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第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用人教版選修2-21.7定積分的簡單應(yīng)用[問題1]不用計(jì)算,根據(jù)圖形,你能比較下列定積分的大小嗎?課前預(yù)習(xí)一、用定積分求平面圖形的面積新知導(dǎo)入二、解由曲線所圍的平面圖形面積的解題步驟:1.畫草圖,求出曲線的
坐標(biāo).2.將曲邊形面積轉(zhuǎn)化為
面積.3.根據(jù)圖形特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)模?.確定
和.5.計(jì)算定積分,求出面積.交點(diǎn)曲邊梯形的積分變量被積函數(shù)積分區(qū)間預(yù)習(xí)自測4.計(jì)算曲線y=x2-2x+3與直線y=x+3所圍成圖形的面積.題型探究一.不分割圖形面積的求解1.用定積分求“曲邊圖形”面積的步驟:(1)先畫出草圖,確定所求面積是哪部分;(2)解方程組得到交點(diǎn)的坐標(biāo),確定被積函數(shù)以及積分的上、下限;(3)把所求的面積用定積分表示;(4)根據(jù)微積分基本定理求出面積.2.注意事項(xiàng):(1)準(zhǔn)確地畫圖,并合理分割圖形;(2)被積函數(shù)與積分上、下限要對應(yīng);(3)當(dāng)面積在x軸的下方時(shí),面積是定積分的相反數(shù).1.(1)計(jì)算由曲線y=x2(x>0)與直線x=4,y=0所圍成圖形的面積;(2)計(jì)算由曲線y=x2與直線y=x+2所圍圖形的面積.變式訓(xùn)練
(1)
(2)二.分割圖形面積的求解方法二:若選積分變量為y,則三個(gè)函數(shù)分別為x=y(tǒng)2,x=2-y,x=-3y.因?yàn)樗鼈兊慕稽c(diǎn)分別為(1,1),(0,0),(3,-1),
由兩條或兩條以上的曲線圍成的較為復(fù)雜的圖形,在不同的區(qū)段內(nèi)位于上方和下方的函數(shù)有所變化,通過解方程組求出曲線的不同的交點(diǎn)坐標(biāo),可以將積分區(qū)間進(jìn)行細(xì)化分段,然后根據(jù)圖象對各個(gè)區(qū)段分別求面積進(jìn)而求和,在每個(gè)區(qū)段上被積函數(shù)均是由上減下;若積分變量選取x運(yùn)算較為復(fù)雜,可以選y為積分變量,同時(shí)更改積分的上下限.2.計(jì)算由曲線y=x2+2與直線y=3x,x=0,x=2所圍圖形的面積.變式訓(xùn)練計(jì)算由曲線y=x2+2x(x≥-1)與直線x=-1,x=1及x軸所圍圖形的面積.典例剖析【錯(cuò)因】本題錯(cuò)解的原因是沒有正確理解定積分的幾何意義,因?yàn)榍€y=x2+2x(x≥-
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