2022年北京順義初二（上）期末數(shù)學(xué)試卷及答案

1/12022北京順義初二（上）期末數(shù)學(xué)一、選擇題（共10道小題，每小題2分，共20分）1.9的平方根是（）A3 B. C. D.2.若分式有意義，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.3.下列三角形是軸對稱圖形，且對稱軸不只1條的是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C等腰直角三角形 D.等邊三角形4.在下列長度的四根木棒中，能與3cm，9cm的兩根木棒首尾順次相接釘成一個三角形的是（）A.3cm B.6cm C.10cm D.12cm5.任意擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，偶數(shù)點朝上的可能性是（）A. B. C. D.6.下列以a，b，c為邊的三角形不是直角三角形的是（）A.a＝1，b＝1，c＝ B.a＝2，b＝3，c＝C.a＝3，b＝5，c＝7 D.a＝6，b＝8，c＝107.如圖是一個可以轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤．盤面上有6個全等的扇形區(qū)域，其中1個是紅色，2個是黃色，3個是白色．用力轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針對準(zhǔn)黃色區(qū)域的可能性是（）A. B. C. D.8.當(dāng)時，化簡二次根式，結(jié)果正確的是（）A. B. C. D.9.乒乓球比賽以11分為1局，水平相當(dāng)?shù)募?、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，在一局比賽中，甲已經(jīng)得了8分，乙只得了2分，對這局比賽的結(jié)果進(jìn)行預(yù)判，下列說法正確的是（）A.甲獲勝的可能性比乙大 B.乙獲勝的可能性比甲大C.甲、乙獲勝的可能性一樣大 D.無法判斷10.如圖，△ABC中，直線l是邊AB的垂直平分線，若直線l上存在點P，使得△PAC，△PAB均為等腰三角形，則滿足條件的點P的個數(shù)共有（）

A.1 B.3 C.5 D.7二、填空題（共10道小題，每小題2分，共20分）11.如果分式的值為0，則x的值是__________．12.最接近的整數(shù)是______．13.計算：__________．14.如圖，PA＝PB，請你添加一個適當(dāng)?shù)臈l件：___________，使得△PAD≌△PBC．15.一個盒子里裝有除顏色外都相同的1個紅球，4個黃球．把下列事件的序號填入下表的對應(yīng)欄目中．①從盒子中隨機摸出1個球，摸出的是黃球；②從盒子中隨機摸出1個球，摸出是白球；③從盒子中隨機摸出2個球，至少有1個是黃球．事件必然事件不可能事件隨機事件序號_______________16.等腰三角形中，一條邊長是2cm，另一條邊長是3cm，這個等腰三角形的周長是________．17.已知：公式其中，，，均不為零．則___________．（用含有，，的式子表示）18.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB上，將△ABC沿CD折疊，點A落在BC邊上的點處，若∠B＝35°，則的度數(shù)為___________．19.某班共有36名同學(xué)，其中男生16人，喜歡數(shù)學(xué)同學(xué)有12人，喜歡體育的同學(xué)有24人．從該班同學(xué)的學(xué)號中隨意抽取1名同學(xué)，設(shè)這名同學(xué)是女生的可能性為a，這名同學(xué)喜歡數(shù)學(xué)的可能性為b，這名同學(xué)喜歡體育的可能性為c，則a，b，c的大小關(guān)系是___________．20.對于任意的正數(shù)，，定義運算“*”如下：，計算的結(jié)果為___________．三、解答題（共60分，第21題4分，第22－－31題，每題5分，第32題6分）21.計算：．22.計算：．23.已知：如圖，E，F(xiàn)是線段BC上兩點，ABCD，BE＝CF，∠A＝∠D．求證：AF＝DE．24.計算：．25.解方程：．26.計算：．27.先化簡，再求值：，其中．28.已知：如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，D是邊CB上一點，DE⊥AB于點E，且CD＝BE．求證：AD平分∠BAC．29.“三等分角”是被稱為幾何三大難題的三個古希臘作圖難題之一．如圖1所示的“三等分角儀”是利用阿基米德原理做出的．這個儀器由兩根有槽的棒PA，PB組成，兩根棒在P點相連并可繞點P旋轉(zhuǎn)，C點是棒PA上的一個固定點，點A，O可在棒PA，PB內(nèi)的槽中滑動，且始終保持OA＝OC＝PC．∠AOB為要三等分的任意角．則利用“三等分角儀”可以得到∠APB＝∠AOB．我們把“三等分角儀”抽象成如圖2所示的圖形，完成下面的證明．已知：如圖2，點O，C分別在∠APB的邊PB，PA上，且OA＝OC＝PC．求證：∠APB＝∠AOB．30.列方程解應(yīng)用題：某市為了緩解交通擁堵現(xiàn)象，決定修建一條輕軌鐵路的延長線，為使該延長線工程比原計劃提前1個月完成，在保證質(zhì)量的前提下，必須把工作效率提高10%．問原計劃完成這項工程需要用多少個月？31.已知：在△ABC中，AB＝AC，直線l過點A．（1）如圖1，∠BAC＝90°，分別過點B，C作直線l的垂線段BD，CE，垂足分別為D，E．①依題意補全圖1；②用等式表示線段DE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，當(dāng)∠BAC≠90°時，設(shè)∠BAC＝α（0°＜α＜180°），作∠CEA＝∠BDA＝α，點D，E在直線l上，直接用等式表示線段DE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系為．32.我們定義：在等腰三角形中，腰與底的比值叫做等腰三角形的正度．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，的值為△ABC的正度．已知：在△ABC中，AB＝AC，若D是△ABC邊上的動點（D與A，B，C不重合）．（1）若∠A＝90°，則△ABC的正度為；（2）在圖1，當(dāng)點D在腰AB上（D與A、B不重合）時，請用尺規(guī)作出等腰△ACD，保留作圖痕跡；若△ACD的正度是，求∠A的度數(shù)．（3）若∠A是鈍角，如圖2，△ABC正度為，△ABC的周長為22，是否存在點D，使△ACD具有正度？若存在，求出△ACD的正度；若不存在，說明理由．

參考答案一、選擇題（共10道小題，每小題2分，共20分）1.9的平方根是（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平方根的定義，可得9的平方根．【詳解】∵，∴9的平方根為±3，故選：C．【點睛】本題考查了平方根的概念，熟練掌握平方根的概念和運算是解題的關(guān)鍵．2.若分式有意義，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分式有意義，則，求出x的取值范圍即可.【詳解】∵分式有意義，∴，解得：，故選B.【點睛】本題是對分式有意義的考查，熟練掌握分式有意義的條件是解決本題的關(guān)鍵.3.下列三角形是軸對稱圖形，且對稱軸不只1條的是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形【答案】D【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形的特點求解；軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．【詳解】解：、等腰三角形是軸對稱圖形，不考慮三條邊相等的情況下，對稱軸有1條，不符合題意；、直角三角形不一定是軸對稱圖形，不一定有對稱軸，不符合題意；、等腰直角三角形是軸對稱圖形，對稱軸有1條，不符合題意；、等邊三角形是軸對稱圖形，對稱軸有3條，符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形的概念．解題的關(guān)鍵是判斷軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合．4.在下列長度的四根木棒中，能與3cm，9cm的兩根木棒首尾順次相接釘成一個三角形的是（）A.3cm B.6cm C.10cm D.12cm【答案】C【解析】【分析】設(shè)第三根木棒的長度為cm，再確定三角形第三邊的范圍，再逐一分析各選項即可得到答案.【詳解】解：設(shè)第三根木棒的長度為cm，則所以A，B，D不符合題意，C符合題意，故選C【點睛】本題考查的是三角形的三邊的關(guān)系，掌握“利用三角形的三邊關(guān)系確定第三邊的范圍”是解本題的關(guān)鍵.5.任意擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，偶數(shù)點朝上的可能性是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如果一個事件的發(fā)生有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率利用概率公式直接計算即可得到答案．【詳解】解：拋擲一枚分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6的正方體骰子，骰子落地時朝上的數(shù)為偶數(shù)的可能性有種，而所有的等可能的結(jié)果數(shù)有種，所以骰子落地時朝上的數(shù)為偶數(shù)的概率是故選A【點睛】本題考查了簡單隨機事件的概率，掌握概率公式是解本題的關(guān)鍵.6.下列以a，b，c為邊的三角形不是直角三角形的是（）A.a＝1，b＝1，c＝ B.a＝2，b＝3，c＝C.a＝3，b＝5，c＝7 D.a＝6，b＝8，c＝10【答案】C【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個是直角三角形判定則可．如果有這種關(guān)系，這個就是直角三角形．【詳解】解：、，該三角形是直角三角形，故此選項不符合題意；、，該三角形是直角三角形，故此選項不符合題意；、，該三角形不是直角三角形，故此選項符合題意；、，該三角形是直角三角形，故此選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理逆定理，解題的關(guān)鍵是在應(yīng)用勾股定理的逆定理時，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．7.如圖是一個可以轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤．盤面上有6個全等的扇形區(qū)域，其中1個是紅色，2個是黃色，3個是白色．用力轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針對準(zhǔn)黃色區(qū)域的可能性是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如果一個事件的發(fā)生有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率利用概率公式直接計算即可得到答案．【詳解】解：因為指針可以指向6個區(qū)域的任何一個，所以有6個等可能的結(jié)果，而指向黃色區(qū)域的結(jié)果數(shù)有2種，所以當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針對準(zhǔn)黃色區(qū)域的可能性是：故選B【點睛】本題考查的是簡單隨機事件的概率，掌握利用概率公式進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．8.當(dāng)時，化簡二次根式，結(jié)果正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判斷再利用進(jìn)行化簡即可.【詳解】解：故選D【點睛】本題考查的是二次根式的化簡，根據(jù)隱含條件判斷是解本題的關(guān)鍵，易錯點的是化簡過程中出現(xiàn)二次根式?jīng)]有意義的情況.9.乒乓球比賽以11分為1局，水平相當(dāng)甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，在一局比賽中，甲已經(jīng)得了8分，乙只得了2分，對這局比賽的結(jié)果進(jìn)行預(yù)判，下列說法正確的是（）A.甲獲勝的可能性比乙大 B.乙獲勝的可能性比甲大C.甲、乙獲勝的可能性一樣大 D.無法判斷【答案】A【解析】【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性即可判斷．【詳解】∵甲已經(jīng)得了8分，乙只得了2分，甲、乙兩人水平相當(dāng)∴甲獲勝的可能性比乙大故選A．【點睛】此題主要考查事件發(fā)生的可能性，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意進(jìn)行判斷．10.如圖，△ABC中，直線l是邊AB的垂直平分線，若直線l上存在點P，使得△PAC，△PAB均為等腰三角形，則滿足條件的點P的個數(shù)共有（）

A.1 B.3 C.5 D.7【答案】A【解析】【分析】AC的垂直平分線交l于P點即為所求．【詳解】如圖，AC的垂直平分線交l于P點，則AP=CP=BP此時△PAC，△PAB均為等腰三角形，共一點，故選A．【點睛】此題主要考查垂直平分線的性質(zhì)與等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知等腰三角形的定義與垂直平分線的性質(zhì)．二、填空題（共10道小題，每小題2分，共20分）11.如果分式的值為0，則x的值是__________．【答案】##【解析】【分析】分式的值為零時，分子等于零，即．【詳解】解：由題意知，．解得．此時分母，符合題意．故答案是：．【點睛】本題主要考查了分式的值為零的條件，解題的關(guān)鍵是掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．12.最接近的整數(shù)是______．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)無理數(shù)的估算得出所求即可．【詳解】解：∵，∴，則最接近的整數(shù)是4，故答案為：4．【點睛】此題主要考查無理數(shù)的估算，熟練掌握估算方法是解題關(guān)鍵．13.計算：__________．【答案】2【解析】【分析】直接利用立方根、絕對值化簡得出答案．【詳解】解：原式．故答案為：2．【點睛】本題主要考查了實數(shù)的運算，解題的關(guān)鍵是正確化簡．14.如圖，PA＝PB，請你添加一個適當(dāng)?shù)臈l件：___________，使得△PAD≌△PBC．【答案】∠D=∠C或∠PAD=∠PBC或∠DBC=∠CAD或PD=PC或AC=BD．【解析】【分析】已有∠P是公共角和邊PA=PB，根據(jù)全等三角全等的條件，利用AAS需要添加∠D=∠C，根據(jù)ASA需要添加∠PAD=∠PBC或∠DBC=∠CAD，根據(jù)邊角邊需要添加PD=PC或PC=PD．填入一個即可．【詳解】解：∵PA=PB，∠P是公共角，

∴根據(jù)AAS可以添加∠D=∠C，，在△PAD和△PBC中，∵PA=PB，∠P是公共角，∠D=∠C，∴△PAD≌△PBC（AAS）．根據(jù)ASA可以添加∠PAD=∠PBC，在△PAD和△PBC中，∵PA=PB，∠P是公共角，∠PAD=∠PBC，∴△PAD≌△PBC（ASA）．根據(jù)ASA可以添加∠DBC=∠CAD，∴180°-∠DBC=180°-∠CAD，即∠PAD=∠PBC，在△PAD和△PBC中，∵PA=PB，∠P是公共角，∠PAD=∠PBC，∴△PAD≌△PBC（ASA）．根據(jù)SAS可添加PD=PC在△PAD和△PBC中，∵PA=PB，∠P公共角，PD=PC，∴△PAD≌△PBC（SAS）．根據(jù)SAS可添加BD=AC，∵PA=PB，BD=AC，∴PA+AC=PB+BD即PC=PD，在△PAD和△PBC中，∵PA=PB，∠P是公共角，PD=PC，∴△PAD≌△PBC（SAS）．故答案為：∠D=∠C或∠PAD=∠PBC或∠DBC=∠CAD或PD=PC或AC=BD．【點睛】本題考查三角形全等添加條件，掌握三角形全等判定方法與定理是解題關(guān)鍵．15.一個盒子里裝有除顏色外都相同的1個紅球，4個黃球．把下列事件的序號填入下表的對應(yīng)欄目中．①從盒子中隨機摸出1個球，摸出的是黃球；②從盒子中隨機摸出1個球，摸出的是白球；③從盒子中隨機摸出2個球，至少有1個是黃球．事件必然事件不可能事件隨機事件序號_______________【答案】①.③②.②③.①【解析】【分析】直接利用必然事件：一定發(fā)生的事件；不可能事件：一定不會發(fā)生的事件；隨機事件：可能發(fā)生可能不發(fā)生的事件，來依次判斷即可．【詳解】解：根據(jù)盒子里裝有除顏色外都相同的1個紅球，4個黃球，①從盒子中隨機摸出1個球，摸出的是黃球，屬于隨機事件；②從盒子中隨機摸出1個球，摸出的是白球，屬于不可能事件；③從盒子中隨機摸出2個球，至少有1個是黃球，屬于必然事件；故答案是：③，②，①．【點睛】本題考查了必然事件、不可能事件、隨機事件，解題的關(guān)鍵是掌握相應(yīng)的概念進(jìn)行判斷．16.等腰三角形中，一條邊長是2cm，另一條邊長是3cm，這個等腰三角形的周長是________．【答案】或##或【解析】【分析】因為已知長度為和兩邊，沒有明確是底邊還是腰，所以有兩種情況，需要分類討論．【詳解】解：①當(dāng)為底時，其它兩邊都為，、、可以構(gòu)成三角形，周長為；②當(dāng)為底時，其它兩邊都為，、、可以構(gòu)成三角形，周長為；故答案為：或．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，解題的關(guān)鍵是利用分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點非常重要．17.已知：公式其中，，，均不為零．則___________．（用含有，，的式子表示）【答案】【解析】【分析】在公式的兩邊都乘以即可得到答案.【詳解】解：故答案為：【點睛】本題考查的是公式的變形，利用解分式方程的思想進(jìn)行變形是解本題的關(guān)鍵.18.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB上，將△ABC沿CD折疊，點A落在BC邊上的點處，若∠B＝35°，則的度數(shù)為___________．【答案】20°##20度【解析】【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠A，利用翻折不變性得出，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：，∠B＝35°，，是由翻折得到，，，．故答案為：20°．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，翻折變換等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．19.某班共有36名同學(xué)，其中男生16人，喜歡數(shù)學(xué)的同學(xué)有12人，喜歡體育的同學(xué)有24人．從該班同學(xué)的學(xué)號中隨意抽取1名同學(xué)，設(shè)這名同學(xué)是女生的可能性為a，這名同學(xué)喜歡數(shù)學(xué)的可能性為b，這名同學(xué)喜歡體育的可能性為c，則a，b，c的大小關(guān)系是___________．【答案】c＞a＞b【解析】【分析】根據(jù)概率公式分別求出各事件的概率，故可求解．【詳解】依題意可得從該班同學(xué)的學(xué)號中隨意抽取1名同學(xué)，設(shè)這名同學(xué)是女生的可能性為，這名同學(xué)喜歡數(shù)學(xué)的可能性為，這名同學(xué)喜歡體育的可能性為，∵＞＞∴a，b，c的大小關(guān)系是c＞a＞b故答案為：c＞a＞b．【點睛】本題考查概率公式的基本計算，用到的知識點為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．20.對于任意的正數(shù)，，定義運算“*”如下：，計算的結(jié)果為___________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意選擇合適的對應(yīng)法則．因為3＞2，所以選擇第一種對應(yīng)法則；48＜50，選第二種對應(yīng)法則．詳解】解：∵∴===故答案為：．【點睛】主要考查二次根式的運算及化簡．定義新運算題型能很好的考查學(xué)生對新情景知識的學(xué)習(xí)能力．讀懂題意，按照定義是關(guān)鍵．三、解答題（共60分，第21題4分，第22－－31題，每題5分，第32題6分）21.計算：．【答案】【解析】【分析】按照從左至右的運算順序先計算二次根式的乘法，再計算二次根式的除法運算即可.詳解】解：【點睛】本題考查的是二次根式的乘除混合運算，掌握“二次根式的乘法與除法的運算法則及混合運算的運算順序”是解本題的關(guān)鍵.22.計算：．【答案】【解析】【分析】利用二次根式的性質(zhì)先化簡，再合并同類項即可．【詳解】解：，，．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)及化簡，二次根式的加減法，解題的關(guān)鍵是掌握運算法則．23.已知：如圖，E，F(xiàn)是線段BC上兩點，ABCD，BE＝CF，∠A＝∠D．求證：AF＝DE．【答案】見解析【解析】【分析】欲證明AF＝DE，只要證明△ABF≌△DCE即可；【詳解】證明：∵BE＝CF，∴BF＝CE，∵ABCD，∴∠B＝∠C，在△ABF和△DCE，，∴△ABF≌△DCE，∴AF＝DE．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形全等的條件，屬于中考?？碱}型．24.計算：．【答案】．【解析】【分析】先把除化乘，再因式分解同時約分，通分合并化簡為最簡分式即可．【詳解】解：，=，=，=，=，=．【點睛】本題考查分?jǐn)?shù)加減乘除混合運算，掌握分式混合運算法則是解題關(guān)鍵．25.解方程：．【答案】【解析】【分析】先去分母把方程化為整式方程，再解整式方程并檢驗即可.【詳解】解：去分母得：去括號得：整理得：解得：經(jīng)檢驗：是原方程的解，所以原方程的解是.【點睛】本題考查的是解分式方程，掌握“解分式方程的步驟”是解本題的關(guān)鍵.26.計算：．【答案】【解析】【分析】先按照完全平方公式，乘法的分配律進(jìn)行二次根式的乘方與乘法運算，再合并即可.【詳解】解：原式【點睛】本題考查的是二次根式的混合運算，掌握“二次根式的加減乘除，乘方的運算法則與混合運算的運算順序”是解本題的關(guān)鍵.27.先化簡，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】先通分，化為同分母的分式，再進(jìn)行加減運算，再把條件式化為整體代入求值即可.【詳解】解：所以：原式【點睛】本題考查的是分式的化簡求值，熟練的通分，整體代入求值都是解本題的關(guān)鍵.28.已知：如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，D是邊CB上一點，DE⊥AB于點E，且CD＝BE．求證：AD平分∠BAC．【答案】見解析【解析】【分析】先證明為等腰直角三角形，得出，再證明，得出，即可證明．【詳解】解：，為等腰直角三角形，，又，為等腰直角三角形，，，，，，，平分．【點睛】本題考查了等腰直角三角形、三角形全等的判定及性質(zhì)、角平分線，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的全等的證明．29.“三等分角”是被稱為幾何三大難題的三個古希臘作圖難題之一．如圖1所示的“三等分角儀”是利用阿基米德原理做出的．這個儀器由兩根有槽的棒PA，PB組成，兩根棒在P點相連并可繞點P旋轉(zhuǎn)，C點是棒PA上的一個固定點，點A，O可在棒PA，PB內(nèi)的槽中滑動，且始終保持OA＝OC＝PC．∠AOB為要三等分的任意角．則利用“三等分角儀”可以得到∠APB＝∠AOB．我們把“三等分角儀”抽象成如圖2所示的圖形，完成下面的證明．已知：如圖2，點O，C分別在∠APB的邊PB，PA上，且OA＝OC＝PC．求證：∠APB＝∠AOB．【答案】見解析【解析】【分析】由，得出為等腰三角形，由外角的性質(zhì)及等量代換得，再次利用外角的性質(zhì)及等量代換得，即可證明．【詳解】解：，為等腰三角形，，由外角的性質(zhì)得：，，再由外角的性質(zhì)得：，，．【點睛】本題考查了等腰三角形、外角的性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是掌握外角的性質(zhì)及等量代換的思想進(jìn)行求解．30.列方程解應(yīng)用題：某市為了緩解交通擁堵現(xiàn)象，決定修建一條輕軌鐵路的延長線，為使該延長線工程比原計劃提前1個月完成，在保證質(zhì)量的前提下，必須把工作效率提高10%．問原計劃完成這項工程需要用多少個月？【答案】【解析】【分析】設(shè)原計劃完成這項工程需要用個月，則原計劃的效率為實際的效率為再根據(jù)實際的效率比原計劃的效率提高10%，再列方程，解方程即可.【詳解】解：設(shè)原計劃完成這項工程需要用個月，則整理得：解得：經(jīng)檢驗：符合題意；答：原計劃完成這項工程需要用個月.【點睛】本題考查的是分式方程的應(yīng)用，掌握“利用分式方程解決工程問題”是解本題的關(guān)鍵.31.已知：在△ABC中，AB＝AC，直線l過點A．（1）如圖1，∠BAC＝90°，分別過點B，C作直線l的垂線段BD，CE，垂足分別為D，E．①依題意補全圖1；②用等式表示線段DE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，當(dāng)∠BAC≠90°時，設(shè)∠BAC＝α（0°＜α＜180°），作∠CEA＝∠BDA＝α，點D，E在直線l上，直接用等式表示線段DE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系為．【答案】（1）①見詳解；②結(jié)論為DE=BD+CE，證明見詳解；（2）DE=BD+CE．證明見詳解．【解析】【分析】（1）①依題意在圖1作出CE、BD，標(biāo)出直角符號，垂足即可；②結(jié)論為DE=BD+CE，先證∠ECA=∠BAD，再證△ECA≌△DAB（AAS），得出EA=BD，CE=AD，即可；（2）DE=BD+CE．根據(jù)∠BAC＝α（0°＜α＜180°）=∠CEA＝∠BDA＝α，得出∠CAE=∠ABD，再證△ECA≌△DAB（AAS），得出EA=BD，CE=AD即可．【小問1詳解】解：①依題意補全圖1如圖；②結(jié)論為DE=BD+CE，證明：∵CE⊥l，BD⊥l，∴∠CEA=∠BDA=90°，∴∠ECA+∠CAE=90°，∵∠BAC=90°，∴∠CAE+∠BAD=90°∴∠ECA=∠BAD，在△ECA和△DAB中，，∴△ECA≌△DAB（AAS），∴EA=BD，CE=AD，∴ED=EA+AD=BD+CE；【小問2詳解】DE=BD+CE．證明：∵∠BAC＝α（0°＜α＜180°）=∠CEA＝∠BDA＝α，∴∠CAE+∠BAD=180°-α，∠BAD+∠ABD=180°-α，∴∠CAE=∠ABD，在△ECA和△DAB中，，∴△ECA≌△DAB（AAS），∴EA=BD，C