)生的細(xì)心探求精神.

Q教學(xué)重難點

【重點】計算算術(shù)平方根的兩種方法;理解無限不循環(huán)小數(shù).

【難點】夾值法及估計一個數(shù)（無理數(shù)）的大小.

q教學(xué)準(zhǔn)備

【教師準(zhǔn)備】教材圖6.1T的投影圖片.

［學(xué)生準(zhǔn)備］

1.復(fù)習(xí)算術(shù)平方根的相關(guān)知識.

2.計算器.

舊教學(xué)過程

反新課導(dǎo)入

導(dǎo)入一:

能否用兩個面積為1dm2的小正方形拼成一個面積為2dm?的大正方形？

如圖所示,把兩個小正方形分別沿對角線剪開,將所得的4個直角三角形拼在一起,就

得到一個面積為2dm?的大正方形.你知道這個大正方形的邊長是多少嗎？

設(shè)大正方形的邊長為xdm,則f=2,

由算術(shù)平方根的意義可知產(chǎn).

所以大正方形的邊長是dm.

問題:到底有多大呢？

導(dǎo)入二：

3.1415926-,看到這個數(shù)字大家一定會想到圓周率吧.圓的周長和直徑的比是一個無

限不循環(huán)小數(shù),除此之外，像,等是不是無限不循環(huán)小數(shù)呢？

至新知構(gòu)建

［過渡語］-到底有多大呢?我們一起來探索下吧.

1.探索的大小.

師：因為「=1,22=4,所以1<<2.這里我們只是粗略地知道了的大小,還不是很精確，這就

需要我們繼續(xù)探索下去.怎么繼續(xù)下去呢?大家想個辦法吧.

生:取一個大于1且小于2的數(shù)試一試.

師:從1.1到1.9這些數(shù)字我們怎么選呢？

生:通過估算和計算,我們發(fā)現(xiàn)1.4=1.96,1.5-2.25,所以1.4<〈1.5.

師:用剛才的辦法還能繼續(xù)探索下去嗎？

生：因為1.4「=1.9881,1.422=2.0164,所以1.41GL42;因為

1.414=1.999396,1.415=2.002225,1.414?1.415...

師:我們可以如此進(jìn)行下去,會得到的更精確的近似值.但我們無論進(jìn)行多少次探索,都

不會有一個最終的數(shù)值,可見=1.41421356237-,它是一個無限不循環(huán)小數(shù).實際上,許多正

有理數(shù)的算術(shù)平方根（例如,，等）都是無限不循環(huán)小數(shù).

2.用計算器求算術(shù)平方根.

［過渡語］’像前面探索一個數(shù)的算術(shù)平方根的方法無疑是繁瑣的,我們通過計算器可

以很輕松地解決求算術(shù)平方根的問題.

大多數(shù)計算器都有鍵，用它可以求出一個正有理數(shù)的算術(shù)平方根（或其近似值）.

例1（教材例2）用計算器求下列各式的值.

(1);（2）（精確到0.001）.

（解析）正確選擇計算器上的功能鍵是關(guān)鍵,對算術(shù)平方根的值要根據(jù)要求或需要

進(jìn)行取舍.同時需要注意計算器上顯示的數(shù)值是一個近似值.

解：（1）依次按鍵313用顯示:56.

所以=56.

（2）依次按鍵2月,顯示：1.414213562.

所以Q1.414.

［過渡語］計算器為人們進(jìn)行復(fù)雜的計算提供了巨大的方便，比如我們來看引言中提

出的問題.

由=g￡=2gR,得7|=,丹=,其中尸=9.8,E6.4X10".

用計算器求匕和吸（用科學(xué)記數(shù)法把結(jié)果寫成aX10"的形式，其中a保留小數(shù)點后一

位），得聯(lián)、7.9X10、吩-L1X10'.

因此,第一宇宙速度匕大約是7.9X10、m/s,第二宇宙速度峰大約是1.1X10"m/s.

3.用計算器探究.

（1）利用計算器計算下表中的各式,并將計算結(jié)果填在表中,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?你能說

出其中的道理嗎？

（2）用計算器計算（精確到0.001）,并利用你在（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律說出,，的近似值，你能

根據(jù)的值說出的值是多少嗎？

問題提示：

（1）如下表所示：

...o250.792.57.92579250…

從表中可以發(fā)現(xiàn):被開方施的小數(shù)點每向右（或向左）移動兩位,開方后的結(jié)果向相同的

方向移動一位.

（2）因為-1.732,-0.1732,-17.32,-173.2,根據(jù)的值不能說出是多少.

4.估計算術(shù)平方根的值解決問題.

［過渡語］在生活中，我們經(jīng)常遇到估計一個數(shù)的大小的問題.請看下面的例子.

例2（教材例3）小麗想用一塊面積為400cmz的正方形紙片,沿著邊的方向裁出一塊

面積為300cm?的長方形紙片，使它的長寬之比為3:2.她不知能否裁得出來,正在發(fā)愁.小

明見了說：“別發(fā)愁，一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片."你同意小明的

說法嗎?小麗能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？

一定能用一塊面積大的紙、

片裁出：塊面積小布械片?!，

(解析)本題的核心是能否按照要求裁出一個長寬比為3:2、面積為300cn>2的長

方形,通過列方程的辦法可以計算出滿足這樣條件的長方形的長和寬,再與正方形的邊長做

對比，就可以得出相應(yīng)的結(jié)論.

解:設(shè)長方形紙片的長為3%cm,寬為2xcm,

根據(jù)邊長與面積的關(guān)系得：

3x,2A=300,

67=300

*=50,

因此長方形紙片的長為3cm.

因為50>49,所以〉7.

由上可知3>21,即長方形紙片的長應(yīng)該大于21cm.

因為=20,所以正方形紙片的邊長只有20cm.這樣,長方形紙片的長將大于正方形紙片

的邊長.

答:不能同意小明的說法.小麗不能用這塊正方形紙片裁出符合要求的長方形紙片.

【思考】如果一個數(shù)的平方等于19,這個數(shù)是多少？

［知識拓展］確定x2=a(a20)中正數(shù)x的近似值的方法：

1.確定正數(shù)x的整數(shù)部分.根據(jù)平方的定義,把x夾在兩個連續(xù)的正整數(shù)之間,確定其

整數(shù)部分.

2.確定x的小數(shù)部分十分位上的數(shù)字.將這兩個整數(shù)平方和的平均數(shù)與x比較,預(yù)測十

分位上數(shù)字的取值范圍，也可以采用試驗的方法進(jìn)行估計.

叵課堂小結(jié)

在求某些數(shù)的算術(shù)平方根時，當(dāng)有些數(shù)據(jù)比較大或不易求出時,便可以利用計算器求算

術(shù)平方根,用計算器上的鍵.一般先按鍵，然后再輸入數(shù)據(jù)，再按“=”鍵即可.在沒

有計算器或不允許用計算器的情況下,可進(jìn)行估算,我們通常取與被開方數(shù)相近的兩個完全

平方數(shù)的算術(shù)平方根相比較.

￡檢測反饋

1.我們可以利用計算器求一個正數(shù)a的算術(shù)平方根,其操作方法是按順序進(jìn)行按鍵輸

入：正，小明按鍵輸入口目顯示結(jié)果為4,則他按鍵@@@囚顯示結(jié)果應(yīng)

為

解析:根據(jù)被開方數(shù)擴(kuò)大到原來的100倍，算術(shù)平方根擴(kuò)大到原來的10倍直接解答即

可.故填40.

2.已知a,6為兩個連續(xù)的整數(shù),且a?b,則.

解析：因為所以3<<4,因為所以a=3,A4,所以*63+4=7.故填7.

3.用計算器求下列各式的值(結(jié)果保留4個有效數(shù)字).

(1)；(2);(3).

解：(1)依次按鍵734,顯示27.09243437,所以427.09.

(2)依次按鍵0.012345,顯示0.111108055,所以*0.1111.

(3)依次按鍵5,顯示2.236067977,所以弋2.236.

4.小川的房間地面面積為17.6房間地面恰好由110塊相同的正方形鋪成，每塊地

磚的邊長是多少米？

解:設(shè)每塊地磚的邊長是xm,則110^=17.6,

?=0.16,所以產(chǎn)0.4.

答：每塊地磚的邊長是0.4>n.

叵板書設(shè)計

第2課時

L探索的大小

2.用計算器求算術(shù)平方根

例1

3.用計算器探究

4.估計算術(shù)平方根的值解決問題

例2

陷布置作業(yè)

一、教材作業(yè)

【必做題】

教材第44頁練習(xí)第1,2題.

【選做題】

教材47頁習(xí)題6.1第6題.

二、課后作業(yè)

【基礎(chǔ)鞏固】

1.若爐-4,則估計m的值所在的范圍是()

A.欣2B.2〈欣3

C.3〈欣4D.4〈欣5

2.一個正方形的面積是15,估計它的邊長大小在()

A.2與3之間B.3與4之間

C.4與5之間D.5與6之間

3.用計算器計算：-3.142七.(結(jié)果保留三個有效數(shù)字)

4.小杰臥室地板的總面積為16平方米，恰好由64塊正方形的地板磚鋪成,求每塊地板磚的

邊長.

5.圓的面積S(cn?)與半徑r(cm)之間的關(guān)系式為貸n?,現(xiàn)要制作一塊面積為49ncm，的

圓形零件,此零件的半徑應(yīng)為多少厘米？

【能力提升】

6.如圖所示,方格圖中小正方形的邊長為1,將方格中陰影部分圖形剪下來,再把剪下的部

分重新剪拼成一個正方形,那么所拼成的這個正方形的邊長為（）

A.B.2C.D.

7.用計算器估算:若2.6456?2.6459,則a的整數(shù)值是.

8.如果的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為b,那么片k.

9.學(xué)校組織集郵展覽,某同學(xué)用30枚長3cm,寬2.5cm的郵票恰好拼成了一個正方形，你

能求出這個正方形的邊長嗎？

【拓展探究】

10.請你觀察、思考下列計算過程：

因為所以=11,同樣因為11「=12321,所以=111,由此猜想=.

11.用計算器求下列各數(shù)的算術(shù)平方根（保留四個有效數(shù)字），并觀察這些數(shù)的算術(shù)平方根有

什么規(guī)律.

（1）78000,780,7.8,0.078,0.00078.

（2）0.00065,0.065,6.5,650,65000.

【答案與解析】

1.B（解析:先估算出在哪兩個整數(shù)之間，即可得到結(jié)果.因為6=?=7,所以2<-4<3,故選B.）

2.B（解析:根據(jù)正方形的面積先求出正方形的邊長，然后估算即可得出答案.設(shè)正方形的邊

長為x,因為正方形面積是15,所以/=15,故尸.因為9<15<16,所以3<<4.故選B.）

3.0.464（解析:首先利用計算器求出13的算術(shù)平方根,然后即可求出結(jié)果.-3.142心

3.6056-3.142=0.4636*0.464.）

4.解:每塊地板磚的面積=平方米,所以每塊地板磚的邊長==（米）.

5.解:設(shè)此零件的半徑為rcm,由題意得49n=n?,解得尸7.所以此零件的半徑為7cm.

6.C（解析:根據(jù)題意可得,所拼成的正方形的面積是5,所以正方形的邊長是.故選C.）

7.7（解析：因為2.6456=,2.6459=,所以a的整數(shù)值是7.）

8.4-（解析:先求出的范圍，即可求出a,6的值,再代入求出即可.因為2?3,所以的整

數(shù)部分為爐2,小數(shù)部分是比-2,所以行左2-（-2）=4-,故答案為4-.）

9.解:一枚郵票的面積為3X2.5=7.5W）,30枚郵票的總面積為7.5X30=225（01?）,則正

方形的邊長為15cm.

10.1111H111（解析：因為11=121,所以=11.同樣1112=12321,所以=111,…,由此猜想

=111111111.）

11.解：（1）=279.3,七27.93,22,793,弋0.2793,弋0.02793.（2）弋0.02550,?0.2550,4

2.550,右25.50,*255.0.規(guī)律是:被開方數(shù)的小數(shù)點向左（右）移動兩位,則其算術(shù)平方根的

小數(shù)點就向左（右）移動一位.

S教學(xué)反思

6成功之處

用“夾值法”探索根式的近似值,其教學(xué)過程中蘊含著多種教學(xué)目的，如幫助學(xué)生深入

領(lǐng)會無限不循環(huán)小數(shù),為以后得出無理數(shù)和實數(shù)的概念做準(zhǔn)備，同時也可以培養(yǎng)學(xué)生勇于探

索的精神.本課時在教學(xué)的過程中,通過情境引入、師生研討等方式較好地落實了課程教學(xué)

目標(biāo).

.)不足之處

在探索近似值的過程中，最初沒有讓學(xué)生利用計算器進(jìn)行探索,課堂上浪費了一定時間,

在利用計算器進(jìn)行探索的時候，忽略了學(xué)生使用計算器的差異.

再教設(shè)計

在利用計算器進(jìn)行近似值探索的時候,可以讓學(xué)生自己總結(jié)一些數(shù)的算術(shù)平方根的性

質(zhì).在探索規(guī)律的過程中，學(xué)生不易直接發(fā)現(xiàn)小數(shù)點變化的規(guī)律,應(yīng)該進(jìn)行一定的提示.關(guān)注

學(xué)生對計算器的正確使用，并強(qiáng)調(diào)計算器的顯示結(jié)果只是算術(shù)平方根的一個近似值.

國教材習(xí)題解答

練習(xí)(教材第44頁)

1.提示：(1)37.(2)10.06.(3)2.24.

2.解(2)>8.(3)>0.5.(4X1.

一備課資源

破經(jīng)典例題

畫在某項工程中，需要一塊面積為3平方米的正方形鋼板.

(1)如果精確到十分位,正方形的邊長是多少？

(2)如果精確到百分位呢？

(解析)本題實質(zhì)就是求的近似值問題.本題除了借用計算器外，也可以用“夾值

法”進(jìn)行探索.參考數(shù)值：L7?=2.89,1.73?=2.9929.

解：(1)1.7米.(2)1.73米.

第團(tuán)課時

S整體設(shè)計

j）教學(xué)目標(biāo)

知識寫技能一

1.掌握平方根的概念，明確平方根和算術(shù)平方根之間的聯(lián)系和區(qū)別.

2.能用符號正確地表示一個數(shù)的平方根,理解開平方運算和乘方運算之間的互逆關(guān)系.

.過程寫用牙

通過探索平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系,學(xué)會利用算術(shù)平方根解決平方根的問題.

培養(yǎng)學(xué)生從多方面、多角度分析問題、解決問題的思想意識,養(yǎng)成綜合分析問題的習(xí)

慣.

Q教學(xué)重難點

【重點】平方根的概念和求數(shù)的平方根.

【難點】平方根和算術(shù)平方根的聯(lián)系與區(qū)別.

（與教學(xué)準(zhǔn)備

【教師準(zhǔn)備】教材圖6.1-2;教材例題投影圖片.

【學(xué)生準(zhǔn)備】復(fù)習(xí)算術(shù)平方根的知識.

舊教學(xué)過程

JT新課導(dǎo)入

導(dǎo)入一：

我們學(xué)過了算術(shù)平方根的概念、性質(zhì).知道若一個正數(shù)X的平方等于a,即x:a,則x

叫做a的算術(shù)平方根，記作產(chǎn),而且不能是非正數(shù)，比如正數(shù)32=9,則3叫做9的算術(shù)平方

根,9叫做3的平方數(shù)，但是（-3/=9,那么-3叫做9的什么根呢?下面我們就來討論這個問

題.

［設(shè)計意圖］通過復(fù)習(xí)舊知識引入新知識,有利于學(xué)生建立起知識之間的對比和聯(lián)系.

導(dǎo)入二：

【思考】如果一個數(shù)的平方等于9,這個數(shù)是多少？

從前面的學(xué)習(xí)我們知道,這個數(shù)可以是3.除了3以外,還有沒有別的數(shù)的平方也等于9

呢？由于（-3）2=9,這個數(shù)也可以是-3.

因此,如果一個數(shù)的平方等于9,那么這個數(shù)是3或-3.那么，3和-3叫做9的什么呢？

:設(shè)計意圖通過簡單的事例,有助于學(xué)生進(jìn)行舊知識的復(fù)習(xí)，通過思考問題，引入平

方根的概念.

陷新知構(gòu)建

1.平方根與開平方.

［過渡語］通過本節(jié)課的課題“6.1平方根”我們知道了“平方根”這個詞,那么什

么是平方根呢？

思路一：

填表：

x1163649

x±1±4±6±7±

問題：

①什么是算術(shù)平方根？

②表格中的這些數(shù)的算術(shù)平方根是什么？

③什么叫做平方根？

④什么叫做開平方？

問題處理方式:第一問和第二問由學(xué)生自己回答;第三問和第四問學(xué)生自學(xué)教材第45

頁例4前的內(nèi)容后回答.

核心問題歸納:一般地,如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)叫做a的平方根或二次

方根,這就是說,如果x=a,那么x叫做a的平方根.

求一個數(shù)a的平方根的運算,叫做開平方.

思路二：

問題思考：

(1)9的算術(shù)平方根是3,還有平方也是9的數(shù)嗎？

(2)平方等于的數(shù)有幾個?平方等于0.36的數(shù)呢？

生1：-3的平方也是9.

生2:平方等于的數(shù)有兩個,分別是和

生3:平方等于0.36的數(shù)有兩個,是0.6和-0.6.

師:根據(jù)上一節(jié)課的內(nèi)容,我們知道了3是9的算術(shù)平方根,那么-3也是9的算術(shù)平方

根嗎？

生：(閱讀教材第45頁第1段)

師:-3是9的平方根,這種說法對嗎？

生：正確.

師:能總結(jié)一下平方根的定義嗎？

生:一般地,如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)叫做a的平方根或二次方根,這就是

說,如果V=a,那么x叫做a的平方根.

問題2:平方與開平方的關(guān)系

學(xué)生觀察教材圖6.1-2,思考左面的平方和右面的開平方是什么關(guān)系.

我們看到，±1的平方等于1,1的平方根是±1,±2的平方等于4,4的平方根是

±2,±3的平方等于9,9的平方根是±3,所以平方與開平方互為逆運算.根據(jù)這種互逆關(guān)

系，可以求一個數(shù)的平方根.

例1(教材例4)求下列各數(shù)的平方根.

(1)100;(2);(3)0.25.

解：⑴因為(±10)2=100,

所以100的平方根是±10.

(2)因為=,

所以的平方根是土.

(3)因為(±0.5尸=0.25,

所以0.25的平方根是土0.5.

2.平方根的特點.

問題思考：

(1)正數(shù)的平方根有幾個？(2個)

(2)正數(shù)的兩個平方根之間有什么關(guān)系？(互為相反數(shù))

(3)0的平方根是多少？(0)

(4)負(fù)數(shù)有沒有平方根？(沒有)

(5)平方根怎么用數(shù)學(xué)式表達(dá)？(正數(shù)a的算術(shù)平方根可以用表示;正數(shù)a的負(fù)的平方根

可以用符號表示,故正數(shù)a的平方根可以用符號“土”表示，讀作“正、負(fù)根號a”.)

問題處理:第(1)問和第(2)問由學(xué)生做出肯定性的答案.第(3)問強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意0的平

方根和算術(shù)平方根的一致性.第(4)問重點討論負(fù)數(shù)沒有平方根的原因.第(4)問指導(dǎo)學(xué)生善

于用數(shù)學(xué)符號語言總結(jié)本課時所學(xué).

例2

(1);(2)-;(3)±.

解：⑴因為6、36,所以=6.

(2)因為0.92=0.81,所以-=-0.9.

(3)因為=，所以±=土.

［知識拓展］(1)若一個數(shù)的平方根是它本身，則這個數(shù)是0.若一個數(shù)的算術(shù)平方根

是它本身，則這個數(shù)是0或L

(2)根據(jù)開平方與平方互為逆運算可得到有關(guān)算術(shù)平方根的兩個重要公式：

①()Ja(a20)@=|a|.

要特別注意a的取值范圍.

叵課堂小結(jié)

名稱

算術(shù)平方根平方根

關(guān)系

如果一個正數(shù)x的平方等于如果一個數(shù)的平方等于

定義不同a,即x'a,那么這個正數(shù)x叫a,那么這個數(shù)叫做a的

做a的算術(shù)平方根平方根

區(qū)個數(shù)不同正數(shù)的算術(shù)平方根只有1個正數(shù)的平方根有2個

別表示方法不正數(shù)a的平方根表示為

正數(shù)a的算術(shù)平方根表示為

同土

取值范圍不正數(shù)的算術(shù)平方根一定是正定數(shù)的平方根為一正一

同數(shù)負(fù),互為相反數(shù)

平方根包含算術(shù)平方根,算術(shù)平方根是平方根中的

具有包含關(guān)系

聯(lián)非負(fù)根

系存在的條件相

只有非負(fù)數(shù)才有平方根和算術(shù)平方根

同

0的平方根與算術(shù)平方根均為0

性檢測反饋

1.16的平方根是()

A.4B.±4

C.8D.±8

解析:求一個數(shù)的平方根,可根據(jù)平方根的定義:如果那么x就叫做a的平方根，

利用平方與開平方互為逆運算的關(guān)系進(jìn)行求解.因為(±4/=16,所以16的平方根是土4.故

選B.

2.下列說法中不正確的是()

A.-是2的平方根

B.是2的平方根

C.2的平方根是

D.2的算術(shù)平方根是

解析：因為(±尸=2,所以2的平方根是土,2的算術(shù)平方根是.故選C.

3.平方根等于它本身的數(shù)是.

解析:根據(jù)平方根的定義即可求出平方根等于它本身的數(shù).因為0~0,所以0的平方根

是0,所以平方根等于它本身的數(shù)是0.故填0.

叵板書設(shè)計

第3課時

1.平方根與開平方

例1

2.平方根的特點

例2

降布置作業(yè)

一、教材作業(yè)

【必做題】

教材46頁練習(xí)第1,3題.

【選做題】

教材47頁習(xí)題6.1第11題.

二、課后作業(yè)

【基礎(chǔ)鞏固】

1.9的平方根與16的平方根的和的最小值是()

A.4B.-7

C.±4D.±2

2.下列說法正確的是()

A.-2是-4的平方根

B.2是(-2)2的平方根

C.(-2)2的平方根是2

D.8的平方根是4

3.的平方根是.

4.如果某數(shù)的一個平方根是-6,那么這個數(shù)為.

5.求下列各數(shù)的平方根.

(1)0.49;(2);(3).

【能力提升】

6.下列說法:①2是4的一個平方根;②16的平方根是4;③-36的平方根是±6;④-8是64

的一個平方根.其中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

7.12的負(fù)的平方根介于（）

A,-5與-4之間B.-4與-3之間

C.-3與-2之間D.-2與T之間

8.a是有理數(shù),在a?+2,31a|+5Ja|-4,5a'+2a?中一定有平方根的式子的個數(shù)是.

9.如果正數(shù)0的兩個平方根為廣1和尸3,則/的值是.

10.求滿足下列各式的x的值.

⑴9-81=0;

（2）/=1;

（3）（x+l）z=25.

【拓展探究】

11.“平方根節(jié)”是數(shù)學(xué)愛好者的節(jié)日，這一天的月份和日期的數(shù)字正好是當(dāng)年年份最后兩

位數(shù)字的平方根，例如2009年的3月3日，2016年的4月4日.請你寫出本世紀(jì)內(nèi)你喜歡

的一個“平方根節(jié)”.（題中所舉例子除外）

12.已知2a-l的平方根是土3,3＞斤1的算術(shù)平方根是4,求爾2b的平方根.

【答案與解析】

1.B（解析:兩個數(shù)同時取負(fù)平方根.）

2.B（解析:負(fù)數(shù)沒有平方根,A選項錯誤；（-2尸=4,4的平方根是土2,B正確,C錯誤;8的平方

根是土，D錯誤.故本題應(yīng)選B.）

3.±3（解析:先求出=9,然后求出9的平方根.因為==9,又因為（土3）J9,所以9的平方根是

±3,故答案為±3.）

4.36（解析:本題考查了平方根的定義.注意一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù);0的

平方根是0;負(fù)數(shù)沒有平方根.因為某數(shù)的一個平方根是-6,所以這個數(shù)為36.故填36.）

5.解：⑴因為（±0.7）2=0.49,所以0.49的平方根是±0.7.（2）因為=,=,所以的平方根是

±.（3）因為=，所以的平方根是土.

6.B（解析:根據(jù)平方根的定義，結(jié)合各項進(jìn)行判斷即可.①,2是4的一個平方根說法正

確;②,16的平方根是±4,原說法錯誤;③,-