高考專題復(fù)習(xí)-二項(xiàng)式定理(解析版)

第2講二項(xiàng)式定理1．二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr，它表示第r＋1項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)Ceq\o\al(r,n)(r∈{0,1,2，…，n})2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)Ceq\o\al(0,n)＝1，Ceq\o\al(n,n)＝1.Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m－1,n)＋Ceq\o\al(m,n).(2)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).(3)當(dāng)n是偶數(shù)時，項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n是奇數(shù)時，與項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大．(4)(a＋b)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.【套路修煉】考向一通項(xiàng)公式的運(yùn)用【例1】（1）(2x＋eq\r(x))5的展開式中，x3的系數(shù)是________．(用數(shù)字填寫答案)（2）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)－2))3展開式中的常數(shù)項(xiàng)為。（3））(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為。（4）展開式中x2的系數(shù)為?！敬鸢浮浚?）10（2）-20（3）30（4）-1280【解析】（1）Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(2x)5－r·(eq\r(x))r＝25－rCeq\o\al(r,5)·，令5－eq\f(r,2)＝3，得r＝4，∴T5＝10x3，∴x3的系數(shù)為10（2）∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)－2))3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))6，∴Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))r＝Ceq\o\al(r,6)(－1)rx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，∴常數(shù)項(xiàng)為Ceq\o\al(3,6)(－1)3＝－20.（3）法一：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解．(x2＋x＋y)5＝(x2＋x)＋y]5，含y2的項(xiàng)為T3＝Ceq\o\al(2,5)(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的項(xiàng)為Ceq\o\al(1,3)x4·x＝Ceq\o\al(1,3)x5.所以x5y2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)＝30.法二：利用組合知識求解．(x2＋x＋y)5為5個x2＋x＋y之積，其中有兩個取y，兩個取x2，一個取x即可，所以x5y2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,1)＝30.（4）根據(jù)二項(xiàng)式的展開式得到可以第一個括號里出項(xiàng)，第二個括號里出項(xiàng)，或者第一個括號里出，第二個括號里出，具體為：化簡得到-1280x2【套路總結(jié)】求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略：【套路總結(jié)】求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略：(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出值，最后求出其參數(shù).【舉一反三】1．展開式中項(xiàng)的系數(shù)是（）A．270 B．180 C．90 D．45【答案】A【解析】∵，∴展開式中項(xiàng)的系數(shù)為270，故選：A．2．在的展開式中，的系數(shù)是224，則的系數(shù)是（）A．14 B．28 C．56 D．112【答案】A【解析】因?yàn)樵诘恼归_式中，，令則，∴，再令，則為第6項(xiàng)．∴則的系數(shù)是14．故選：A3．在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)?，含?xiàng)的系數(shù)為.故選：B4．的展開式中的系數(shù)是（）A．27 B．-27 C．26 D．-26【答案】B【解析】展開式中的系數(shù)中的與展開式中項(xiàng)相乘，但展開式中沒有項(xiàng)中的與展開式中項(xiàng)相乘，所以的系數(shù)是，故選B項(xiàng).考向二二項(xiàng)式系數(shù)、系數(shù)【例2】已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【解析】根據(jù)所給的等式求得常數(shù)項(xiàng)，令，則在所給的等式中，令，可得：①令，則②用①②再除以可得用①②再除以可得在中，令，可得【套路總結(jié)】(1)【套路總結(jié)】(1)“賦值法”普遍適用于恒等式，對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法．(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f1＋f－1,2)，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f1－f－1,2).【舉一反三】1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為()A．－40 B．－20C．20 D．40【答案】D【解析】令x＝1得(1＋a)(2－1)5＝1＋a＝2，所以a＝1.因此eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5展開式中的常數(shù)項(xiàng)即為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5展開式中eq\f(1,x)的系數(shù)與x的系數(shù)的和.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)(2x)5－k·(－1)k·x－k＝Ceq\o\al(k,5)25－kx5－2k·(－1)k.令5－2k＝1，得2k＝4，即k＝2，因此eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5展開式中x的系數(shù)為Ceq\o\al(2,5)25－2(－1)2＝80.令5－2k＝－1，得2k＝6，即k＝3，因此eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5展開式中eq\f(1,x)的系數(shù)為Ceq\o\al(3,5)25－3·(－1)3＝－40.所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5展開式中的常數(shù)項(xiàng)為80－40＝40.2．若x4(x＋4)8＝a0＋a1(x＋3)＋a2(x＋3)2＋…＋a12(x＋3)12，則log2(a1＋a3＋…＋a11)＝（）.A．4 B．8 C．12 D．11【答案】D【解析】當(dāng)x＝﹣2時，x+3＝1．等式化為：（﹣2）4?28＝a0+a1+a2+…+a12．∴a0+a1+a2+…+a12＝…①當(dāng)x＝﹣4時，x+3＝﹣1．等式化為：（﹣4）4?08＝0＝a0﹣a1+a2﹣a3+…+a12…②上述①②兩等式相相減有：a1+a3+…+a11＝（+0）＝，log2（a1+a3+…+a11）＝．故答案為：D．3．已知二項(xiàng)式展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】二項(xiàng)式展開式中含項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式的展式的公式得到，令.此時的系數(shù)為故答案為：A.4．已知的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為，則等于A． B．C． D．【答案】C【解析】二項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)的和為，二項(xiàng)式的各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和為，因?yàn)楦黜?xiàng)系數(shù)的和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為，所以，，故選C?？枷蛉?xiàng)式定理單調(diào)性【例3】若(n∈N*)的展開式中只有第6項(xiàng)系數(shù)最大，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()A．200 B．110 C．210 D．150【答案】C【解析】由題意，n＝10，令30﹣5r＝0，∴r＝6∴展開式中的常數(shù)項(xiàng)為T7＝＝210故選C.【舉一反三】1．已知的展開式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則多項(xiàng)式展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A．10 B．42 C．50 D．182【答案】A【解析】因?yàn)榈恼归_式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，且最大所以n=6所以多項(xiàng)式二項(xiàng)式的展開通項(xiàng)式為所以當(dāng)k=4時，當(dāng)k=3時，所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為故選：A.2．若的展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是第（）項(xiàng)A．4B．3C．2D．1【答案】B【解析】展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，∴最大，n=10；∴展開式的通項(xiàng)公式為令，解得r=2，即展開式中的常數(shù)項(xiàng)是第3項(xiàng)．故選：B3．在二項(xiàng)式的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列.（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求展開式中所有有理項(xiàng)的系數(shù)之和.【答案】（1）（2）-【解析】（1）由二項(xiàng)式定理得展開式中第項(xiàng)為，所以前三項(xiàng)的系數(shù)的絕對值分別為1，，，由題意可得，整理得，解得或（舍去），則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第五項(xiàng)，（2）因?yàn)?，若該?xiàng)為有理項(xiàng)，則是整數(shù)，又因?yàn)?，所以或或，所以所有有理?xiàng)的系數(shù)之和為考向四整除【例4】(1)若S＝Ceq\o\al(1,27)＋Ceq\o\al(2,27)＋…＋Ceq\o\al(27,27)，求S除以9的余數(shù)．【答案】7【解析】S＝Ceq\o\al(1,27)＋Ceq\o\al(2,27)＋…＋Ceq\o\al(27,27)＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝Ceq\o\al(0,9)×99－Ceq\o\al(1,9)×98＋…＋Ceq\o\al(8,9)×9－Ceq\o\al(9,9)－1＝9(Ceq\o\al(0,9)×98－Ceq\o\al(1,9)×97＋…＋Ceq\o\al(8,9))－2.∵Ceq\o\al(0,9)×98－Ceq\o\al(1,9)×97＋…＋Ceq\o\al(8,9)是正整數(shù)，∴S被9除的余數(shù)為7.【舉一反三】1．設(shè)n∈N+,則7+72+…+7n除以9的余數(shù)為()A．0B．2C．7D．0或7【答案】D【解析】79,當(dāng)為偶數(shù)時,余數(shù)為0,當(dāng)為奇數(shù)時,余數(shù)為7，故選D.2．可以整除（其中）的是（）A．9B．10C．11D．12【答案】C【解析】.故能整除（其中）的是11.故選C.3．除以的余數(shù)是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，即除以100的余數(shù)為41，故選B.4．237除以17，所得余數(shù)是（）A．－1B．－2C．15D．16【答案】C【解析】在上述展開式中不能被17整除，即余數(shù)為15，故選:C考向五求近似值【例5】_____（小數(shù)點(diǎn)后保留三位小數(shù)）．【答案】【解析】【套路總結(jié)】1.利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行近似計(jì)算：當(dāng)【套路總結(jié)】1.利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行近似計(jì)算：當(dāng)n不很大，|x|比較小時，（1＋x）n≈1＋nx.2.利用二項(xiàng)式定理證明整除問題或求余數(shù)問題：在證明整除問題或求余數(shù)問題時要進(jìn)行合理的變形，使被除式數(shù)展開后的每一項(xiàng)都有除式的因式，要注意變形的技巧.【舉一反三】1.求1.025的近似值．(精確到兩位小數(shù))【答案】1.10【解析】1.025＝(1＋0.02)5＝1＋Ceq\o\al(1,5)×0.02＋Ceq\o\al(2,5)×0.022＋…＋Ceq\o\al(5,5)×0.025≈1＋5×0.02＝1.10.【套路運(yùn)用】1．設(shè)，若與的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)相等，則（）A．4 B．-4 C．2 D．-2【答案】A【解析】的展開式的通項(xiàng)公式為，令得到，故該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.的展開式的通項(xiàng)公式為，令得到，故該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.因常數(shù)項(xiàng)相等，故，解得，故選A.2．已知二項(xiàng)式的展開式中，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)比第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)大9，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為A．20 B．C．40 D．【答案】B【解析】由題意得：，即n=6，則該展開式的通項(xiàng)為，令6?2r=0，得r=3，所以該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故選B．3．若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋an(1－x)n，則a0－a1＋a2－…＋(－1)nan等于A．(3n－1)B．(3n－2)C．(3n－2)D．(3n－1)【答案】D【解析】在展開式中，令x＝2得3＋32＋33＋…＋3n＝a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan，即a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝．故選D.4．若的展開式中的系數(shù)為，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意二項(xiàng)式的展開式為，展開式的為，所以，解得，故選D.5．已知f(x)＝|x＋2|＋|x－4|的最小值為n，則二項(xiàng)式展開式中x2項(xiàng)的系數(shù)為()A．11B．20C．15D．16【答案】C【解析】∵f（x）=|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）﹣（x﹣4）|=6，故函數(shù)的最小值為6，再根據(jù)函數(shù)的最小值為n，∴n=6．則二項(xiàng)式（x﹣）n=（x﹣）6展開式中的通項(xiàng)公式為Tr+1=?（﹣1）r?x6﹣2r，令6﹣2r=2，求得r=2，∴展開式中x2項(xiàng)的系為=15，故選：C．6．記，則（）A．81 B．365 C．481 D．728【答案】B【解析】令x=0得1=，令x=-2得，所以.故選：B7．，則A． B． C．64 D．65【答案】B【解析】，令，可得，再令，，，故選：B．8．已知的展開式中常數(shù)項(xiàng)為-40，則的值為（）A．2 B．-2 C．±2 D．4【答案】C【解析】的展開式的通項(xiàng)為x5﹣2r．取5﹣2r＝﹣1，得r＝3，取5﹣2r＝0，得r（舍）．∴的展開式中常數(shù)項(xiàng)為，得a＝±2．故選：C．9．的展開式中，的系數(shù)為（）A．-10 B．-5C．5 D．0【答案】B【解析】要求的系數(shù)，則的展開式中項(xiàng)與相乘，項(xiàng)與-1相乘，的展開式中項(xiàng)為，與相乘得到，的展開式中項(xiàng)為，與-1相乘得到，所以的系數(shù)為.故選B.10．的展開式的常數(shù)項(xiàng)是（）A．-3 B．-2 C．2 D．3【答案】D【解析】，∴展開式的常數(shù)項(xiàng).故選:D.11．多項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，則該展開式中的系數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為3，令x=1,∴（1+a）＝3，解得a＝2．∴＝（+），的展開式中常數(shù)項(xiàng)為，含的項(xiàng)的系數(shù)為．∴（+）的展開式中項(xiàng)的系數(shù)是2×（﹣12）+1×（﹣160）＝﹣184故選：A12．若展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為21，則實(shí)數(shù)的值為（）A．3 B．-3 C．2 D．-2【答案】A【解析】展開式的通項(xiàng)公式為所以令，此時含的項(xiàng)的系數(shù)為，又令，舍去，所以含項(xiàng)的系數(shù)為，所以，得.故選A.13．被49除所得的余數(shù)是A．B．C．D．【答案】B【解析】由題可得，=是正整數(shù)）=是正整數(shù)）.所以被49整除，所以余數(shù)為0.故選B．14．若為正奇數(shù)，則被9除所得的余數(shù)是()A．0B．2C．7D．8【答案】C【解析】原式，為正奇數(shù)，，則余數(shù)為7，故選C.15．若二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)為，則展開式中除常數(shù)項(xiàng)外其余各項(xiàng)系數(shù)之和為____________．【答案】【解析】由題意，二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，令，得，所以展開式中的系數(shù)為，解得．令，得，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．令，得展開式中所有項(xiàng)系數(shù)之和為，所以展開式中除常數(shù)項(xiàng)外其余各項(xiàng)系數(shù)之和為．16．已知的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為243，則展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)為_______.【答案】10【解析】令x＝1，可得3n＝243，解得n＝5．∴的．令，則∴展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)為故答案為：10．17．設(shè)為正整數(shù)，展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，若，則___．【答案】7【解析】展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，因?yàn)樗约矗航獾茫?8．已知的展開式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則多項(xiàng)式展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______．【答案】【解析】由的展開式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以．多項(xiàng)式的通項(xiàng)公式：，其中．考慮展開式中的常數(shù)項(xiàng)和含的項(xiàng)：（1）令，則，（2）令，則，故常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：35．19．在的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，若，則__________．【答案】4【解析】，，故.20．的展開式中的系數(shù)是______.（用數(shù)字作答）.【答案】120【解析】由二項(xiàng)式定理可知的系數(shù)是：的展開式中的系數(shù)是120.21．若的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為96，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是___【答案】20【解析】當(dāng)時，的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，解得；展開式的通項(xiàng)公式，可得展開式中含項(xiàng)：；即展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為.22．展開式中的系數(shù)為________________【答案】15【解析】因?yàn)槎?xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，分別令可得，因?yàn)槭钦麛?shù)，所以，所以時，；時，，因此展開式中的系數(shù)為.故答案為1523．在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為_____．【答案】-40【解析】∵（x﹣2）＝（x6+6x4+15x2+20+15?6?）（x﹣2），∴常數(shù)項(xiàng)是20?（﹣2）＝﹣40，故答案為：﹣40．24．在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是__________．【答案】-9【解析】表示三個相乘，所以展開式中含的項(xiàng)有兩種情況：（1）從三個選取一個然后取，再從剩余的兩個中分別選取，所得結(jié)果為；（2）從三個選取兩個分別取，再從剩余的一個中選取，所得結(jié)果為．綜上可得展開式中含的項(xiàng)為．故答案為：．25．設(shè)a∈Z，且0≤a＜13，若512012＋a能被13整除，則a＝__________．【答案】12【解析】由于512012+a＝（52﹣1）2012+a除最后兩項(xiàng)外，其余各項(xiàng)都有13的倍數(shù)52，故由題意可得a能被13整除，再由0≤a＜13，可得a＝12，故答案為12．26．已知，記，則的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為__________．【答案】【解析】根據(jù)定積分的計(jì)算，可得，令，則，即的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為.27．_____（小數(shù)點(diǎn)后保留三位小數(shù)）．【答案】【解析】28．已知能被25整除，則最小值A(chǔ)=_____________________【答案】4【解析】由，當(dāng)時，，此時，當(dāng)時，；