小學(xué)數(shù)學(xué)從可見的復(fù)制到思維的創(chuàng)造

【摘

要】軸對(duì)稱圖形是圖形的運(yùn)動(dòng)方式之一，“認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱圖形”是開啟“圖形的運(yùn)動(dòng)”學(xué)習(xí)的關(guān)鍵內(nèi)容。教師從“學(xué)”的角度對(duì)“認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱圖形”的教學(xué)進(jìn)行重構(gòu)，通過形成強(qiáng)體驗(yàn)的“關(guān)聯(lián)設(shè)計(jì)”、制造強(qiáng)思維的“認(rèn)知沖突”、延伸強(qiáng)遷移的“學(xué)習(xí)邊界”，讓學(xué)生在經(jīng)歷思維活動(dòng)的過程中，將“認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱圖形”的學(xué)習(xí)從可見的復(fù)制升級(jí)為思維的創(chuàng)造?！娟P(guān)鍵詞】軸對(duì)稱圖形；圖形的運(yùn)動(dòng)；對(duì)稱軸軸對(duì)稱圖形是圖形的運(yùn)動(dòng)方式之一，屬于發(fā)生位置變化的圖形運(yùn)動(dòng)。它具有極其豐富的幾何內(nèi)涵，在哲學(xué)、美學(xué)、建筑學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。“認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱圖形”是開啟“圖形的運(yùn)動(dòng)”學(xué)習(xí)的關(guān)鍵內(nèi)容。在教學(xué)中，為了避免浮泛的觀察操作和簡(jiǎn)單的知識(shí)學(xué)習(xí)，避免學(xué)生局限于淺表的圖形欣賞和判斷，筆者從“學(xué)”的角度對(duì)該內(nèi)容進(jìn)行了教學(xué)重構(gòu)，以激活、充實(shí)、改造學(xué)生的圖形學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在經(jīng)歷思維活動(dòng)的過程中，將“認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱圖形”的學(xué)習(xí)從可見的復(fù)制升級(jí)為思維的創(chuàng)造。一、形成強(qiáng)體驗(yàn)的“關(guān)聯(lián)設(shè)計(jì)”教師在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，應(yīng)創(chuàng)設(shè)具有綜合性與結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)情境，設(shè)計(jì)真實(shí)、復(fù)雜的學(xué)習(xí)任務(wù)鏈，將概念的學(xué)習(xí)融入學(xué)習(xí)活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生調(diào)動(dòng)多感官去體驗(yàn)，與同伴合作，與材料互動(dòng)，形成屬于自己的圖形運(yùn)動(dòng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)心智。（一）連續(xù)任務(wù)，形成思維進(jìn)階的活動(dòng)鏈結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)任務(wù)能確保思維的連續(xù)性。“認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱圖形”的教學(xué)從真實(shí)問題的解決出發(fā)，設(shè)計(jì)層級(jí)化、多維度的連續(xù)任務(wù)，以“尋找—改造—?jiǎng)?chuàng)造”的探索活動(dòng)，從尋找生活中、圖形中的軸對(duì)稱現(xiàn)象，到將非軸對(duì)稱圖形改造為軸對(duì)稱圖形，再到自主變換對(duì)稱軸的位置進(jìn)行軸對(duì)稱圖形的創(chuàng)造，不斷豐富學(xué)生的翻折經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生以“對(duì)稱軸”為線索，將相關(guān)的知識(shí)聯(lián)結(jié)成結(jié)構(gòu)化的知識(shí)鏈，如圖1所示。上述每個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)的設(shè)計(jì)都有其目標(biāo)，又彼此關(guān)聯(lián)，以“對(duì)稱軸”為內(nèi)在主線，保持學(xué)生思維的活躍狀態(tài)，形成各種學(xué)習(xí)情境、學(xué)習(xí)任務(wù)的連貫進(jìn)階，使學(xué)生在連續(xù)任務(wù)中深化對(duì)軸對(duì)稱圖形概念的理解。（二）多樣情境，擴(kuò)大學(xué)習(xí)素材的覆蓋面數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要以生活經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，與已有知識(shí)相聯(lián)系，用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，這樣學(xué)生才能體會(huì)到數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)的關(guān)系。本內(nèi)容在引入部分不僅采用了學(xué)生熟悉的植物、昆蟲等生活素材，還使用了剪紙作品、京劇臉譜、古風(fēng)建筑等中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化素材，將它們以圖片、微視頻等方式呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)軸對(duì)稱圖形的平衡之美、莊重之美，增強(qiáng)學(xué)生的文化自信?！窘虒W(xué)片段1】（教師直接出示課題：軸對(duì)稱圖形）師：今天，老師要和大家一起來學(xué)習(xí)“軸對(duì)稱圖形”。有誰知道什么是軸對(duì)稱圖形？能不能從屏幕上找個(gè)圖形作例子，和大家說一說？生：我發(fā)現(xiàn)屏幕上的這只蝴蝶是軸對(duì)稱圖形。如果將這只蝴蝶對(duì)折就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這只蝴蝶的兩邊可以完全重疊。師：這名同學(xué)研究這個(gè)圖形是不是軸對(duì)稱圖形時(shí)，在頭腦里對(duì)這只蝴蝶做了一件非常重要的事情。這件事情是什么？生（齊答）：對(duì)折。（教師出示一張蝴蝶圖片）師：老師帶來了一只“蝴蝶”，現(xiàn)在大家可以直接動(dòng)手折了。誰來給我們折一折，讓我們看到剛才這名同學(xué)在大腦里的判斷過程？（一名學(xué)生邊操作邊表達(dá)）師：要說明平面圖形是不是對(duì)稱圖形，不僅可以通過觀察和想象，還可以采用對(duì)折的方法。剛才這名同學(xué)對(duì)折時(shí)留下的折痕就像一根軸一樣，可以使“蝴蝶”的左右兩部分完全重合，這在數(shù)學(xué)上就叫作“對(duì)稱軸”，可以用一條虛線表示。（教師根據(jù)學(xué)生回答板書：完全相等、完全重合、對(duì)折、對(duì)稱軸）師：屏幕上還能找到其他軸對(duì)稱圖形嗎？生：（在三葉草上比畫對(duì)稱軸）這片三葉草也是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，這是它的對(duì)稱軸。生：沿著三葉草每瓣葉片上的縫都可以找到一條對(duì)稱軸。生：原來有的軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸不止一條。師：剛才大家只是相互說一說、聊一聊，就了解了這么多軸對(duì)稱圖形的知識(shí)。現(xiàn)在老師獎(jiǎng)勵(lì)大家看個(gè)小視頻，找找生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象和軸對(duì)稱圖形。請(qǐng)大家一邊看一邊用一個(gè)動(dòng)作把“你為什么這樣判斷”表演出來。（教師播放如圖2所示的微課，學(xué)生跟著視頻進(jìn)行比畫）師：看了小視頻以后，你對(duì)軸對(duì)稱圖形有什么新的認(rèn)識(shí)？生：軸對(duì)稱圖形不僅可以左右兩邊完全重合，也可以上下兩邊完全重合。生：軸對(duì)稱圖形不一定是“正”的，也可以是“斜”的。生：軸對(duì)稱現(xiàn)象在生活中無處不在。除了生活素材，教師還要將教學(xué)的重點(diǎn)放在學(xué)生熟悉的平面圖形的判斷上（如圖3），借助格點(diǎn)圖上提供的各種正向、反向的學(xué)習(xí)材料，包括是軸對(duì)稱圖形的長方形、正方形、圓形，以及不是軸對(duì)稱圖形的一般三角形和平行四邊形，引導(dǎo)學(xué)生基于軸對(duì)稱的視角重新研究熟悉的平面圖形，通過動(dòng)腦想象和動(dòng)手實(shí)踐，逐步歸納、提煉出軸對(duì)稱圖形的本質(zhì)，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)平面圖形的特征開啟新的認(rèn)知維度。（三）具身學(xué)習(xí)，增加學(xué)科探究的體驗(yàn)點(diǎn)有不少學(xué)生直到六年級(jí)仍會(huì)把一般的平行四邊形誤判為軸對(duì)稱圖形，主要原因是他們?cè)趯W(xué)習(xí)軸對(duì)稱圖形時(shí)缺乏翻折的經(jīng)驗(yàn)。要獲得對(duì)“軸對(duì)稱圖形”的精準(zhǔn)認(rèn)知，僅僅依靠靜態(tài)的、紙上談兵式的觀察判斷是不可能實(shí)現(xiàn)的。因此，教師教學(xué)時(shí)要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的多種感官參與活動(dòng)，讓每一名學(xué)生在動(dòng)手翻折、動(dòng)眼觀察、動(dòng)腦比較、動(dòng)口表述、用耳傾聽等活動(dòng)（如圖4）中糾正錯(cuò)誤直覺，深化對(duì)軸對(duì)稱圖形概念內(nèi)涵與外延的理解。“做中學(xué)”“動(dòng)中練”的設(shè)計(jì)，增加了學(xué)生的探究體驗(yàn)，讓學(xué)生在一個(gè)個(gè)充滿思考的、有趣的活動(dòng)場(chǎng)域中進(jìn)行探索，在多樣的活動(dòng)體驗(yàn)中進(jìn)行聚類歸納，深刻體會(huì)對(duì)稱圖形不是靜態(tài)的平面圖形，它的本質(zhì)是圖形的運(yùn)動(dòng)，在操作中學(xué)，在想象中學(xué)，在反思中學(xué)，從運(yùn)動(dòng)的視角重新認(rèn)識(shí)圖形，從而掌握學(xué)科知識(shí)、發(fā)展實(shí)踐能力。二、制造強(qiáng)思維的“認(rèn)知沖突”學(xué)生是“天生的”問題解決者，教學(xué)的意義不是讓學(xué)生獲得知識(shí)，而是要通過不斷制造“認(rèn)知沖突”，引導(dǎo)學(xué)生在好奇、疑惑、思考、探索中進(jìn)行自我否定與自我認(rèn)知，成為主動(dòng)的探索者和思考者。（一）刻意營造困難：先想象判斷，再操作驗(yàn)證從學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程來看，“嘗試失敗”比“低效成功”有更長遠(yuǎn)的意義。筆者對(duì)學(xué)習(xí)過“軸對(duì)稱圖形”的學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，發(fā)現(xiàn)他們積累的關(guān)于軸對(duì)稱圖形的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，基本停留在靜態(tài)的視覺層面的“兩邊完全一樣”，而不是動(dòng)態(tài)的想象層面的“對(duì)折后完全重合”。因此，教師在教學(xué)中要通過刻意營造困難，將原有的“操作—判斷”的學(xué)習(xí)路徑，調(diào)整為“想象—判斷—操作”的探索路徑，讓學(xué)生在操作前想象翻折過程，在想象中判斷圖形屬性，在判斷后操作驗(yàn)證想象是否正確。這樣的挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)需要學(xué)生進(jìn)行多角度的嘗試，在嘗試解決問題中產(chǎn)生各種失敗和錯(cuò)誤，而這種“嘗試失敗”對(duì)后續(xù)的學(xué)習(xí)是有意義的?！窘虒W(xué)片段2】師：你們能在圖3的5個(gè)平面圖形中找到哪些是軸對(duì)稱圖形嗎？有沒有哪個(gè)圖形比較特殊？誰來講一講你們?cè)谘芯窟@個(gè)軸對(duì)稱圖形時(shí)有什么特別的發(fā)現(xiàn)？生：我們研究的是平行四邊形。這個(gè)圖形在想象里是軸對(duì)稱圖形，但最后折的時(shí)候發(fā)現(xiàn)它不是軸對(duì)稱圖形。生：這個(gè)平行四邊形很有意思，看起來是軸對(duì)稱圖形，折起來才知道不是。生：我們研究的是圓形，發(fā)現(xiàn)圓形有很多對(duì)折的方法。生：我們把所有想到的對(duì)稱軸都畫上了，但發(fā)現(xiàn)還有很多很多條對(duì)稱軸，我們覺得圓有無數(shù)條對(duì)稱軸。生：我們研究是正方形，研究時(shí)發(fā)現(xiàn)它有8條對(duì)稱軸。師：請(qǐng)你帶著同學(xué)們一起折一折，找一找這8條對(duì)稱軸。生：老師，我這次只能折4條對(duì)稱軸，不知道為什么折不出8條對(duì)稱軸了。師：謝謝你的操作，你讓我們看到了正方形的對(duì)稱軸，水平豎直有2條，斜著的也有2條。生：老師，他剛才說的8條對(duì)稱軸是把同一對(duì)稱軸算了2次。我還發(fā)現(xiàn)，這4條對(duì)稱軸都要經(jīng)過一個(gè)中心點(diǎn)。生：我們發(fā)現(xiàn)長方形有2條對(duì)稱軸，一條是通過中心點(diǎn)橫著的，一條是通過中心點(diǎn)豎著的。師：那這個(gè)長方形能不能像正方形一樣，添上斜著的2條對(duì)稱軸呢？生：不能。如果斜著折，沿著折痕不能使兩部分完全重合。生：這個(gè)三角形也是怎么對(duì)折都不能完全重合，所以它不是軸對(duì)稱圖形。師：哦，老師知道了，所有的三角形都不是軸對(duì)稱圖形。生：不對(duì)，等邊三角形、等腰直角三角形是軸對(duì)稱圖形。師：他說的這兩個(gè)三角形長什么樣？用手比畫一下，它們的對(duì)稱軸在哪里？（根據(jù)學(xué)生的回答對(duì)這些圖形的對(duì)稱軸進(jìn)行梳理并板書，如圖5所示）學(xué)習(xí)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“平行四邊形是否是軸對(duì)稱圖形”“長方形到底有幾條對(duì)稱軸”“所有的三角形都不是軸對(duì)稱圖形嗎”等易錯(cuò)易混的學(xué)習(xí)內(nèi)容展開自我申辯、交流思辨，在互教互學(xué)中產(chǎn)生思維碰撞，一步步抽絲剝繭，形成對(duì)軸對(duì)稱圖形本質(zhì)的感悟。（二）實(shí)施反向創(chuàng)作：先確定對(duì)稱軸，再設(shè)計(jì)圖案從翻折的方位看，不少學(xué)生局限于水平和垂直兩個(gè)方位，斜向翻折的經(jīng)驗(yàn)相對(duì)較弱。教師聚焦“對(duì)稱軸”這一重要概念，設(shè)計(jì)具有可塑性的“創(chuàng)造軸對(duì)稱圖形”的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過不斷“變換對(duì)稱軸”的方位，創(chuàng)設(shè)有趣的設(shè)計(jì)場(chǎng)景，自主設(shè)計(jì)多樣的軸對(duì)稱圖形。【教學(xué)片段3】師：剛才我們找了許多軸對(duì)稱圖形，接下來請(qǐng)大家自己動(dòng)手“做”一個(gè)軸對(duì)稱圖形吧。用上剛才的三角形，你能不能補(bǔ)上一塊同樣的三角形，把整個(gè)圖形變成軸對(duì)稱圖形呢？（學(xué)生板演拼擺，如圖6所示）師：（將對(duì)稱軸斜放）能不能移動(dòng)對(duì)稱軸，使軸對(duì)稱圖形長得不一樣呢？（學(xué)生創(chuàng)作作品，如圖7所示）師：同學(xué)們創(chuàng)作的這些軸對(duì)稱圖形，給你們帶來什么新的啟示？生：對(duì)稱軸可以在圖形內(nèi)，也可以在圖形外。生：原來對(duì)稱軸的位置不一樣，設(shè)計(jì)出來的軸對(duì)稱圖形也就不一樣。生：不管怎樣設(shè)計(jì)，只要圖形沿著對(duì)稱軸對(duì)折后能夠完全重合，那它就是軸對(duì)稱圖形。隨著學(xué)生創(chuàng)造出各種軸對(duì)稱圖形，他們掌握了根據(jù)對(duì)稱軸進(jìn)行圖形判斷的思維方式，修正了自己的前認(rèn)知概念，豐富了圖形動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，獲得了對(duì)軸對(duì)稱圖形特征的深度把握，實(shí)現(xiàn)了富有創(chuàng)造性的遷移。（三）提供輕量支持：先有效失敗，再適恰支持在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中，教師作為學(xué)習(xí)活動(dòng)的“設(shè)計(jì)者”“指導(dǎo)者”和“支持者”，要減少材料干預(yù)和操作指導(dǎo)的支持量。教學(xué)中，教師要摒棄提供具體、詳細(xì)的操作步驟，簡(jiǎn)化判斷軸對(duì)稱圖形的方法講解，推遲規(guī)范性的指導(dǎo)，讓學(xué)生在自主探索、同伴互動(dòng)中經(jīng)歷“嘗試失敗”，產(chǎn)生探而不明、思而不清的學(xué)習(xí)狀態(tài)，再通過追問、引導(dǎo)反思、提煉要旨等方式為學(xué)生提供適恰的支持，引發(fā)學(xué)生新經(jīng)驗(yàn)的生長。三、延伸強(qiáng)遷移的“學(xué)習(xí)邊界”推進(jìn)教學(xué)時(shí)，教師不僅要關(guān)注一個(gè)課時(shí)的教學(xué)目標(biāo)和內(nèi)容，更要打通學(xué)段間、學(xué)科間的縱橫聯(lián)系，從整體的、綜合的、整合的視角進(jìn)行關(guān)聯(lián)，打破掌握知識(shí)與發(fā)展能力之間的細(xì)碎狀態(tài)，為學(xué)生在整體學(xué)習(xí)背景中進(jìn)行系統(tǒng)化思考賦能。（一）與后續(xù)的軸對(duì)稱學(xué)習(xí)內(nèi)容相關(guān)聯(lián)為了幫助學(xué)生更好地建立與后續(xù)軸對(duì)稱學(xué)習(xí)內(nèi)容的關(guān)聯(lián)，教師在提供探究素材時(shí)就要將所有的平面圖形放在格點(diǎn)圖的背景中，引導(dǎo)學(xué)生借助圖形上點(diǎn)的位置來進(jìn)行刻畫、判斷、想象。在“將非軸對(duì)稱的圖形改造成軸對(duì)稱圖形”的教學(xué)過程中，教師可以讓學(xué)生利用圖形上點(diǎn)的位置變化來動(dòng)態(tài)刻畫改造過程，通過想象改造后圖形點(diǎn)與點(diǎn)重合、邊與邊重合的對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)軸對(duì)稱圖形中“對(duì)稱點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相等”建立初步的體驗(yàn)，為進(jìn)一步認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)做好必要的鋪墊。（二）與整體的圖形運(yùn)動(dòng)體系相呼應(yīng)數(shù)學(xué)是一種系統(tǒng)思維，教師應(yīng)將所教內(nèi)容置于整體的知識(shí)結(jié)構(gòu)中去系統(tǒng)思考。作為“圖形的運(yùn)動(dòng)”學(xué)習(xí)的起始內(nèi)容，在圖形的鑒賞與創(chuàng)作環(huán)節(jié)，教師將對(duì)折這一運(yùn)動(dòng)方式與平移、旋轉(zhuǎn)等圖形運(yùn)動(dòng)方式進(jìn)行聯(lián)系，將軸對(duì)稱圖形的學(xué)習(xí)置于整個(gè)圖形運(yùn)動(dòng)的大背景中，讓學(xué)生獲得結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化的背景知識(shí)支持，提升學(xué)生的關(guān)系思維?！窘虒W(xué)片段4】師：我們一起找到了各種各樣的軸對(duì)稱圖形，還把非軸對(duì)稱圖形改造成了軸對(duì)稱圖形，并用簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的三角形創(chuàng)造了各種各樣的軸對(duì)稱圖形。生活中的圖形，除了可以通過軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)來構(gòu)建，還可以運(yùn)用很多其他的圖形運(yùn)動(dòng)方式。（教師利用動(dòng)態(tài)操作演示，如圖8所示，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行比較）師：圖中的三角形是怎么運(yùn)動(dòng)的？生：平平地移動(dòng)。生：旋轉(zhuǎn)。生：這兩種方式在生活中也經(jīng)常見到。師：生活中，除了可以利用對(duì)折翻轉(zhuǎn)形成軸對(duì)稱圖形，還能運(yùn)用很多其他的圖形運(yùn)動(dòng)方式，形成更多的圖案。我們要帶著運(yùn)動(dòng)的眼光去觀察生活中的圖形，發(fā)現(xiàn)更多的數(shù)學(xué)美。在整體構(gòu)建中