2021-2022學年江蘇省揚州市邗江區(qū)梅嶺教育集團九年級（上）質檢數(shù)學試卷（12月份）（解析版）

2021-2022學年江蘇省揚州市祁江區(qū)梅嶺教育集團九年級第一學

期質檢數(shù)學試卷（12月份）

一、選擇題（本大題共8小題，共24分）

I.下列函數(shù)解析式中，一定為二次函數(shù)的是（）

A.y=3x-1B.y—aj^+hx+cC.s=25+lD.工

x

2.已知在直角坐標平面內，以點P（-2,3）為圓心，2為半徑的圓尸與x軸的位置關系

是（）

A.相離

B.相切

C.相交

D.相離、相切、相交都有可能

3.下列空心不等邊三角形、等邊三角形、正方形、矩形圖案，每個圖案花邊的寬度都相等.則

其中花邊的內外邊緣所圍成的幾何圖形不相似的是（）

AB

?？?。i?

4.2022年即將到來，一年一度的“元旦匯演”即將拉開帷幕，若“元旦匯演”的舞臺縱深

為8米，要想獲得最佳音響效果，主持人應站在舞臺縱深所在線段的離舞臺前沿較近的

黃金分割點P處，那么主持人站立的位置離舞臺前沿較近的距離約為（）

A.2.5米B.2.9米C.3.0米D.3.1米

5.將一副三角板如圖疊放，則△AOB與△OOC的面積比是（）

B

6.如圖所示，已知。。中，半徑的長為5ca,測得圓周角NAC8=45°,貝lj弦AB的長為（）

A

A.5^/2c,nB.1Oy/~2cniC.\5y[2cmD.20y/~2cm

7.二次函數(shù)云+c,自變量x與函數(shù)y的對應值如下表：

x…-5-4-3-2-10

下列說法正確的是（）

A.拋物線的開口向下

B.當x>-3時，y隨x的增大而增大

C.二次函數(shù)的最小值是-2

D.拋物線的對稱軸是直線》=-三

8.已知二次函數(shù)y=（x-〃）2,當自變量x的值滿足1W*W3時，與其對應的函數(shù)值y

的最大值為-2,則常數(shù)h的值為（）

A.1或3B.-1或1C.3或5D.-1或5

二、填空題（本大題共10小題，共30分）

9.若將拋物線y=5f先向右平移2個單位，再向上平移1個單位，得到的新拋物線的表達

式為.

10.已知兩個二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么ms（填“>”、"=”或）.

2

y=a2xy-%/

11.將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點C在半圓上.點A、8的讀數(shù)分

別為86。、30。，則/ACB的大小為

12.已知：如圖，半圓。的直徑AB=12c??,點C,。是這個半圓的三等分點，則弦AC,

AO和弧C。圍成的圖形(圖中陰影部分)的面積S是

13.如圖，在平面直角坐標系中，將△AOB以點。為位似中心，得為位似比作位似變換,

得到△A。?,已知A(2,3),則點Ai的坐標是.

14.如圖，。是△ABC的邊BC上一點，A8=4,AD=2,NDAC=NB,如果△ABO的面

積為15,那么△ACD的面積為.

15.如圖，AC是。。的內接正六邊形的一邊，點B在京上，且8c是。。的內接正十邊形

的一邊，若A8是。0的內接正〃邊形的一邊，則〃=.

16.公共自行車車樁的截面示意圖如圖所示，AB±AD,AO_LOC,點B,C在E尸上，EF

//HG,EH±HG,AB=S0cm,AD=24a”，BC=25an,EH=4cm,則點A到地面的距離

是cm.

17.如圖，在△ABC中，4c=BC,矩形。EFG的頂點。、E在48上，點尸、G分別在8C、

AC上，若CF=8,BF=6,且DE=2EF,則EF的長為.

18.如圖，。。的直徑AB=5,弦AC=3,點。是劣弧BC上的動點，CELQC交A。于點

19.已知y=(A+2)/+卜4是二次函數(shù)，且當x>0時，y隨x的增大而增大.

(1)求女的值；

(2)求該拋物線的頂點坐標和對稱軸.

20.如圖所示，在4X4的正方形方格中，△A8C和△￡>￡P的頂點都在邊長為1的小正方形

的頂點上.

(1)填空：ZABC=,BC=；

(2)判斷aABC與△。所是否相似？并證明你的結論.

21.如圖，BE是。。的直徑，點A和點。是0。上的兩點，過點A作。。的切線交BE延

長線于點C.

（1）若NAOE=28°,求NC的度數(shù)；

（2）若AC=2j§,CE=2,求半徑的長.

22.如圖，路燈（P點）距地面8米，身高1.6米的小明從距路燈的底部（0點）20米的A

點，沿。4所在的直線行走14米到8點時，身影的長度是變長了還是變短了？變長或變

23.如圖，在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中，一段圓弧經過網(wǎng)格格點A、B、C.

（1）請完成如下操作：

①以點O為原點、豎直和水平方向所在的直線為坐標軸、網(wǎng)格邊長為單位長，建立平面

直角坐標系；

②用直尺畫出該圓弧所在圓的圓心。的位置（不用寫作法，保留作圖痕跡），并連接A。、

CD.

（2）請在（1）的基礎上，完成下列問題:

①寫出點的坐標：C、D；②。。的半徑=（結果保留根號）；

③若扇形AOC是一個圓錐的側面展開圖，求該圓錐的底面半徑.

24.如圖，在RtAABC中，NAC8=90°,。為A8的中點，以CD為直徑的。。分別交

AC,BC于點、E,尸兩點，過點F作尸GLAB于點G.

(1)試判斷FG與。。的位置關系，并說明理由.

(2)若AC=3,CD=2.5,求FG的長.

25.如圖，在矩形ABC。中，AB=3,BC=4,動點P從點A出發(fā)沿AC向終點C運動，同

時動點。從點B出發(fā)沿班向終點A運動，P,。運動速度均為每秒1個單位長度，當一

個點到達終點時，另一個點也停止運動，連接P。，設運動時間為r">0)秒.

(1)，為何值時，ZV!。尸與△ABC相似？

(2)f為何值時，△AQP的面積為0.8?

26.已知二次函數(shù)y=-必+bx+c的圖象與直線y=x+3相交于點A和點3,點A在x軸上，

點8在y軸上.拋物線的頂點為P.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；

(2)現(xiàn)將拋物線向右平移m個單位，當拋物線與AABP有且只有一個公共點時，求m

的值；

(3)在直線AB下方的拋物線上是否存在點Q,使得SAAB2=2SAXBP,若存在，請求出點

。的坐標，若不存在，請說明理由.

27.某數(shù)學興趣小組在數(shù)學課外活動中，對多邊形內兩條互相垂直的線段做了如下探究:

(1)如圖1,在正方形A8C。中，點E,F分別是A8,4。上的兩點，連接。E,CF,

DEVCF,則卷■的值為；

CF----------

(2)如圖2,在矩形48CZ)中，AD=1,C￡>=4,點E是AO上的一點，連接CE,BD,

且CE_LBD,則黑的值為_______；

BD

【類比探究】

(3)如圖3,在四邊形ABCC中，/A=/B=90°,點E為ABb-點，連接。E,過

點C作OE的垂線交距的延長線于點G,交的延長線于點F,求證：DE-AB^CF-

AD；

圖3圖4

【拓展延伸】

(4)如圖4,在RtZ\ABO中，/a4。=90°,AD=9,tanZADB=—,將△AB。沿8。

3

翻折，點A落在點C處得△C8D,點E,尸分別在邊48,A。上，連接。E,CF,DE±

CF.

①求黑的值；

Cr

②連接8凡若AE=1,直接寫出的長度.

28.如圖1,與直線a相離，過圓心/作直線。的垂線，垂足為H,且交。/于尸、。兩

點(。在尸、”之間).我們把點尸稱為關于直線”的”遠點”，把尸。?P”的值稱

為。/關于直線。的“特征數(shù)”.

(1)如圖2,在平面直角坐標系X。)，中，點E的坐標為(0,4).半徑為I的。。與兩

坐標軸交于點A、B、C、D.

①過點E畫垂直于y軸的直線m,則。0關于直線山的“遠點”是點(填“4”、

“B”、"C”或)，00關于直線%的“特征數(shù)”為；

②若直線〃的函數(shù)表達式為y=y/3x+4.求。0關于直線n的“特征數(shù)”；

(2)在平面直角坐標系xO.y中，直線/經過點M(1,4),點F是坐標平面內一點，以

尸為圓心，&為半徑作OF.若。F與直線/相離，點N(-1,0)是關于直線/的

“遠點”.且。/關于直線/的“特征數(shù)”是4娓，求直線/的函數(shù)表達式.

參考答案

一、選擇題（本大題共8小題，共24分）

1.下列函數(shù)解析式中，一定為二次函數(shù)的是（）

A.y=3x-1B.y=ax2+bx+cC.s=2P+lD.y=x2+—

x

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，可得答案.

解：A、y=3x-l是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意；

B、當。=0時，不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意；

C、$=2產+1是二次函數(shù)，故此選項符合題意；

D、y=9+」分母含有自變量，不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意.

x

故選：C.

2.已知在直角坐標平面內，以點P（-2,3）為圓心，2為半徑的圓P與x軸的位置關系

是（）

A.相離

B.相切

C.相交

D.相離、相切、相交都有可能

【分析】先求出點尸到x軸的距離，再根據(jù)直線與圓的位置關系得出選項即可.

解：；點P的坐標為（-2,3）,

點尸到x軸的距離是3,

\"2<3,

以點P（-2,3）為圓心，2為半徑的圓P與x軸的位置關系是相離，

故選：A.

3.下列空心不等邊三角形、等邊三角形、正方形、矩形圖案，每個圖案花邊的寬度都相等.則

其中花邊的內外邊緣所圍成的兒何圖形不相似的是（）

A

c-口d-ii

【分析】根據(jù)相似圖形的定義，結合圖形，對選項一一分析，排除不符合要求答案.

解：人形狀相同，符合相似形的定義，對應角相等，所以三角形相似，故A選項不符合

要求；

B：形狀相同，符合相似形的定義，故3選項不符合要求；

C：形狀相同，符合相似形的定義，故C選項不符合要求；

。：兩個矩形，雖然四個角對應相等，但對應邊不成比例，故。選項符合要求；

故選：D.

4.2022年即將到來，一年一度的“元旦匯演”即將拉開帷幕，若“元旦匯演”的舞臺縱深

為8米，要想獲得最佳音響效果，主持人應站在舞臺縱深所在線段的離舞臺前沿較近的

黃金分割點P處，那么主持人站立的位置離舞臺前沿較近的距離約為（）

A.2.5米B.2.9米C.3.0米D.3.1米

【分析】由黃金分割的定義即可求解.

解：；主持人應站在舞臺縱深所在線段的離舞臺前沿較近的黃金分割點尸處，

???離舞臺前沿較近的距離為8x3茅=12-4娓1

故選：

5.將一副三角板如圖疊放，則4AOB與△OOC的面積比是（）

【分析】因為ABHCD,所以△AOBs2VJOC.欲求它們的面積比，必須先求出它們的

相似比，以BC為中間值，利用直角三角形的性質來得到A8、CO的比值，從而根據(jù)相

似三角形的面積比等于相似比的平方求得結果.

解：,:AB//CD,：./\AOB^/\COD-,

根據(jù)題意，AB=BC,CD=y[^C,即8=揚8；

?|AAOB_（黑）2_1故選c.

^ADOCCD3

6.如圖所示，已知。。中，半徑的長為5所,測得圓周角/ACB=45°,則弦AB的長為（）

A.5y[2cmB.l0y[2cmC.D.20y[2cm

【分析】作直徑A。，連接8。，如圖，根據(jù)圓周角定理得到NAB￡>=90°,ZADB=Z

ACB=45°,然后根據(jù)等腰直角三角形的性質求A8的長.

解：作直徑AQ,連接即，如圖，則AD=10cro,

?：AB為直徑，

AZABD=90°,

VZADB=ZACB=45°,

AABD為等腰直角三角形，

:.AB=?AD=1QX?=5版.

22v

故選：A.

7.二次函數(shù)>=<：/+芯+0,自變量x與函數(shù)y的對應值如下表:

X.??-5-4-3-2-10???

???…

y40-2-204

下列說法正確的是（）

A.拋物線的開口向下

B.當x>-3時，了隨x的增大而增大

C.二次函數(shù)的最小值是-2

D.拋物線的對稱軸是直線k-三

【分析】（方法一）選出3點的坐標，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)二次

函數(shù)的性質逐項分析四個選項即可得出結論；

（方法二）由當y=-2時，幻=-3,X2=-2,利用拋物線的對稱性可得出拋物線的對

稱軸是直線x=￡

解：（方法一）將點（-4,0）、（-1,0）、（0,4）代入到二次函數(shù)y—a>?+bx+c

中，

0=16a-4b+c（a=l

得：<0=a-b+c>解得：，b=5>

4=cc=4

二二次函數(shù)的解析式為丫=r+5苫+4.

A、a=l>0,拋物線開口向上，4不正確；

B、-?=-3，當3時，y隨x的增大而增大，8不正確；

2a22

C、y=/+5x+4=二次函數(shù)的最小值是-看，C不正確；

D、-￡=-與，拋物線的對稱軸是直線x=-與，O正確.

2a22

故選：D.

（方法二）?.?當y=-2時，xi=-3,X2=-2,

拋物線的對稱軸是直線x=考2=--1-

故選：D.

8.已知二次函數(shù)y=-微（x-〃）2,當自變量x的值滿足lWx<3時，與其對應的函數(shù)值y

的最大值為-2,則常數(shù)h的值為（）

A.1或3B.-1或1C.3或5D.-1或5

【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質，利用分類討論的方法可以求得h

的值.

解：..?二次函數(shù)y=（x-h）2,

.?.該函數(shù)的對稱軸為直線x=h,

當h<\時，

?.?當自變量x的值滿足1WXW3時，與其對應的函數(shù)值y的最大值為-2,

'.x=1時,y--2,即得〃]=-],e=3（舍去）；

當lW/z<3時，y的最大值為0,不符合題意；

當〃>3時，

???當自變量x的值滿足-1WXW3時，與其對應的函數(shù)值y的最大值為-2,

.?.x=3時，y--2,即-2=--1-(3-/?)2,得fe—1(舍去)，魚=5；

由上可得，/?的值是-1或5,

故選：D.

二、填空題(本大題共10小題，共30分)

9.若將拋物線y=5/先向右平移2個單位，再向上平移1個單位，得到的新拋物線的表達

式為y=5(x-2)?+1.

【分析】根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進行解答即可.

解：將拋物線y=5/先向右平移2個單位，再向上平移1個單位，得到的新拋物線的表

達式為：y—5(x-2)2+1,

故答案是：y=5(x-2)2+1.

10.己知兩個二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么0>(12(填“>"、"="或.

【分析】直接利用二次函數(shù)的圖象開口大小與a的關系進而得出答案.

解：如圖所示的開口大于y=a2%2的開口，開口向下，則

故答案為：>.

11.將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點C在半圓上.點A、8的讀數(shù)分

別為86°、30°,則/AC8的大小為28°.

【分析】設半圓圓心為O,連OA,OB,則/4。8=86°-30°=56°,根據(jù)圓周角定

理得/ACB=a/AO3,即可得到/AC3的大小.

解：設半圓圓心為0,連OA,OB,如圖,

'：ZACB=—ZAOB,

2

而NAOB=86°-30°=56°,

AZACB=—X56°=28°.

2

故答案為：28°.

12.已知：如圖，半圓。的直徑AB=12a〃，點C,。是這個半圓的三等分點，則弦AC,

和弧CZ）圍成的圖形（圖中陰影部分）的面積S是6s2

【分析】由題意知，ZCOD=60°,進而得出△C。。是等邊三角形，故陰影部分的面積

等于扇形OCD的面積.

解：連接CO、OD,CD,

VC,。是這個半圓的三等分點,

J.CD//AB,NCOO=60°,

"：OC=OD,

.?.△OCO是等邊三角形，CD=OC=LB=6CTC,

-2

：./\OCD與△CD4是等底等高的三角形，

SB]?—Sgs?OCD-X(r—fmcnr.

故答案為：6nc/n2.

B

13.如圖，在平面直角坐標系中，將△AOB以點。為位似中心，譽為位似比作位似變換,

A

得到△4。?,已知A(2,3),則點4的坐標是(-1,2).

【分析】根據(jù)位似變換的性質解答即可.

解：?.,將△AOB以點O為位似中心，譽為位似比作位似變換，A(2,3),

點4的坐標是(2xg,3X-^-),即點Ai的坐標是(3，2),

333

故答案為：(?，2).

14.如圖，。是△ABC的邊8c上一點，AB=4,40=2,NDAC=NB,如果△A8。的面

積為15,那么△ACZ)的面積為5.

【分析】證明△ACOSABCA,根據(jù)相似三角形的性質求普竺=),根據(jù)題意計算.

SABCA4

解：,：ZDAC=ZB,NC=NC,

：.^ACD^/XBCA,

.SAACD/AD、21

.^△BCA杷4

.S/kACD=1

S/kABD3

.??△AC￡>的面積的面積=5,

故答案為：5.

15.如圖，AC是。。的內接正六邊形的一邊，點B在北上，且8c是。。的內接正十邊形

的一邊，若AB是。0的內接正〃邊形的一邊，則〃=15.

【分析】根據(jù)中心角的度數(shù)=360°+邊數(shù)，列式計算分別求出/AO8,4BOC的度數(shù),

則NAOC=24。,則邊數(shù)〃=360°?中心角.

解：連接80,

；AC是。。內接正六邊形的一邊，

AZAOC=36004-6=60°,

?.?8C是內接正十邊形的一邊，

.?.NBOC=360°4-10=36°,

：.ZAOB^ZAOC-ZBOC=60°-36°=24°,

.?.〃=360°+24°=15；

16.公共自行車車樁的截面示意圖如圖所示，ABLAD,ACOC,點8,C在EF上，EF

//HG,EH1HG,AB=80cm,AQ=24的，BC=25cm,EH=4cm,則點A到地面的距離

是80.8cm.

【分析】分別過點A作AMVBF于點M,過點C作CNLAB于點N,利用勾股定理得出

8N的長，再利用相似三角形的判定與性質得出即可.

解：過點A作尸于點M,過點C作CNL48于點N,

'JABVAD,AD±DC,

???四邊形ANCO是矩形,

：.AD=NC,AN=DC,

9：AD=24cmf

.\NC=24cmf

在RfBCN中,

22=22=7

B^=VBC-NCV25-24，

VZAMB=ZCNB=90°,ZABM=ZCBN,

:.ABNCS^BMA,

?AB_AM

??而一麗’

.80_AM

"25—24，

貝mihI...80X24384

故點A到地面的距離是:*=80.8(cm).

故答案為：80.8.

17.如圖，在△ABC中，AC=8C,矩形。EFG的頂點。、E在AB匕點F、G分別在BC、

AC上，若CF=8,BF=6,DE=2EF,則EF的長為空.

-5-

【分析】設EF=x,根據(jù)矩形的性質得到G尸〃AB,證明△CGFs/\C48,可得A8=券,

證明△AOG絲△BEF,得到4O=BE==x,在△8EF中，利用勾股定理求出x值即可.

解：'：DE=2EF,設E/=x,貝iJOE=2r,

???四邊形DE~G是矩形,

AGF//AB,GF=DE,

：?ACGFs叢CAB,

.GF_CF_8_4

**AB-CB-^6-7,

.2x4

??

AB7

73

：.AD+BE=AB-DE=—y-2x=—x,

22

VAC=BC,

???NA=N8,

在aAOG和aBE產中，

2A二NB

<NADG=NBEF，

DG=EF

:?叢ADG9XBEF(A4S),

3

：.AD=BE=—x,

4

2Q2

在Rt/XBE/中，BE+EF=BF9

(—x)2+x2=62,

4

解得：*=善或-善(舍)，

55

24

.\EF=—,

5

故答案為：-Tr--

5

18.如圖，。0的直徑AB=5,弦AC=3,點。是劣弧8C上的動點，CELOC交A。于點

E,則OE的最小值是

一4一

【分析】如圖，作△AEC的外接圓,延長8C交。0'于D2R,,連接AR,貝ijAR

是直徑，連接0。'，E0'.證明N4EC是定值，推出點E的運動軌跡是菽，證明N8AR

=90°,求出O'E,00'可得結論.

解：如圖，作△AEC的外接圓。。'，延長BC交。。'于D2R,,連接AR,則AR是直

徑，連接。0',EO'.

■:ECLCD,

：.ZECD=90Q,

是直徑，

AZACB=90°,

；?BC=VAB2-AC2=V52-32=4'

VZD+ZDEC=90°,NB+NBAC=90°,ZB=ZD,

：.ZDEC=N8AC=定值，

；./AEC是定值，

點E的運動軌跡是金，

VZR+ZAEC=180°,ZAEC+ZDEC=180°,

???ZR=ZDEC=ABAC,

AZR+ZB=90°,

：.ZBAR=90°,

VZB=ZB,ZACB=ZBAR=90°,

:.XBCksXBNR,

.BA=BC

??麗―國

?

??51_4，

BR5

：.BR=—,

4

9

：.CR=BR-BC=—,

4

???AR=hc2KR2=4§2+號)2=與，

：.E0'=L/?=至，

28

-：AO=OB,AO'=0'R,

195

AOO'=—BR=-

28f

'：OE^OO'-EO'=空-生=$,

884

.?.0E的最小值為

4

故答案為：-y.

4

三、解答題(共96分)

19.已知y=(A+2)盧+卜4是二次函數(shù)，且當彳>0時，y隨尤的增大而增大.

(1)求人的值；

(2)求該拋物線的頂點坐標和對稱軸.

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的次數(shù)是二，可得方程，根據(jù)二次函數(shù)的性質，可得什2>

0,可得答案：

(2)根據(jù)二次函數(shù)的解析式，可得頂點坐標，對稱軸.

解：(1)由>=(什2)*+卜4是二次函數(shù)，且當x>0時，y隨x的增大而增大，得

(2

<k+k-4=2

<k+2>0，

解得％=2；

(2)y=4N的頂點坐標是(0,0),對稱軸是)，軸.

20.如圖所示，在4X4的正方形方格中，△ABC和△￡>￡■尸的頂點都在邊長為1的小正方形

的頂點上.

(1)填空：ZABC=135°,

(2)判斷△ABC與是否相似？并證明你的結論.

【分析】(1)根據(jù)已知條件，結合網(wǎng)格可以求出/A8C的度數(shù)，根據(jù)，△ABC和

的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上，利用勾股定理即可求出線段8c的長；

(2)根據(jù)相似三角形的判定定理，夾角相等，對應邊成比例即可證明AABC“DEF

相似.

【解答】(1)解：/ABC=90°+45°=135°,

BC=d22+22=

故答案為：135°；2M.

(2)/XABC^^DEF.

證明：?.,在4X4的正方形方格中，

ZABC=135°,NDEF=90°+45°=135°,

ZABC=ADEF.

：AB=2,BC=2近,FE=2,DE=也

?r-BC_2V2_加

,?瓦一而--r-V2.

△ABCs△￡>￡■?.

21.如圖，BE是。。的直徑，點A和點。是。。上的兩點，過點A作。。的切線交8E延

長線于點C.

(1)若NAOE=28°,求/C的度數(shù)；

(2)若AC=2?,CE=2,求。0半徑的長.

【分析】（1）連接04根據(jù)圓周角定理求出NA0C,根據(jù)切線的性質求出N0AC,根

據(jù)三角形內角和定理求出即可；

（2）設0A=0E=r,根據(jù)勾股定理得出方程，求出方程的解即可.

解：（1）連接04

VZ/iD￡=28°,

由圓周角定理得：ZAOC=2ZADE=56°,

?；AC切于A,

：.ZOAC=90°,

AZC=180°-ZAOC-ZOAC=180°-56°-90°=34°；

（2）設OA=OE=r,

在RtZXOAC中，由勾股定理得：O42+AG=OG,

即尸+（2?）2=（什2）2,

解得：r=2,

答：。。半徑的長是2.

22.如圖，路燈（P點）距地面8米，身高1.6米的小明從距路燈的底部（。點）20米的A

點，沿0A所在的直線行走14米到8點時，身影的長度是變長了還是變短了？變長或變

短了多少米？

【分析】如圖，由于AC〃B/)〃OP,故有△MACs△例OP,△NBOsaNOP即可由相似

三角形的性質求解.

解："：ZMAC=ZMOP=90°,

ZAMC=ZOMP,

.MA_AC

??而而

g|JJ(A=JJ6

20+MA8

解得，MA—5米；

同理，由ANBDSANOP,可求得NB=1.5米，

...小明的身影變短了5-1.5=3.5米.

23.如圖，在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中，一段圓弧經過網(wǎng)格格點A、B、C.

(1)請完成如下操作：

①以點。為原點、豎直和水平方向所在的直線為坐標軸、網(wǎng)格邊長為單位長，建立平面

直角坐標系；

②用直尺畫出該圓弧所在圓的圓心。的位置(不用寫作法，保留作圖痕跡)，并連接A。、

CD.

(2)請在(1)的基礎上，完成下列問題：

①寫出點的坐標：C(6,2)、D(2,0);②0。的半徑=_2娓_(結果保

留根號)；

③若扇形ADC是一個圓錐的側面展開圖，求該圓錐的底面半徑.

【分析】(1)①以點。為原點、豎直和水平方向所在的直線為坐標軸、網(wǎng)格邊長為單位

長，建立平面直角坐標系；

②利用弦的垂直平分線經過圓心，畫出AB,BC的垂直平分線，兩條直線的交點即為圓

心；

(2)①利用建立的坐標系寫出點的坐標即可；

②在中，利用勾股定理即可求出結論；

③過點C作軸于點E,通過證明△OAO鄉(xiāng)/XEDC得出NA￡>C=90°,設圓錐的底

面半徑為「，利用弧長公式求出冠的長，利用弧長等于圓錐的底面圓的周長列出方程，

解方程即可求得結論.

解：(1)①以點0為原點、豎直和水平方向所在的直線為坐標軸、網(wǎng)格邊長為單位長,

②畫出AB,BC的垂直平分線，兩條直線的交點即為圓心D

(2)①利用坐標系可知點(6,2),D(2,0).

故答案為：(6,2),D(2,0)；

②?.?4(0,4),D(2,0),

.?.04=4,0。=2,

的半徑DA—7OA2K)D2~V42+22~2V5-

故答案為：

③過點C作CELv軸于點E,

VC(6,2),

：?0E=6,CE=2.

：.DE=OE-OD=4.

：.OA=DE=4fOD=CE=2.

在△04。和△￡￡><:中，

<OA=DE

<ZAOD=ZDEC=90°，

OD=EC

：./\OAD^/\EDC(SAS).

：.ZODA=ZECD.

VZECD+ZEDC=90°,

：.ZODA+ZCDE=90°.

ZADC=90°.

.i'MJZ.而4,9°兀X2L

??AC的長度為——1Qn-=V5兀，

iou

設圓錐的底面半徑為〃則：

2nr=y[^i.

解得：〃=噂.

2_

答：圓錐的底面半徑為漁.

2

24.如圖，在RtZVIBC中，ZACB=9Q°,。為AB的中點，以C￡>為直徑的。。分別交

AC,BC于點E,F兩點，過點F作FGLAB于點G.

(1)試判斷尸G與。。的位置關系，并說明理由.

(2)若AC=3,CD=2.5,求尸G的長.

【分析】（1）如圖，連接。F,根據(jù)直角三角形的性質得到CD=BD得到N。8c=N

DCB,根據(jù)等腰三角形的性質得到NOFC=/OCF,得到/OFC=/QBC,推出/OFG

=90°,于是得到結論;

(2)連接。尸，根據(jù)勾股定理得到BC={/_AC2=%根據(jù)圓周角定理得到

90°,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結論.

解：(1)尸G與。0相切，

理由：如圖，連接OF,

VZACB=90°,。為A8的中點，

:?CD=BD,

：./DBC=/DCB,

,:OF=OC,

:?/OFC=/OCF,

：./OFC=/DBC,

???OF〃DB,

AZOFG+Z￡>GF=180°,

VFG1AB,

AZDGF=90°,

AZOFG=90°,

??.FG與O。相切；

(2)連接DF,

?.?8=2.5,

：.AB=2CD=5f

??-?C=VAB2-AC2=4-

???CD為OO的直徑，

:?NDFC=9U°,

：.FD_LBCf

?:DB=DC,

：.BF=—BC=2

2f

AC_FG

VsinZABC—AB=FB

FG

嗚~2

.??T

25.如圖，在矩形ABC。中，AB=3,BC=4,動點尸從點A出發(fā)沿AC向終點C運動，同

時動點Q從點B出發(fā)沿BA向終點A運動，P,Q運動速度均為每秒1個單位長度，當一

個點到達終點時，另一個點也停止運動，連接P。，設運動時間為秒.

（1），為何值時，與△ABC相似？

（2）/為何值時，△AQP的面積為0.8?

【分析】（1）先用含有，的式子表示AP和AQ,然后利用相似三角形的性質進行分類討

論求解，分①△ABCs^AQP；②△ABCs^APQ兩種情況.

（2）過點P作PELAB于點E,然后利用相似三角形的性質表示PE,再求△AQP的面

積為0.8時的/值.

解：（1）由題意得：A（2=3-t,AP=r,

VAB=3,BC=4,

：.AC=5,

由/Q4P=/BAC可知，△AQP與△ABC相似時，存在以下兩種情況

①當△ABCs/WQP時，則

AQAP3-tt

二，KHnJ—,

ABAC35

解得：f=孕；

o

②當△ABCsAi4PQ時，則

AB_AC日口3_5

--,艮,

APAQt3-t

解得：f=4;

o

綜上所述，f的值為學或

88

(2)過點P作PEA.AB于點E,

則PE//BC,

：.PE：BC^AP：AC,即PE：4=f：5,

4

：.PE=—t,

5

114

???SAAPQ-AQ'PE=y(3-t)X-^0.8.

整理得：t2-3r+2=0,

解得：f=l或f=2,

.?.當/=1或2秒時，△4QP的面積為0.8；

26.已知二次函數(shù)y=+法+c的圖象與直線y=x+3相交于點A和點B,點A在x軸上，

點8在y軸上.拋物線的頂點為P.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；

(2)現(xiàn)將拋物線向右平移m個單位，當拋物線與△ABP有且只有一個公共點時，求m

的值；

(3)在直線AB下方的拋物線上是否存在點Q,使得SAAB2=2SAABP,若存在，請求出點

。的坐標，若不存在，請說明理由.

【分析】(1)直線y=x+3中，分別令x=0和y=0可得點A和8的坐標，將點4和8

的坐標分別代入拋物線的解析式中列方程組，解出即可；

(2)由圖象可知，當拋物線經過點8或點A時，拋物線與△PBA有且只有一個公共點，

求得平移后的解析式，代入A、8的坐標，即可求得加的值；

(3)先計算△ABP的面積，根據(jù)&ABQ=2SAABP,可得△ABQ的面積，分兩種情況：點

Q在對稱軸的左側和右側，根據(jù)面積公式列方程可得結論.

解：(1)當％=0時，y=3,

：.B(0,3)，

當y=0時，x+3=0,

Ax=-3,

???A(-3,0),

把A(-3,0)和8(0,3)代入二次函數(shù)y=-f+bx+c中得：

19-3b+c=0,解得:產=

Ic=31c=3

.?.這個二次函數(shù)的解析式為：y=-f-2x+3；

(2)y--x2-2x+3=-(x+1)2+4,

：.P(-1,4),

將拋物線向右平移相個單位，P對應點為(-1+%4),

.?.平移后的拋物線解析式為丫=-(x+1-/?)2+4,

把B(0,3)代入得，3=-(1-w)2+4,

解得"71=2,W2=0(舍去)，

把A(-3,0)代入得0=-(-2-/W)2+4,

解得砥=-4,，*4=0(舍去)，

故m的值為2或-4；

(3)S^AHP=S^API)+Sft,KPDOB-SAAOB=-^-X4X(3-1)+"^"X(3+4)X1-?^?X3X3=

3,

SisABQ=2sAABP=6>

設點Q的坐標為(.a,-a2-2a+3),

分兩種情況：

①如圖1,當Q在對稱軸的左側，過點P作PDLx軸于點D,過點。作QE〃y軸交直

線AB于E,

解得：a\=-4,a2=l（舍），

：.Q（-4,-5）；

②如圖2,當。在對稱的右側，過點尸作尸軸于點。，過點。作。后〃丫軸交直線

AB于E,

：.Q（1,0）,

綜上，點。的坐標為（-4,-5）或（1,0）.

27.某數(shù)學興趣小組在數(shù)學課外活動中，對多邊形內兩條互相垂直的線段做了如下探究:

(1)如圖1,在正方形ABC。中，點E,F分別是AB,AQ上的兩點，連接。E,CF,

DE1CF,則空的值為1；

Cr

(2)如圖2,在矩形A8C。中，AD=1,CO=4,點E是AQ上的一點，連接CE,BD,

且C—BD,則集的值為1；

BD-7-

【類比探究】

(3)如圖3,在四邊形ABCC中，/A=/B=90°,點E為A8上一點，連接。E,過

點C作。E的垂線交E￡＞的延長線于點G,交A。的延長線于點凡求證：DE，AB=CF.

AD-

圖4

【拓展延伸】

(4)如圖4,在RtZiABQ中，ZBAD=90°,AD=9,tanZA￡)B=—,將△AB。沿8。

3

翻折，點A落在點C處得△C3D,點E,b分別在邊AB,AD±.9連接OE,CF,DEL

CF.

①求弟的值；

Cr

②連接BF,若AE=1,直接寫出3F的長度.

【分析】(1)如圖1,設OE與交于點G,由正方形的性質得出NA=NfDC=90°,

AD=CD,可證明△AE。絲ZXOFC(A4S),由全等三角形的性質得出DE=CF,則可得

出結論；

(2)如圖2,設與CE交于點G,根據(jù)矩形性質得出NA=/E￡)C=90°,由直角三

角形的性質證出由相似三角形的判定定理證出△OECs△48。即可；

(3)如圖3,過點C作CH_LA/交A尸的延長線于點H,證明由相似

三角形的性質得出塔噓，則可得出結論；

CFCH

(4)①過點C作CGLA。于點G,連接AC交8。于點“，CG與DE相交于點。，證

明△OEAs^CFG,得出比例線段坐淺，證出笑?=5，設AH=”，則?！?3a,由勾

CFCGDH3

股定理得出層+(3?)2=92,解方程可求出AH,DH的長，由三角形AC3的面積求出

CG的長，則可求出答案；

②由勾股定理求出AG=3,證明△OEAs/\CFG,由相似三角形的性質得出坐*號，

5CFFG

Q

求出產G=V，在RtZSAB尸中，由勾股定理可求出行的長.

5

解：(1)如圖1,設。E與Cr交于點G,

圖1

???四邊形A8CO是正方形,

AZA=ZFDC=90°,AD=CDf

■:DE工CF,

：.