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文檔簡介
2018-2019學年廣東省深圳市福田區(qū)八年級(下)期末數(shù)學試卷
一、選擇題(本部分共12小題,每小題3分,共36分.每小題給出4個選項,其中只有一
個是正確的)
1.(3分)(2019春?福田區(qū)期末)△ABC中,NA=/8,則△ABC一定是()
A.銳角三角形B,等腰三角形
C.等邊三角形D.等腰直角三角形
2.(3分)(2019春?福田區(qū)期末)()
A.
3.(3分)(2019春?福田區(qū)期末)若x>y,則下列式子中錯誤的是()
xy
A.x-2>y-2B.x+2>y+2C.-2x>-2yD.->-
22
4.(3分)(2019春?福田區(qū)期末)因式分解的正確結(jié)果是()
A.a(J-1)B.a(6?-1)2
C.a(67-1)(a+1)D.a2
(3分)(239春?福田區(qū)期末)要使分式詈有意義,則“的取值范圍是()
5.
A.a>4B.a<4C.D.QW-2
x—3
6.(3分)(2019春?福田區(qū)期末)不等式組,X<1的解集在數(shù)軸上表示正確的是()
A.-3-2-101B.
D.
7.(3分)(2019春?福田區(qū)期末)如圖,一個長為2、寬為1的長方形以下面的“姿態(tài)”從
直線/的左側(cè)水平平移至右側(cè)(圖中的虛線是水平線),其中,平移的距離是()
45°
8.(3分)(2019春?福田區(qū)期末)如圖,在。4BCD中,AB=5,分別以A、C為圓心,以大
于的長為半徑畫弧,兩弧相交于M、N兩點,直線MN交AD于點、E,若△<?£>£的
周長是12,則BC的長為()
7
°C
A.6B.7C.8D.11
9.(3分)(2019春?福田區(qū)期末)如圖,直線人的解析式為y=kx+b,直線卜的解析式為y
=r+5,則不等式kx+b<-x+5的解集是()
K
A.x<3B.x>mC.x>2D.x<2
10.(3分)(2019秋?深水縣期末)如圖,將RtA/lBC繞點A按順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到
8△AOE,點B的對應(yīng)點D恰好落在8C邊上.若AC=2y[3,ZB=60°,則CD的長為
()
V
一::二¥‘儂總
A.1B.V3C.2D.4-V3
11.(3分)(2019春?福田區(qū)期末)下列說法正確的是()
A.五邊形的內(nèi)角和是720°
B.有兩邊相等的兩個直角三角形全等
C.若關(guān)于x的方程=二三有增根,則機=1
X-2X-2
D.若關(guān)于x的不等式x+5<2a恰有2個正整數(shù)解,則a的最大值是4
12.(3分)(2019春?福田區(qū)期末)如圖,已知在RtZVWC中,NACB=90°,BO是△ABC
的角平分線,E是AB上一點,且連接E。,作EFJ_BD于尸,連接CF.則下
面的結(jié)論:
①CD=CF;
②NEDF=45。;
(3)ZBCF=45°;
④若CD=4,AD=5,則SMOE=10.其中正確結(jié)論的個數(shù)是()
A.1個B.2個C.3個D.4個
二、填空題(本題共4小題,每小題3分,共12分)
13.(3分)(2019春?福田區(qū)期末)若"?〃=1,"L〃=2,則的值是.
14.(3分)(2013?咸寧)化簡——+——的結(jié)果為______.
x-11-x
15.(3分)(2019春?福田區(qū)期末)兩個實數(shù)a,b,規(guī)定〃十-R?,則不等式2十(2x
-1)<1的解集為.
16.(3分)(2019春?福田區(qū)期末)如圖,已知在RtZXABC中,/AC8=90°,點。是AC
延長線上的一點,4£>=24,點E是8c上一點,BE=10,連接。E,仞、N分別是AB、
DE的中點,則MN=
三、解答題(本題共7小題,其中第17小題7分,第18小題6分,第19小題7分,第20
小題7分,第21小題8分,第22小題8分,第23小題9分共52分)
17.(7分)(2019春?福田區(qū)期末)分解因式:
(1)2x-4.r+2;
(2)(x-y)n9(x-y).
18.(6分)(2019春?福田區(qū)期末)先化簡,再求值:(工一一一)+與號,其中a=5.
a-2a2-4az-4
131
19.(7分)(2019春?福田區(qū)期末)解方程:--+--=-
2%—14%—22
20.(7分)(2019春?福田區(qū)期末)如下圖,網(wǎng)格中小正方形的邊長是1,長方形ABCQ的
對稱中心是坐標原點O,M、N兩點的坐標分別為(-6,0)、(-1,3),點P是線段A8
上的一動點,尸。的延長線交C£>于點。,連接MP,NQ.
(1)作圖:請在圖1中作出點N關(guān)于點O的中心對稱點M,并連接PM.
(2)探究發(fā)現(xiàn):無論點P運動至何處,PN與NQ具有的關(guān)系是:
①PM與N。關(guān)于點O成中心對稱.(填“一定”或“不一定”)
②PM與NQ的數(shù)量關(guān)系是:.
(3)問題解決:MP+NQ何時獲得最小值?請在圖2中畫出此時P、。的位置,并請你
直接寫出這個最小值.
21.(8分)(2019春?福田區(qū)期末)如圖,E、尸是。A5CD的對角線AC上的兩點,且
AC,DFLAC,連接BE、ED、DF、FB.
(1)求證:四邊形BEQF為平行四邊形;
(2)若BE=4,EF=2,求BO的長.
22.(8分)(2019春?福田區(qū)期末)王老師從學校出發(fā),到距學校2000團的某商場去給學生
買獎品,他先步行了800/77后,換騎上了共享單車,到達商場時,全程總共剛好花了
\5min.己知王老師騎共享單車的平均速度是步行速度的3倍(轉(zhuǎn)換出行方式時,所需時
間忽略不計).
(1)求王老師步行和騎共享單車的平均速度分別為多少?
(2)買完獎品后,王老師原路返回,為按時上班,路上所花時間最多只剩10分鐘,若
王老師仍采取先步行,后換騎共享單車的方式返回,問:他最多可步行多少米?
23.(9分)(2019春?福田區(qū)期末)如圖1,在△ABC中,AB=AC,是8c上的中線,
AB的垂直平分線MN交AD于點O,連接BO并延長交AC于點E,AHLBE,垂足為H.
(1)求證:△ABD絲△8AH;
(2)若NBAC=30°,AE=2,求BC的長;
(3)如圖2,在△ABC中,AB=AC,ZA=40°,。是AC上的一點,且乙48。=20°,
若BC=6,請你直接寫出的長.
圖1
2018-2019學年廣東省深圳市福田區(qū)八年級(下)期末數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題(本部分共12小題,每小題3分,共36分.每小題給出4個選項,其中只有一
個是正確的)
1.(3分)(2019春?福田區(qū)期末)/XABC中,則△48C一定是()
A.銳角三角形B.等腰三角形
C.等邊三角形D.等腰直角三角形
【考點】K7:三角形內(nèi)角和定理.
【專題】554:等腰三角形與直角三角形.
【分析】根據(jù)等腰三角形的定義即可判斷.
【解答】解:
△ABC是等腰三角形,
故選:B.
【點評】本題考查角平分線的定義,解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識,屬于中考??碱}
型.
2.(3分)(2019春?福田區(qū)期末)下列圖案中,是中心對稱圖形的是()
A.
C.
【考點】R5:中心對稱圖形.
【專題】558:平移、旋轉(zhuǎn)與對稱.
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念求解.
【解答】解:A、是中心對稱圖形.故A選項正確;
B、不是中心對稱圖形.故8選項錯誤;
C、不是中心對稱圖形.故C選項錯誤;
D、不是中心對稱圖形.故。選項錯誤.
故選:A.
【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念:中心對稱圖形是要尋找對稱中心,旋轉(zhuǎn)180
度后與原圖重合.
3.(3分)(2019春?福田區(qū)期末)若x>y,則下列式子中錯誤的是()
xy
A.x-2>y-2B.x+2>y+2C.-2x>-2yD.—>—
【考點】C2:不等式的性質(zhì).
【分析】A:不等式的兩邊同時加上(或減去)同一個數(shù)或同一個含有字母的式子,不等
號的方向不變,據(jù)此判斷即可.
B:不等式的兩邊同時加上(或減去)同一個數(shù)或同一個含有字母的式子,不等號的方向
不變,據(jù)此判斷即可.
C:不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變,據(jù)此判斷即可.
D:不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變,據(jù)此判斷即可.
【解答】解:
??x-2>y-2,
???選項A正確;
,選項B正確;
:.-2x<-2y,
,選項C不正確;
\'x>y9
.?7,
22
二選項力正確.
故選:C.
【點評】此題主要考查了不等式的基本性質(zhì):(1)不等式的兩邊同時乘以(或除以)同
一個正數(shù),不等號的方向不變;(2)不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個負數(shù),不
等號的方向改變;(3)不等式的兩邊同時加上(或減去)同一個數(shù)或同一個含有字母的
式子,不等號的方向不變.
4.(3分)(2019春?福田區(qū)期末)因式分解。的正確結(jié)果是()
A.a(?2-1)B.a(a-1)2
C.a(a-1)(?+l)D.cT
【考點】55:提公因式法與公式法的綜合運用.
【專題】II:計算題;44:因式分解.
【分析】原式提取a,再利用平方差公式分解即可.
【解答】解:原式=a(a2-1)—a(a+1)(a-1),
故選:C.
【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用,熟練掌握因式分解的方法是解本
題的關(guān)鍵.
5.(3分)(2019春?福田區(qū)期末)要使分式士上有意義,則a的取值范圍是()
a—4
A.a>4B.a<4C.D.aW-2
【考點】62:分式有意義的條件.
【專題】513:分式.
【分析】根據(jù)分式有意義的條件可得a-4W0,再解即可.
【解答】解:由題意得:a-4W0,
解得:aW4,
故選:C.
【點評】此題主要考查了分式有意義的條件,關(guān)鍵是掌握分母不能等于零.
X>一3
"的解集在數(shù)軸上表示正確的是()
{%<1
【考點】C4:在數(shù)軸上表示不等式的解集.
【專題】524:一元一次不等式(組)及應(yīng)用.
【分析】先求出不等式組的解集,再在數(shù)軸上表示出來即可.
X>—3
"的解集是-3?1,
{%<1
在數(shù)軸上表示為:-3-2-10,
故選:B.
【點評】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式組的解集,能正確在數(shù)軸上表示不等式組的解
集是解此題的關(guān)鍵.
7.(3分)(2019春?福田區(qū)期末)如圖,一個長為2、寬為1的長方形以下面的“姿態(tài)”從
直線/的左側(cè)水平平移至右側(cè)(圖中的虛線是水平線),其中,平移的距離是()
A.1B.2C.3D.2V2
【考點】LB:矩形的性質(zhì);Q2:平移的性質(zhì).
【專題】556:矩形菱形正方形;558:平移、旋轉(zhuǎn)與對稱.
【分析】由平移的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)可求平移的距離.
【解答】解:平移的距離=2+1=3
故選:C.
【點評】本題考查了矩形的性質(zhì),平移的性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是利用等腰直角三角形
的性質(zhì)求圖形中平移的距離.
8.(3分)(2019春?福田區(qū)期末)如圖,在。ABCZ)中,AB=5,分別以A、C為圓心,以大
1
于yc的長為半徑畫弧,兩弧相交于M、N兩點,直線交AO于點E,若△CQE的
周長是12,則8c的長為()
【考點】KG:線段垂直平分線的性質(zhì);L5:平行四邊形的性質(zhì);N2:作圖一基本作圖.
【專題】13:作圖題.
【分析】利用基本作圖得到MN垂直平分AC,則EA=EC,利用等線段代換得到AD+CD
=12,然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CQ=AB=5,從而可得到A£>的長.
【解答】解:由作法得MN垂直平分AC,
:.EA=EC,
???△CDE的周長是12,
即EC+ED+CD=12,
:.AE+ED+CD=12,
即AD+CD=\2f
???在中,AB=5f
.'.CD=AB=5y
???AD+5=12,
:.AD=1,
故選:B.
【點評】本題考查了作圖-基本作圖:熟練掌握基本作圖(作一條線段等于已知線段;
作一個角等于已知角;作已知線段的垂直平分線;作已知角的角平分線;過一點作已知
直線的垂線).也考查了平行四邊形的性質(zhì).
9.(3分)(2019春?福田區(qū)期末)如圖,直線/i的解析式為y=fcv+b,直線/2的解析式為了
【考點】F5:一次函數(shù)的性質(zhì);FD:一次函數(shù)與一元一次不等式.
【專題】538:用函數(shù)的觀點看方程(組)或不等式.
【分析】先把交點坐標(m,3)代入y=-x+5,求出山,再根據(jù)圖象找出直線人位于直
線/2下方的部分對應(yīng)的自變量的取值范圍即可.
【解答】解:???直線y=-x+5過點(m,3),
;.3=-m+5,解得,*=2,
直線/i:與直線,2:y=-x+5交于點(2,3),
二不等式kx+b<-x+5的解集是x<2.
故選:D.
【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系:從函數(shù)的角度看,就是尋求使
一次函數(shù)了=丘+人的值大于(或小于)0的自變量X的取值范圍;從函數(shù)圖象的角度看,
就是確定直線丫=區(qū)+8在x軸上(或下)方部分所有的點的橫坐標所構(gòu)成的集合.也考
查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征.
10.(3分)(2019秋?諫水縣期末)如圖,將Rtz^ABC繞點A按順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到
「△AQE,點B的對應(yīng)點。恰好落在BC邊上.若AC=2e,NB=60°,則CD的長為
()
A.1B.V3C.2D.4-V3
【考點】R2:旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).
【專題】554:等腰三角形與直角三角形;556:矩形菱形正方形.
【分析】由直角三角形的性質(zhì)可得AB=2,8c=248=4,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD=AB,
可證是等邊三角形,可得8O=AB=2,即可求解.
【解答】解::AC=2次,ZB=60°,NBAC=90°
,AB=2,BC=2AB=4,
;□△ABC繞點A按順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到RtAADE,
:.AD=AB,且NB=60°
...△AOB是等邊三角形
.?.B£>=A8=2,
:.CD=BC-BD=4-2=2
故選:C.
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),熟練
運用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.
11.(3分)(2019春?福田區(qū)期末)下列說法正確的是()
A.五邊形的內(nèi)角和是720°
B.有兩邊相等的兩個直角三角形全等
C.若關(guān)于x的方程一7;=—;有增根,則根=1
D.若關(guān)于x的不等式x+5<2”恰有2個正整數(shù)解,則〃的最大值是4
【考點】B5:分式方程的增根;C7:一元一次不等式的整數(shù)解:KC:直角三角形全等的
判定;L3:多邊形內(nèi)角與外角.
【專題】522:分式方程及應(yīng)用;524:一元一次不等式(組)及應(yīng)用;553:圖形的全等;
555:多邊形與平行四邊形.
【分析】按照選項逐個進行分析得出答案,(1)五邊形的內(nèi)角和為:(5-2)X1800=
540°,因此A不正確,(2)如果相等的兩邊在同一個三角形中,就不一定全等,說法不
嚴密,故8不正確;(3)方程有增根,說明增根為x=2,而x=2是方程相=1-x,求得
m=-1,故C不正確;(4)關(guān)于x的不等式x+5<2〃的解集為-5,.恰有2個正
整數(shù)解,2<2“-5W3,解得:3.5V“W4,a的最大值是4,故。是正確的;
【解答】解:五邊形的內(nèi)角和為:(5-2)X1800=540°,因此A不正確,
如果相等的兩邊在同一個三角形中,就不一定全等,說法不嚴密,故B不正確;
方程有增根,說明增根為x=2,而x=2是方程機=1-x,求得加=-1,故C不正確;
關(guān)于x的不等式x+5<2a的解集為x<2a-5,?恰有2個正整數(shù)解,2V2a-5W3,解得:
3.5V〃W4,。的最大值是4,故£)是正確的;
故選:D.
【點評】考查多邊形的內(nèi)角和、直角三角形全等的判定、分式方程及增根、一元一次不
等式及整數(shù)解等知識,考查的知識較多,需要逐個分析判斷,最后得出結(jié)論.
12.(3分)(2019春?福田區(qū)期末)如圖,已知在RtzXABC中,ZACB=90Q,BD^/\ABC
的角平分線,E是上一點,且連接E£>,作所_L8。于凡連接CF.則下
面的結(jié)論:
①CD=CF;
@ZEDF=45°;
③/BCF=45。;
④若C£>=4,AD=5,則S“DE=10.其中正確結(jié)論的個數(shù)是()
A.1個B.2個C.3個D.4個
【考點】KF:角平分線的性質(zhì).
【專題】55E:解直角三角形及其應(yīng)用.
【分析】首先證明NEO尸=45°再利用全等三角形的性質(zhì)以及圓周角定理、角平分線的
性質(zhì)定理一一判斷即可.
【解答】解:???AD=A£
,/ADE=/AED,
丁NAED=NABD+/BDE,
:.2ZABD+2ZBDE+ZA=180°,
?「BO平分N43C,
???ZABC=2ZABDf
VZACB=90°,
???NA+NA3C=90°,
A2ZBDE=90°,
;?NBDE=45°,
:.ZEFD=90°,
:.ZFDE=ZFED=45°,故②正確,
延長所交3C于“,連接
?:NFBE=NFBH,BF=BF,/BFE=/BFH,
:?/\BFE0/\BFH(ASA),
:?EF=FH,?:DF工EH,
:,DE=DH,
:?NDEH=NDHE=45°,
VZDFH+ZDCH=\S00,
??.O,F,H,。四點共圓,(補充方法:不用四點共圓,可以作FMJ_C。于M,FNLBC
于N,利用全等三角形的性質(zhì)證明推出FC平分/8CQ即可)
;.NDCF=NDHF=45°,
:.ZFCB=45°,故③正確,
作DM1.ABTM,
平分/ABC,DCLBC,DMLAB,
:.DM=DC=4,
":AE=AD=5,
1
?'-S^ADE=故④正確,
如果①成立,則NCFB=NAOB,
".'/XBFC^ABDA,
...NA=NBCF=45°,但是題目沒有說明三角形ABC為等腰直角三角形,所以①不成
立.,故①錯誤,
故選:C.
【點評】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì),角平分線的定義,全等三角形的判定和性質(zhì)
等知識,解題的關(guān)鍵是學會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題,屬于中考??碱}型.
二、填空題(本題共4小題,每小題3分,共12分)
13.(3分)(2019春?福田區(qū)期末)若m"=1,機-〃=2,則-mJ的值是2.
【考點】59:因式分解的應(yīng)用.
【專題】512:整式.
【分析】首先把"F"-化為,(m-〃),然后把修〃=1,〃1-〃=2代入,求出算式
的值是多少即可.
【解答】解:m-〃=2,
.??m2n-mn2
=mn(根-〃)
=1X2
=2
故答案為:2.
【點評】此題主要考查了因式分解的應(yīng)用,以及代入法求整式的值的應(yīng)用,要熟練掌握.
第2x
14.(3分)(2013?咸寧)化簡——+——的結(jié)果為x.
x-11-x
【考點】6B:分式的加減法.
【分析】先把兩分式化為同分母的分式,再把分母不變,分子相加減即可.
【解答】解:原式=三一
X—iX—1
,X(X-1)
-x-1
—X.
故答案為:X.
【點評】本題考查的是分式的加減法,即把分母不相同的幾個分式化成分母相同的分式,
叫做通分,經(jīng)過通分,異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減.
15.(3分)(2019春?福田區(qū)期末)兩個實數(shù)a,b,規(guī)定。十6=4+8-則不等式2十(2%
-1)<1的解集為x>l.
【考點】2C:實數(shù)的運算;C6:解一元一次不等式.
【專題】524:一元一次不等式(組)及應(yīng)用.
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)求出不等式的解集即可.
【解答】解:2十<2x-1)VI,
2+2x-1-2(2x-1)<1,
2+2x-1-4x+2<l,
-2x<\-2+1-2,
-2x<-2,
x>\,
故答案為:X>1.
【點評】本題考查了解一元一次不等式,能根據(jù)不等式的性質(zhì)進行變形是解此題的關(guān)鍵.
16.(3分)(2019春?福田區(qū)期末)如圖,已知在RtZ\ABC中,NAC8=90°,點。是AC
延長線上的一點,AO=24,點E是8c上一點,BE=10,連接£>E,M、N分別是A8、
DE的中點,則MN=13.
【考點】KX:三角形中位線定理.
【專題】48:構(gòu)造法;554:等腰三角形與直角三角形;67:推理能力.
【分析】連接8£),取80的中點凡連接MF、NF,證明NF、分別是△BCE、AABD
11
的中位線,由三角形中位線定理得出NF〃BE,MF//AD,NF=々BE=5,MF=24。=12,
證出NF_LM凡在RtZ\MN尸中,由勾股定理即可得出答案.
【解答】解:連接80,取8。的中點尸,連接MF、NF,如圖所示:
:用、N、F分別是AB、DE、的中點,
:.NF、MF分別是△BDE、ZXABZ)的中位線,
:.NF〃BE,MF//AD,NF=^BE=5,MF=^AD=\2,
':ZACfi=90°,
:.ADLBC,
".'MF//AD,
J.MFYBC,
,:NF〃BE,
:.NFX.MF,
在RtZ\MN尸中,由勾股定理得:MN=VWF2+MF2=V52+122=13;
故答案為:13.
【點評】本題考查了三角形中位線定理、勾股定理、平行線的性質(zhì)等知識;熟練掌握三
角形中位線定理和勾股定理,正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.
三、解答題(本題共7小題,其中第17小題7分,第18小題6分,第19小題7分,第20
小題7分,第21小題8分,第22小題8分,第23小題9分共52分)
17.(7分)(2019春?福田區(qū)期末)分解因式:
(1)27-4x+2;
(2)(x-y~)3-9(x-y).
【考點】55:提公因式法與公式法的綜合運用.
【專題】11:計算題;44:因式分解.
【分析】(1)原式提取2,再利用完全平方公式分解即可;
(2)原式提取公因式,再利用平方差公式分解即可.
【解答】解:⑴原式=2(?-2x+l)=2(x-1)2;
(2)原式=(x-y)[(x-y,)2-9]=(x-y)(x-y+3)(x-y-3).
【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用,熟練掌握因式分解的方法是解本
題的關(guān)鍵.
12"2一?"
18.(6分)(2019春?福田區(qū)期末)先化簡,再求值:(——-^―)其中“=5.
a-2a2-4
【考點】6D:分式的化簡求值.
【專題】11:計算題;513:分式.
【分析】根據(jù)分式的減法和除法可以化簡題目中的式子,然后將a的值代入化簡后的式
子即可解答本題.
【解答】解:(工--^-)+寫學
a-2a2-4僅一4
_Q+2-2(Q+2)(Q—2)
(a+2)(a—2)CL{CL-2)
_a
—a(a—2)
1
=0^2,
當a=5時,原式=E、=4.
【點評】本題考查分式的化簡求值,解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡求值的方法.
131
19.(7分)(2019春?福田區(qū)期末)解方程:——+——=-
2x-l4x-22
【考點】B3:解分式方程.
【專題】522:分式方程及應(yīng)用.
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,求出整式方程的解得到x的值,經(jīng)檢驗即可
得到分式方程的解.
【解答】解:去分母得:2+3=2x-l,
移項合并得:2x=6,
解得:x=3,
經(jīng)檢驗x=3是分式方程的解.
故原方程的解為x=3.
【點評】此題考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”,把分式方程轉(zhuǎn)
化為整式方程求解.解分式方程一定注意要驗根.
20.(7分)(2019春?福田區(qū)期末)如下圖,網(wǎng)格中小正方形的邊長是1,長方形ABCQ的
對稱中心是坐標原點O,M、N兩點的坐標分別為(-6,0)、(-1,3),點尸是線段A8
上的一動點,尸。的延長線交于點Q,連接MP,NQ.
(1)作圖:請在圖1中作出點N關(guān)于點O的中心對稱點并連接PN.
(2)探究發(fā)現(xiàn):無論點P運動至何處,/W與N。具有的關(guān)系是:
①PN與N。關(guān)于點。一定成中心對稱.(填“一定”或“不一定”)
②PN1與NQ的數(shù)量關(guān)系是:相等.
(3)問題解決:MP+NQ何時獲得最小值?請在圖2中畫出此時P、Q的位置,并請你
直接寫出這個最小值.
【考點】RB:幾何變換綜合題.
【專題】13:作圖題;16:壓軸題;532:函數(shù)及其圖像.
【分析】(1)作點N的對稱點,即可求解;
(2)由(1)知,圖形NNQP與NN'P。是中心對稱圖形,即可求解;
(3)MP+NQ=PM+PN',當點M、P、N'三點共線時,MP+NQ=PM+PN'最小,即
可求解.
【解答】解:(1)作圖如下:
(2)由(1)知,圖形NN0P與/W'PQ是中心對稱圖形,
故①PM與NQ關(guān)于點。一定成中心對稱.(填“一定”或“不一定”)
②PM與NQ的數(shù)量關(guān)系是:相等;
故答案為:一定,相等;
(3)MP+NQ=PM+PN',
當點M、P、N'三點共線時,MP+NQ=PM+PN'最小,
點M、N'的坐標分別為(-6,0)、(1,-3),
該最小值為J(1++32=V58,
此時點P、。位置如下圖所示:
【點評】本題考查的是幾何變換的綜合運用,涉及到圖象的中心對稱、圖象作圖等,其
中(3),當點M、P、N'三點共線時,MP+NQ=PM+PN'最小,是本題解題的關(guān)鍵.
21.(8分)(2019春?福田區(qū)期末)如圖,E、尸是。4BCD的對角線4c上的兩點,且
AC,DFVAC,連接BE、ED、DF、FB.
(1)求證:四邊形BED尸為平行四邊形;
(2)若BE=4,EF=2,求8。的長.
【考點】KD:全等三角形的判定與性質(zhì);L7:平行四邊形的判定與性質(zhì).
【專題】553:圖形的全等;554:等腰三角形與直角三角形;555:多邊形與平行四邊形.
【分析】(1)連接交4c于O,由平行四邊形的性質(zhì)得出O4=OC,OB=OD,AB//
CD,AB=CD,由平行線的性質(zhì)得出凡證明得出AE=CF,
得出OE=OF,即可得出結(jié)論;
(2)由(1)得:OE=OF=*EF=1,由勾股定理得出OB="BE?+g=g,即可
得出結(jié)果..
【解答】(1)證明:連接跳)交AC于0,
,/四邊形ABCD是平行四邊形,
:.OA=OC,OB=OD,AB//CD,AB=CD,
:?/BAE=/DCF,
9:BELAC,DF±AC,
:./AEB=NCFD=90°,
(ZBAE=NDCF
在AABE和△CQF中,^AEB=乙CFD
□B=CD
:./\ABE^/\CDF(AAS),
:.AE=CF,
:.OE=OF,
又;0B=0D,
???四邊形3EO尸為平行四邊形;
(2)解:由(1)得:0E=0F=*EF=l,
\'BE±AC,
:.ZBEO=90Q,
OB=y/BE2+OE2=V42+l2=V17,
:.BD=2OB=2后.
AD
【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定
理等知識;熟練掌握平行四邊形的性質(zhì),證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.
22.(8分)(2019春?福田區(qū)期末)王老師從學校出發(fā),到距學校2000%的某商場去給學生
買獎品,他先步行了800/n后,換騎上了共享單車,到達商場時,全程總共剛好花了
\5min.已知王老師騎共享單車的平均速度是步行速度的3倍(轉(zhuǎn)換出行方式時,所需時
間忽略不計).
(1)求王老師步行和騎共享單車的平均速度分別為多少?
(2)買完獎品后,王老師原路返回,為按時上班,路上所花時間最多只剩10分鐘,若
王老師仍采取先步行,后換騎共享單車的方式返回,問:他最多可步行多少米?
【考點】9A:二元一次方程組的應(yīng)用;C9:一元一次不等式的應(yīng)用.
【專題】521:一次方程(組)及應(yīng)用;522:分式方程及應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)王老師步行的速度為則騎共享單車的平均速度為3xin/min,根
據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論;
(2)設(shè)最多可步行a米,根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論.
【解答】解:(1)設(shè)王老師步行的速度為3;/疝”,則騎共享單車的平均速度為3xzn/加〃,
8002000-800
根據(jù)題意得,---+-----------=15,
x3x
解得:x=80,
經(jīng)檢驗:x=80是原方程的解,
;.3x=240,
答:王老師步行的速度為80曲加〃,則騎共享單車的平均速度為240〃?/〃”";
(2)設(shè)最多可步行。米,
a2000—a
根據(jù)題意得,—+——<10,
80240
解得:“W200,
答:他最多可步行200米.
【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用,一元一次方程的應(yīng)用,正確的理解題意是解題的
關(guān)鍵.
23.(9分)(2019春?福田區(qū)期末)如圖1,在△A8C中,AB=AC,AZ)是BC上的中線,
A3的垂直平分線MN交AQ于點O,連接8。并延長交AC于點E,AHLBE,垂足為H.
(1)求證:/XAB。絲△BAH;
(2)若N8AC=30°,AE=2,求BC的長;
(3)如圖2,在△ABC中,AB=AC,ZA=40°,。是AC上的一點,且/ABZ)=20°,
若5c=6,請你直接寫出A。的長.
圖1
【考點】KD:全等三角形的判定與性質(zhì);KG:線段垂直平分線的性質(zhì);K0:含30度
角的直角三角形.
【專題】15:綜合題;552:三角形;554:等腰三角形與直角三角形.
【分析】⑴由等腰三角形的三線合一得A"BC,ZBAD=^BAC,線段的垂直平分
線和等腰三角形得=再加A8公用,可證明△A8H絲△B4。;
(2)由等腰三角形的性質(zhì),線段的垂直平分線和三角形的內(nèi)角和定理得NHBA=15°,
NHAB=75°,根據(jù)角的和差得/E4H=45°,在直角三角形中由勾股定理可求出
AH=也,從而得至l」BC=2或;
(3)根據(jù)(1)(2)的解題思路和方法,構(gòu)建等腰三角形的三線合一,三角形全等和勾
股定理可求出A£>=2V3.
【解答】解:(1)如圖1所示:
;A8=AC,
.?.△ABC是等腰三角形,
又是BC上的中線,
J.ADLBC,ZBAD=^BAC,
垂直平分線AB,
:.BO=AO,
:.ZHBA=ZDAB,
9:AHLBE,ADLBC,
:.AH=ZADB=90°,
在和△8AO中,
ZHBA=/BAD
AB=AB,
乙H=^ADB
:.(ASA);
(2)如圖1所示:
圖1
9:ZBAC=30°,
11
XBAD=^Z.BAC=/30。=15°,
又;?NHBA=NDAB
:.NHBA=15°,
又:NHBA+NHAB=90°,
:.ZHAB=15Q,
又?:ZHAB=ZBAE+ZEAH,
:.ZEAH=45",
在RtZ^AE”中,由勾股定理得:
1AH1=AEL,
又:4£:=2,:.AH=y[2,
:.BD=V2,
又,:BC=2BD,
:.BC=2V2;
(3)過點4作AE_LBC,AH垂直于8。的延長線于點,,
如圖2所示:
由(1)可知8E=A”,
":BC=6,:.AH=3,
又,?ZADH=ZABH+ZBAD,
NABD=20°,/8A£>=40°,
AZADH=60°,
在RtZvlQ”中,由勾股定理得:
ADi=AH1+DFi1,
又;ND4H=30°,
:.AD=2DH,
:.AD^2V3.
【點評】本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì),線段的中點,線段垂直平分線的性質(zhì),三
角形全等的判定與性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理和外角的定理,勾股定理等相關(guān)知識,重
點掌握三角形的判定方法,難點是作輔助線構(gòu)建相應(yīng)的圖形求解.
考點卡片
1.實數(shù)的運算
(1)實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣,值得一提的是,實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、
乘方運算,又可以進行開方運算,其中正實數(shù)可以開平方.
(2)在進行實數(shù)運算時,和有理數(shù)運算一樣,要從高級到低級,即先算乘方、開方,再算
乘除,最后算加減,有括號的要先算括號里面的,同級運算要按照從左到有的順序進行.
另外,有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.
【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關(guān)鍵”
1.運算法則:乘方和開方運算、基的運算、指數(shù)(特別是負整數(shù)指數(shù),0指數(shù))運算、根
式運算、特殊三角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等.
2.運算順序:先乘方,再乘除,后加減,有括號的先算括號里面的,在同一級運算中要從
左到右依次運算,無論何種運算,都要注意先定符號后運算.
3.運算律的使用:使用運算律可以簡化運算,提高運算速度和準確度.
2.提公因式法與公式法的綜合運用
提公因式法與公式法的綜合運用.
3.因式分解的應(yīng)用
1、利用因式分解解決求值問題.
2、利用因式分解解決證明問題.
3、利用因式分解簡化計算問題.
【規(guī)律方法】因式分解在求代數(shù)式值中的應(yīng)用
1.因式分解是研究代數(shù)式的基礎(chǔ),通過因式分解將多項式合理變形,是求代數(shù)式值的常用
解題方法,具體做法是:根據(jù)題目的特點,先通過因式分解將式子變形,然后再進行整體代
入.
2.用因式分解的方法將式子變形時,根據(jù)己知條件,變形的可以是整個代數(shù)式,也可以是
其中的一部分.
4.分式有意義的條件
(1)分式有意義的條件是分母不等于零.
(2)分式無意義的條件是分母等于零.
(3)分式的值為正數(shù)的條件是分子、分母同號.
(4)分式的值為負數(shù)的條件是分子、分母異號.
5.分式的加減法
(1)同分母分式加減法法則:同分母的分式相加減,分母不變,把分子相加減.
(2)異分母分式加減法法則:把分母不相同的幾個分式化成分母相同的分式,叫做通分,
經(jīng)過通分,異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減.
說明:
①分式的通分必須注意整個分子和整個分母,分母是多項式時,必須先分解因式,分子是
多項式時,要把分母所乘的相同式子與這個多項式相乘,而不能只同其中某一項相乘.
②通分是和約分是相反的一種變換.約分是把分子和分母的所有公因式約去,將分式化為
較簡單的形式;通分是分別把每一個分式的分子分母同乘以相同的因式,使幾個較簡單的分
式變成分母相同的較復(fù)雜的形式.約分是對一個分式而言的;通分則是對兩個或兩個以上的
分式來說的.
6.分式的化簡求值
先把分式化簡后,再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的值.
在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡.化簡的最后結(jié)果分子、分母要進行約分,注
意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式.
【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題
1.化簡求值,一般是先化簡為最簡分式或整式,再代入求值.化簡時不能跨度太大,而缺
少必要的步驟,代入求值的模式一般為“當…時,原式=
2.代入求值時,有直接代入法,整體代入法等常用方法.解題時可根據(jù)題目的具體條件選
擇合適的方法.當未知數(shù)的值沒有明確給出時,所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式
都有意義,且除數(shù)不能為0.
7.二元一次方程組的應(yīng)用
(一)、列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟:
(1)審題:找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系.
(2)設(shè)元:找出題中的兩個關(guān)鍵的未知量,并用字母表示出來.
(3)列方程組:挖掘題目中的關(guān)系,找出兩個等量關(guān)系,列出方程組.
(4)求解.
(5)檢驗作答:檢驗所求解是否符合實際意義,并作答.
(二)、設(shè)元的方法:直接設(shè)元與間接設(shè)元.
當問題較復(fù)雜時,有時設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù),即為間接設(shè)元.無論怎
樣設(shè)元,設(shè)幾個未知數(shù),就要列幾個方程.
8.解分式方程
(1)解分式方程的步驟:①去分母;②求出整式方程的解;③檢驗;④得出結(jié)論.
(2)解分式方程時,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0,所以應(yīng)如
下檢驗:
①將整式方程的解代入最簡公分母,如果最簡公分母的值不為0,則整式方程的解是原分式
方程的解.
②將整式方程的解代入最簡公分母,如果最簡公分母的值為0,則整式方程的解不是原分式
方程的解.
所以解分式方程時,一定要檢驗.
9.分式方程的增根
(1)增根的定義:在分式方程變形時,有可能產(chǎn)生不適合原方程的根,即代入分式方程后
分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根,叫做
原方程的增根.
(2)增根的產(chǎn)生的原因:對于分式方程,當分式中,分母的值為零時,無意義,所以分式
方程,不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值,即分式方程本身就隱含著分母不為零的條
件.當把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后,這種限制取消了,換言之,方程中未知數(shù)的值范圍
擴大了,如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值,那么就會出現(xiàn)
增根.
(3)檢驗增根的方法:把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡公分母,看最簡公分母
是否為0,如果為0,則是增根;如果不是0,則是原分式方程的根.
10.不等式的性質(zhì)
(1)不等式的基本性質(zhì)
①不等式的兩邊同時加上(或減去)同一個數(shù)或同一個含有字母的式子,不等號的方向不
變,即:
若a>b,那么a±m(xù)>b±/n;
②不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變,即:
ab
若q>b,且帆>0,那么加i或一>一;
mm
③不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變,即:
ab
若a>b,且mVO,那么。加〈人"或一V一;
mm
(2)不等式的變形:①兩邊都加、減同一個數(shù),具體體現(xiàn)為“移項”,此時不等號方向不
變,但移項要變號;②兩邊都乘、除同一個數(shù),要注意只有乘、除負數(shù)時,不等號方向才
改變.
【規(guī)律方法】
1.應(yīng)用不等式的性質(zhì)應(yīng)注意的問題:在不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數(shù)時,一
定要改變不等號的方向;當不等式的兩邊要乘以(或除以)含有字母的數(shù)時,一定要對字母
是否大于0進行分類討論.
2.不等式的傳遞性:若a>b,h>c,則a>c.
11.在數(shù)軸上表示不等式的解集
用數(shù)軸表示不等式的解集時,要注意“兩定”:
一是定界點,一般在數(shù)軸上只標出原點和界點即可.定邊界點時要注意,點是實心還是空心,
若邊界點含于解集為實心點,不含于解集即為空心點;
二是定方向,定方向的原則是:“小于向左,大于向右”.
【規(guī)律方法】不等式解集的驗證方法
某不等式求得的解集為其驗證方法可以先將“代入原不等式,則兩邊相等,其
次在的范圍內(nèi)取一個數(shù)代入原不等式,則原不等式成立.
12.解一元一次不等式
根據(jù)不等式的性質(zhì)解一元一次不等式
基本操作方法與解一元一次方程基本相同,都有如下步驟:①去分母;②去括號;③移項;
④合并同類項;⑤化系數(shù)為1.
以上步驟中,只有①去分母和⑤化系數(shù)為1可能用到性質(zhì)3,即可能變不等號方向,其他
都不會改變不等號方向.
注意:符號和“W”分別比
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