湖北省武漢市新農中學高三數學文上學期摸底試題含解析

湖北省武漢市新農中學高三數學文上學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知雙曲線C：的漸近線方程為，且其右焦點為（5,0），則雙曲線C的方程為（

）A． B．C． D．參考答案：B考點：雙曲線試題解析：因為雙曲線C：的漸近線方程為所以又所以解得：故雙曲線C的方程為：。故答案為：B2.過拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點F的直線l與拋物線交于M，N兩點，若，則直線l的斜率為（）A．± B．± C．± D．±參考答案：D【考點】拋物線的簡單性質．【分析】作MB垂直準線于B，作NC垂直準線于C，作NA垂直MB于A，根據拋物線定義，可得tan∠NMA就是直線l的斜率【解答】解：如圖，作MB垂直準線于B，作NC垂直準線于C，根據拋物線定義，可得MB=MF，NC=NF作NA垂直MB于A，設FN=m，則MN=5m，NA=MF﹣NF=3m在直角三角形AMN中tan∠NMA=，∴直線l的斜率為±，故選：D3.直線與直線的夾角為

(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：C4.已知等差數列{an}的公差和首項都不等于0，且a2，a4，a8成等比數列，則=（）A．2 B．3 C．5 D．7參考答案：B【考點】等比數列的性質．【分析】利用等差數列{an}的公差和首項都不等于0，且a2，a4，a8成等比數列，可得d=a1，即可求出．【解答】解：∵等差數列{an}的公差和首項都不等于0，且a2，a4，a8成等比數列，∴a42=a2a8，∴（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），∴d2=a1d，∵d≠0，∴d=a1，∴==3．故選：B．【點評】本題考查等差數列的性質，考查學生的計算能力，比較基礎．5.已知定義在R上的奇函數和偶函數滿足，若，則A.

B.

C.

D.參考答案：B6.設x，y滿足約束條件，則z=2x－3y的最小值是（

）A

B－6

C

D參考答案：B略7.設為等差數列的前項和，若，公差，，則A.

B.

C.

D.參考答案：D8.給出如下四個命題：①e＞2②ln2＞③π2＜3π④＜，正確的命題的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：D【考點】不等式比較大?。痉治觥竣倮梅治龇ê蜆嬙旌瘮?，利用導數和函數的最值得關系即可判斷，②根據對數的運算性質即可判斷，③利用中間量即可判斷，④兩邊取對數即可判斷．【解答】解：①要證e＞2，只要證＞ln2，即2＞eln2，設f（x）=elnx﹣x，x＞0，∴f′（x）=﹣1=，當0＜x＜e時，f′（x）＞0，函數單調遞增，當x＞e時，f′（x）＜0，函數單調遞減，∴f（x）＜f（e）=elne﹣e=0，∴f（2）=eln2﹣2＜0，即2＞eln2，∴e＞2，因此正確②∵3ln2=ln8＞ln2.82＞lne2=2．∴l(xiāng)n2＞，因此正確，③π2＜42=16，3π＞33=27，因此π2＜3π，③正確，④∵2π＜π2，∴＜，④正確；正確的命題的個數為4個，故選：D．9.某一簡單幾何體的三視圖如圖2所示,該幾何體的外接球的表面積是(

)A.13π

B.16π

C.25π

D.27π參考答案：C10.“”是“對任意實數，成立”的(

)

A.充要條件

B.必要不充分條件

C.充分不必要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數f（x）=ax3﹣ax2+（2a﹣3）x+1在R上存在極值，則實數a的取值范圍是．參考答案：（0，3）【考點】利用導數研究函數的極值．【分析】根據函數f（x）=+（2a﹣3）x+1存在極值點，可得f′（x）=0有兩不等實根，其判別式△＞0，即可求得a的取值范圍．【解答】解：求導函數，可得f′（x）=ax2﹣2ax+2a﹣3∵函數f（x）=+（2a﹣3）x+1存在極值點，∴f′（x）=0有兩不等實根，其判別式△=4a2﹣4a（2a﹣3）＞0∴0＜a＜3．∴a的取值范圍是（0，3）．故答案為：（0，3）．12.為邊,為對角線的矩形中,,,則實數____________.參考答案：

略13.已知的展開式中第三項與第五項的系數之比為－,其中i=－1，則展開式中常數項是

；參考答案：

4514.如圖，是半徑為的圓的直徑，點

在的延長線上，是圓的切線，點在直徑上的射影是的中點，則=

；

．參考答案：點A在直徑BC上的射影E是OC的中點,可得，所以，在中，，所以由切割線定理可得。15.若，則

．參考答案：16.給定集合，定義中

所有不同值的個數為集合元素和的容量，用表示.若，則

；若數列是等差數列，公差不為，設集合

（其中，為常數），則關于的表達式

.

參考答案：略17.函數的定義域為

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）設向量.（1）若，求的值；（2）設函數的最大值.參考答案：19.已知函數f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求證：f（ab）＞|a|f（）．參考答案：【考點】R5：絕對值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）易求f（x）+f（x+4）=，利用一次函數的單調性可求f（x）+f（x+4）≥8的解集；（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（）?|ab﹣1|＞|a﹣b|，作差證明即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，當x＜﹣3時，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；當﹣3≤x≤1時，f（x）+f（x+4）=4≥8不成立；當x＞1時，由2x+2≥8，解得x≥3．∴不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集為{x|x≤﹣5，或x≥3}．

（Ⅱ）證明：∵f（ab）＞|a|f（）?|ab﹣1|＞|a﹣b|，又|a|＜1，|b|＜1，∴|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，∴|ab﹣1|＞|a﹣b|．故所證不等式成立．20.（本小題滿分10分）已知，當時，求證：⑴；⑵.參考答案：所以．

………………4分（2）由（1）得，即，所以…………．

………………10分［另法：可用數學歸納法來證明…］21.已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知向量=(cosB，2cos2－1)，=(c，b－2a)且．（1）求角C的大??； （2）若△ABC的面積為，a+b=6，求c． 參考答案：【考點】余弦定理；平面向量數量積的運算． 【分析】（1）由已知利用平面向量數量積，三角函數恒等變換的應用化簡可得sinA=2sinAcosC，由sinA≠0，可求，結合范圍C∈（0，π），可求C的值． （2）利用三角形面積公式可求ab=8，進而利用余弦定理可求c的值． 【解答】解：（1）∵由已知可得：，，， ∴ccosB+（b﹣2a）cosC=0， ∴sinCcosB+（sinB﹣2sinA）cosC=0，即sinA=2sinAcosC， 又∵sinA≠0， ∴， 又∵C∈（0，π）， ∴． （2）∵， ∴ab=8， 又c2=a2+b2﹣2abcosC，即（a+b）2﹣3ab=c2， ∴c2=12， 故． 【點評】本題主要考查了平面向量數量積，三角函數恒等變換的應用，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題． 22.（本題滿分12分）某高校在2012年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，按成績分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組得到的頻率分布直方圖如圖所示（1）分別求第3，4，5組的頻率；（2）若該校決定在第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名學生進入第二輪面試，①已知學生甲和學生乙的成績均在第3組，求學生甲和學生乙同時進入第二輪面試的概率；②學校決定在這6名學