拋物線上有關(guān)角度問(wèn)題的探究（原卷版）

專(zhuān)題五：拋物線上與角度有關(guān)問(wèn)題的探究方法點(diǎn)睛解決角度有關(guān)問(wèn)題的一般步驟：讀題，畫(huà)圖，理解題意.分析動(dòng)點(diǎn)、定點(diǎn)，找不變特征，如角有兩邊，其中一邊是確定的.確定分類(lèi)特征，進(jìn)行分類(lèi)討論.把角放在直角三角形中，構(gòu)造相似三角形或全等三角形，根據(jù)三角函數(shù)、相似或全等的知識(shí)解決.典例分析例：（2021隨州中考改編）（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4）．（1）直接寫(xiě)出拋物線的解析式；（2）如圖1，若點(diǎn)P在拋物線上且滿足∠PCB＝∠CBD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；專(zhuān)題過(guò)關(guān)1、（2021岳陽(yáng)中考）（10分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+2經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖2，直線l：y＝kx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于x軸的上方，點(diǎn)Q為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PQ∥y軸時(shí)，作QM⊥PQ，交拋物線于點(diǎn)M（點(diǎn)M在點(diǎn)Q的右側(cè)），以PQ，QM為鄰邊構(gòu)造矩形PQMN，求該矩形周長(zhǎng)的最小值；（3）如圖3，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，在（2）的條件下，當(dāng)矩形PQMN的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)F，使得∠CBF＝∠DQM？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2、（2021盤(pán)錦中考改編）（本題14分）如圖，拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)C，直線與軸交于點(diǎn)D，與軸交于點(diǎn)E，與直線BC交于點(diǎn)F。（1）點(diǎn)F的坐標(biāo)是________；（2）如圖2，點(diǎn)S為第一象限拋物線上的一點(diǎn)，且點(diǎn)S在射線DE上方，動(dòng)點(diǎn)G從點(diǎn)E出發(fā)，沿射線DE方向以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)SE=SG，且時(shí)，求點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。3、（2021連云港中考改編）（12分）如圖，拋物線y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C（3，0）．（1）求m的值和直線BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）Q為拋物線上一點(diǎn)，若∠ACQ＝45°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．4、（2021棗莊中考改編）（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)A，頂點(diǎn)為點(diǎn)M．（1）求拋物線的關(guān)系式及點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）將直線AB向下平移，得到過(guò)點(diǎn)M的直線y＝mx+n，且與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，取點(diǎn)D（2，0），連接DM，求證：∠ADM﹣∠ACM＝45°．5、（2021眉山中考改編）（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（4，0）．（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸移動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA時(shí)，求t的值．6、（2021衡陽(yáng)中考）（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，則稱(chēng)該點(diǎn)為“雁點(diǎn)”．例如（1，1），（2021，2021）…都是“雁點(diǎn)”．（1）求函數(shù)y＝圖象上的“雁點(diǎn)”坐標(biāo)；（2）若拋物線y＝ax2+5x+c上有且只有一個(gè)“雁點(diǎn)”E，該拋物線與x軸交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)）．當(dāng)a＞1時(shí)．①求c的取值范圍；②求∠EMN的度數(shù)；7、（2021綏化中考）如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，連接．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)與線段交于點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限）．當(dāng)且時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．8、（2021宿遷中考改編）如圖，拋物線與軸交于A(-1，0)，B(4，0)，與軸交于點(diǎn)C．連接AC，BC，點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖①，若點(diǎn)P在第四象限，點(diǎn)Q在PA的延長(zhǎng)線上，當(dāng)∠CAQ=∠CBA45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

9、（2021濟(jì)南中考）拋物線過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，頂點(diǎn)為．（1）求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖1，點(diǎn)在拋物線上，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，連接，若是以為底的等腰三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖2，在（2）條件下，點(diǎn)是線段上（與點(diǎn)，不重合）的動(dòng)點(diǎn)，連接，作，邊交軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求的取值范圍．10、（2021德陽(yáng)中考改編）如圖，已知：拋物線y＝x2+bx+c與直線l交于點(diǎn)A（﹣1，0），C（2，﹣3），與x軸另一交點(diǎn)為B．（1）求拋物線的解析式；（2）M是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為N，連接BM．在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)M，使∠MBN＝∠APC？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．11、（2021成都中考改編）（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝a（x﹣h）2+k與x軸相交于O，A兩點(diǎn)，頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣1）．點(diǎn)B為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，AB，過(guò)點(diǎn)B的直線與拋物線交于另一點(diǎn)C．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，∠ABC＝∠OAP，且點(diǎn)C位于x軸上方，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；12、（2021泰安中考改編）（13分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+4（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0），B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接BP、AC，交于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）連接BC，當(dāng)∠DPB＝2∠BCO時(shí)，求直線BP的表達(dá)式；13、（2021西寧中考改編）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，拋物線經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）直線AD與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)D，且，求證：；14、（2021大連中考改編）（12分）已知函數(shù)y=-12（1）當(dāng)m＝2時(shí)，①已知M（4，n）在該函數(shù)圖象上，求n的值；②當(dāng)0≤x≤2時(shí)，求函數(shù)G的最大值．（2）當(dāng)m＞0時(shí)，作直線x=12m與x軸交于點(diǎn)P，與函數(shù)G交于點(diǎn)Q，若∠POQ＝45°時(shí)，求15、（2021朝陽(yáng)中考改編）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．（1）求拋物線的解析式及對(duì)稱(chēng)軸；（2）如圖1，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸上，若∠BPD＝90°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；16、（2021常州中考改編）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖像都經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)A作的垂線交x軸于點(diǎn)C．D是線段上一點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A、O、B不重合），E是射線上一點(diǎn)，且，連接，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，以、為鄰邊作．

（1）填空：________，________；（2）設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是，連接．若，求t的值；17、（2021株洲中考）（13分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝，b＝c＝﹣2，求方程ax2+bx+c＝0的根的判別式的值；（2）如圖所示，該二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜x2，與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在線段OC上，連接AC、BD，滿足∠ACO＝∠ABD，﹣+c＝x1．①求證：△AOC≌△DOB；②連接BC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F（0，x1﹣x2）在y軸的負(fù)半軸上，連接AF，且∠ACO＝∠CAF+∠CBD，求的值．18、（2021十堰中考改編）已知拋物線與x軸交于點(diǎn)和，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P，點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上且位于x軸下方，連交拋物線于M，連、．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，當(dāng)時(shí)，求M點(diǎn)的橫坐標(biāo)；18、（2021賀州中考）如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，且，對(duì)稱(chēng)軸為直線．（1）求該拋物線的函數(shù)達(dá)式；（2）直線過(guò)點(diǎn)且在第一象限與拋物線交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

19、（2021貴港中考）（11分）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于A（﹣3，0），B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，2），對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝﹣1，連接AC．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）若過(guò)點(diǎn)B的直線l與拋物線相交于另一點(diǎn)D，當(dāng)∠ABD＝∠BAC時(shí)，求直線l的表達(dá)式；20、（2020玉林中考改編）已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；（2）將拋物線經(jīng)過(guò)向下平移，使得到的拋物線與x軸交于B，兩點(diǎn)（在B的右側(cè)），頂點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，若，求的坐標(biāo)和拋物線的解析式；21、（2020龍東中考）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上是否存在點(diǎn)，使，若存在請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．22.、（2020雞西中考）已知拋物線y=a(x－2)2+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－2,0)和點(diǎn)C(0,)，與x軸交于另一點(diǎn)B，頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線的解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，BD上（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合），且∠DEF=∠DAB，DE=EF，直接寫(xiě)出線段BE的長(zhǎng)．23、（2020海南中考改編）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且位于軸的左側(cè)．②如圖2，該拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．24、（2020黃石中考改編）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為N．（1）若此拋物線過(guò)點(diǎn)，求拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)，且無(wú)論k取何值，拋物線都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)H，當(dāng)時(shí)，求拋物線的解析式．25、（2020株洲中考改編）如圖所示，二次函數(shù)的圖像（記為拋物線）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸分別交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別記為，，且．（1）若，，且過(guò)點(diǎn)，求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)P作直線l垂直于y軸，且拋物線的頂點(diǎn)在直線l上，連接OP、AP、BP，PA的延長(zhǎng)線與拋物線交于點(diǎn)D，若，求的最小值．26、（2020張家界中考改編）如圖，拋物線交x軸于兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）在直線上是否存在點(diǎn)M，使與直線的夾角等于的2倍？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．27、（2020孝感中考改編）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)，，，的坐標(biāo)：______，______，______，______；（2）如圖1，直線交軸于點(diǎn)，若，求的值和的長(zhǎng)；28、（2020咸寧中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線過(guò)點(diǎn)B且與直線相交于另一點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)在x軸的正半軸上，點(diǎn)是y軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足．①求m與n之間的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)m在什么范圍時(shí)，符合條件的N點(diǎn)的個(gè)數(shù)有2個(gè)？29、（2020鄂爾多斯中考）如圖1，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，0)，與y軸交于點(diǎn)C（(0，﹣3)．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，如果直線BD與直線BC的夾角為15°，求線段CD的長(zhǎng)度；（3）如圖2，連接AC，點(diǎn)P在拋物線上，且滿足∠PAB＝2∠ACO，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．30、（2020常州中考改編）如圖，二次函數(shù)的圖像與y軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)B，拋物線過(guò)點(diǎn)，且頂點(diǎn)為D，連接、、、．（1）填空：________；（2）點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大于1，直線交直線于點(diǎn)Q．若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；31、（2020泰安中考改編）若一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于A，C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，二次函數(shù)的圖象過(guò)A，B，C三點(diǎn)，如圖（1）．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖（1），過(guò)點(diǎn)C作軸交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)E在拋物線上（軸左側(cè)），若恰好平分．求直線的表達(dá)式；32、（2020山西中考改編）綜合與探究如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)是軸上的點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．33、（2020阿壩中考改編）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于A，B兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)的拋物線與x軸的正半軸相交于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）若P為線段AB上一點(diǎn)，，求AP的長(zhǎng)；34、（2020內(nèi)江中考改編）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三點(diǎn)，點(diǎn)D（x，y）為拋物線上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）過(guò)點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，是否存在點(diǎn)D，使得中的某個(gè)角等于的2倍？若存在，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．35、（2020常州中考改編）如圖，二次函數(shù)的圖像與y軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)B，拋物線過(guò)點(diǎn)，且頂點(diǎn)為D，連接、、、．（1）填空：________；（2）點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大于1，直線交直線于點(diǎn)Q．若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；36、（2020泰州中考改編）如圖，二次函數(shù)、的圖像分別為、，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且位于軸右側(cè)，直線與在軸左側(cè)的交點(diǎn)為．（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，求的值；（2）設(shè)直線與軸所夾的角為．①當(dāng)，且為的頂點(diǎn)時(shí)，求的值；②若，試說(shuō)明：當(dāng)、、各自取不同的值時(shí)，的值不變；37、（2020朝陽(yáng)中考改編）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，點(diǎn)C坐標(biāo)為．（1）求拋物線表達(dá)式；（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使，如果存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理