2018-2019學年廣東省深圳市福田區(qū)八年級（下）期末數(shù)學試卷

2018-2019學年廣東省深圳市福田區(qū)八年級（下）期末數(shù)學試卷

一、選擇題（本部分共12小題，每小題3分，共36分.每小題給出4個選項，其中只有一

個是正確的）

1.（3分）（2019春?福田區(qū)期末）△ABC中，NA=/8,則△ABC一定是（）

A.銳角三角形B,等腰三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

2.（3分）（2019春?福田區(qū)期末）()

A.

3.（3分）（2019春?福田區(qū)期末）若x>y,則下列式子中錯誤的是()

xy

A.x-2>y-2B.x+2>y+2C.-2x>-2yD.->-

22

4.（3分）（2019春?福田區(qū)期末）因式分解的正確結(jié)果是（)

A.a(J-1)B.a(6?-1)2

C.a(67-1)(a+1)D.a2

（3分）（239春?福田區(qū)期末）要使分式詈有意義,則“的取值范圍是（）

5.

A.a>4B.a<4C.D.QW-2

x—3

6.（3分）（2019春?福田區(qū)期末）不等式組,X<1的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

A.-3-2-101B.

D.

7.（3分）（2019春?福田區(qū)期末）如圖，一個長為2、寬為1的長方形以下面的“姿態(tài)”從

直線/的左側(cè)水平平移至右側(cè)（圖中的虛線是水平線），其中，平移的距離是（）

45°

8.（3分）（2019春?福田區(qū)期末）如圖，在。4BCD中，AB=5,分別以A、C為圓心，以大

于的長為半徑畫弧，兩弧相交于M、N兩點，直線MN交AD于點、E,若△<?￡>￡的

周長是12,則BC的長為（）

7

°C

A.6B.7C.8D.11

9.（3分）（2019春?福田區(qū)期末）如圖，直線人的解析式為y=kx+b,直線卜的解析式為y

=r+5,則不等式kx+b<-x+5的解集是（）

K

A.x<3B.x>mC.x>2D.x<2

10.（3分）（2019秋?深水縣期末）如圖,將RtA/lBC繞點A按順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到

8△AOE,點B的對應(yīng)點D恰好落在8C邊上.若AC=2y[3,ZB=60°,則CD的長為

（）

V

一::二￥‘儂總

A.1B.V3C.2D.4-V3

11.（3分）（2019春?福田區(qū)期末）下列說法正確的是（)

A.五邊形的內(nèi)角和是720°

B.有兩邊相等的兩個直角三角形全等

C.若關(guān)于x的方程=二三有增根，則機=1

X-2X-2

D.若關(guān)于x的不等式x+5<2a恰有2個正整數(shù)解，則a的最大值是4

12.（3分）（2019春?福田區(qū)期末）如圖，已知在RtZVWC中，NACB=90°，BO是△ABC

的角平分線，E是AB上一點，且連接E。，作EFJ_BD于尸，連接CF.則下

面的結(jié)論：

①CD=CF；

②NEDF=45。；

（3）ZBCF=45°；

④若CD=4,AD=5,則SMOE=10.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題（本題共4小題，每小題3分，共12分）

13.（3分）（2019春?福田區(qū)期末）若"?〃=1,"L〃=2,則的值是.

14.（3分）（2013?咸寧）化簡——+——的結(jié)果為______.

x-11-x

15.（3分）（2019春?福田區(qū)期末）兩個實數(shù)a,b,規(guī)定〃十-R?,則不等式2十（2x

-1）<1的解集為.

16.（3分）（2019春?福田區(qū)期末）如圖，已知在RtZXABC中，/AC8=90°,點。是AC

延長線上的一點，4￡>=24,點E是8c上一點，BE=10,連接。E,仞、N分別是AB、

DE的中點，則MN=

三、解答題（本題共7小題，其中第17小題7分，第18小題6分，第19小題7分，第20

小題7分，第21小題8分，第22小題8分，第23小題9分共52分）

17.（7分）（2019春?福田區(qū)期末）分解因式：

（1）2x-4.r+2；

（2）（x-y）n9（x-y）.

18.（6分）（2019春?福田區(qū)期末）先化簡，再求值：（工一一一）+與號，其中a=5.

a-2a2-4az-4

131

19.（7分）（2019春?福田區(qū)期末）解方程：--+--=-

2%—14%—22

20.（7分）（2019春?福田區(qū)期末）如下圖，網(wǎng)格中小正方形的邊長是1,長方形ABCQ的

對稱中心是坐標原點O,M、N兩點的坐標分別為（-6,0）、（-1,3）,點P是線段A8

上的一動點，尸。的延長線交C￡＞于點。，連接MP,NQ.

（1）作圖：請在圖1中作出點N關(guān)于點O的中心對稱點M,并連接PM.

（2）探究發(fā)現(xiàn)：無論點P運動至何處，PN與NQ具有的關(guān)系是：

①PM與N。關(guān)于點O成中心對稱.（填“一定”或“不一定”）

②PM與NQ的數(shù)量關(guān)系是：.

（3）問題解決：MP+NQ何時獲得最小值？請在圖2中畫出此時P、。的位置，并請你

直接寫出這個最小值.

21.(8分)(2019春?福田區(qū)期末)如圖,E、尸是。A5CD的對角線AC上的兩點，且

AC,DFLAC,連接BE、ED、DF、FB.

(1)求證：四邊形BEQF為平行四邊形;

(2)若BE=4,EF=2,求BO的長.

22.(8分)(2019春?福田區(qū)期末)王老師從學校出發(fā)，到距學校2000團的某商場去給學生

買獎品，他先步行了800/77后，換騎上了共享單車，到達商場時，全程總共剛好花了

\5min.己知王老師騎共享單車的平均速度是步行速度的3倍(轉(zhuǎn)換出行方式時，所需時

間忽略不計).

(1)求王老師步行和騎共享單車的平均速度分別為多少？

(2)買完獎品后，王老師原路返回，為按時上班，路上所花時間最多只剩10分鐘，若

王老師仍采取先步行，后換騎共享單車的方式返回，問：他最多可步行多少米？

23.(9分)(2019春?福田區(qū)期末)如圖1,在△ABC中，AB=AC,是8c上的中線，

AB的垂直平分線MN交AD于點O,連接BO并延長交AC于點E,AHLBE,垂足為H.

(1)求證：△ABD絲△8AH；

(2)若NBAC=30°,AE=2,求BC的長；

(3)如圖2,在△ABC中，AB=AC,ZA=40°,。是AC上的一點，且乙48。=20°,

若BC=6,請你直接寫出的長.

圖1

2018-2019學年廣東省深圳市福田區(qū)八年級（下）期末數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本部分共12小題，每小題3分，共36分.每小題給出4個選項，其中只有一

個是正確的）

1.（3分）（2019春?福田區(qū)期末）/XABC中,則△48C一定是（）

A.銳角三角形B.等腰三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【考點】K7：三角形內(nèi)角和定理.

【專題】554：等腰三角形與直角三角形.

【分析】根據(jù)等腰三角形的定義即可判斷.

【解答】解：

△ABC是等腰三角形,

故選：B.

【點評】本題考查角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}

型.

2.（3分）（2019春?福田區(qū)期末）下列圖案中，是中心對稱圖形的是（）

A.

C.

【考點】R5：中心對稱圖形.

【專題】558：平移、旋轉(zhuǎn)與對稱.

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：A、是中心對稱圖形.故A選項正確;

B、不是中心對稱圖形.故8選項錯誤;

C、不是中心對稱圖形.故C選項錯誤;

D、不是中心對稱圖形.故。選項錯誤.

故選：A.

【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念：中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180

度后與原圖重合.

3.（3分）（2019春?福田區(qū)期末）若x>y,則下列式子中錯誤的是（）

xy

A.x-2>y-2B.x+2>y+2C.-2x>-2yD.—>—

【考點】C2：不等式的性質(zhì).

【分析】A：不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等

號的方向不變，據(jù)此判斷即可.

B：不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向

不變，據(jù)此判斷即可.

C：不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變，據(jù)此判斷即可.

D：不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，據(jù)此判斷即可.

【解答】解：

??x-2>y-2,

???選項A正確；

，選項B正確；

:.-2x<-2y,

，選項C不正確；

\'x>y9

.?7,

22

二選項力正確.

故選：C.

【點評】此題主要考查了不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式的兩邊同時乘以（或除以）同

一個正數(shù)，不等號的方向不變；（2）不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數(shù)，不

等號的方向改變；（3）不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的

式子，不等號的方向不變.

4.（3分）（2019春?福田區(qū)期末）因式分解。的正確結(jié)果是（）

A.a(?2-1)B.a(a-1)2

C.a(a-1)(?+l)D.cT

【考點】55：提公因式法與公式法的綜合運用.

【專題】II：計算題；44：因式分解.

【分析】原式提取a,再利用平方差公式分解即可.

【解答】解：原式=a(a2-1)—a(a+1)(a-1),

故選：C.

【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本

題的關(guān)鍵.

5.(3分)(2019春?福田區(qū)期末)要使分式士上有意義，則a的取值范圍是()

a—4

A.a>4B.a<4C.D.aW-2

【考點】62：分式有意義的條件.

【專題】513：分式.

【分析】根據(jù)分式有意義的條件可得a-4W0,再解即可.

【解答】解：由題意得：a-4W0,

解得：aW4,

故選：C.

【點評】此題主要考查了分式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握分母不能等于零.

X>一3

"的解集在數(shù)軸上表示正確的是()

{%<1

【考點】C4：在數(shù)軸上表示不等式的解集.

【專題】524：一元一次不等式(組)及應(yīng)用.

【分析】先求出不等式組的解集，再在數(shù)軸上表示出來即可.

X>—3

"的解集是-3?1,

{%<1

在數(shù)軸上表示為：-3-2-10,

故選：B.

【點評】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式組的解集，能正確在數(shù)軸上表示不等式組的解

集是解此題的關(guān)鍵.

7.（3分）（2019春?福田區(qū)期末）如圖，一個長為2、寬為1的長方形以下面的“姿態(tài)”從

直線/的左側(cè)水平平移至右側(cè)（圖中的虛線是水平線），其中，平移的距離是（）

A.1B.2C.3D.2V2

【考點】LB：矩形的性質(zhì)；Q2：平移的性質(zhì).

【專題】556：矩形菱形正方形；558：平移、旋轉(zhuǎn)與對稱.

【分析】由平移的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)可求平移的距離.

【解答】解：平移的距離=2+1=3

故選：C.

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是利用等腰直角三角形

的性質(zhì)求圖形中平移的距離.

8.（3分）（2019春?福田區(qū)期末）如圖，在。ABCZ）中，AB=5,分別以A、C為圓心，以大

1

于yc的長為半徑畫弧，兩弧相交于M、N兩點，直線交AO于點E,若△CQE的

周長是12,則8c的長為（）

【考點】KG：線段垂直平分線的性質(zhì)；L5：平行四邊形的性質(zhì)；N2：作圖一基本作圖.

【專題】13：作圖題.

【分析】利用基本作圖得到MN垂直平分AC,則EA=EC,利用等線段代換得到AD+CD

=12,然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CQ=AB=5,從而可得到A￡＞的長.

【解答】解：由作法得MN垂直平分AC,

：.EA=EC,

???△CDE的周長是12,

即EC+ED+CD=12,

：.AE+ED+CD=12,

即AD+CD=\2f

???在中，AB=5f

.'.CD=AB=5y

???AD+5=12,

：.AD=1,

故選：B.

【點評】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；

作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知

直線的垂線）.也考查了平行四邊形的性質(zhì).

9.（3分）（2019春?福田區(qū)期末）如圖，直線/i的解析式為y=fcv+b,直線/2的解析式為了

【考點】F5：一次函數(shù)的性質(zhì)；FD：一次函數(shù)與一元一次不等式.

【專題】538：用函數(shù)的觀點看方程（組）或不等式.

【分析】先把交點坐標（m,3）代入y=-x+5,求出山，再根據(jù)圖象找出直線人位于直

線/2下方的部分對應(yīng)的自變量的取值范圍即可.

【解答】解：???直線y=-x+5過點（m,3）,

；.3=-m+5,解得，*=2,

直線/i：與直線，2：y=-x+5交于點（2,3）,

二不等式kx+b<-x+5的解集是x<2.

故選：D.

【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系：從函數(shù)的角度看，就是尋求使

一次函數(shù)了=丘+人的值大于（或小于）0的自變量X的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看,

就是確定直線丫=區(qū)+8在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構(gòu)成的集合.也考

查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征.

10.（3分）（2019秋?諫水縣期末）如圖，將Rtz^ABC繞點A按順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到

「△AQE,點B的對應(yīng)點。恰好落在BC邊上.若AC=2e，NB=60°,則CD的長為

（）

A.1B.V3C.2D.4-V3

【考點】R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；556：矩形菱形正方形.

【分析】由直角三角形的性質(zhì)可得AB=2,8c=248=4,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD=AB,

可證是等邊三角形，可得8O=AB=2,即可求解.

【解答】解：：AC=2次，ZB=60°,NBAC=90°

，AB=2,BC=2AB=4,

;□△ABC繞點A按順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到RtAADE,

：.AD=AB,且NB=60°

...△AOB是等邊三角形

.?.B￡>=A8=2,

：.CD=BC-BD=4-2=2

故選：C.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練

運用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

11.（3分）（2019春?福田區(qū)期末）下列說法正確的是（）

A.五邊形的內(nèi)角和是720°

B.有兩邊相等的兩個直角三角形全等

C.若關(guān)于x的方程一7；=—;有增根，則根=1

D.若關(guān)于x的不等式x+5<2”恰有2個正整數(shù)解，則〃的最大值是4

【考點】B5：分式方程的增根；C7：一元一次不等式的整數(shù)解：KC：直角三角形全等的

判定；L3：多邊形內(nèi)角與外角.

【專題】522：分式方程及應(yīng)用；524：一元一次不等式（組）及應(yīng)用；553：圖形的全等；

555：多邊形與平行四邊形.

【分析】按照選項逐個進行分析得出答案，（1）五邊形的內(nèi)角和為：（5-2）X1800=

540°,因此A不正確，（2）如果相等的兩邊在同一個三角形中，就不一定全等，說法不

嚴密，故8不正確；（3）方程有增根，說明增根為x=2,而x=2是方程相=1-x,求得

m=-1,故C不正確；（4）關(guān)于x的不等式x+5<2〃的解集為-5,.恰有2個正

整數(shù)解，2<2“-5W3,解得：3.5V“W4,a的最大值是4,故。是正確的；

【解答】解：五邊形的內(nèi)角和為：（5-2）X1800=540°,因此A不正確，

如果相等的兩邊在同一個三角形中，就不一定全等，說法不嚴密，故B不正確；

方程有增根，說明增根為x=2,而x=2是方程機=1-x,求得加=-1,故C不正確；

關(guān)于x的不等式x+5<2a的解集為x<2a-5,?恰有2個正整數(shù)解,2V2a-5W3,解得:

3.5V〃W4,。的最大值是4,故￡）是正確的；

故選：D.

【點評】考查多邊形的內(nèi)角和、直角三角形全等的判定、分式方程及增根、一元一次不

等式及整數(shù)解等知識，考查的知識較多，需要逐個分析判斷，最后得出結(jié)論.

12.（3分）（2019春?福田區(qū)期末）如圖，已知在RtzXABC中，ZACB=90Q,BD^/\ABC

的角平分線，E是上一點，且連接E￡>,作所_L8。于凡連接CF.則下

面的結(jié)論：

①CD=CF；

@ZEDF=45°；

③/BCF=45。；

④若C￡>=4,AD=5,則S“DE=10.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（)

A.1個B.2個C.3個D.4個

【考點】KF：角平分線的性質(zhì).

【專題】55E：解直角三角形及其應(yīng)用.

【分析】首先證明NEO尸=45°再利用全等三角形的性質(zhì)以及圓周角定理、角平分線的

性質(zhì)定理一一判斷即可.

【解答】解：???AD=A￡

，/ADE=/AED,

丁NAED=NABD+/BDE,

：.2ZABD+2ZBDE+ZA=180°,

?「BO平分N43C,

???ZABC=2ZABDf

VZACB=90°,

???NA+NA3C=90°,

A2ZBDE=90°,

；?NBDE=45°,

：.ZEFD=90°,

：.ZFDE=ZFED=45°，故②正確，

延長所交3C于“，連接

?：NFBE=NFBH,BF=BF,/BFE=/BFH,

:?/\BFE0/\BFH(ASA),

:?EF=FH,?:DF工EH,

:,DE=DH,

：?NDEH=NDHE=45°,

VZDFH+ZDCH=\S00,

??.O,F,H,。四點共圓，（補充方法：不用四點共圓，可以作FMJ_C。于M,FNLBC

于N,利用全等三角形的性質(zhì)證明推出FC平分/8CQ即可）

；.NDCF=NDHF=45°,

：.ZFCB=45°,故③正確，

作DM1.ABTM,

平分/ABC,DCLBC,DMLAB,

：.DM=DC=4,

"：AE=AD=5,

1

?'-S^ADE=故④正確，

如果①成立，則NCFB=NAOB,

".'/XBFC^ABDA,

...NA=NBCF=45°,但是題目沒有說明三角形ABC為等腰直角三角形，所以①不成

立.，故①錯誤，

故選：C.

【點評】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)

等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型.

二、填空題（本題共4小題，每小題3分，共12分）

13.（3分）（2019春?福田區(qū)期末）若m"=1,機-〃=2,則-mJ的值是2.

【考點】59：因式分解的應(yīng)用.

【專題】512：整式.

【分析】首先把"F"-化為，（m-〃），然后把修〃=1,〃1-〃=2代入，求出算式

的值是多少即可.

【解答】解：m-〃=2,

.??m2n-mn2

=mn（根-〃）

=1X2

=2

故答案為：2.

【點評】此題主要考查了因式分解的應(yīng)用，以及代入法求整式的值的應(yīng)用，要熟練掌握.

第2x

14.（3分）（2013?咸寧）化簡——+——的結(jié)果為x.

x-11-x

【考點】6B：分式的加減法.

【分析】先把兩分式化為同分母的分式，再把分母不變，分子相加減即可.

【解答】解：原式=三一

X—iX—1

,X（X-1）

-x-1

—X.

故答案為：X.

【點評】本題考查的是分式的加減法，即把分母不相同的幾個分式化成分母相同的分式，

叫做通分，經(jīng)過通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減.

15.（3分）（2019春?福田區(qū)期末）兩個實數(shù)a,b,規(guī)定。十6=4+8-則不等式2十（2%

-1）<1的解集為x>l.

【考點】2C：實數(shù)的運算；C6：解一元一次不等式.

【專題】524：一元一次不等式（組）及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)求出不等式的解集即可.

【解答】解：2十<2x-1）VI,

2+2x-1-2（2x-1）<1,

2+2x-1-4x+2<l,

-2x<\-2+1-2,

-2x<-2,

x>\,

故答案為：X>1.

【點評】本題考查了解一元一次不等式，能根據(jù)不等式的性質(zhì)進行變形是解此題的關(guān)鍵.

16.（3分）（2019春?福田區(qū)期末）如圖，已知在RtZ\ABC中，NAC8=90°,點。是AC

延長線上的一點，AO=24,點E是8c上一點，BE=10,連接￡>E,M、N分別是A8、

DE的中點，則MN=13.

【考點】KX：三角形中位線定理.

【專題】48：構(gòu)造法；554：等腰三角形與直角三角形；67：推理能力.

【分析】連接8￡）,取80的中點凡連接MF、NF,證明NF、分別是△BCE、AABD

11

的中位線，由三角形中位線定理得出NF〃BE,MF//AD,NF=々BE=5,MF=24。=12,

證出NF_LM凡在RtZ\MN尸中，由勾股定理即可得出答案.

【解答】解：連接80,取8。的中點尸，連接MF、NF,如圖所示：

：用、N、F分別是AB、DE、的中點，

:.NF、MF分別是△BDE、ZXABZ）的中位線，

：.NF〃BE,MF//AD,NF=^BE=5,MF=^AD=\2,

'：ZACfi=90°,

：.ADLBC,

".'MF//AD,

J.MFYBC,

,:NF〃BE,

：.NFX.MF,

在RtZ\MN尸中，由勾股定理得：MN=VWF2+MF2=V52+122=13；

故答案為：13.

【點評】本題考查了三角形中位線定理、勾股定理、平行線的性質(zhì)等知識；熟練掌握三

角形中位線定理和勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(本題共7小題，其中第17小題7分，第18小題6分，第19小題7分，第20

小題7分，第21小題8分，第22小題8分，第23小題9分共52分)

17.(7分)(2019春?福田區(qū)期末)分解因式：

(1)27-4x+2；

(2)(x-y~)3-9(x-y).

【考點】55：提公因式法與公式法的綜合運用.

【專題】11：計算題；44：因式分解.

【分析】(1)原式提取2,再利用完全平方公式分解即可；

(2)原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可.

【解答】解：⑴原式=2(？-2x+l)=2(x-1)2；

(2)原式=(x-y)[(x-y,)2-9]=(x-y)(x-y+3)(x-y-3).

【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本

題的關(guān)鍵.

12"2一?"

18.(6分)(2019春?福田區(qū)期末)先化簡，再求值：(——-^―)其中“=5.

a-2a2-4

【考點】6D：分式的化簡求值.

【專題】11：計算題；513：分式.

【分析】根據(jù)分式的減法和除法可以化簡題目中的式子，然后將a的值代入化簡后的式

子即可解答本題.

【解答】解：(工--^-)+寫學

a-2a2-4僅一4

_Q+2-2(Q+2)(Q—2)

(a+2)(a—2)CL{CL-2)

_a

—a（a—2）

1

=0^2,

當a=5時，原式=E、=4.

【點評】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡求值的方法.

131

19.（7分）（2019春?福田區(qū)期末）解方程：——+——=-

2x-l4x-22

【考點】B3：解分式方程.

【專題】522：分式方程及應(yīng)用.

【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可

得到分式方程的解.

【解答】解：去分母得：2+3=2x-l,

移項合并得：2x=6,

解得：x=3,

經(jīng)檢驗x=3是分式方程的解.

故原方程的解為x=3.

【點評】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)

化為整式方程求解.解分式方程一定注意要驗根.

20.（7分）（2019春?福田區(qū)期末）如下圖，網(wǎng)格中小正方形的邊長是1,長方形ABCQ的

對稱中心是坐標原點O,M、N兩點的坐標分別為（-6,0）、（-1,3）,點尸是線段A8

上的一動點，尸。的延長線交于點Q,連接MP,NQ.

（1）作圖：請在圖1中作出點N關(guān)于點O的中心對稱點并連接PN.

（2）探究發(fā)現(xiàn)：無論點P運動至何處，/W與N。具有的關(guān)系是：

①PN與N。關(guān)于點。一定成中心對稱.（填“一定”或“不一定”）

②PN1與NQ的數(shù)量關(guān)系是：相等.

（3）問題解決：MP+NQ何時獲得最小值？請在圖2中畫出此時P、Q的位置，并請你

直接寫出這個最小值.

【考點】RB：幾何變換綜合題.

【專題】13：作圖題；16：壓軸題；532：函數(shù)及其圖像.

【分析】(1)作點N的對稱點，即可求解；

(2)由(1)知，圖形NNQP與NN'P。是中心對稱圖形，即可求解；

(3)MP+NQ=PM+PN',當點M、P、N'三點共線時，MP+NQ=PM+PN'最小，即

可求解.

【解答】解：(1)作圖如下：

(2)由(1)知，圖形NN0P與/W'PQ是中心對稱圖形，

故①PM與NQ關(guān)于點。一定成中心對稱.(填“一定”或“不一定”)

②PM與NQ的數(shù)量關(guān)系是：相等；

故答案為：一定，相等；

(3)MP+NQ=PM+PN'，

當點M、P、N'三點共線時，MP+NQ=PM+PN'最小,

點M、N'的坐標分別為（-6,0）、（1,-3）,

該最小值為J（1++32=V58,

此時點P、。位置如下圖所示：

【點評】本題考查的是幾何變換的綜合運用，涉及到圖象的中心對稱、圖象作圖等，其

中（3）,當點M、P、N'三點共線時，MP+NQ=PM+PN'最小，是本題解題的關(guān)鍵.

21.（8分）（2019春?福田區(qū)期末）如圖，E、尸是。4BCD的對角線4c上的兩點，且

AC,DFVAC,連接BE、ED、DF、FB.

（1）求證：四邊形BED尸為平行四邊形；

（2）若BE=4,EF=2,求8。的長.

【考點】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；L7：平行四邊形的判定與性質(zhì).

【專題】553：圖形的全等；554：等腰三角形與直角三角形；555：多邊形與平行四邊形.

【分析】（1）連接交4c于O,由平行四邊形的性質(zhì)得出O4=OC,OB=OD,AB//

CD,AB=CD,由平行線的性質(zhì)得出凡證明得出AE=CF,

得出OE=OF,即可得出結(jié)論；

（2）由（1）得：OE=OF=*EF=1,由勾股定理得出OB="BE?+g=g,即可

得出結(jié)果..

【解答】（1）證明：連接跳）交AC于0,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

：.OA=OC,OB=OD,AB//CD,AB=CD,

:?/BAE=/DCF,

9：BELAC,DF±AC,

：./AEB=NCFD=90°,

(ZBAE=NDCF

在AABE和△CQF中，^AEB=乙CFD

□B=CD

：./\ABE^/\CDF(AAS),

：.AE=CF,

：.OE=OF,

又；0B=0D,

???四邊形3EO尸為平行四邊形；

(2)解：由(1)得：0E=0F=*EF=l,

\'BE±AC,

：.ZBEO=90Q,

OB=y/BE2+OE2=V42+l2=V17,

:.BD=2OB=2后.

AD

【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定

理等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

22.（8分）（2019春?福田區(qū)期末）王老師從學校出發(fā)，到距學校2000%的某商場去給學生

買獎品，他先步行了800/n后，換騎上了共享單車，到達商場時，全程總共剛好花了

\5min.已知王老師騎共享單車的平均速度是步行速度的3倍（轉(zhuǎn)換出行方式時，所需時

間忽略不計）.

（1）求王老師步行和騎共享單車的平均速度分別為多少？

（2）買完獎品后，王老師原路返回，為按時上班，路上所花時間最多只剩10分鐘，若

王老師仍采取先步行，后換騎共享單車的方式返回，問：他最多可步行多少米？

【考點】9A：二元一次方程組的應(yīng)用；C9：一元一次不等式的應(yīng)用.

【專題】521：一次方程（組）及應(yīng)用；522：分式方程及應(yīng)用.

【分析】（1）設(shè)王老師步行的速度為則騎共享單車的平均速度為3xin/min,根

據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論;

（2）設(shè)最多可步行a米，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論.

【解答】解：（1）設(shè)王老師步行的速度為3;/疝”，則騎共享單車的平均速度為3xzn/加〃,

8002000-800

根據(jù)題意得,---+-----------=15,

x3x

解得：x=80,

經(jīng)檢驗：x=80是原方程的解,

；.3x=240,

答：王老師步行的速度為80曲加〃，則騎共享單車的平均速度為240〃?/〃”"；

（2）設(shè)最多可步行。米，

a2000—a

根據(jù)題意得，—+——<10,

80240

解得：“W200,

答：他最多可步行200米.

【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，正確的理解題意是解題的

關(guān)鍵.

23.（9分）（2019春?福田區(qū)期末）如圖1,在△A8C中，AB=AC,AZ）是BC上的中線，

A3的垂直平分線MN交AQ于點O,連接8。并延長交AC于點E,AHLBE,垂足為H.

（1）求證：/XAB。絲△BAH；

（2）若N8AC=30°,AE=2,求BC的長；

（3）如圖2,在△ABC中，AB=AC,ZA=40°,。是AC上的一點，且/ABZ）=20°,

若5c=6,請你直接寫出A。的長.

圖1

【考點】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；KG：線段垂直平分線的性質(zhì)；K0：含30度

角的直角三角形.

【專題】15：綜合題；552：三角形；554：等腰三角形與直角三角形.

【分析】⑴由等腰三角形的三線合一得A"BC,ZBAD=^BAC,線段的垂直平分

線和等腰三角形得=再加A8公用，可證明△A8H絲△B4。；

(2)由等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線和三角形的內(nèi)角和定理得NHBA=15°,

NHAB=75°,根據(jù)角的和差得/E4H=45°,在直角三角形中由勾股定理可求出

AH=也,從而得至l」BC=2或；

(3)根據(jù)(1)(2)的解題思路和方法，構(gòu)建等腰三角形的三線合一，三角形全等和勾

股定理可求出A￡>=2V3.

【解答】解：(1)如圖1所示：

；A8=AC,

.?.△ABC是等腰三角形，

又是BC上的中線，

J.ADLBC,ZBAD=^BAC,

垂直平分線AB,

：.BO=AO,

：.ZHBA=ZDAB,

9：AHLBE,ADLBC,

：.AH=ZADB=90°,

在和△8AO中，

ZHBA=/BAD

AB=AB，

乙H=^ADB

：.(ASA)；

(2)如圖1所示：

圖1

9：ZBAC=30°,

11

XBAD=^Z.BAC=/30。=15°,

又;?NHBA=NDAB

:.NHBA=15°,

又：NHBA+NHAB=90°,

：.ZHAB=15Q,

又?:ZHAB=ZBAE+ZEAH,

：.ZEAH=45",

在RtZ^AE”中，由勾股定理得：

1AH1=AEL,

又：4￡：=2,：.AH=y[2,

：.BD=V2,

又,：BC=2BD,

：.BC=2V2；

(3)過點4作AE_LBC,AH垂直于8。的延長線于點，,

如圖2所示:

由（1）可知8E=A”，

"：BC=6,：.AH=3,

又,?ZADH=ZABH+ZBAD,

NABD=20°,/8A￡>=40°,

AZADH=60°,

在RtZvlQ”中，由勾股定理得：

ADi=AH1+DFi1,

又；ND4H=30°,

：.AD=2DH,

：.AD^2V3.

【點評】本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段的中點，線段垂直平分線的性質(zhì)，三

角形全等的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理和外角的定理，勾股定理等相關(guān)知識，重

點掌握三角形的判定方法，難點是作輔助線構(gòu)建相應(yīng)的圖形求解.

考點卡片

1.實數(shù)的運算

(1)實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、

乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方.

(2)在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算

乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到有的順序進行.

另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關(guān)鍵”

1.運算法則：乘方和開方運算、基的運算、指數(shù)(特別是負整數(shù)指數(shù)，0指數(shù))運算、根

式運算、特殊三角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等.

2.運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從

左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算.

3.運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度.

2.提公因式法與公式法的綜合運用

提公因式法與公式法的綜合運用.

3.因式分解的應(yīng)用

1、利用因式分解解決求值問題.

2、利用因式分解解決證明問題.

3、利用因式分解簡化計算問題.

【規(guī)律方法】因式分解在求代數(shù)式值中的應(yīng)用

1.因式分解是研究代數(shù)式的基礎(chǔ)，通過因式分解將多項式合理變形，是求代數(shù)式值的常用

解題方法，具體做法是：根據(jù)題目的特點，先通過因式分解將式子變形，然后再進行整體代

入.

2.用因式分解的方法將式子變形時，根據(jù)己知條件，變形的可以是整個代數(shù)式，也可以是

其中的一部分.

4.分式有意義的條件

(1)分式有意義的條件是分母不等于零.

(2)分式無意義的條件是分母等于零.

（3）分式的值為正數(shù)的條件是分子、分母同號.

（4）分式的值為負數(shù)的條件是分子、分母異號.

5.分式的加減法

（1）同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.

（2）異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個分式化成分母相同的分式，叫做通分，

經(jīng)過通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減.

說明：

①分式的通分必須注意整個分子和整個分母，分母是多項式時，必須先分解因式，分子是

多項式時，要把分母所乘的相同式子與這個多項式相乘，而不能只同其中某一項相乘.

②通分是和約分是相反的一種變換.約分是把分子和分母的所有公因式約去，將分式化為

較簡單的形式；通分是分別把每一個分式的分子分母同乘以相同的因式，使幾個較簡單的分

式變成分母相同的較復(fù)雜的形式.約分是對一個分式而言的；通分則是對兩個或兩個以上的

分式來說的.

6.分式的化簡求值

先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的值.

在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡.化簡的最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注

意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式.

【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題

1.化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值.化簡時不能跨度太大，而缺

少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當…時，原式=

2.代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法.解題時可根據(jù)題目的具體條件選

擇合適的方法.當未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式

都有意義，且除數(shù)不能為0.

7.二元一次方程組的應(yīng)用

（一）、列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：

（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系.

（2）設(shè)元：找出題中的兩個關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來.

（3）列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個等量關(guān)系，列出方程組.

（4）求解.

（5）檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答.

（二）、設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元.

當問題較復(fù)雜時，有時設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元.無論怎

樣設(shè)元，設(shè)幾個未知數(shù)，就要列幾個方程.

8.解分式方程

（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結(jié)論.

（2）解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0,所以應(yīng)如

下檢驗：

①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0,則整式方程的解是原分式

方程的解.

②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0,則整式方程的解不是原分式

方程的解.

所以解分式方程時，一定要檢驗.

9.分式方程的增根

（1）增根的定義：在分式方程變形時，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后

分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做

原方程的增根.

（2）增根的產(chǎn)生的原因：對于分式方程，當分式中，分母的值為零時，無意義，所以分式

方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條

件.當把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍

擴大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會出現(xiàn)

增根.

（3）檢驗增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡公分母，看最簡公分母

是否為0,如果為0,則是增根；如果不是0,則是原分式方程的根.

10.不等式的性質(zhì)

（1）不等式的基本性質(zhì)

①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不

變,即：

若a>b,那么a±m(xù)>b±/n；

②不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，即:

ab

若q>b,且帆>0,那么加i或一>一；

mm

③不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變，即：

ab

若a>b,且mVO,那么。加〈人"或一V一；

mm

（2）不等式的變形：①兩邊都加、減同一個數(shù)，具體體現(xiàn)為“移項”，此時不等號方向不

變，但移項要變號；②兩邊都乘、除同一個數(shù)，要注意只有乘、除負數(shù)時，不等號方向才

改變.

【規(guī)律方法】

1.應(yīng)用不等式的性質(zhì)應(yīng)注意的問題：在不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)時，一

定要改變不等號的方向；當不等式的兩邊要乘以（或除以）含有字母的數(shù)時，一定要對字母

是否大于0進行分類討論.

2.不等式的傳遞性：若a>b,h>c,則a>c.

11.在數(shù)軸上表示不等式的解集

用數(shù)軸表示不等式的解集時，要注意“兩定”：

一是定界點，一般在數(shù)軸上只標出原點和界點即可.定邊界點時要注意，點是實心還是空心，

若邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點；

二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”.

【規(guī)律方法】不等式解集的驗證方法

某不等式求得的解集為其驗證方法可以先將“代入原不等式，則兩邊相等，其

次在的范圍內(nèi)取一個數(shù)代入原不等式，則原不等式成立.

12.解一元一次不等式

根據(jù)不等式的性質(zhì)解一元一次不等式

基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：①去分母；②去括號；③移項；

④合并同類項；⑤化系數(shù)為1.

以上步驟中，只有①去分母和⑤化系數(shù)為1可能用到性質(zhì)3,即可能變不等號方向，其他

都不會改變不等號方向.

注意：符號和“W”分別比